Как решать дробно рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Пример не дробно-рациональных уравнений:

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1. Выпишите и «решите» ОДЗ.
2. Найдите общий знаменатель дробей.
3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
6. Решите полученное уравнение.
7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.
8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac — \frac=\frac\)

Сначала записываем и «решаем» ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).

Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.

Приводим подобные слагаемые

Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй.

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac + \frac-\frac\) \(=0\)

Записываем и «решаем» ОДЗ.

Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.

Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.

Приводим подобные слагаемые

Находим корни уравнения

Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Дробно-рациональные уравнения

Наиболее простым дробно-рациональным уравнением является уравнение вида $\frac=0$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ многочлены от переменной $x$. Любое дробно-рациональное уравнение может быть приведено именно к такому виду. Очевидно, областью допустимых значений для выражения $\frac$ является множество всех $x$, для которых $Q\left(x\right)\ne 0.$ В таком случае, корнями уравнения $\frac=0$, являются все значения $x$, для которых выполняются условия $P\left(x\right)=0$ и $Q\left(x\right)\ne 0$. Иначе говоря, корнями уравнения $\frac=0$, являются те корни уравнения $P\left(x\right)=0$, которые входят в О.Д.З..

Решение. О.Д.З. $x-1\ne 0,\text< >x\ne 1.$ Корнями исходного уравнения являются те значения $x$ из области допустимых значений, для которых $x^2+6x-7=0.$ Корнями этого квадратного уравнения являются $x=-7;\text< >x=1.$ Очевидно, только первый корень входит в О.Д.З. Следовательно, корнем исходного уравнения является $x=-7.$

Абсолютно любое дробно-рациональное уравнение, путем стандартных преобразований можно привести к виду $\frac=0$, однако, в некоторых случаях такой необходимости нет, так как, может существовать более простой способ решения.

Область допустимых значений определяется условиями $x-1\ne 0;3x+1\ne 0.$ Из этих условий имеем $x\ne 1;x\ne -\frac.$ Если, все члены уравнения сгруппировать в левой части, а затем привести к общему знаменателю, то получим уранение вида $\frac=0,$ способ решения которого был описан выше. Однако, будет проще, если обе части уравнения уножить на общий знаменатель, который в нашем случае равен $\left(x-1\right)\left(3x+1\right).$ Этот общий знаменатель в О.Д.З. отличен от нуля, поэтому в О.Д.З. уравнение, полученное после умножения обеих частей на этот общий знаменатель, будет равносильным исходному уравнению. В результате умножения на $\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$ плучим

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, последнее уравнение примет вид

Корнями этого квадратного уравнения являются $x=-5;x=-1.$ Оба полученных корня, входят в О.Д.З., следовательно, являются корнями исходного уравнения.

О.Д.З. $x\ne 1.$ Очевидно, если все члены уравнения сгруппировать в левой части, а затем привести слагаемые к общему знамениателю, то получим уравнение вида $\frac=0.$ Однако, будет проще, если обе части уравнения умножить на знаменатель $x-1.$ В результате получим уравнение $x^3-6x^2+11x-6=2x^3-5x^2+x+2.$ Отсюда имеем $x^3+x^2-10x+8=0.$ Итак, мы получили кубическое алгебраическое уравнение. Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения, тогда левую часть можно нацело разделить на двучлен $x-1.$ В результате деления получим квадратный трехчлен $x^2+2x-8.$ Следовательтно, $x^3+x^2-10x+8=\left(x-1\right)\left(x^2+2x-8\right).$ Для нахождения корней кубического уравнения остается решить совокупность уравнеий

Решая эти уравнения, находим

Из найденных корней, $x=1$ в О.Д.З. не входит, следовательно, корнями исходного уравнения являются $x=-4;x=2.$ Ответ: $x=-4;x=2.$

Задачи для самостоятельной работы.

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Дробно-рациональные уравнения

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

Начать следует с области допустимых значений:

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

Осталось решить квадратное уравнение:

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

Потребуется решить квадратное уравнение:

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

Корни квадратного уравнения:

Найти корни уравнения:

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

Нужно найти корни уравнения:

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором
Записаться на бесплатное занятие ��

Подготовлено совместно с репетитором:

Нужна помощь?

• Репетитор по алгебре
• Репетитор по алгебре 9 класс
• Репетитор для подготовки к ОГЭ по математике
• Подготовка к ОГЭ по математике, часть 1
• Экспресс-подготовка к ОГЭ по математике | с нуля за 2 недели
• NEW! Курс подготовки к ОГЭ по математике | 2023-2024
• NEW! Курс экспресс-подготовки к ОГЭ по математике | 2023-2024