Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую
Перейти к содержимому

Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую

  • автор:

Скользящая симметрия

Glide reflection.png

Скользящая симметрия — изометрия евклидовой плоскости. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный (этот вектор может быть и нулевым).

Скользящую симметрию можно представить в виде композиции 3 осевых симметрий (теорема Шаля).

См. также

  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
  • Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
  • Движения пространства

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Фронлайтен
  • Гран-при Австралии 2003 года

Полезное

Смотреть что такое «Скользящая симметрия» в других словарях:

  • Изометрия (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Изометрия. Изометрия, или движение, или (реже) наложение биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если и образы точек и , то .… … Википедия
  • Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
  • Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
  • Конкурентные прямые — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
  • Окружность Аполония — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
  • Преобразование плоскости — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
  • Чевиана — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
  • Глоссарий планиметрии — Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия
  • Движение (геометрия) — Изометрия, или движение, или наложение биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если A и B образы точек A и B, то | A B | = | AB | . Термин «изометрия» более распространён в метрической… … Википедия
  • Движение (математика) — Изометрия, или движение, или наложение биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если A и B образы точек A и B, то | A B | = | AB | . Термин «изометрия» более распространён в метрической… … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую

Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, которое сохраняет попарные расстояния между точками, то есть если A1 и B1 – образы некоторых точек A и B при движении, то |A1B1| = |AB|.

Одной из разновидностей движения плоскости является скользящая симметрия. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор может быть нулевым). На рисунке показан пример применения скользящей симметрии к отрезку.

Известно, что любой отрезок можно перевести в любой другой отрезок такой же длины с помощью скользящей симметрии.

Требуется по координатам двух различных точек A и B и двух точек A1 и B1, находящихся на таком же расстоянии друг от друга, как и точки A и B , найти скользящую симметрию, переводящую точку A в точку A 1, а точку B в точку B 1.

Входные данные

В первой строке входного файла находятся четыре целых числа – координаты двух различных точек A и В. Во второй строке также находятся четыре целых числа – координаты двух различных точек A 1 и В1. Гарантируется, что |A1B1| = |AB|. Все числа во входном файле по модулю не превышают 1000. Числа в строках разделены пробелом.

Выходные данные

Выведите в выходной файл описание искомой скользящей симметрии, которое представляется в следующем виде.

В первой строке должны выводиться координаты двух различных точек, лежащих на прямой l , относительно которой выполняется симметрия, а во второй – координаты вектора, параллельного этой прямой, на который осуществляется перенос. Вещественные числа должны быть представлены не менее чем с 6 знаками после десятичной точки.

Доказательство единственности инвариантной прямой в скользящей симметрии

ishyfaq.ru

Скользящая симметрия, или симметрия глиссирования, является одним из фундаментальных понятий геометрии. Она заключается в том, что существует такая фигура, называемая инвариантной прямой, которая остается неизменной при переносе объекта симметрии на определенное расстояние в определенном направлении.

Доказательство единственности инвариантной прямой является важной задачей в математике. Оно позволяет определить, какая именно фигура является инвариантной при заданном типе симметрии. Для этого применяются различные методы и подходы, в зависимости от типа симметрии и сложности фигуры.

В общем случае, для доказательства единственности инвариантной прямой необходимо рассмотреть все возможные прямые и проверить, на каких из них выполняется условие инвариантности. Это может быть достаточно сложной задачей, особенно если фигура имеет многоугольную или криволинейную форму.

Однако существуют и некоторые общие приемы и свойства, которые позволяют значительно упростить доказательство. Например, если фигура имеет осевую симметрию, то инвариантная прямая всегда будет проходить через ось симметрии. Кроме того, некоторые геометрические конструкции (например, прямые, пересекающиеся под прямым углом) также могут служить инвариантными прямыми при определенных условиях.

В целом, доказательство единственности инвариантной прямой является сложной и интересной задачей, которая требует глубокого понимания геометрии и умения применять различные методы и подходы. Она имеет важное значение как для теоретической математики, так и для практических приложений, например, при проектировании или изготовлении симметричных объектов.

Сущность скользящей симметрии

Скользящая симметрия — это одно из понятий, используемых в геометрии, которое описывает преобразование фигуры путем параллельного сдвига.

При скользящей симметрии фигура сохраняет свою форму и размеры, но перемещается вдоль параллельной прямой без изменения направления и поворота. Такое преобразование переводит точки фигуры из одного положения в другое, при этом строится прямая, называемая инвариантной прямой.

Скользящая симметрия может быть представлена в виде следующей таблицы:

Исходная точка Скользящая симметрия
A A’
B B’
C C’
D D’

Инвариантная прямая в данном случае проходит через точку A и точку A’. Каждая из точек B, C и D находится на определенном расстоянии от своих соответствующих точек B’, C’ и D’, поскольку фигура сдвигается параллельно инвариантной прямой.

Понятие инвариантной прямой

В математике, особенно в геометрии, инвариантная прямая — это прямая, которая остается неизменной при преобразованиях или операциях. Инвариантность означает, что некоторые свойства прямой сохраняются, даже если она подвергается различным изменениям.

Доказательство единственности инвариантной прямой в задаче о скользящей симметрии является одним из основных аспектов изучения этой темы. Это доказательство позволяет понять, почему при скользящем симметрическом преобразовании фигура исходной прямой будет иметь одну и только одну инвариантную прямую.

Для того чтобы понять и доказать единственность инвариантной прямой, нужно использовать логику и математические методы. Первым шагом является определение исходной прямой и скользящей симметрии. Затем проводится рассуждение о том, какие изменения происходят с прямой при скользящей симметрии.

Важно отметить, что единственность инвариантной прямой для скользящей симметрии возможна только в определенных условиях. Например, если фигура не содержит других особых точек или линий, то единственная инвариантная прямая будет совпадать с исходной прямой.

Доказательство единственности инвариантной прямой играет важную роль в геометрии и математике в целом. Оно демонстрирует принципы и методы доказательства, а также помогает развить логическое мышление и аналитические навыки.

Наличие единственности

Доказательство единственности инвариантной прямой основано на свойствах скользящей симметрии и на том, что любая прямая, не совпадающая с инвариантной, должна скользить на некоторое расстояние вдоль оси симметрии.

Предположим, что такая прямая существует и обозначим ее как линию L. Если L не совпадает с инвариантной прямой, то существует такая точка P, которая принадлежит L, но не принадлежит инвариантной прямой. Пусть P’ — результат скольжения точки P вдоль оси симметрии.

Так как P принадлежит линии L, а линия L является инвариантной, точка P’ тоже должна лежать на линии L. Однако, так как точка P не принадлежит инвариантной прямой, она не может быть совмещена с точкой P’ скользящим движением, что противоречит определению скользящей симметрии.

Таким образом, мы получаем противоречие, и предположение о существовании другой линии, не совпадающей с инвариантной, отвергается. Следовательно, инвариантная прямая является единственной прямой, сохраняющейся при скользящей симметрии.

Доказательство уникальности

Чтобы доказать уникальность инвариантной прямой, предположим, что существуют две инвариантные прямые, и обозначим их как A и B. Наша задача состоит в том, чтобы показать, что A и B совпадают.

Возьмем произвольную точку C на прямой A и соединим ее с точкой D на прямой B.

Рассмотрим отрезки CA и CD. Поскольку A — инвариантная прямая, то все точки на ней обладают свойством скользящей симметрии относительно прямой A. То же самое справедливо для точек на прямой B.

Таким образом, отрезки CA и CD являются соответственно образами одного и того же отрезка AB при скользящей симметрии относительно A и B.

Далее, рассмотрим прямую AB, которая совпадает с прямой CD после скользящей симметрии относительно A и B.

Теперь рассмотрим еще одну точку E на прямой A. Проведем прямую EF, которая будет параллельна прямой AB.

Из свойств скользящей симметрии следует, что прямая EF будет перпендикулярна прямой A. То же самое справедливо и для прямой CD.

Таким образом, прямая EF будет перпендикулярна и прямой A, и прямой CD.

Но прямая EF также будет параллельна, и прямой AB. Из этого следует, что прямые AB и CD должны совпадать.

Следовательно, мы доказали, что если существуют две инвариантные прямые A и B, то они должны совпадать. Таким образом, инвариантная прямая определена единственным образом.

Примеры в природе

Скользящая симметрия и единственность инвариантной прямой, представляют собой концепции, которые можно наблюдать в различных аспектах естественного мира. Используя скользящую симметрию, мы можем обнаружить интересные связи и закономерности в природных явлениях.

Кристаллическая структура

Одним из наиболее примечательных примеров скользящей симметрии является кристаллическая структура различных веществ. Кристаллы могут иметь различные плоскости симметрии, некоторые из которых могут быть обнаружены при помощи скользящей симметрии.

  1. Например, графит — одна из форм углерода, имеет слоистую структуру, где каждый слой сдвинут относительно предыдущего на одно атомное расстояние. Этот сдвиг создает скользящую симметрию: если мы сдвинем весь кристалл на расстояние одного слоя, он будет выглядеть так же, как и до сдвига.
  2. Также можно упомянуть кристаллическую структуру льда, которая также обладает скользящей симметрией. Каждый слой льда имеет периодические молекулярные структуры, и сдвиг слоев создает скользящую симметрию.

Биологические структуры

В биологических системах также можно наблюдать примеры скользящей симметрии. Некоторые животные и растения имеют структуры, которые проявляют эту симметрию.

  • Например, наличие симметричных частей у животных часто связано с их скользящей симметрией. Некоторые виды червей имеют сегментированное тело, где каждый сегмент является симметричным относительно предыдущего.
  • Также можно отметить структуру листвы некоторых видов растений. Например, лилия Сентполия имеет симметричные листья, где каждый лист является симметричным относительно предыдущего.

Физические законы

Скользящая симметрия также находит свое применение в физических законах. Некоторые законы в физике могут быть объяснены и описаны с использованием этого принципа симметрии.

  • Примером может служить закон сохранения импульса в механике. Если системе придается некоторый импульс, то она сохраняет этот импульс при скользящих преобразованиях. Например, при движении по прямой, объект сохраняет свой импульс.
  • Еще одним примером является закон сохранения энергии. При скользящих преобразованиях система сохраняет свою энергию. Например, при движении тела в отсутствие внешних сил, энергия остается постоянной.

Эти примеры демонстрируют широкий спектр применения скользящей симметрии в природе. Она является важным инструментом для предсказания и объяснения различных явлений и связей между ними.

Вопрос-ответ

Как доказана единственность инвариантной прямой?

Единственность инвариантной прямой доказывается с использованием понятия скользящей симметрии. Для этого строятся две инвариантные прямые и доказывается, что они совпадают.

Какие понятия используются в доказательстве?

В доказательстве используется понятие скользящей симметрии, инвариантной прямой и векторной суммы.

Что такое скользящая симметрия?

Скользящая симметрия — это преобразование, при котором каждой точке пространства сопоставляется другая точка, полученная как векторная сумма данной точки и заданного вектора.

Почему инвариантная прямая всегда будет одна?

Инвариантная прямая всегда будет только одна, так как если бы было две инвариантные прямые, то каждая из них была бы инвариантной для некоторого ненулевого вектора, и их сумма тоже была бы инвариантной прямой.

Какие свойства имеет инвариантная прямая?

Инвариантная прямая имеет следующие свойства: она содержит начало вектора скользящей симметрии и ортогональна направляющему вектору симметрии.

3. Преобразования плоскости

§ 2. Движения плоскости. Примеры. Осевая симметрия и скользящая симметрия.

  1. Найти все инвариантные прямые осевой симметрии.

  1. На плоскости даны прямая и точка А, не лежащая на ней. Построить образ и прообраз окружности при осевой симметрии, для которой эти прямая и точка инвариантны.

  1. На плоскости даны два равных непараллельных отрезка. Построить образ и прообраз данной прямой при скользящей симметрии, переводящей один отрезок во второй.

  1. На плоскости даны две пересекающиеся прямые и точка А. При каких условиях существует скользящая симметрия, переводящая в , для которой точка А лежит на инвариантной прямой? Построить образ и прообраз данной точки при этой скользящей симметрии.

  1. Даны прямая и точки А, В, лежащие по одну сторону от прямой . На прямой найти точку М, такую, что была бы наименьшей.

  1. Построить квадрат , если его диагональ лежит на данной прямой , а вершины и лежат соответственно на данных окружностях и .

  1. Построить образ и прообраз данного угла при осевой симметрии, если известно, что данные прямая и окружность инвариантны.
  2. На плоскости даны две прямые и точка А. Построить образ и прообраз точки А при осевой симметрии, переводящей в .
  3. Построить образ и прообраз данного треугольника при скользящей симметрии, заданной инвариантной прямой и парой соответствующих точек .
  4. Построить образ и прообраз данной прямой при осевой симметрии, заданной инвариантной прямой и инвариантной точкой.
  5. Даны две равные окружности и . Существует ли скользящая симметрия, отображающая одну из этих окружностей на другую? Отметьте на окружностях соответственно по точке А и В. Укажите скользящую симметрию, отображающую окружность на окружность , при которой точка А отобразится в точку В.
  6. Построить образ и прообраз данной окружности при осевой симметрии, переводящей данный квадрат в себя. Сколько решений имеет задача?
  7. Дан острый угол и точка М внутри этого угла. Построить треугольник наименьшего периметра, у которого вершины А и В лежат соответственно на сторонах данного угла.
  8. Построить квадрат , если его диагональ лежит на данной прямой , а вершины и лежат соответственно на данных прямых и .
  9. Построить квадрат , если его диагональ лежит на данной прямой , а вершины и лежат соответственно на данной окружности и данной прямой .

  1. Записать формулы движения, имеющего единственную инвариантную точку и переводящего , а окружность в окружность .

  1. Найти уравнение образа прямой при движении, не имеющем инвариантных точек, при котором прямая и .

  1. Найти прообраз прямой при движении, имеющем инвариантную прямую и инвариантную точку .

  1. Написать формулы движения, имеющего единственную инвариантную прямую , при котором .

  1. На прямых и найти точки, которые являются соседними вершинами квадрата с центром в точке О(0,1).

  1. Найти уравнение образа прямой при движении с единственной инвариантной точкой, при котором точки , а .
  2. На плоскости дан квадрат . Составить формулы движений 1 рода, не имеющих инвариантных прямых, при которых квадрат переходит в себя, если , .
  3. Записать уравнения скользящей симметрии, при которой синусоида инвариантна.
  4. Написать формулы движения, имеющего одну единственную инвариантную точку, инвариантные прямые, и переводящего окружность в окружность .
  5. Написать формулы движения, имеющего инвариантную прямую и инвариантную окружность, заданные уравнениями и , соответственно. Найти уравнение прообраза прямой при этом движении.
  6. Написать формулы движения, единственная инвариантная прямая которого параллельна прямой и .
  7. Найти уравнение прообраза прямой при движении 1 рода, при котором прямая инвариантна, а прямая переходит в прямую .
  8. Найти образ точки при движении, не имеющем инвариантных точек и переводящем , а .
  9. Найти координаты прообраза точки при движении первого рода, для которого точка инвариантна, прямая переходит в прямую .
  10. Написать формулы движения 1 рода, при котором прямая , и точка инвариантна.
  11. Найти координаты вершин А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, если С(1,0), точка А лежит на прямой , а точка В принадлежит окружности .
  12. Найти координаты вершин квадрата , если уравнение прямой, содержащей его диагональ АС , а вершины В и принадлежат соответственно оси ординат и окружности .

  1. Определить род движения (вычислить определитель ).
  2. Найти количество инвариантных точек (в формулы движения подставить и решить систему уравнений . Количество ее решений равно количеству инвариантных точек движения).
  3. Посмотреть в таблицу §1.

Похожие документы:

Задание полуплоскости неравенством. Системы линейных неравенств на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Нормальное уравнение прямой

Документ

. смысл. 42. Ортогональные преобразования (изометрии) плоскости. 43. Ортогональные преобразования (изометрии) пространства . прямых на плоскости. Пополнение аффинной плоскости. Проективная плоскость. 46. Проективные преобразования плоскости. Связь с .

В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И Краткий конспект лекций (Для Блондинок) ЧАСТЬ 1

Решение

. Если А= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую. Собственные . Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано .

Программа аттестационных испытаний Математический факультет

Программа

. преобразованиях. Свойства аффинных преобразований плоскости. Вывод формул аффинных преобразований плоскости. Теорема о формулах аффинного преобразования. Перспективно-аффинные преобразования плоскости .

Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (1)

Основная образовательная программа

. второго порядка. 4. Преобразования плоскости. Преобразования, примеры. Группа преобразований, подгруппа группы преобразований. Движение плоскости. Примеры. Аналитическое выражение .

Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (2)

Основная образовательная программа

. второго порядка. 4. Преобразования плоскости. Преобразования, примеры. Группа преобразований, подгруппа группы преобразований. Движение плоскости. Примеры. Аналитическое выражение .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *