Как разложить на линейные множители

Метод разложения на множители, теория, практика

В этой статье мы разберем метод разложения на множители и с теоретической, и с практической стороны. Материал теоретической части объясняет, в каких случаях применяется метод разложения на множители, в чем он состоит и как обосновывается. Материал практической части содержит алгоритм решения уравнений методом разложения на множители и решение характерного примера с подробными пояснениями.

Когда применяется метод разложения на множители и в чем он состоит

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левой части которых находится произведение конечного числа выражений, а в правой – нуль, то есть, для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения. Например, он подходит для решения уравнений x 3 ·(x 2 −4)=0 , и т.п.

Метод разложения на множители состоит в переходе от решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 к решению совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений переменной x для исходного уравнения. Поясним на примерах. Согласно методу разложения на множители от решения уравнения x·(x+1)·(x+2)=0 следует перейти к решению совокупности трех уравнений x=0 , x+1=0 , x+2=0 на ОДЗ для исходного уравнения, которая в данном примере, очевидно, есть множество всех действительных чисел R . Еще пример: решение уравнения можно заменить решением совокупности двух уравнений , на ОДЗ переменной x для исходного уравнения, которая здесь определяется условиями .

Все сказанное в двух предыдущих абзацах полностью согласуется с информацией по теме из школьных учебников, например, с [1, с. 212-213].

В основе метода разложения на множители лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 составляют все решения совокупности , принадлежащие ОДЗ для уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 .

Докажем его в следующем пункте.

Обоснование

Обоснуем метод разложения на множители. Для этого достаточно доказать, что любой корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 является корнем совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 и что любой корень совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 , принадлежащий ОДЗ для исходного уравнения, является корнем уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 .

Начнем с доказательства первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 . Докажем, что x₀ является корнем совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 .

Так как x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , то f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 — верное числовое равенство. Известно, что произведение нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Значит, из равенства f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 следует, что f₁(x₀)=0 , и/или f₂(x₀)=0 , и/или …, f_n(x₀)=0 . А это означает, что x₀ является корнем хотя бы одного из уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 , а значит, является корнем совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 .

Переходим к доказательству второй части. Пусть x₀ – корень совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 , причем x₀ принадлежит ОДЗ переменной x для уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 . Докажем, что x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 .

Так как x₀ принадлежит ОДЗ переменной x для уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , то запись f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 имеет смысл. А так как x₀ – корень совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 , то x₀ – корень хотя бы одного из уравнений совокупности, значит, хотя бы одно из числовых равенств f₁(x₀)=0, f₂(x₀)=0, …, f_n(x₀)=0 является верным. Следовательно, f₁(x₀)·f₂(x₀)·…·f_n(x₀)=0 — верное числовое равенство. Из этого вытекает, что x₀ – корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 .

Алгоритм решения уравнений методом разложения на множители

Сформулированное и доказанное в предыдущих пунктах утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений методом разложения на множители. Чтобы решить уравнение f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 методом разложения на множители, нужно

Перейти к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 и найти ее решение,
Оставить корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, остальные отсеять как посторонние корни.

Стоит кратко пояснить второй шаг алгоритма. Переход от уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 в общем случае не является равносильным, то есть, среди корней совокупности могут быть корни, посторонние для исходного уравнения. Посторонними корнями для исходного уравнения являются все корни совокупности, выходящие за пределы ОДЗ для исходного уравнения. Именно поэтому алгоритм решения уравнений методом разложения на множители содержит второй шаг, предписывающий оставить лишь корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения. Заметим, что в данной ситуации отсеивание посторонних корней целесообразно проводить либо по ОДЗ (когда ОДЗ несложно найти в виде числового множества), либо по условиям ОДЗ (когда по этим условиям сложно или невозможно найти ОДЗ в виде числового множества).

Решение характерного примера

Обычно первое знакомство с методом разложения на множители происходит при изучении целых рациональных уравнений. Если в левой части целого рационального уравнения произведение нескольких выражений с переменной, а в правой части – нуль, то оно решается методом разложения на множители. С решением таких уравнений все обстоит особо просто: достаточно перейти к совокупности уравнений и найти ее решение. При этом даже не приходится заботиться об отсеивании посторонних корней, ведь ОДЗ для целых рациональных уравнений есть множество всех действительных чисел. Например, решение уравнения (x−2)·(x+1)=0 сводится к решению совокупности двух уравнений x−2=0 и x+1=0 . Решив эти линейные уравнения и объединив их решения, имеем решение исходного уравнения: 2 , −1 .

Позже изучаются иррациональные уравнения, и обязательно рассматривается решение иррациональных уравнений методом разложения на множители. Дальше идут тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения, и там вновь всплывает метод разложения на множители. Решения соответствующих примеров Вы без труда найдете на данном сайте. Наконец, к концу изучения школьного курса математики мы начинаем понимать, что метод разложения на множители позволяет справляться с уравнениями, в записи которых одновременно присутствуют самые разнообразные функции. Главное, чтобы уравнение имело вид f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 . Давайте решим подобное уравнение.

Решите уравнение

В заключение заметим, что часто метод разложения на множители требует предварительной подготовки, то есть, приведения уравнения к виду f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 . Например, уравнение сначала нужно привести к виду , а уже после этого действовать по методу разложения на множители. Впрочем, это скорее вопрос преобразования уравнений.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2008. — 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Как разложить на множители алгебраическое уравнение

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 23 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 96 967.

В этой статье:

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами. Разложение на множители используется для упрощения алгебраических уравнений, чтобы облегчить их решение. Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную.

Метод 1 из 3:

Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

Аналогично, вы можете рассматривать множители числа как его делители, то есть числа, на которые делится данное число.
Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей.
- Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.
- Например, член 12x может быть записан в виде произведения 12 и х. Вы также можете записать 12x как 3(4x), 2(6x) и т.д., разложив число 12 на наиболее подходящие вам множители.
  - Вы можете раскладывать 12x несколько раз подряд. Другими словами, вы не должны останавливаться на 3(4x) или 2(6x); продолжите разложение: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, что 3(4x)=3(2(2x)) и т.д.)
  - Пример. Разложите на множители уравнение 12х + 6. Во-первых, найдите НОД 12x и 6. 6 является наибольшим числом, которое делит и 12x, и 6, поэтому вы можете разложить данное уравнение на: 6(2x+1).
  - Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3).
  Как разложить на линейные множители
  
  Разложение на линейные множители является одной из фундаментальных операций в алгебре. Этот процесс позволяет представить сложное выражение в виде произведения простых множителей, что упрощает его анализ и решение различных задач. В данной статье мы рассмотрим подробный и понятный метод разложения на линейные множители.
  
  Зачастую разложение на линейные множители используется для упрощения алгебраических выражений, решения уравнений, факторизации многочленов и других задач. Этот процесс позволяет найти основные факторы, на которые можно разложить заданное выражение. Алгебраический метод разложения на линейные множители основывается на простых алгебраических операциях, таких как деление и факторизация.
  
  В процессе разложения на линейные множители необходимо учитывать основные принципы алгебры, такие как закон коммутативности и ассоциативности умножения, свойства дистрибутивности и действий с равенствами. Важно уметь распознавать линейные множители и знать основные признаки, по которым можно определить, что выражение можно разложить на линейные множители.
  
  Процесс разложения на линейные множители является важным инструментом, который применяется в различных областях математики и физики. Понимание этого метода позволяет эффективнее решать задачи и анализировать сложные выражения. В следующих разделах статьи мы подробно рассмотрим шаги разложения на линейные множители и приведем примеры его использования в различных ситуациях.
  
  Подробное руководство: как разложить на линейные множители
  
  Разложение на линейные множители является важным инструментом в алгебре. Оно позволяет представить сложное выражение в виде произведения простых множителей. В этом руководстве мы рассмотрим процесс разложения на линейные множители шаг за шагом.
  
  Первым шагом является прием факторизации. Возьмите выражение и попробуйте разложить его на наименьшие общие множители. Это может быть сделано путем выделения общих факторов или использования алгебраических методов, таких как разность квадратов или куба суммы.
  
  После факторизации выражения, нам нужно разложить каждый общий множитель на простые множители. Для этого мы используем метод пробного и ошибочного подхода, пробуя разложить общий множитель на простые числа. Мы продолжаем этот процесс до тех пор, пока все множители не будут простыми числами.
  
  По завершении процесса разложения, мы записываем выражение в канонической форме. В канонической форме все множители располагаются в порядке возрастания их степеней. Также, если у нас есть дублирующиеся множители, мы записываем их в виде степени их величины.
  
  Разложение на линейные множители является полезным инструментом для решения сложных алгебраических уравнений и нахождения точек пересечения графиков функций. Практика и отработка этого навыка помогут вам легче разбираться с подобными задачами.
  
  Теперь, когда вы знаете основы разложения на линейные множители, вы можете приступить к использованию этого метода для решения алгебраических задач и упростить сложные выражения.
  
  Что такое линейные множители?
  
  Линейные множители — это множители, которые являются линейными функциями или выражениями. Они играют важную роль в разложении многочленов на простые множители и позволяют упростить сложные выражения.
  
  Когда мы разлагаем многочлен на линейные множители, мы ищем такие выражения, которые делят многочлен без остатка. Каждый линейный множитель представляет собой многочлен первой степени, то есть выражение вида:
  
  ax + b
  
  где a и b — коэффициенты многочлена.
  
  Например, многочлен 2x^2 + 3x + 1 может быть разложен на линейные множители следующим образом:
  1. Выбираем первый линейный множитель, например x.
  2. Делим многочлен на этот множитель с помощью деления с остатком.
  3. Получаем новый многочлен, например 2x + 1.
  4. Повторяем шаги 1-3 с новым многочленом, пока не получим полное разложение.
  В итоге, разложение многочлена 2x^2 + 3x + 1 на линейные множители будет выглядеть так:
  
  (x + 1)(2x + 1)
  
  Разложение на линейные множители позволяет упростить многочлены, провести дальнейшие вычисления и решить уравнения. Это важное понятие в алгебре и математике в целом.
  
  Как разложить на линейные множители: шаг за шагом
  
  Разложение на линейные множители является важным математическим понятием и используется в различных областях алгебры. Этот процесс позволяет записать данное число или выражение в виде произведения его простых множителей.
  
  Шаги по разложению на линейные множители:
  1. Выберите число или выражение, которое вы хотите разложить.
  2. Проверьте, является ли это число или выражение простым. Если да, то разложение на линейные множители уже выполнено.
  3. Найдите один из делителей числа или выразите выражение в форме произведения.
  4. Повторяйте процесс разложения с полученными множителями до тех пор, пока все множители не будут простыми.
  - 24 можно разделить на 2 и получить 12.
  - 12 можно разделить на 2 и получить 6.
  - 6 можно разделить на 2 и получить 3.
  В итоге получаем разложение на линейные множители: 2 * 2 * 2 * 3 = 24.
  
  Итак, разложение на линейные множители может быть достигнуто путем последовательного деления числа на простые множители до тех пор, пока все множители не станут простыми числами.
  
  Как использовать многочлены для разложения на линейные множители
  
  Разложение многочлена на линейные множители является важным и полезным приемом в алгебре. Этот процесс позволяет представить сложный многочлен в виде произведения двух или более простых линейных выражений. Разложение на линейные множители позволяет нам лучше понять структуру многочлена и упростить его дальнейшие операции.
  
  Для разложения многочлена на линейные множители следует выполнить следующие шаги:
  1. Найдите все корни многочлена. Корень многочлена — это значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль. Для поиска корней многочлена может использоваться теорема Безу или другие методы, такие как метод декартовых знаков, синтетическое деление и т.д.
  2. После нахождения корней, каждый корень представляется в виде линейного множителя (x — a), где а — значение найденного корня. Если корень имеет кратность больше 1, то соответствующее количество таких множителей дописывается в разложение.
  3. Произведите упрощение полученного выражения, если это возможно. Некоторые множители могут быть исключены, если они сокращаются или приводят к нулю.
  4. Проверьте правильность разложения, раскрыв выражение, полученное после упрощения, и убедившись, что оно эквивалентно исходному многочлену.
  Разложение многочлена на линейные множители может быть полезным инструментом при решении уравнений, нахождении экстремумов, изучении асимптотического поведения функций и других задачах. Понимание этого процесса позволяет более глубоко изучить свойства многочленов и их взаимосвязи.
  
  Три примера разложения на линейные множители
  
  Разложение на линейные множители — это процесс разложения полинома на множители в виде произведения линейных выражений. В этом разделе мы рассмотрим три примера разложения на линейные множители и подробно разберем каждый из них.
  1. Пример 1: Разложим полином x^2 + 2x + 1 на линейные множители. Сначала находим корни этого полинома, решая уравнение x^2 + 2x + 1 = 0. Получаем единственный корень x = -1. Теперь разбиваем исходный полином на множители, используя найденный корень и теорему о корнях полинома. Получаем разложение на линейные множители: (x + 1)(x + 1).
  2. Пример 2: Разложим полином 3x^2 — 12x + 15 на линейные множители. Для начала выносим общий множитель. Получаем 3(x^2 — 4x + 5). Теперь разложим полученный полином на множители, используя формулу разложения квадратного трехчлена. Получаем разложение на линейные множители: 3(x — 1)(x — 5).
  3. Пример 3: Разложим полином x^3 — 2x^2 — 5x + 6 на линейные множители. В данном примере нам необходимо использовать метод синтетического деления для нахождения корней и разложения на множители. Производим синтетическое деление с возможными значениями корней, пока не найдем корень x = 2. После нахождения корня, разделим полином на (x — 2) с помощью синтетического деления. Получаем разложение на линейные множители: (x — 2)(x^2 + 4x — 3).
  Таким образом, мы рассмотрели три примера разложения на линейные множители и подробно разобрали каждый из них. Важно понимать, что разложение на линейные множители используется для упрощения полиномов и удобства работы с ними.
  
  Полезные советы для разложения на линейные множители
  
  1. Переписывайте выражения в виде произведения множителей.
  
  Для разложения на линейные множители важно представить выражение как произведение простых множителей. Смотрите на выражение и рассматривайте каждый его член отдельно, пытаясь выделить простые множители. Переписывайте их в виде произведения, применяя правило разложения.
  
  2. Применяйте правила разложения на простые множители.
  
  Основные правила разложения на линейные множители включают разложение на множители постепенно с учетом общего типа выражения. Например, для полиномов с двумя переменными разложение надо проводить по первой переменной, а затем по второй переменной.
  
  3. Используйте таблицу разложения на множители.
  
  Для эффективного поиска простых множителей можно использовать специальную таблицу разложения на множители. Эта таблица содержит все простые множители, которые можно встретить при разложении. Применение таблицы упрощает процесс разложения, так как позволяет быстро найти простые множители и провести разложение на более простые факторы.
  
  4. Используйте факторизацию для поиска простых множителей.
  
  Факторизация – это процесс нахождения простых множителей. Существуют различные методы факторизации, которые можно применять в зависимости от типа выражения. Использование факторизации позволит найти простые множители и разложить выражение на более простые факторы.
  
  5. Практикуйтесь и тренируйтесь в разложении.
  
  Чтобы научиться разбираться в разложении на линейные множители, вам потребуется практика. Тренируйтесь на различных типах выражений и пробуйте разбираться в их разложении. Чем больше практики вы получите, тем легче вам будет разложить выражение на линейные множители.
  
  6. Не бойтесь использовать дополнительные материалы.
  
  Если у вас возникают сложности с разложением на линейные множители, не стесняйтесь искать дополнительные материалы для изучения этой темы. Существует множество книг, статей и видеоуроков, где подробно объясняются правила и методы разложения на линейные множители. Используйте эти материалы для углубленного изучения и улучшения своих навыков разложения на линейные множители.
  
  Вопрос-ответ
  
  Как разложить на линейные множители выражение $2x^2 + 5x + 3$?
  
  Чтобы разложить выражение на линейные множители, нужно найти такие числа $a$, $b$ и $c$, чтобы выполнялось условие $2x^2 + 5x + 3 = (ax + b)(cx + d)$. В данном случае, можно заметить, что эти числа равны 2, 3 и 1 соответственно. Таким образом, разложение на линейные множители будет выглядеть как $(2x + 1)(x + 3)$.
  
  Как разложить число на множители
  
  Соавтором этой статьи является Taylor Klein, наш постоянный соавтор. Постоянные соавторы wikiHow работают в тесном сотрудничестве с нашими редакторами, чтобы обеспечить максимальную точность и полноту статей.
  
  Количество просмотров этой статьи: 74 520.
  
  В этой статье:
  
  Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. То есть любое число есть результат произведения его множителей. Умение раскладывать числа на множители – один из основных математических навыков, который необходим не только в математике, но и в других науках.
  
  Метод 1 из 2:
  
  Разложение на множители целых чисел
  - Рассмотрим число 12.
  - В нашем примере у числа 12 есть несколько множителей: 12*1; 6*2; 3*4. Таким образом, вы можем заявить, что множителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим пару множителей 6 и 2.
  - Четные числа легко разложить на множители, так как множителем любого четного числа является 2. 4 = 2*2, 26 = 13*2 и т.д.
  - В нашем примере мы разложили 12 на 2*6. Обратите внимание, что 6 можно разложить на множители: 3*2 = 6. Таким образом, вы можете заявить, что 12 = 2*(3*2).
  - В нашем примере вы разложили 12 на 2*(2*3). 2, 2, 3 — это простые числа. Их можно разложить на множители, например, 2=2*1 и 3=3*1, но это не имеет смысла (по крайней мере в большинстве задач).
  - Например, разложим на множители число -60.
    - -60 = -10*6
    - -60 = (-5*2)*6
    - -60 = (-5*2)*(3*2)
    - -60 = -5*2*3*2. Обратите внимание, что при разложении на множители отрицательного числа количество отрицательных множителей должно быть нечетным. Например, вы можете разложить число -60 и так: -5*2*-3*-2.
    Метод 2 из 2:
    
    Разложение на множители больших чисел
    - Разложим на множители число 6552.
    - В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой — 3276.
    - В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой — 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой — 819.
    - В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой — 273.
    - При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.
    - Продолжим вычисления в нашем примере:
      - Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой — 91.
      - Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой — 13.
      - Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой — 1. Ваши вычисления закончены.
      - В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).
      - Также важным является понятие простого числа – это число, которое имеет только два множителя: 1 и само себя. 3 — простое число, потому что его простые множители 1 и 3. С другой стороны, 4 имеет 2 в качестве простого множителя. Число, которое не является простым, называется составным . (1 — число, которое считается ни простым, ни составным — это особый случай.)
      - Наименьшие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.
      - Поймите, что одно число является множителем другого, большего числа, если оно «делит его полностью», то есть без остатка. Например, 6 является множителем 24, потому что 24 ÷ 6 = 4 (без остатка). С другой стороны , 6 не является множителем 25.
      - Если цифры в числе при их сложении делятся на 3 , то 3 является множителем этого числа. (819 = 8 +1 +9 = 18, 1 +8 = 9. Три — множитель девяти, так что 3 является множителем и 819.)
      - Помните, что мы рассматривали только «натуральные числа» — 1, 2, 3, 4, 5 . Мы не рассматривали отрицательные числа или дроби, которые могут быть описаны в других статьях.
      - Некоторые числа могут быть разложены более быстрыми способами, но этот метод работает каждый раз и, как дополнительный бонус, в ответе дает простые множители в порядке их возрастания.
      Предупреждения
      - Не делайте лишней работы. После того, как вы убрали неподходящий множитель, вы не должны рассматривать его далее. После того, как мы решили, что 2 не является множителем 819, нам не надо рассматривать 2 дальше в процессе вычисления.
      Похожие публикации:
      
      Trojan agent что это
      
      Как пустить трафик через wireguard на микротик
      
      Как увеличить разрядность мультиплексора
      
      Как увеличить шрифт в выпадающем списке excel