Как разложить функцию в ряд лорана

КАК РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА

Разложение функции в ряд Лорана — это представление функции в виде бесконечного степенного ряда, состоящего из отрицательных и неотрицательных степеней переменной. В простейшем случае ряд Лорана имеет вид:

где z₀ — точка, в которой разлагается функция, и коэффициенты a_n могут быть найдены по формуле:

Разложение функции в ряд Лорана имеет важное значение в анализе функций комплексного переменного. Это позволяет изучать поведение функции в окрестности сингулярности, такой как полюс или существенная особая точка.

Существует несколько способов разложения функции в ряд Лорана. Один из них — разложение по действительным и мнимым частям функции. Другой метод заключается в разложении функции в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки z₀ и дальнейшем рассмотрении главной части ряда Лорана.

Разложение функции в ряд Лорана полезно, например, для анализа функций, имеющих существенную особую точку или функций, которые имеют полюсы.

Основная идея при разложении функции в ряд Лорана — это представить функцию в виде суммы регулярной части и главной части функции. Регулярная часть обеспечивает аналитичность функции в окрестности точки z₀, а главная часть учитывает сингулярность функции в этой точке.

В заключение, разложение функции в ряд Лорана является важным математическим инструментом для исследования функций комплексного переменного в окрестности их особых точек и полюсов.

ТФКП. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z и в окрестности бесконечно удаленной точки

ТФКП. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки z=0 и бесконечно удаленной точки

ТФКП. Разложить в ряд Лорана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной точки.

Разложение в ряд Лорана в кольце

Разложение функции в ряд Лорана. Окрестность бесконечно удаленной точки

Ряд Лорана в кольце. Часть 1. Получить разложение функции по степеням z

4 ПРОСТЫХ ШАГА, ЧТОБЫ ЖИТЬ В РАДОСТИ 2023 Арктур СОВЕТ 9д,через Даниэль Скрентона

Найти ВСЕ РАЗЛОЖЕНИЯ функции в Ряд Лорана по степеням z и для них установить области сходимости.

EMBED

To add the widget to iGoogle, click here. On the next page click the «Add» button. You will then see the widget on your iGoogle account.

To embed this widget in a post on your WordPress blog, copy and paste the shortcode below into the HTML source:

For self-hosted WordPress blogs

To embed this widget in a post, install the Wolfram|Alpha Widget Shortcode Plugin and copy and paste the shortcode above into the HTML source.

To embed a widget in your blog’s sidebar, install the Wolfram|Alpha Widget Sidebar Plugin, and copy and paste the Widget ID below into the «id» field:

To add a widget to a MediaWiki site, the wiki must have the Widgets Extension installed, as well as the code for the Wolfram|Alpha widget.

To include the widget in a wiki page, paste the code below into the page source.

Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд , при этом функция предполагалась аналитической в точке , а ряд сходящимся в круге .

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд ряд по целым степеням разности . Такой ряд сходится в кольце и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце . Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку ; в частности, — окружность .

Имеют место следующие определения.

1. Ряд коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции .

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при , но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — называется правильной частью ряда Лорана ; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана : или .

3. При . Это — круг с выколотым центром. Точка — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При область есть внешность круга. В частном случае при — внешность круга . Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

Здесь совокупность неотрицательных степеней образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции в ряды Тейлора и Лорана.

Функцию нельзя разложить в ряд по степеням ни в окрестности точки (ряд Тейлора), ни в окрестности точки (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням и , поскольку точки — также точки ветвления. Разложения по степеням , где , возможны.

Функция же раскладывается по степеням и в ряд Тейлора в круге и в ряд Лорана в области (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце . Возможны разложения и по степеням и в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек .

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.

1. Функция, аналитическая в кольце , разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

где — радиус окружности (частный случай контура ), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки и окрестности бесконечно удаленной точки .

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге , разложение элементарной дроби записывается в виде

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга , изложение элементарной дроби записывается в виде

Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

Функция является аналитической всюду, кроме точек и , в частности: в круге , в кольце и в окрестности бесконечно удаленной точки (рис. 3.4).

В круге функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области , т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге — правильная часть. Получаем разложения:

Записываем окончательный результат:

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце .

Чтобы получить разложение в области — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Пример 3.32. Разложить функцию в ряд Лорана: а) по степеням ; б) по степеням .

а) Особыми точками функции являются точки и , причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к (рис. 3.5,а); расстояние между и равно единице, поэтому в круге функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от до другой особой точки равно трем, и в кольце данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням . Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену

Разложение в кольце

Разложение в области

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки . Поэтому разложения по степеням могут быть получены в круге и в вырожденном кольце — в области (рис. 3.5,б). Разложение в круге | — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области

Пример 3.33. Записать разложения функции в окрестностях особых точек.

Особыми точками дроби являются . Решим задачу для каждой особой точки .

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки получено в примере 3.31:

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями .

Запишем разложение в окрестности точки . Расстояние до другой особой точки — проколотая окрестность, которая записывается в виде (рис. 3.6).

В разложении исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все , кроме , и разложение имеет место в области . Второе слагаемое раскладываем в окрестности и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге . Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

Для точки задача решается аналогично (рис. 3.6):

Получаем ответ: — разложение функции в окрестности особой точки . Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции по степеням . Записать разложения в окрестностях особых точек.

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням . окрестности любой конечной точки ; окрестностью будет круг , где — наименьшее из расстояний от точки до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням функция может быть разложена в кольце , где и , а также во внешности круга, т.е. в области (рис. 3.7,а). Если , то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида , так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя , поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь , а именно имеет место равенство

Для разложения дроби по степеням используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности — особой точки.

В случае в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): . Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой , т.е. в области .

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом .

В случае разложения в окрестности главная часть разложения содержит одно слагаемое ; правильная получается от разложения дробей и по степеням .

Найдем эти разложения:

Пример 3.35. Разложить функцию и .

Оба разложения — разложения по степеням и получаются из основного разложения, а именно

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

В случае конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

Пример 3.36. Разложить по степеням функции: а) ; б) . С помощью полученных разложений найти .

Применяем основные разложения для

Таким образом, получаем результат: .

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при равна , а при .

Получаем или . Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

Получен результат: . Отсюда . Результат, как и в случае «а», можно записать в виде асимптотической формулы: .

Разложение функции в ряд Лорана: теория и применение

Разложение функций в ряды является одним из важнейших разделов математического анализа. Особое место в теории разложений занимают ряды Лорана — представление функций в виде бесконечных сумм членов с положительными и отрицательными степенями переменной. Изучение рядов Лорана позволяет глубже понять поведение функций, найти их приближенные значения, решать разнообразные прикладные задачи. В этой статье мы подробно рассмотрим теоретические основы рядов Лорана и их использование на практике.

Основные понятия теории рядов Лорана

Ряд Лорана представляет функцию f(z) в виде бесконечной суммы:

где z_0 — точка разложения, a_n — коэффициенты ряда. Ряд Лорана состоит из двух частей: регулярной с положительными степенями и особой с отрицательными.

Область сходимости ряда Лорана представляет собой кольцо вокруг точки разложения z_0. Чем ближе точка к z_0, тем быстрее сходится ряд.

Ряды Лорана тесно связаны с рядами Тейлора. Если в ряде Лорана отбросить особую часть, то получится ряд Тейлора функции в точке z_0.

Для разложения функции в ряд Лорана используется теорема Лорана. Она утверждает, что в кольце сходимости функция представима рядом Лорана, коэффициенты которого находятся по специальным формулам.

Условия разложения функции в ряд Лорана

Чтобы разложить функцию в ряд Лорана, должны выполняться следующие условия:

• Функция должна быть аналитической в кольце вокруг точки разложения.
• Точка разложения должна быть изолированной особой точкой функции.
• Необходимо исследовать особенности функции в этой точке.
• Должны выполняться условия сходимости ряда Лорана.

После проверки выполнения этих условий можно приступать к построению ряда Лорана для данной функции в выбранной точке.

Методы разложения в ряд Лорана

Существует несколько основных методов разложения функций в ряды Лорана:

1. Использование готовых разложений элементарных функций.
2. Представление функции в виде дроби и разложение на простейшие.
3. Применение производных и интегралов известных разложений.
4. Использование формулы Коши для нахождения коэффициентов.
5. Разложение по формуле Тейлора и последующее преобразование ряда.

На практике часто применяется комбинация разных методов в зависимости от вида функции и точки разложения.

Рассмотрим несколько конкретных примеров разложения различных функций в ряды Лорана.

Разложение рациональной функции

Пусть дана функция f(z) = 1/(z-1). Разложим ее в ряд Лорана вокруг точки z_0 = 0:

1. Точка z = 1 является полюсом 1-го порядка.
2. Главная часть ряда: A/(z-1), где A = lim (z-1)*f(z) при z->1 равно 1.
3. Получаем разложение: f(z) = 1/(z-1) = 1/z + 1.

Таким образом, ряд Лорана для данной функции имеет вид:

Разложение показательной функции

Разложим функцию f(z) = e^(1/z) вблизи точки z_0 = 0:

1. Используем готовое разложение e^x = сумма (1/n!)*x^n от n=0 до бесконечности.
2. Подставляем x = 1/z: f(z) = сумма (1/n!*z^n) от n=0 до бесконечности.

Получен ряд Лорана:

f(z) = сумма (1/n!*z^n) от n=0 до бесконечности

Аналогичным образом можно разложить многие другие элементарные и специальные функции, пользуясь известными формулами.

Особенности разложения рациональных функций

Рациональные функции имеют особенности в виде полюсов, поэтому их разложение в ряды Лорана имеет свои особенности.

При разложении рациональной функции R(z) = P(z)/Q(z), где P(z) и Q(z) — многочлены, выполняются следующие шаги:

1. Находятся нули многочлена Q(z) — точки полюсов R(z).
2. R(z) представляется в виде суммы простейших дробей с этими полюсами.
3. Каждая дробь разлагается в ряд Лорана в окрестности полюса.
4. Ряды всех простейших дробей суммируются.

Таким образом, любая рациональная функция может быть разложена в ряд Лорана, используя разложения простейших дробей A/(z-z_i).

Применение рядов Лорана

Ряды Лорана находят широкое применение в математике и ее приложениях.

Основные области использования:

• Приближенные вычисления значений функций.
• Асимптотический анализ функций.
• Решение дифференциальных уравнений.
• Разложения решений в теории возмущений.
• Приложения в физике и технике.

Зная ряд Лорана функции, можно эффективно исследовать ее свойства, вычислять значения, интегралы и производные. Это открывает широкие возможности для решения прикладных задач.

Свойства рядов Лорана

Ряды Лорана обладают следующими важными свойствами:

• Сумма ряда Лорана представляет исходную функцию в области сходимости.
• Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать почленно.
• С ростом номера члены ряда стремятся к нулю.
• Сумму ряда можно aproximate конечным числом членов.

Эти свойства позволяют эффективно использовать ряды Лорана для исследования функций и решения различных математических задач.

Сходимость рядов Лорана

Важнейшей характеристикой рядов Лорана является их сходимость. Существуют различные критерии сходимости:

• Признак Коши-Адамара.
• Исследование коэффициентов ряда.
• Сравнение с геометрическим рядом.
• Применение интегрального признака Коши.

Если ряд расходится, применяют методы ускорения сходимости: преобразование Абеля, метод Эйлера и др.

Для некоторых классов функций (например, мероморфных) можно получить условия сходимости рядов Лорана.

Исследование сходимости позволяет грамотно использовать ряды Лорана на практике.

Теоремы разложения в ряды Лорана

Существует ряд важных теорем, позволяющих получить условия разложения функций в ряды Лорана.

Теорема Лорана утверждает, что функция, аналитическая в кольце, представима там рядом Лорана. Другие теоремы дают достаточные условия для элементарных функций.

Также доказаны теоремы об единственности разложения функции в ряд Лорана при выполнении необходимых условий. Это важный результат, показывающий, что разложение функции однозначно определяется ее аналитическими свойствами.

История открытия рядов Лорана

Теория рядов Лорана была разработана в 19 веке французским математиком Пьером Симоном Лораном.

Он исследовал поведение аналитических функций в окрестности особых точек. Лоран доказал возможность разложения функций в ряды с положительными и отрицательными степенями.

Предшественниками Лорана были Эйлер, Даламбер, Коши. Их работы по теории степенных рядов послужили основой для открытия рядов Лорана.

После Лорана теория рядов интенсивно развивалась. Были доказаны теоремы сходимости, найдены новые области применения рядов Лорана.

Связь рядов Лорана с другими разложениями

Существует тесная связь между рядами Лорана и другими типами разложений функций.

Ряды Тейлора и Маклорена являются частными случаями разложений в ряды Лорана. Ряды Фурье также могут рассматриваться как ряды Лорана по системе тригонометрических функций.

Имеется связь рядов Лорана с ортогональными полиномами и специальными функциями. Ряды Лорана являются обобщением этих разложений.

Рассматриваются многомерные аналоги рядов Лорана, обладающие схожими свойствами. Таким образом, ряды Лорана тесно связаны со многими направлениями теории разложений.

Программная реализация рядов Лорана

Для практических вычислений с использованием рядов Лорана разработаны эффективные программные алгоритмы.

Существуют методы вычисления коэффициентов, оценки погрешности, ускорения сходимости рядов. Реализованы библиотеки и пакеты для языков программирования.

Примеры использования рядов Лорана в программах: вычисление специальных функций, решение дифференциальных уравнений, статистический анализ данных, обработка сигналов и изображений.

Программная реализация делает мощный математический аппарат рядов Лорана доступным широкому кругу прикладных задач.

Открытые проблемы теории рядов Лорана

Несмотря на глубокую проработанность теории, в ней остается еще много открытых вопросов.

Это вопросы сходимости рядов Лорана для различных классов функций, поиск наилучших приближений, обобщение на многомерный случай и др.

Изучение рядов Лорана продолжается и в наши дни, что свидетельствует о богатстве и глубине этой области математического анализа.

Вычисление вычетов функции с помощью рядов Лорана

Одно из важных применений рядов Лорана — это вычисление вычетов функции в изолированных особых точках.

Вычет функции определяется коэффициентом при отрицательной степени в ряде Лорана. Зная вычеты, можно вычислять интегралы с помощью формулы Коши.

Для рациональных и мероморфных функций вычеты в полюсах выражаются простыми формулами. Вычеты позволяют исследовать локальные свойства функции.

Применение рядов Лорана в квантовой механике

В квантовой механике ряды Лорана используются для решения уравнения Шредингера.

Решение уравнения Шредингера ищется в виде ряда по собственным функциям оператора. Этот ряд является рядом Лорана по ортонормированной системе функций.

Ряды Лорана позволяют находить энергетические уровни и волновые функции квантовых систем. Они широко используются в квантовой механике.

Ряды Лорана для решения дифференциальных уравнений

Ряды Лорана могут применяться для решения различных дифференциальных уравнений.

Решение дифференциального уравнения ищется в виде ряда Лорана с неопределенными коэффициентами. Затем коэффициенты находятся из дифференциального уравнения.

Этот метод позволяет получить решение в виде ряда Лорана, которое затем можно исследовать с помощью теории рядов.

Разложения в ряды Лорана по ортогональным полиномам

Системы ортогональных полиномов, такие как полиномы Чебышева или Лежандра, могут использоваться как базис разложения функций в ряды Лорана.

Коэффициенты ряда находятся с помощью скалярного произведения с ортогональными полиномами. Такие разложения сходятся быстрее классических рядов Лорана.

Ортогональные полиномы позволяют эффективно aproximate функции с помощью рядов Лорана. Этот подход широко используется на практике.

Обобщения рядов Лорана на многомерный случай

В многомерном случае возможно построение аналогов рядов Лорана — разложений функций по степеням расстояния до особой точки.

Для этого используются многомерные обобщения понятий кольца и особых точек. Степени заменяются на многомерные степенные функции.

Многомерные ряды Лорана применяются для решения дифференциальных уравнений в частных производных и других задач математической физики.

Разложение специальных функций в ряды Лорана

Многие специальные функции, такие как гамма-функция, функции Бесселя, можно представить в виде рядов Лорана.

Это позволяет исследовать их локальные свойства в окрестности особых точек, находить асимптотики, вычислять значения. Ряды ускоряют сходимость по сравнению с исходными представлениями.

Для разложения используются функциональные уравнения или дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют специальные функции.

Приближенные вычисления с помощью рядов Лорана

Ряды Лорана позволяют эффективно вычислять значения функций, используя конечное число членов разложения.

Погрешность вычислений может быть оценена с помощью известных неравенств для остаточных членов. Это дает преимущество по сравнению с прямым вычислением функции.

Ряды Лорана часто применяются в вычислительной математике для быстрого и точного вычисления значений функций.

Графическое представление рядов Лорана

Ряды Лорана можно проиллюстрировать графически, изображая вклад каждого члена ряда в сумму.

Регулярная часть формирует гладкую кривую, а особая часть добавляет характерные особенности в точке разложения.

Такое представление наглядно демонстрирует скорость сходимости ряда и влияние разных членов на форму функции.

Ряды Лорана в теории аналитической функции

В теории функций комплексного переменного ряды Лорана играют фундаментальную роль.

Они позволяют исследовать локальные свойства аналитических функций, классифицировать изолированные особые точки, изучать вычеты и особенности.

Многие важные понятия и методы этой теории, такие как вычеты, основаны на использовании рядов Лорана.

Области применения рядов Лорана

Ряды Лорана находят применение во многих областях:

• Математический анализ
• Теория функций комплексного переменного
• Дифференциальные уравнения
• Математическая физика
• Численные методы
• Обработка сигналов

Этот универсальный метод разложения функций используется для решения широкого круга прикладных задач.