Есть 27 монет известно что одна из них фальшивая
Перейти к содержимому

Есть 27 монет известно что одна из них фальшивая

  • автор:

Есть 27 монет известно что одна из них фальшивая

1. Переливаем молоко.Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью двух пустых бидонов: трехлитрового и пятилитрового.

1. Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое.
2. Переливаем из пятилитрового ведра 3 литра в трёхлитровое.
3. Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Итак, теперь трёхлитровое ведро пусто, в восьилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом — 2 литра молока.
4. Переливаем 2 литра молока из пятилитрового ведра в трёхлитровое, а потом наливаем 5 литров из восьмилитрового в пятилитровое. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом — 5, а в трёхлитровом — 2 литра молока.
5. Доливаем дополна трёхлитровое ведро из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом. Задача решена.

2. а) Есть 27 монет. Известно, что одна из них фальшивая (по весу тяжелее настоящих). Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
б) Можно ли определить фальшивую монету за три взвешивания, если монет 25?

Указание. Попробуйте сначала за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить из трёх монет одну фальшивую, если известно, что она тяжелее настоящих.

Решение. а) Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую; кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части.
б) Поступаем абсолютно аналогично, только в самом начале разбиваем монеты на 2 кучки по 9 монет и одну из 7 монет, а в случае надобности кучку из 7 монет разобьём на 2 кучки по 3 монеты и однy «кучку» из одной монеты.

3. а) Какие веса могут иметь четыре гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 15 на чашечных весах (гири можно ставить только на одну чашку)?

б) Какие веса могут иметь три гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10 на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки)? Приведите пример.

Решение. а) Достаточно гирек весом в 1, 2, 4 и 8 килограммов. В этом нетрудно убедиться, подобрав соответствующие примеры.

б) Нам понадобятся гирьки весом в 3, 4 и 9 килограммов. То, что этот набор действительно позволяет взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10, показывают следующие равенства: 1=4-3, 2=9-3-4, 3=3, 4=4, 5=9-4, 6=9-3, 7=3+4, 8=3-4+9, 9=9, 10=4+9-3.

4. Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а после переливания 26 литров из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором?

Ответ. Нет, нельзя.

Указание. Заметьте, если бы такое переливание было возможно, то во втором баке должно было быть больше чем 26 л бензина.

Решение. При таком переливании во втором баке должно было быть больше 26 л бензина, а в первом — ещё больше, чем во втором. Следовательно, даже если надо было бы наполнить только эти два бака, всё равно на это не хватило бы 50 л. Значит, разделить бензин так, как требуется в условии, невозможно.

5. Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и правильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?

Указание. Попробуйте поставить на одну чашку весов гирю в 1 кг и уравновесить весы.

Решение. Можно поступить, например, так: поставим на одну чашку весов гирю весом 1 кг и уравновесим весы крупой из мешка. Теперь снимем с весов эту гирю и вместо нее насыпем крупу. Когда этой крупы станет ровно 1 кг, весы окажутся в равновесии.

6. Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Указание. Обратите внимание: требуется определить фальшивую монету, при этом вовсе не требуется указывать, легче она, чем настоящие, или тяжелее.

Решение. Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии, значит, та монета, которая осталась, — настоящая. Кладём её на весы с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивая. Если же весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась, и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем настоящие. Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на весы — по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то обе монеты на них настоящие. Если весы не в равновесии, то обе монеты на столе настоящие. Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую — монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии, значит, фальшивая монета осталась на столе, а если не в равновесии, значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она или тяжелее).

7. Имеются чашечные весы со стрелками и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 2 грамма, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 1 грамму. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Решение. Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третьего — 3. из последнего — 10 монет. Всего 1 + 2 + 3 +. + 10 = 45 монет. Взвесим их. Если бы все они были настоящие, они весили бы 45 граммов, но в нашем случае они будут весить больше. Если фальшивая монета одна, то будет перевес 1 грамм, если две — 2 грамма, . если десять фальшивых монет — будет перевес 10 грамм. Таким образом, зная перевес, мы сразу определим количество фальшивых монет. А оно, в свою очередь, покажет нам номер мешка, в котором они лежат.

Дополнительные задачи 1

8. Есть три бидона емкостью 14 л, 9 л и 5 л. В большем бидоне 14 литров молока, остальные бидоны пусты. Как с помощью этих сосудов разлить молоко пополам?

Указание. Получите сначала 1 литр, а затем 2 литра в 9-литровом бидоне.

Решение. Приведем схему разливания молока (первое число — сколько литров в 14-литровом бидоне, второе — сколько в 9-литровом, третье — сколько в 5-литровом): 14 0 0 — 9 0 5 — 9 5 0 — 4 5 5 — 4 9 1 — 13 0 1 — 13 1 0 — 8 1 5 — 8 6 0 — 3 6 5 — 3 9 2 — 12 0 2 — 12 2 0 — 7 2 5 — 7 7 0 .

9. Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?

Ответ. Да. Причем меньшим числом взвешиваний обойтись нельзя.

Дополнительные задачи 2

10. Известно, что среди ста монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо!).

Решение. Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Затем возьмем более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче остальных, иначе — тяжелее остальных.

11. В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Указание. Попробуйте за три взвешивания найти суммарный вес трех яблок.

Решение. Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса (где-нибудь в тетради) и получим удвоенный вес трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.

  • ЗАДАЧИ
  • 5 класс
  • Вступительная олимпиада
  • Пути и переправы
  • Разрезания
  • Примеры и конструкции
  • Календарь, время, возраст
  • Математическая карусель 1
  • Рыцари и лжецы
  • Чётность
  • Графы
  • Математическая драка
  • Задачи на таблицы
  • Задачи о спичках
  • Шахматная раскраска
  • Математическая карусель 2
  • Взвешивания и переливания
  • Разрезания и замощения
  • Обратный ход
  • Олимпиада
  • Числовые неравенства
  • Среднее арифметическое
  • Логика
  • Куб и его развёртка
  • Задачи на движение
  • Турнир Архимеда
  • Арифметические ребусы
  • Перебор
  • Математические игры
  • Пространственное воображение
  • Доли
  • Принцип Дирихле
  • Домашнее задание 1
  • Домашнее задание 2
  • Домашнее задание 3
  • Домашнее задание 4
  • Домашнее задание 5
  • Домашнее задание 6
  • Домашнее задание 7
  • Домашнее задание 8
  • Домашнее задание 9
  • Домашнее задание 10
  • Домашнее задание 11
  • Домашнее задание 12
  • Домашнее задание 13
  • Домашнее задание 14
  • Домашнее задание 15
  • Домашнее задание 16
  • Домашнее задание 17
  • Домашнее задание 18
  • Домашнее задание 19
  • Домашнее задание 20
  • Домашнее задание 21
  • Домашнее задание 22
  • Домашнее задание 23
  • Домашнее задание 24
  • Домашнее задание 25
  • Домашнее задание 26
  • Домашнее задание 27
  • Домашнее задание 28

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Есть 27 монет известно что одна из них фальшивая

Дано 27 монет, из которых одна фальшивая, причём фальшивая монета легче настоящей.
Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Подсказка

Делите монеты на три равные группы.

Решение

Разделим монеты на три группы по девять монет и сравним массы двух из них. Если при этом на чашечных весах не получилось равенства, то фальшивая монета содержится среди девяти более лёгких монет. Если же получилось равенство, то фальшивая монета может содержаться только среди девяти монет, не принимавших участие во взвешивании. В любом случае, сделав одно взвешивание, мы нашли группу из девяти монет, среди которых обязательно есть фальшивая монета.
Разделим девять монет на три группы по три монеты и взвесим две из этих групп. Аналогично предыдущему после этого мы выделим группу из трёх монет, среди которых есть фальшивая. Наконец, последним взвешиванием сравним массы двух монет из этих трёх и определим фальшивую монету.

Источники и прецеденты использования

Среди 27 монет одна фальшивая.По виду ее отличить от остальных невозможно.

Определите фальшивую монету с помощью трех взвешеваний на весах с чашечками без гирь,если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая.

Лучший ответ

Легко. 1. Монеты делятся на три части : 9/9/9. Две части на весах, одна на столе. Взвешиваем. Если чашечки весов в равновесии — фальшивка на столе, если нет — на более тяжелой чашечке. 2. Делим на три части ту часть, где находится фальшивка : 3/3/3. Повторяем операцию взвешивания. Снова делим фальшивую часть на три : 1/1/1. 3. Последнее взвешивание показывает : фальшивая монета либо на столе (весы в равновесии), либо на более тяжелой чашке.

Остальные ответы

Легко. 1. Монеты делятся на три части : 9/9/9. Две части на весах, одна на столе. Взвешиваем. Если чашечки весов в равновесии — фальшивка на столе, если нет — на более тяжелой чашечке. 2. Делим на три части ту часть, где находится фальшивка : 3/3/3. Повторяем операцию взвешивания. Снова делим фальшивую часть на три : 1/1/1. 3. Последнее взвешивание показывает : фальшивая монета либо на столе (весы в равновесии), либо на более тяжелой чашке.

Есть 27 монет известно что одна из них фальшивая

0. Имеются чашечные весы и три монеты. Одна из монет фальшивая, она легче остальных. Как за одно взвешивание определить фальшивую монету?

Решение. Сравниваем любые две монеты. Если они равны, то третья фальшивая. Если не равны, то фальшивая более лёгкая.

1. а) Перед вами 9 монет, одна из них фальшивая (легче настоящих). Как за два взвешивания выяснить, какая монета фальшивая? б) Перед вами 81 монета, одна из них фальшивая (легче настоящих). Сколько взвешиваний понадобится, чтобы выяснить, какая монета фальшивая? в) А если монет 10, сколько взвешиваний понадобится?

Решение. а) Делим на три кучки по три монеты. Сравниваем между собой две из них, становится понятно, в какой кучке фальшивая монета. Этим мы свели задачу к задаче 0. б) Делим на три кучки по 27, две сравниваем, выясняем, в какой фальшивая. Её снова делим на три части и так далее. в) Минимум три взвешивания.

2. Есть три монеты, одна из них фальшивая (но нам неизвестно, легче она или тяжелее, чем настоящие). Как выяснить, какая монета фальшивая? Обойдитесь как можно меньшим количеством взвешиваний.

Решение. Сравниваем любые две монеты. Если они равны, значит, они настоящие. Если они разные, то сравниваем одну из них с третьей (которая уже точно настоящая), и понимаем, кто же фальшивый.

3. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?

Решение. Легко разделить 24 на две кучки по 12 кг, уравновесив весы. Потом одну из кучек делим ещё пополам, на кучки по 6 кг. Так же получаем 3 кг. Прибавляем их к одной из первых 12-ти килограммовых кучек, получаем 15. Осталось 9.

4. Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса? (Находить монету не надо.)

Решение. Делим на три кучки по 5 монет. Сравниваем две из них. Если они равны, то сравниваем любую из них с третьей, фальшивая монета точно там, так мы поймём, легче она или тяжелее. Если же 1 и 2 кучка неравны, то сравниваем одну из них с третьей (которая вся настоящая) и всё понимаем. Эта задача почти аналогична задаче 2.

5. Из пяти монет две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а другая — на столько же тяжелее настоящей.Объясните, как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.

Решение. Отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты. Возможны два случая. 1) Весы в равновесии. Так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше лежат обе фальшивые монеты. Следующим взвешиванием достаточно сравнить веса монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты — на весах. 2) Одна из чаш перевесила. Тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше, или обе монеты находятся в разных чашах. Вторым взвешиванием сравним веса монет в лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета — фальшивая. Если весы в равновесии, то отложенная монета — фальшивая (и она лёгкая). Аналогично, третьим взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета — фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).

6. Золотоискатель добыл 9 кг песка. Ему надо отмерить 2 кг песка с помощью весов с двумя чашами и одной гирей — 200 г. Как это сделать за 3 взвешивания? Если мы добиваемся равновесия путем пересыпания песка — это одно взвешивание. Есть пакеты для хранения песка.

Решение. Уравновешиваем весы всем песком, когда на одной чаше лежит гиря. Получаем на каждой чаше по 9200/2 = 4600, значит, на одной песка 4600, на другой 4400. Делим его пополам, получаем 2200. Ну и теперь отсыпаем песок так, чтобы уравновесить гирю, получаем 200. Остальное и есть наши два килограмма.

Дополнительные задачи

7. Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, — фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.)

Решение. Заметим, что три настоящие монеты также лежат подряд. Занумеруем монеты по кругу, например, двигаясь по часовой стрелке, числами от 1 до 7. На одну чашу весов положим монеты с номерами 1 и 2, а на другую — монеты с номерами 4 и 5. При таком взвешивании все четыре фальшивые монеты не могут оказаться на весах и при этом настоящих монет на весах — не более двух. Рассмотрим два случая. 1) Одна из чаш легче. Тогда на ней обе монеты фальшивые. 2) Весы находятся в равновесии. Тогда на каждой чаше весов — одна фальшивая монета и одна настоящая. Следовательно, монеты 6 и 7 — фальшивые.

8. Дан мешок сахарной пудры, чашечные весы и гирька в 1 г. Как за 5 взвешиваний отмерить 31 г сахарной пудры?

Решение. Первым взвешиванием отмеряем 1 г, вторым ещё 2 — уже есть 3. Третьим отмеряем 4, всего получаем 7. 4ым отмеряем ещё 8, получаем 15. 5ым отмеряем ещё 16, получаем 31.

9. В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Решение. Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса (где-нибудь в тетради) и получим удвоенный вес трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *