Доказать что прямые a и b параллельны

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Параллельные прямые: основные сведения

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 — 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b — y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 — 1 = t · ( — 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x — x 1 a x = y — y 1 a y и x — x 2 b x = y — y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x — 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y — 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , — 3 ) — нормальный вектор прямой 2 x — 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 — нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y — 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y — 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y — 4 2 ⇔ 1 · ( y — 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y — 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , — 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y — 2 0 = z + 1 — 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = — 3 — 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , — 3 ) и ( 2 , 0 , — 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 — 3 = t · — 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Параллельные прямые

Прямые AB и CD (черт. 57) будут параллельными. То обстоятельство, что они параллельны, выражают иногда письменно: AB || CD.

Теорема 34. Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей, параллельны.

Даны прямые CD и EF перпендикулярные к AB (черт. 58)

CD ⊥ AB и EF ⊥ AB.

Требуется доказать, что CD || EF.

Доказательство. Если бы прямые CD и EF не были параллельны, они пересеклись бы в какой нибудь точке M. В этом случае из точки M на прямую AB были бы опущены два перпендикуляра, что невозможно (теорема 11), следовательно прямая CD || EF (ЧТД).

Теорема 35. Две прямые, из которых одна перпендикулярна, а другая наклонна к третьей, всегда пересекаются.

Даны две прямые EF и CG, из которых EF ⊥ AB, а CG наклонна к AB (черт. 59).

Требуется доказать, что CG встретится с линией EF или что CG не параллельна EF.

Доказательство. Из точки C восставим к линии AB перпендикуляр CD, тогда при точке C образуется угол DCG, который станем повторять столько раз, чтобы линия CK упала ниже линии AB. Положим, что мы для этого угол DCG повторим n раз, как что

Подобным же образом отложим на прямой AB прямую CE тоже n раз так что CN = nCE.

Из точек C, E, L, M, N восставим перпендикуляры LL’, MM’, NN’. Пространство, содержащееся между двумя параллельными отрезками CD, NN’ и отрезком CN, будет в n раз больше пространства, заключающегося между двумя перпендикулярами CD, EF и отрезком CE, так что DCNN’ = nDCEF.

Пространство, заключающееся в угол DCK, содержит в себе пространство DCNN’, следовательно,

DCK > CDNN’ или
nDCG > nDCEF, откуда
DCG > DCEF.

Последнее неравенство может иметь место только тогда, когда прямая CG выйдет при своем продолжении из пределов пространства DCEF, т. е. когда прямая CG встретится с прямой EF, следовательно прямая CG не параллельна CF (ЧТД).

Теорема 36. Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой.

Даны две параллельные прямые AB и CD и прямая EF перпендикулярная к CD (черт. 60).

Требуется доказать, что EF ⊥ AB.

Доказательство. Если бы прямая AB была наклонна к EF, то две прямые CD и AB пересеклись бы, ибо CD ⊥ EF и AB наклонна к EF (теорема 35), и прямые AB и CD не были бы параллельны, что противоречило бы данному условию, следовательно, прямая EF перпендикулярна CD (ЧТД).

Углы, образуемые пересечением двух прямых третьей прямой. При пересечении двух прямых AB и CD третьей прямой EF (черт. 61) образуется восемь углов α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ . Эти углы получают особые названия.

1. Четыре угла α, β, ν и ρ называются внешними.
2. Четыре угла γ, δ, λ, μ называются внутренними.
3. Четыре угла β, γ, μ, ν и четыре угла α, δ, λ, ρ называются односторонними, ибо лежат по одну сторону прямой EF.

Кроме того, углы, будучи взяты попарно, получают следующие названия:

1. Углы β и μ называются соответственными . Кроме этой пары такими же соответственными углами будут пары углов: γ и ν, α и λ, δ и ρ.
2. П ары углов δ и μ , а также γ и λ называются внутренними накрест-лежащими .
3. Пары углов β и ρ , а также α и ν называются внешними накрест-лежащими .
4. Пары углов γ и μ , а также δ и λ называются внутренними односторонними .
5. Пары углов β и ν , а также α и ρ называются внешними односторонними .

Условия параллельности двух прямых

Теорема 37. Две прямые параллельны, если при пересечении их третьей у них равны: 1) соответственные углы, 2) внутренние накрест-лежащие, 3) внешние накрест-лежащие, и, наконец, если 4) сумма внутренних односторонних равна двум прямым, 5) сумма внешних односторонних равна двум прямым.

Докажем каждую из этих частей теоремы отдельно.

1-й случай. Соответственные углы равны (черт. 62).

Дано. Углы β и μ равны.

Требуется доказать, что AB || CD.

Доказательство. Если бы линии AB и CD пересекались в точке Q, то получился бы треугольник GQH, у которого внешний угол β равнялся бы внутреннему углу μ, что противоречило бы теореме 22, следовательно, прямые AB и CD не пересекаются или AB || CD (ЧТД).

2-й случай. Внутренние накрест-лежащие углы равны, то есть δ = μ.

Доказательство. δ = β как вертикальные, δ = μ по условию, следовательно, β = μ. То есть соответственные углы равны, а в этом случае линии параллельны (1-й случай).

3-й случай. Внешние накрест-лежащие углы равны, то есть β = ρ.

Доказательство. β = ρ по условию, μ = ρ как вертикальные, следовательно, β = μ, т. к. соответственные углы равны. Отсюда следует, что AB || CD (1-й случай).

4-й случай. Сумма внутренних односторонних равна двум прямым или γ + μ = 2d.

Доказательство. β + γ = 2d как сумма смежных, γ + μ = 2d по условию. Следовательно, β + γ = γ + μ, откуда β = μ. Соответственные углы равны, следовательно, AB || CD.

5-й случай. Сумма внешних односторонних равна двум прямым, то есть β + ν = 2d.

Доказательство. μ + ν = 2d как сумма смежных, β + ν = 2d по условию. Следовательно, μ + ν = β + ν, откуда μ = β. Соответственные углы равны, следовательно, AB || CD.

Таким образом, во всех случаях AB || CD (ЧТД).

Теорема 38 (обратная 37). Если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей прямой будут равны: 1) внутренние накрест-лежащие углы, 2) внешние накрест-лежащие, 3) соответственные углы и равны двум прямым 4) сумма внутренних односторонних и 5) сумма внешних односторонних углов.

Даны две параллельные прямые AB и CD, то есть AB || CD (черт. 63).

Требуется доказать, что все вышеописанные условия выполняются.

1-й случай. Пересечем две параллельные прямые AB и CD третьей наклонной прямой EF. Обозначим через G и Н точки пересечения прямых AB и CD прямой EF. Из точки O середины прямой GH опустим перпендикуляр на прямую CD и продолжим его до пересечения с прямой AB в точке P. Прямая OQ перпендикулярная к CD перпендикулярна и к AB (теорема 36). Прямоугольные треугольника OPG и OHQ равны, ибо OG = OH по построению, ∠ HOQ = ∠ POG как вертикальные углы, следовательно, OP = OQ.

Отсюда следует, что δ = μ, т. е. внутренние накрест-лежащие углы равны.

2-й случай. Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ = β, и μ = ρ, то β = ρ, т. е. внешние накрест-лежащие углы равны.

3-й случай. Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ = β, то и β = μ, следовательно, соответственные углы равны.

4-й случай. Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ + γ = 2d, то и μ + γ = 2d, т. е. сумма внутренних односторонних равна двум прямым.

5-й случай. Если AB || CD, то δ = μ.

Так как μ + ν = 2d, μ = δ = β, следовательно, ν + β = 2d, т. е. сумма внешних односторонних равна двум прямым.

Из этих теорем вытекает следствие. Через точку можно провести только одну прямую, параллельную другой прямой.

Теорема 39. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Даны три прямые (черт. 64) AB, CD и EF, из которых AB || EF, CD || EF.

Требуется доказать, что AB || CD.

Доказательство. Пересечем эти прямые четвертой прямой GH.

Если AB || EF, то ∠ α = ∠ γ как соответственные. Если CD || EF, то ∠ β = ∠ γ также как соответственные. Следовательно, ∠ α = ∠ β .

Если же соответственные углы равны, то прямые параллельны, следовательно, AB || CD (ЧТД).

Теорема 40. Одноименные углы с параллельными сторонами равны.

Даны одноименные (оба острые или оба тупые) углы ABC и DEF, их стороны параллельны, т. е. AB || DE, BC || EF (черт. 65).

Требуется доказать, что ∠ B = ∠ E.

Доказательство. Продолжим сторону DE до пересечения ее с прямой BC в точке G, тогда

∠ E = ∠ G как соответственные от пересечения сторон параллельных BC и EF третьей прямой DG.

∠ B = ∠ G как соответственные от пересечения параллельных сторон AB и DG прямой BC, следовательно,

Теорема 41. Разноименные углы с параллельными сторонами дополняют друг друга до двух прямых.

Даны два разноименные угла ABC и DEF (черт. 66) с параллельными сторонами, следовательно, AB || DE и BC || EF.

Требуется доказать, что ABC + DEF = 2d.

Доказательство. Продолжим прямую DE до пересечения с прямой BC в точке G.

∠ B + ∠ DGB = 2d как сумма внутренних односторонних углов, образуемых пересечением параллельных AB и DG третьей прямой BC.

∠ DGB = ∠ DEF как соответственные, следовательно,

∠ B + ∠ DEF = 2d (ЧТД).

Теорема 42. Одноименные углы с перпендикулярными сторонами равны и разноименные дополняют друг друга до двух прямых.

Рассмотрим два случая: когда А) углы одноименны и когда B) они разноименны.

1-й случай. Стороны двух одноименных углов DEF и ABC (черт. 67) перпендикулярны, т. е. DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Требуется доказать, что ∠ DEF = ∠ ABC.

Доказательство. Проведем из точки B прямые BM и BN параллельно прямым DE и EF так, что

Прямые эти также перпендикулярны к сторонам данного угла ABC, т. е.

BM ⊥ AB и BN ⊥ BC.

Так как ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, то

Вычтя из обоих частей равенства (а) по углу NBA, находим

Так как углы MBN и DEF одноименны и с параллельными сторонами, то они равны (теорема 40).

Из равенств (a) и (b) вытекает равенство

2-й случай. Углы GED и ABC с перпендикулярными сторонами разноименны.

Требуется доказать, что ∠ GED + ∠ ABC = 2d (черт. 67).

Доказательство. Сумма углов GED и DEF равна двум прямым.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC, следовательно,
GED + ABC = 2d (ЧТД).

Теорема 43. Части параллельных прямых между другими параллельными равны.

Даны четыре прямые AB, BD, CD, AC (черт. 68), из которых AB || CD и BD || AC.

Требуется доказать, что AB = CD и BD = AC.

Доказательство. Соединив точку C с точкой B отрезком BC, получим два равных треугольника ABC и BCD, ибо

BC — сторона общая,

∠ α = ∠ β (как внутренние накрест-лежащие от пересечения параллельных прямых AB и CD третьей прямой BC),

∠ γ = ∠ δ (как внутренние накрест-лежащие от пересечения параллельных прямых BD и AC прямой BC).

Таким образом, треугольники имеют по равной стороне и по двум равным углам, лежащим на ней.

Против равных углов α и β лежат равные стороны AC и BD, и против равных углов γ и δ — равные стороны AB и CD, следовательно,

AC = BD, AB = CD (ЧТД).

Теорема 44. Параллельные прямые на всем своем протяжении находятся на равном расстоянии друг от друга.

Расстояние точки от прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Чтобы определить расстояние каких угодно двух точек A и B параллельной AB от CD, из точек A и B опустим перпендикуляры AC и BD.

Дана прямая AB параллельная CD, отрезки AC и BD перпендикулярны к прямой CD, т. е. AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (черт. 69).

Требуется доказать, что AC = BD.

Доказательство. Прямые AC и BD, будучи обе перпендикулярными к CD, параллельны, а следовательно, AC и BD как части параллельных между параллельными, равны, т. е. AC = BD (ЧТД).

Теорема 45 (обратная 43). Если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.

Даны четыре пересекающиеся прямые, противоположные части которых равны: AB = CD и BD = AC (черт. 68).

Требуется доказать, что AB || CD и BD || AC.

Доказательство. Соединим точки B и C прямой BC. Треугольники ABC и BDC равны, ибо

BC — общая сторона,
AB = CD и BD = AC по условию.

AC || BD, AB || CD (ЧТД).

Теорема 46. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник ABC (черт. 70).

Требуется доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство. Проведем из точки C прямую CF параллельную стороне AB. При точке C образуется три угла BCA, α и β . Сумма их равна двум прямым:

α = B (как внутренние накрест-лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CF прямой BC);

β = A (как соответственные углы при пересечении прямых AB и CF прямой AD).

Заменяя углы α и β их величинами, получим:

BCA + A + B = 2d (ЧТД).

Из этой теоремы вытекают следующие следствия:

Следствие 1 . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних не смежных с ним.

Доказательство . Действительно, из чертежа 70,

Так как ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, то

Следствие 2 . В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна прямому.

Действительно, в прямоугольном треугольнике (черт. 40)

A + B + C = 2d, A = d, следовательно,
B + C = d.

Следствие 3 . В треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Следствие 4 . В равностороннем треугольнике каждый угол равен 2/3 d .

Действительно, в равностороннем треугольнике

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

• накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
• односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
• соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: (Рис.8).

Докажем, что .

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, . Тогда и .

означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны.

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например (Рис.11).

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то . Тогда из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны.

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например (Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. . Из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.

• Точка (геометрия)
• Прямая
• Луч (геометрия)
• Угол
• Отрезок
• Серединный перпендикуляр к отрезку
• Ломаная
• Пропорциональные отрезки
• Аксиома параллельных прямых
• Смежные углы. Свойства смежных углов
• Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов
• Перпендикулярные прямые
• Перпендикуляр к прямой
• Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
• Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
• Биссектриса угла. Свойства
• Теорема Пифагора онлайн
• Теорема, обратная теореме Пифагора
• Теорема Фалеса. Доказательство
• Треугольники. Признаки равенства треугольников
• Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников
• Биссектриса треугольника онлайн
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
• Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство
• Высота треугольника онлайн
• Теорема Стюарта. Доказательство
• Теорема синусов. Доказательство
• Теорема косинусов. Доказательство
• Решение треугольников онлайн
• Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор
• Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор
• Сумма углов треугольника
• Внешний угол треугольника
• Виды треугольников
• Соотношения между сторонами и углами треугольника
• Неравенство треугольника
• Средняя линия треугольника
• Теорема Менелая
• Окружность, описанная около треугольника
• Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
• Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
• Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
• Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
• Окружность, вписанная в треугольник
• Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
• Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
• Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
• Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
• Окружность и круг. Онлайн калькулятор
• Взаимное расположение прямой и окружности
• Касательная к окружности
• Центральный угол окружности. Градусная мера дуги окружности
• Вписанный угол окружности
• Квадрат. Онлайн калькулятор
• Прямоугольник. Онлайн калькулятор
• Параллелограмм
• Ромб
• Сторона ромба онлайн
• Высота ромба онлайн
• Площадь ромба онлайн
• Диагонали ромба онлайн
• Трапеция. Определение, виды, свойства
• Четырехугольник
• Четырехугольник, вписанный в окружность
• Окружность, вписанная в четырехугольник
• Многоугольник
• Площадь треугольника онлайн
• Площадь прямоугольного треугольника онлайн
• Площадь равностороннего треугольника онлайн
• Площадь равнобедренного треугольника онлайн
• Площадь квадрата онлайн
• Площадь прямоугольника онлайн

• Новые калькуляторы
• Инженерный калькулятор онлайн
• Решение треугольников онлайн
• Радиус описанной окружности около треугольника онлайн

Как доказать, что прямые параллельны: 3 простых способа

Знаете ли вы, что параллельные прямые никогда не пересекутся, даже если их продолжить до бесконечности? Это удивительное геометрическое свойство лежит в основе многих задач и доказательств.

Первый способ: равенство накрест лежащих углов

Для начала дадим определения основных понятий. Параллельными называются две прямые на плоскости, которые при любом продолжении не пересекаются. А секущей по отношению к двум прямым называется прямая, пересекающая эти прямые.

При пересечении двух прямых секущей образуются разные углы. В частности, выделяют накрест лежащие углы — это углы, вершины которых лежат по разные стороны от секущей.

И вот первый признак:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Как это доказать

Предположим, что прямые a и b не параллельны, то есть пересекаются в некой точке C. Разобьем плоскость секущей c на две полуплоскости. В одной из них находится точка C.

Затем построим треугольник, равный треугольнику ABC, но с вершиной C1 в другой полуплоскости. Получатся два треугольника с общими сторонами AB и AC1, имеющие равные углы с вершинами A и B (ведь углы ∠1 и ∠2 — накрест лежащие).

По признаку равенства треугольников эти треугольники равны. Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, а прямая BC1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C1 проходят две разные прямые a и b. Это противоречит аксиоме принадлежности, согласно которой через две точки может проходить одна прямая.

Таким образом, наше предположение неверно, и прямые a и b параллельны.

Пример использования первого признака

Даны прямые a и b и точки A и B, лежащие на этих прямых. Известно, что ∠1 = 60°, а ∠2 = 120°. Докажем, что прямые a и b параллельны.

Поскольку ∠1 = 60°, а ∠2 и ∠3 являются смежными вертикальными углами, то ∠3 = 180° — 120° = 60°. Получаем, что ∠3 = ∠1. Это накрест лежащие углы. Следовательно, по первому признаку прямые a и b параллельны.

Итак, мы рассмотрели первый довольно простой способ доказательства параллельности прямых с помощью углов. Эффективно использовать его в тех случаях, когда в условии задачи уже даны равные или легко вычисляемые накрест лежащие углы.

Второй способ: равенство соответственных углов

Кроме накрест лежащих углов, при пересечении двух прямых секущей образуются еще и соответственные углы — это углы, лежащие по одну сторону от секущей. Например, на рисунке углы ∠1 и ∠5 являются соответственными:

И второй признак параллельности звучит так:

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Как доказать второй признак?

Воспользуемся свойствами вертикальных углов. Поскольку ∠1 = ∠2, а ∠2 равен вертикальному ему углу ∠3 как смежному, получаем, что ∠1 = ∠3. Но углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими. Поэтому по первому признаку прямые a и b параллельны.

Таким образом, при наличии в условии задачи равных соответственных углов, всегда можно свести ситуацию к первому признаку параллельности через равенство вертикальных углов.

Третий способ: сумма односторонних углов равна 180°

Помимо накрест лежащих и соответственных, при пересечении двух прямых секущей образуются еще и односторонние углы — углы, вершины которых лежат по одну сторону от секущей:

Для них справедлив следующий признак параллельности:

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство третьего признака

Поскольку ∠1 и ∠3 — смежные углы, их сумма равна 180°. Тогда ∠3 = 180° — ∠2. Но из условия ∠1 + ∠2 = 180°, значит ∠1 = 180° — ∠2. Получаем, что ∠1 = ∠3. Это накрест лежащие углы, поэтому по первому признаку прямые a и b параллельны.

Пример применения третьего признака

Даны три точки A, B и C. Известно, что угол ABC равен 40°, а угол ACB равен 50°. Доказать, что прямые AB и BC параллельны.

Поскольку углы ABC и ABD вертикальные и в сумме дают 90°, то ∠ABD=90°-40°=50°. Аналогично, ∠CBA=90°-50°=40°. Получаем, что ∠ABD + ∠CBA = 50° + 40° = 90° — это сумма односторонних углов относительно секущей AC. Значит, по третьему признаку прямые AB и BC параллельны.

Сравнительный анализ трех способов

Мы рассмотрели 3 основных признака, позволяющих доказать, что две прямые являются параллельными. Каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки. Давайте сравним их в виде таблицы:

Признак параллельности	Достоинства	Недостатки
1. Равенство накрест лежащих углов	Простота применения	Не всегда есть нужные углы
2. Равенство соответственных углов	Сводится к 1 признаку	Дополнительные построения
3. Сумма односторонних углов 180°	Работает всегда	Требует вычислений

Как видно, у каждого способа есть своя область эффективного применения. Первый удобен в простых случаях, второй требует дополнительных рассуждений, а третий всегда применим, но может потребовать вычислений.

Как выбрать лучший способ?

Чтобы определить, какой признак выгоднее использовать в конкретной задаче, рекомендую выполнить следующие шаги:

1. Внимательно изучить условие задачи, найти все имеющиеся углы
2. Попробовать сразу применить 1 или 3 признак
3. Если не получилось, рассмотреть возможность использования 2 признака
4. Выбрать оптимальный вариант с наименьшими дополнительными построениями

Следуя этой схеме, можно быстро определить лучший способ доказать, что в задаче прямые параллельны.