Доступ к сервису временно запрещён
С вашего IP-адреса одновременно поступает очень много запросов.
Такое поведение показалось подозрительным, поэтому мы временно закрыли доступ к сайту.
Возможно, на вашем устройстве есть программы, которые отправляют запросы без вашего ведома.
Что мне делать?
Напишите в службу поддержки через форму обратной связи.
Подробно опишите ситуацию — поможем разобраться, что случилось, и подскажем, как действовать дальше.
Сравнение чисел при решении уравнений, неравенств и задач с модулями
Они могут быть такими: \( 4\), \( -3\), \( 8\), \( 125\).
А могут быть и вот такими: \( \sqrt\), \( \left( 4-\sqrt \right)\), \( \frac<\sqrt[6]>+\frac>\).
Если числа не рациональные, а иррациональные, или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично.
Для этого нужно уметь их сравнивать.
Калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами \( 0,000001\)?).
Прочитай эту статью и все поймешь!
Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: \( 3>1\); \( -1>-3\); \( 0>-3\) и т.д.
Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим \( \sqrt\), \( \left( 4-\sqrt \right)\), \( \frac<\sqrt[6]>+\frac>\).
Как их сравнить, например, с числом \( 5\)? Вот в этом-то и загвоздка … )
Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.
Если надо сравнить числа \( a\) и \( b\), между ними ставим знак \( \vee \) (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): \( a\vee b\).
Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (\( >\text< или ><\)).
Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.
Суть сравнения чисел состоит в следующем:
Мы относимся к знаку \( \vee \) так, будто это какой-то знак неравенства.
И с выражением \( a\vee b\) мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами.
5 основных преобразований, применяемых при сравнении чисел
- Прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
- «Перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется 0
- Домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный
- Возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный
- Извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны
- Любые другие равносильные преобразования
Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся!
В ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.
5 вариантов сравнения дробей
- Приведение к общему знаменателю
- Приведение к общему числителю
- Вычитание одной дроби из другой
- Приведение к виду десятичной дроби
- Деление одной дроби на другую
Например, нам необходимо сравнить две дроби: \( 1,6\) и \( 1\frac\).
Давай разберем каждый вариант
Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю
Запишем \( 1,6\) в виде обыкновенной дроби:
\( 1,6=1\frac=1\frac\) — (как ты видишь, я также сократила на \( 2\) числитель и знаменатель).
Теперь нам необходимо сравнить дроби:
Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:
Способ 1. Числитель больше знаменателя
Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
Способ 2. Отбросьте единицу
«Отбросьте» \( 1\) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
Приводим их также к общему знаменателю:
Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?
Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:
Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
1) \( 104-95=9\)
2) \( 39-30=9\)
Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.
Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю
Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»
Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».
Например, ты же точно скажешь, что \( \frac\) Верно?
А если нам надо сравнить такие дроби: \( \frac\vee \frac\)?
Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае \( 6\) делят на \( 13\) частей, а во втором на целых \( 28\), значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: \( \frac>\frac\).
Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?
А знак-то тот же.
Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить \( 1\frac\)и \( 1\frac\). Будем сравнивать \( \frac\) и \( \frac\).
Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.
Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на \( 2\). Получим:
Какая дробь больше? Правильно, первая.
Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания
Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.
Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.
В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: \( 1\frac-1,6\).
Как ты уже понял, мы так же переводим \( 1,6\) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — \( 1\frac\) .
Наше выражение приобретает вид:
Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю.
Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:
Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.
Приводим к общему знаменателю:
Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит.
Правильно, первое число больше второго.
Вариант 4. Сравнение дробей с помощью приведения к виду десятичной дроби
Разобрался в предыдущем примере? А теперь попробуй сравнить дроби:
Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать.
Посмотри: \( 1\frac\) можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?
Это еще один вариант – сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.
Вариант 5. Сравнение дробей с помощью деления
Да, да. И так тоже можно.
Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от \( 0\) до \( 1\).
Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, \( 6\) и \( 4\). Ты же знаешь, что \( 6\) больше \( 4\)?
Теперь разделим \( 6\) на \( 4\). Наш ответ — \( 1,5\). Соответственно, теория верна.
Если мы разделим \( \displaystyle 4\) на \( 6\), что мы получим \( 0,\left( 6 \right)\) – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что \( \displaystyle 4\) на самом деле меньше \( 6\).
Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:
Разделим первую дробь на вторую:
Сократим на \( 2\) и на \( 4\).
Полученный результат меньше \( 1\), значит делимое меньше делителя, то есть:
Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как мы и говорили их пять.
Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом.
- \( 1,7\vee \frac\)
- \( \frac\vee \frac\)
- \( 2\frac\vee \frac\)
- \( \frac\vee \frac\)
Сравним ответы:
Доступ к сервису временно запрещён
С вашего IP-адреса одновременно поступает очень много запросов.
Такое поведение показалось подозрительным, поэтому мы временно закрыли доступ к сайту.
Возможно, на вашем устройстве есть программы, которые отправляют запросы без вашего ведома.
Что мне делать?
Напишите в службу поддержки через форму обратной связи.
Подробно опишите ситуацию — поможем разобраться, что случилось, и подскажем, как действовать дальше.
Как сравнивать числа с корнями
Алгоритм решения задач по алгебре на тему «Сравнение арифметических корней»
АЛГОРИТМ
«Срaвнение арифмeтичeских корнeй»
ПРИМЕР 1 . Сравните числа:
Решение.
ПРИМЕР 2 . (Сравнение суммы корней) Какое из чисел больше — (√5 + √6) или (2 + √7)?
Решение.
Ответ: первое число больше.
ПРИМЕР 3 . (Сравнение разности корней) Сравните числа:
Ответ: первое число меньше.
ПРИМЕР 4 . При каких значениях а равенство будет верным?
Решение.
Ответ: равенство будет верным при а = 19.
Вы смотрели алгоритм решения задач по алгебре на тему «Сравнение корней».
(c) В настоящей статье в учебных целях использованы цитаты из пособия «Алгоритмы — ключ к решению задач. Алгебра. 7-9 классы / Михайлова Ж.Н. — СПб.: Издательский дом Литера, 2018».
Добавить комментарий Отменить ответ
Математика 5 и 6 классов
- Натуральные числа. Признаки делимости. НОД и НОК
- Обыкновенная дробь
- Десятичная дробь
- Решение задач на дроби
- Решения задач на проценты
- Математика 6 класс: все темы, правила и формулы
- Числовые неравенства. Сравнение чисел
Алгебра 7 класс
- Формулы сокращенного умножения
- Разложение на множители
- Алгебраические дроби. Сокращение дробей
- Алгебра 7 класс Все формулы и определения
- Множества. Операции над множествами
- Статистические характеристики
- Степени. Свойства степеней
- Одночлены и действия над ними
- Многочлен и его стандартный вид
- Сложение и вычитание многочленов
Алгебра 8 класс
- Неравенства. Общие свойства
- Решение неравенств первой степени
- Решение систем неравенств первой степени
- Квадратные неравенства
- Алгебра 8 класс: все темы, правила и формулы
Алгебра 9 класс
- Понятие последовательности
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
Подготовка к ОГЭ
- Задание 1 ОГЭ по математике
- Задание 2 ОГЭ по математике
Алгоритмы решения задач
- Как извлечь квадратный корень
- Как сравнить два выражения
- Решение числовых неравенств
- Сравнение арифметических корней
О проекте
Сайт «УчительPRO» — некоммерческий школьный проект учеников, их родителей и учителей. Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie и других пользовательских данных в целях функционирования сайта, проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.
Возрастная категория: 12+
(с) 2019-2023 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!