Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник

Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник

Разделы

Дополнительно

МАТЕМАТИКА

• ВСЕ ЗАДАЧИ
• МЕХАНИКА
• – Кинематика
• – Динамика поступательного движения
• – Динамика вращательного движения
• – Статика
• ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

• ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
• ГИДРОСТАТИКА И ГИДРОДИНАМИКА
• ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
• ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
• КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
• АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

• ВСЕ ЗАДАЧИ
• — Элементарная математика
• — Элементарная арифметика
• — Элементарная алгебра
• — Теория элементарных функций и элементы анализа
• Высшая математика
• — Математический анализ

• — Теория вероятности и мат. статистика
• Геометрия
• — Планиметрия
• — Стереометрия
• Математическая логика
• — Комбинаторика
• — Теория графов

• ВСЕ ЗАДАЧИ
• — Неорганическая химия
• — Органическая химия

Задача по математике — 3636

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, длины всех сторон и диагоналей которого рациональны. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите, что длина отрезка $AO$ — рациональное число.

Задача по математике — 3637

На основании $AD$ трапеции $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что периметры треугольников $ABE, BCE$ и $CDE$ равны. Докажите, что $BC = AD/2$.

Задача по математике — 3646

Рассматривается выпуклый пятиугольник, у которого длины всех сторон равны.
а) Докажите, что внутри него найдется такая точка, лежащая на наибольшей диагонали, из которой все стороны видны под углами, не превышающими прямого.
б) Докажите, что круги, построенные на его сторонах как на диаметрах, не покрывают пятиугольник целиком.

Задача по математике — 3649

$h_k$ — апофема правильного $k$-угольника, вписанного в круг радиуса $R$. Докажите, что

$(n+1) h_ — n h_n > R$.

Задача по математике — 3651

Дана окружность, ее диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре. Постройте на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$, для которых прямая $YC$ перпендикулярна прямой $XA$.

Задача по математике — 3653

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

Задача по математике — 3657

В остроугольном треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$, медиана $BM$ и высота $CH$ пересекаются в одной точке. Доказать, что угол $BAC$ больше $45^$.

Задача по математике — 3660

В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $О$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Докажите, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности.

Задача по математике — 3662

Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

Задача по математике — 3665

Вершины правильного $n$-угольника покрашены несколькими красками (каждая одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Задача по математике — 3667

а) Дан треугольник $A_1A_2A_3$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ — точки $B_3$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2$ и $A_3B_3C_3D_3$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2$ и $A_3C_3$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что если $A_1B_1 = A_2D_2$ и
$A_2B_2 = A_3B_3$, то $A_3B_3 = A_1D_1$ (рис.).
б) Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_n$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \cdots, A_nB_nC_nD_n$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2, A_3C_3, \cdots, A_nC_n$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что равны произведения длин

$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 \cdot \cdots \cdot A_nB_n = A_1D_1 — A_2D_2 \cdot \cdots \cdot A_nD_n$.

Задача по математике — 3669

В квадрате со стороной 1 расположено несколько кругов, диаметр каждого из которых меньше 0,001. Расстояние между любыми двумя точками любых двух кругов не равно 0,001. Докажите, что общая площадь, покрытая кругами, не превышает 0,34.

Задача по математике — 3672

Проекции тела на две плоскости — круги. Докажите, что эти круги имеют равные радиусы.

Задача по математике — 3674

а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
в) Докажите, что все прямые, делящие одновременно и площадь, и периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Задача по математике — 3681

В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $AD, N$ — середина стороны $BC$. На продолжении отрезка $DC$ за точку $D$ берется точка $P$. Обозначим точку пересечения прямых $PM$ и $AC$ через $Q$. Докажите, что $\angle QNM = \angle MNP$.

Пятиугольник, виды, свойства и формулы

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

Правильный многоугольник:

Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

Рис. 3. Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников .

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

Свойства правильного пятиугольника:

1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

Рис. 4. Правильный пятиугольник

3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

Рис. 5. Правильный пятиугольник

5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

Рис. 6. Правильный пятиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр пятиугольника O.

Рис. 7. Правильный пятиугольник

7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

Рис. 8. Правильный пятиугольник

8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.

Рис. 9. Правильный пятиугольник

Построение правильного пятиугольника:

Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Постройте точку C посередине между O и B.

5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Формулы правильного пятиугольника:

Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

Формулы площади правильного пятиугольника:

Формулы высоты правильного пятиугольника:

Формулы стороны правильного пятиугольника:

Формулы диагонали правильного пятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.

Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.

Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.

Сколько диагоналей имеет: а) шестиугольник; б) n-угольник?

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

Связанных вопросов не найдено

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,729
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

• Обратная связь
• Правила сайта

Решение олимпиады по математике 10 класс

Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.
Ответ. .
Решение. Если (а + 1) = 0, то уравнение будет линейным, и его корнем при а = -1 является х = 1. Подходит.
Если а > -1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

.
С учетом первого случая получаем ответ .

Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной из них стороной правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей окружности равен 10 см?
Ответ. .

Решение.

Рис1. Рис 2.
В этой задаче возможны два варианта расположения центра меньшей окружности: Снаружи и внутри большей окружности. Оба варианта расположения изображены на рисунках 1 и 2. В первом случае расстояние между центрами окружностей равно сумме длин высоты равнобедренного прямоугольного треугольника, из которых сложен вписанный квадрат, и высоты равностороннего треугольника, из которого сложен правильный вписанный шестиугольник. Во втором случае – их разность.
Так как диагональ квадрата является диаметром меньшей окружности, то длина стороны квадрата равна см, и равна длине общей хорды окружностей. Следовательно, радиус большей окружности равен см. Тогда длина первой высоты равна см, а длина второй высоты равна .

М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100 — х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

Число диагоналей выпуклого многоугольника считается по формуле: . (Можно считать этот факт известным). Составим и решим уравнение. . Таким образом, условию задачи удовлетворяет выпуклый двадцатитрехугольник.

Олимпиады по математике для 10 класса Математика 10 класс, вариант 1 вариант 2

Решения заданий олимпиады по математике для 10 класса вариант 1 вариант 2