Как проверить является ли множество линейным подпространством

Подпространство линейного пространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λx∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M=0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и L∩M=0, то и . Следовательно и . ■

• Линейное (векторное) пространство
• Подпространство линейного пространства
• Линейные операторы
• Эквивалентные матрицы

Примеры решений. Линейные пространства

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Решения задач: линейные пространства

Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:

Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.

Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^<\perp>$

Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $\overline$ угол $\alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|\overline|=1$ .

Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?

Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ \begin 2a & a+3b-2c\\ b & 5c\\ \end $$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Подпространства векторного пространства

Подпространство векторного пространства [ править ]

Пусть задано векторное пространство V над полем P и W ⊂ V , причём W ≠ ∅ .
Определение: W называется подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством над полем P.

Теорема 1: Критерий подпространства. Непустое множество W ⊂ V является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:

Доказательство

Если W является подпространством V, то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры.

Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2) ∀ x → ∈ W ( − 1 ) x → = − x → ∈ W >\in W\quad (-1)>=->\in W> , а значит 0 → = x → + ( − x → ) ∈ W >=>+(->)\in W> . Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на W, то W— абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на W задана операция умножения векторов на скаляры из P. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для W выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства V.

Замечание: Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием: ( ∀ α , β ∈ P ) ( ∀ x → , y → ∈ W ) α x → + β y → ∈ W >,>\in W)\quad \alpha >+\beta >\in W>

Примеры подпространств:

• Множество < 0 → >>\>> является подпространством в любом пространстве V.
• Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов.
• Докажите, применив критерий подпространства, что S = < ( a 1 , a 2 , . . . a n ) ∈ P n | ∑ k = 1 n a i = 0 >(a_,a_. a_)\in P^\sum _^a_=0>> — подпространство арифметического пространства P n .

Теорема 2: Пересечение любого семейства подпространств данного пространства V вновь является подпространством постранства V.

Доказательство

Пусть < V i >i ∈ I \>_> — произвольное семейство подпространств пространства V. Т.к. 0 → >> принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. ⋂ i V i ≠ ∅ V_\neq \varnothing > ). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля P и произвольные векторы x → >> и y → >> из ⋂ i V i V_> . Тогда, по критерию, ∀ i α x → + β y → ∈ V i >+\beta >\in V_> , а значит α x → + β y → ∈ ⋂ i V i >+\beta >\in \bigcap _V_> , следовательно, ⋂ i V i V_> — подпространство пространства V.

Линейная оболочка системы векторов [ править ]

Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

1. A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда L ( A ) ⊂ L ( B ) . (1)
2. A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B). (2)

Доказательство следует из предыдущего свойства

3 Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.

Доказательство

1. x → + y → = ( α 1 + β 1 ) a → 1 + ( α 2 + β 2 ) a → 2 + . . . ( α k + β k ) a → k ∈ L >+>=(\alpha _+\beta _)_+(\alpha _+\beta _)_+. (\alpha _+\beta _)_\in L> , так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
2. ( ∀ α ∈ P ) ( ∀ x → ∈ L ) α x → = α α 1 a → 1 + α α 2 a → 2 + . . . α α k a → k ∈ L >\in L)\quad \alpha >=\alpha \alpha __+\alpha \alpha __+. \alpha \alpha __\in L> , так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу A ∈ M m , n > . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается L_r(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается L_c(A). Обратите внимание, что при m ≠ n строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств P n и P m соответственно. Пользуясь утверждением (2) , можно придти к следующему выводу:

Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.

Подпространства линейного пространства

1. Условия 1, 2 в определении можно заменить одним условием: и любых чисел . Разумеется, что здесь и в определении речь идет о произвольных числах из того числового поля, над которым определено пространство 2. В любом линейном пространстве , состоящее из одного нулевого вектора пространства . Эти подпространства называются несобственными, а все остальные — собственными.

3. Любое подпространство линейного пространства является линейным подпространством, так как оно может оказаться незамкнутым по отношению к линейным операциям.

4. Подпространство линейного пространства 5. Размерность любого подпространства линейного пространства . Если же размерность подпространства равна размерности конечномерного пространства , то подпространство совпадает с самим пространством: , будем дополнять его до базиса пространства является базисом пространства 6. Для любого подмножества линейного пространства является подпространством .

В самом деле, если , т.е. является нулевым подпространством и . Пусть . Нужно доказать, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения его элементов и умножения его элементов на число. Напомним, что элементами линейной оболочки служат линейные комбинации векторов из . Так как линейная комбинация линейных комбинаций векторов является их линейной комбинацией, то, учитывая пункт 1, делаем вывод, что является подпространством . Включение — очевидное, так как любой вектор .

7. Линейная оболочка подпространства совпадает с подпространством , т.е. .

Действительно, так как линейное подпространство содержит все возможные линейные комбинации своих векторов, то . Противоположное включение следует из пункта 6. Значит, .

Примеры линейных подпространств

Укажем некоторые подпространства линейных пространств, примеры которых рассматривались ранее. Перечислить все подпространства линейного пространства невозможно, за исключением тривиальных случаев.

1. Пространство , состоящее из одного нулевого вектора пространства .

2. Пусть, как и ранее, — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямая принадлежит плоскости, то . Напротив, множество единичных векторов не является линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равное единице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.

3. В n-мерном арифметическом пространстве рассмотрим множество «полунулевых» столбцов вида с последними элементами, равными нулю. Сумма «полунулевых» столбцов является столбцом того же вида, т.е. операция сложения замкнута в . Умножение «полунулевого» столбца на число дает «полунулевой» столбец, т.е. операция умножения на число замкнута в . Поэтому , причем не является линейным подпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который не принадлежит рассматриваемому множеству. Примеры других подпространств приводятся в следующем пункте.

4. Пространство решений однородной системы уравнений с неизвестными является подпространством n-мерного арифметического пространства . Размерность этого подпространства определяется матрицей системы: .

Множество решений неоднородной системы (при ) не является подпространством , так как сумма двух решений неоднородной ; системы не будет решением той же системы.

5. В пространстве квадратных матриц порядка л рассмотрим два подмножества: множество симметрических матриц и множество кососимметрических матриц. Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операция сложения замкнута в . Умножение симметрической матрицы на число также не нарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в . Следовательно, множество симметрических матриц является под пространством пространства квадратных матриц, т.е. . Нетрудно найти размерность этого подпространства. Стандартный базис образуют : л матриц с единственным ненулевым (равным единице) элементом на глав ной диагонали: , а также матрицы с двумя ненулевыми (равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали: . Всего в базисе будет матриц. Следовательно, . Аналогично получаем, что и .

Множество вырожденных квадратных матриц n-го порядка не является подпространством , так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться невырожденной матрицей, например, в пространстве

6. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами можно указать естественную цепочку подпространств

Множество четных многочленов является линейным подпространством , так как сумма четных многочленов и произведение четно го многочлена на число будут четными многочленами. Множество нечетных многочленов также является линейным пространством. Множество многочленов, имеющих действительные корни, не является линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов может получиться многочлен, который не имеет действительных корней, например, .

7. В пространстве можно указать естественную цепочку подпространств:

Многочлены из можно рассматривать как функции, определенные на и . Пространство тригонометрических двучленов является подпространством , так как производные любого порядка функции непрерывны, т.е. . Множество непрерывных периодических функций не является подпространством , так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодической функцией, например, .