как представить в виде смешанного числа выражение
На данном уроке мы продолжим разговор об обыкновенных дробях.
Выясним, какие числа называют смешанными, как их принято записывать и читать.
Установим связь между смешанными числами и правильными дробями.
Научимся переводить смешанное число в неправильную дробь.
Рассмотрим обратную операцию перевода неправильной дроби в смешанное число.
Определим расположение смешанных чисел на координатном луче.
Взаимосвязь между смешанным числом и неправильной дробью
Правильной называют дробь, в которой числитель меньше знаменателя, она всегда меньше единицы.
Неправильной называют дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, такие дроби всегда больше единицы.
Сегодня речь пойдет о неправильных дробях.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №1.
Разделили три конфеты на троих человек.
Сколько конфет получил каждый?
Известно, что обыкновенная дробь \(\mathbf >\) представляет собой математическую операцию деления m— объектов на n-частей, а дробную черту, которая отделяет числитель от знаменателя, применяют как знак деления.
Общее количество конфет (m = 3) разделим на количество человек (n = 3).
Запишем частное в виде дроби.
В результате получили неправильную дробь, в которой числитель равен знаменателю.
\(\mathbf = 3 \div 3 = 1>\) (конф.) получил каждый.
Ответ: каждый получил 1 конфету.
Пример №2.
Разделили поровну шесть конфет между тремя друзьями.
Сколько конфет получил каждый?
Общее количество конфет (m = 6) разделим на количество друзей (n = 3).
Запишем частное в виде дроби.
В итоге получилась неправильная дробь, в которой числитель больше знаменателя.
\(\mathbf = 6 \div 3 = 2>\) (конф.) получил каждый из друзей.
Ответ: по 2 конфеты получил каждый из друзей.
В рассмотренных примерах частное двух чисел найти было нетрудно, так как числитель дроби нацело делится на знаменатель.
Рассмотрим еще одну ситуацию.
Пример №3.
Два брата решили разделить поровну пять апельсинов.
Сколько апельсинов достанется каждому из братьев?
Общее количество апельсинов (m = 5) разделим на количество братьев (n = 2).
Запишем частное в виде дроби.
В данном примере мы получили неправильную дробь, в которой числитель хоть и больше знаменателя, но он не делится нацело.
Разделить пять апельсинов на две равные части можно двумя способами.
1. Можно разрезать каждый апельсин на две равные части.
Каждая полученная часть будет равна ½ апельсина.
Тогда по одной части от каждого апельсина достанется каждому из братьев.
Оба мальчика получат по пять таких частей: \(\mathbf + \frac + \frac + \frac + \frac >\)
Следовательно, каждый получит \(\mathbf >\) апельсина.
Если внимательно присмотреться к сумме дробей, можно заметить, что две части, т.е. сумма \(\mathbf + \frac >\) составляет \(\mathbf >\).
В свою очередь нам известно, что неправильная дробь \(\mathbf >\) равна единице: \(\mathbf = 2 \div 2 = 1>\).
Таким образом получится, что каждому мальчику достанется два апельсина, да еще половинка: \(\mathbf >\) апельсина.
2. Можно поделить поровну сначала целые апельсины.
В таком случае каждому брату достанется по два апельсина.
Затем оставшийся апельсин необходимо разделить поровну на двоих, так каждый получит еще по половине апельсина, т.е. (\(\mathbf >\)) его часть.
В результате оба брата получат по два целых апельсина, да еще половину: \(\mathbf >\) апельсина.
Такую сокращенную запись называют смешанным числом, оно имеет целую часть (натуральное число) и дробную часть (дробное число).
Дробная часть смешанного числа- это всегда правильная дробь.
Например, представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части.
\(\mathbf = 1 + \frac >\) (целая часть равна 1, дробная- \(\mathbf >\)).
\(\mathbf = 7 + \frac >\) (целая часть равна 7, дробная- \(\mathbf >\)).
\(\mathbf = 0 + \frac >\) (целая часть отсутствует, т.е. равна 0, дробная- \(\mathbf >\)).
А теперь наоборот сумму натурального числа и правильной дроби представим в виде смешанного числа.
Выразим в килограммах 3 килограмма 150 граммов.
Известно, что 1 кг = 1000 г.
Значит 150 г- это часть от килограмма, т.е. часть от 1000 г.
Чтобы узнать какую часть составляет 150 г от 1000 г, необходимо 150 разделить на 1000, получим \(\mathbf >\).
В итоге имеем 3 килограмма, да еще часть- \(\mathbf >\) килограмма, получаем \(\mathbf >\).
Ответ: 3 килограмма 150 граммов- это \(\mathbf >\) килограмма.
Число, содержащее целую часть (натуральное число) и дробную часть (правильную дробь), называют смешанным числом.
Читают смешанное число следующим образом: произносится сначала целая часть, затем дробная, в соответствии с правилами чтения дробных чисел.
В нашем примере про апельсины выражение \(\mathbf >\) можно записать как \(\mathbf >\).
Число 2— это целая часть смешанного числа, а число \(\mathbf >\) его дробная часть.
Читается данное число так: «Две целых одна вторая».
Любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь.
Выясним взаимосвязь смешанных чисел и неправильных дробей на примере.
Испекли три одинаковые пиццы.
От первой пиццы съели несколько кусочков, в результате от нее осталась часть, равная \(\mathbf >\) всей пиццы.
По сути осталось несъеденными 2 (две) целых да еще \(\mathbf >\) (пять восьмых) пиццы.
Если мы сложим эти два числа, то получим сумму \(\mathbf >\).
Выражение \(\mathbf >\) представляет собой ничто иное, как смешанное число \(\mathbf >\) (две целых пять восьмых).
Общее количество оставшейся пиццы мы можем определить иначе.
Возьмем так же три одинаковые пиццы и разрежем каждую на восемь равных частей.
Теперь вторую и третью пиццу мы можем представить в виде дроби \(\mathbf >\), а остаток от первой запишем как \(\mathbf >\).
В результате общее количество несъеденной пиццы будет выражаться суммой:
При этом ясно, что общее количество оставшейся пиццы, найденное первым способом и вторым, совпадают, значит \(\mathbf = \frac >\).
Запишем алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо:
1. Умножить целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Записать полученный результат суммы в числитель новой дроби.
4. Знаменатель оставить без изменений.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В буквенном виде перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать следующим образом:
Пусть А— целя часть смешанного числа.
\(\mathbf >\)- дробная часть смешанного числа.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №1.
Представьте смешанное число \(\mathbf >\) в виде дроби.
1. Умножим целую часть смешанного числа (число 6) на знаменатель его дробной части (число 5), получим число 30.
6 • 5 = 30
2. К полученному произведению (число 30) прибавим числитель дробной части смешанного числа (число 2), получим число 32.
3. Запишем полученную сумму (число 32) в числитель новой дроби, а знаменатель останется прежним (число 5).
Получили неправильную дробь \(\mathbf >\).
Пример №2.
Представьте смешанное число \(\mathbf >\) в виде дроби.
Умножим целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавим числитель дробной части, запишем полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставим без изменений.
Получили неправильную дробь \(\mathbf >\).
Пример №3.
Представьте смешанное число \(\mathbf >\) в виде дроби.
Умножим целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавим числитель дробной части, запишем полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставим без изменений.
Получили неправильную дробь \(\mathbf >\).
Возможна и обратная операция.
Неправильную дробь, в которой числитель нацело не делится на знаменатель, можно представить в виде смешанного числа.
Чтобы перейти от неправильной дроби к смешенному числу, необходимо выделить целую часть.
Выделить целую часть из неправильной дроби- это значит заменить неправильную дробь равным ей смешанным числом.
Для этого необходимо разделить с остатком числитель неправильной дроби на знаменатель.
При этом неполное частное будет являться целой частью, остаток- числителем, а делитель- знаменателем.
Знаменатель неправильной дроби всегда равен знаменателю дробной части смешенного числа.
Запишем алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
Чтобы перейти от неправильной дроби к смешанному числу, необходимо:
1. Разделить с остатком числитель неправильной дроби на ее знаменатель.
2. Неполное частное будет представлять собой целую часть смешанного числа.
3. Если остаток есть, то его необходимо записать в числитель дробной части смешанного числа, а делитель в знаменатель.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
На примере рассмотрим перевод неправильной дроби в смешанное число.
Выделим целую часть из неправильной дроби \(\mathbf >\).
Давайте выполним деление с остатком в столбик («деление уголком»).
Наибольшее число, которое меньше 37 и делится на 8— это 32.
32 разделим на делитель 8, получим 4-это неполное частное.
Вычтем из делимого числа 37 найденное наибольшее число 32, получим число 5— это остаток от деления.
По-другому деление с остатком можно записать так 37 ÷ 8 = 4 ( ост. 5 ).
В результате получим смешанное число \(\mathbf >\), в котором 4— целая часть, \(\mathbf >\)- дробная часть.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Смешанные числа на координатном луче
Выясним, где на координатном луче находятся смешанные числа.
1. Для того чтобы изобразить на координатном луче смешанное число, важно выбрать правильно длину единичного отрезка.
Единичный отрезок целесообразно устанавливать такой длины, чтобы было удобно его разделить на части, количество которых должно соответствовать числу, стоящему в знаменателе.
2. Далее от начала отсчета нужно отложить определенное количество равных частей, соответствующих числу, стоящему в числителе.
Рассмотрим поясняющий пример.
Отметим на координатном луче точку с координатой \(\mathbf >\).
\(\mathbf >\)— это смешанное число.
Данное смешанное число содержит правильную дробь со знаменателем 3.
Следовательно, единичный отрезок разобьем на три равные части, каждая такая часть (доля) будет равна \(\mathbf >\) единичного отрезка.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
В таком случае одна часть (доля единичного отрезка) соответствует дроби \(\mathbf >\), две части- это \(\mathbf >\), три части- это 1.
Чтобы изобразить смешанное число \(\mathbf >\), отсчитываем от начала координат два целых единичных отрезка, а от третьего единичного отрезка возьмем только две его доли из трех.
Отметим точку на координатном луче, назовем ее точка А(\(\mathbf >\)).
Переведем смешанное число в неправильную дробь.
Определим расположение точки с координатой \(\mathbf >\).
Дробь \(\mathbf >\) означает восемь долей единичного отрезка ОЕ.
Отложим от начала координат восемь долей, каждая из которых равна \(\mathbf >\) единичного отрезка.
Попадем в точку с координатой \(\mathbf >\).
В этой же точке мы ранее отметили точку А(\(\mathbf >\)).
Смешанное число и соответствующая ему неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, на координатном луче находятся всегда правее единицы и принадлежат они одной и той же точке координатного луча.
Определим расположение точек В(\(\mathbf >\)), С(\(\mathbf >\)), D(\(\mathbf >\)) на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
Так как знаменатель каждой заданной дроби равен трем, то разобьем единичный отрезок ОЕ на три равные части, каждая часть будет равна \(\mathbf >\) ОЕ.
1. Смешанное число \(\mathbf >\) представляет собой один целый единичный отрезок, да еще две части (доли) из трех от второго единичного отрезка.
Следовательно, точка В(\(\mathbf >\)) будет удалена вправо от начала координат на расстояние одного целого единичного отрезка, да еще двух отрезков, каждый из которых равен одной доле единичного отрезка.
В данную точку также мы можем попасть, если от начала координат вправо отсчитаем пять долей единичного отрезка- (\(\mathbf >\))ОЕ.
Таким образом точка с координатой \(\mathbf >\) и точка с координатой \(\mathbf >\) это одна и та же точка на координатном луче.
Отметим тот факт, что \(\mathbf >\) смешанное число и соответствующая ему неправильная дробь \(\mathbf >\) больше единицы, и на координатном луче данные точки располагаются правее единицы (правее точки E(1)).
2. Выясним, где на координатном луче будет находиться точка С(\(\mathbf >\)).
Смешанное число \(\mathbf >\) представляет собой два целых единичных отрезка, да еще одну часть (долю) из трех от третьего единичного отрезка.
Отметим точку С(\(\mathbf >\)) на координатном луче, для этого отсчитаем вправо от начала координат два целых единичных отрезка и еще одну долю единичного отрезка, равную \(\mathbf >\) ОЕ.
Так же в данную точку можно попасть, если от начала координат вправо отсчитать семь долей единичного отрезка- (\(\mathbf >\))OE.
Точка с координатой \(\mathbf >\) и точка с координатой \(\mathbf >\) это одна и та же точка на координатном луче.
Смешанное число \(\mathbf >\) и соответствующая ему неправильная дробь \(\mathbf >\) больше единицы, на координатном луче данные точки располагается правее единицы (правее точки E(1)) и правее найденной нами точки В(\(\mathbf >\)).
3. Обозначим на координатном луче точку D с координатой \(\mathbf >\).
\(\mathbf >\)- неправильная дробь, в которой числитель больше знаменателя.
Найдем соответствующее этой дроби смешанное число, для этого выделим из дроби \(\mathbf >\) целую часть.
Получается, что дробь \(\mathbf >\) равна четырем целым единичным отрезкам.
Дробная часть данного числа отсутствует, т.е. она равна нулю.
\(\mathbf >\) и 4— это одно и то же число, значит \(\mathbf = 4>\).
Отложим от начала координат четыре целых единичных отрезка и обозначим точку D(\(\mathbf >\)).
Обратите внимание как расположены смешанные числа на координатном луче, чем правее от единицы находится смешанное число, тем оно больше.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Смешанные дроби или смешанные числа.
Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.
Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?
Рассмотрим неправильную дробь \(\frac \)
Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.
После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.
Получаем дробь \(2\frac \), такие дроби называются смешанными. В этой смешанной дроби число 2 – целая часть, а \(\frac \) – правильная дробь.
Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.
Рассмотрим еще одну неправильную дробь \(\frac \)
Разделим ее столбиком:
Получили смешанную дробь \(15\frac \)
Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?
Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:
Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.
Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.
Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.
Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.
Пример №1:
Представьте дробь в виде смешанного числа: \(\frac \)
Решение:
Разделим дробь столбиком:
Ответ: Получили смешанную дробь \(29\frac \)
Пример №2:
Представьте число в виде неправильной дроби: а) \(9\frac \), б) \(1\frac \)
Решение:
а) \(9\frac = \frac = \frac \\\\\)
б) \(1\frac = \frac = \frac \\\\\)
Задача №1:
Миша готовился к экзамену. За месяц он решил 120 задач. За первую неделю Миша решил \(\frac \) от этого числа. Сколько задач решил Миша за первую неделю?
Решение:
У нас есть дробь \(\frac \), знаменатель равен 5 это значит, что общее число 120 надо разделить на 5 и получим сколько составляет одна часть.
\(120 \div 5 = 24\) задачи это одна часть или \(\frac \)
В числителе стоит 2, значит нам надо взять две части, поэтому 24 умножаем на 2.
\(24 \times 2 = 48\) задач
Ответ: за неделю Миша решил 48 задач.
Смешанные числа
Так можно записать любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель.
Дробная часть смешанного числа − это правильная дробь.
Научимся записывать неправильную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (находить) его целую и дробные части.
Заметим, что число 4 и есть ццелая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.
Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.
Любую неправильную дробь, у которой числитель нацело делится на знаемнатель, можно представить в виде смешанного числа.
Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель:
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часьт числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаемнатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
Отметим, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
Научимся вычитать смешанные числа, дробные части котрых имеют равные знаменатели. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то можно восспользоваться следующим правилом.
Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
Действия с дробями
Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
- Сложение дробей с разными знаменателями.
Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Например, слóжим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3. Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4. Найти значение выражения
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Сложим дроби и
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2. Найти значение выражения .
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2. Найти значение выражения
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.
Например, выражение можно вычислить двумя способами.
Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:
Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4 , поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:
Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:
Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:
А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменений:
Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.
Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:
Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
- обратным числа 2 является дробь
- обратным числа 3 является дробь
- обратным числа 4 является дробь
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
- для дроби обратной дробью является дробь
- для для дроби обратной дробью является дробь
- для дроби обратной дробью является дробь
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.
Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:
Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:
Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:
Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь
В обоих случаях получился один и тот же результат.
Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим первую дробь на число, обратное делителю:
Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:
Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:
Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5
Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.
Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.
Пример 3. Найти значение выражения
Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь
Допустим, имелось пиццы:
Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков
Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении на 6 получается
Деление числа на дробь
Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 1 на .
Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь
Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце» , то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь
Допустим, у нас имеются две целые пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах» , то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Например, разделим на
Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь
Допустим, имеется половина пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине» , то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:
Пример 1. Найти значение выражения
Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:
Пример 2. Найти значение выражения
Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:
Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.
Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.
Представить выражение в виде дроби
Как представить число в виде периодической цепной дроби
Вот, допустим, есть число \sqrt. Как его представить число в виде периодической цепной дроби.
Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби
Подскажите, пожалуйста, откуда берётся последняя, выделенная красным цветом импликация.
Представить дробь в виде обычной дроби
Данный бесконечный десятичных периодический дробь, период которого записано в скобках, представить.
Змеюка одышечная
9864 / 4595 / 178
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,556
nikolaj, перед дробью минус стоит, поэтому числитель умножается на -1
Хотя можно было сделать проще
как правильно представить выражение в виде дроби?
Помогите решить и напишите как вы решали. Заранее спасибо!
Голосование за лучший ответ
у первого выражения общий знаменатель 3х в третьей степени, короче ищи общий знаменатель и считай
Выполни действия и получишь нужную дробь, например, а) (x^2-3)/(3x^2)
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.