доказать равенство множеств
как доказать (A\B)⋂C = (A⋂C)\B
как расписать что A\B — это множество из А, но которые не принадлежат В, а знак пересечение (A⋂C) обозначает , что значения принадлежат одновременно и множеству А и множеству С. и тд
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Доказать равенство множеств с помощью основных законов алгебры множеств
Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду помощью основных .
доказать равенство множеств
Помогите решить задачу. Доказать равенство множеств: (A пересеченное C) / (B пересеченное D) = (A.
Регистрация: 04.12.2010
Сообщений: 28
Сообщение от nudepunk
как доказать (A\B)⋂C = (A⋂C)\B
Берем х из (A\B)⋂C=>x є (A\B) и х є C => (x є А) и (х не є В) и (х є C) =>(x є А и х є С) и х не є В =>(A⋂C)\B. В другую сторону аналогично.
А как тут можно формулы писать?
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Доказать равенство множеств
Помогите доказать равенство множеств (A\cap B) \setminus C = (A \setminus C)\cap (B \setminus C)
Доказать равенство множеств
Пусть A и B — множества. доказать, что A = B. 1. Берём произвольный элемент a ∈ A и.
Доказать равенство множеств
Путем преобразований доказать, что: А \ (В ∩ C) = (А \ В) ∪ (А \ C)
Доказать равенство множеств
Здравствуйте, дорогие ребята. Прошу вас помочь мне доказать парочку равенств множеств. Было у меня.
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач
Аксиома есть очевидная истина, не требующая доказательства.
Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства.
Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным.
Доказательство достигает своей цели, когда при помощи его обнаруживается, что данное предложение есть необходимое следствие аксиом или какого-нибудь другого предложения, уже доказанного.
Всякое доказательство основано на том начале, что при правильном умозаключении из истинного предложения нельзя вывести ложного заключения.
Состав теоремы. Всякая теорема состоит из двух частей, a) условия и b) заключения или следствия.
Условие иногда называют предположением. Оно дано и поэтому иногда получает название данного.
Обратная теорема. Предложение, у которого заключение данной теоремы делается условием, а условие заключением, называется теоремой обратной данной.
В таком случае данная теорема называется прямой.
Две теоремы в совокупности, прямая и обратная, называются взаимно-обратными теоремами.
Они находятся в таком взаимном отношении, что, выбрав любую из них за прямую, можно другую принять за обратную.
В двух взаимно-обратных предложениях одно из них вытекает как необходимое следствие другого.
Если в теореме мы обозначим условие буквой, стоящей на первом месте, а заключение буквой, стоящей на втором месте, то прямую теорему можно схематически представить выражением (Aa), а обратную выражением (aA).
Выражение (Aa) схематически представляет предложение: если имеет место A, то имеет место a.
Если для данного предложения (Aa) имеет место и теорема (aA), то обе теоремы (Aa) и (aA) называются взаимно-обратными теоремами.
Примером двух таких взаимно-обратных теорем могут послужить теоремы:
Первая теорема. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
Вторая теорема. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
В первой теореме данным условием будет равенство сторон треугольника, а заключением равенство противолежащих углов, а во второй наоборот.
Не всякая теорема имеет свою обратную.
Примером арифметического предложения, не имеющего своего обратного, может послужить следующая теорема. Если в двух произведениях множители равны, то и произведения равны.
Обратное предположение несправедливо. Действительно, из того, что произведения равны, не следует, что множители равны.
Примером геометрического предложения, для которого обратное предложение не имеет места, может послужить теорема: во всяком квадрате диагонали равны.
Предложение обратное этому будет: если диагонали четырехугольника равны, то он будет квадратом.
Это предположение неверно, ибо диагонали бывают равными не в одном квадрате.
Так как обратное предположение не всегда справедливо, то каждый раз обратное предложение требует особого доказательства.
В теории геометрических доказательств весьма важно иногда знать, когда данное предложение допускает свое обратное.
Для этой цели может послужить следующее правило обратимости. Когда в предположении всем возможным и различным условиям соответствуют все возможные и различные заключения, обратное предложение имеет место.
Рассмотрим для примера.
Прямое предложение. Если два треугольника имеют по две равные стороны, то третья сторона будет больше, равна или меньше третьей стороны другого треугольника, смотря по тому, будет ли угол между равными сторонами больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника.
В этом предложении трем различным и возможным предположениям об угле соответствуют три различных и возможных заключения о противолежащей стороне, поэтому, согласно с правилом обратимости, данная теорема допускает обратное предположение:
Когда два треугольника имеют по две равных стороны, угол между ними будет больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника, смотря по тому, будет ли третья сторона больше, равна или меньше третьей стороны данного треугольника.
Кроме обратной прямая теорема может иметь свою противоположную.
Противоположная теорема есть такая, в которой из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Противоположная теорема может иметь свою обратную.
Чтобы обобщить все эти теоремы, мы их представим схематически в следующей общей форме:
- Прямая или основная теорема.Если имеет место условие или свойство A, то имеет место заключение или свойство B.
- Обратная. Если имеет место B, то имеет место A.
- Противоположная. Если не имеет места A, то не имеет места B.
- Обратная противоположной. Если не имеет места B, то не имеет места A.
Следующие примеры поясняют на частных случаях взаимное отношение этих теорем:
- Прямая теорема. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
- Обратная теорема. Если две прямые параллельны, то при пересечении их третье, соответственные углы равны.
- Противоположная. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
- Обратная противоположной. Если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.
При геометрическом изложении теорем достаточно доказать только две из этих трех теорем, тогда остальные две теоремы справедливы без доказательства.
На этой связи теорем основан прием, по которому для доказательства обратной теоремы ограничиваются часто только доказательством теоремы противоположной.
Способы геометрических доказательств
Для доказательства геометрических теорем существует два основных способа: синтетический и аналитический.
Эти методы называют иногда сокращенно синтезом и анализом.
Синтез есть такой метод доказательства, в котором данное предложение является необходимым следствием другого, уже доказанного.
В синтезе цепь доказательств начинается с какого-нибудь известного предложения и оканчивается данным предложением. При доказательстве исходное предложение сопоставляется с аксиомой или с другим уже известным предложением. Синтетический способ удобен для вывода таких новых предложений, которые заранее не обозначены. Для доказательства же данного предложения он представляет много неудобств. В нем не видно: a) какую из известных теорем нужно выбрать для того, чтобы доказываемое предложение вытекало как ее необходимое следствие, и b) какое из следствий выбранного предложения приводит к доказываемому предложению.
Синтез называют поэтому не методом открытия новых истин, а методом их изложения.
Впрочем и при самом изложении теорем методом синтетическим является неудобство в том отношении, что не видно, почему за исходную истину в цепи доказательств выбрано то, а не другое предложение, то, а не другое его следствие.
Примером синтетического способа доказательства может послужить следующая теорема.
Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник ABC (черт. 224).
Требуется доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство. Проведем прямую DE параллельную AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно,
то, заменяя в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами, имеем:
A + B + C = 2d (ЧТД).
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, лежащих по одну сторону прямой.
Она поставлена в связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною.
Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Анализ есть способ обратный синтезу. В анализе цепь рассуждений начинается доказываемой теоремой и оканчивается какой-нибудь другой уже известной истиной.
Анализ является в двух видах. От доказываемого предложения мы можем перейти к предложению, служащему его ближайшим основанием или его ближайшим следствием.
Переходя от данного предложения к предложению, служащему его ближайшим основанием, мы смотрим на данное предложение как на необходимое следствие.
Переходя от данного предложения к его ближайшему следствию, мы смотрим на данное предложение как на основание для цепи умозаключений.
Первый способ анализа. Совершая анализ переходом к основанию, отыскивают то первое ближайшее предложение, из которого данное вытекает как необходимое следствие. Если это предложение было прежде доказано, то доказано и данное предложение, если же нет, то отыскивают второе предложение, служащее основанием для первого.
Такой переход к основанию следует продолжать до тех пор, пока не дойдем до предложения вполне доказанного. Данное предложение явится как необходимое следствие последнего доказанного предложения.
Обозначая каждое предложение буквой и ставя ее впереди или позади другой, смотря по тому, будет ли оно служить основанием или следствием другого предложения, мы схематически можем этот прием анализа выразить в виде
где M есть данное предложение, L его ближайшее основание, а H предложение, вполне доказанное. Если верно предложение H, то верно предложение K; если верно K, то верно L; если верно L, то верно и M.
Второй способ анализа состоит в переходе от данного предложения к его следствию. Этот прием применяют чаще, потому что легче находить необходимое следствие, нежели отыскивать основание какой-нибудь истины. По этому способу выводят из данного предложения ту теорему, которая служит его ближайшим следствием. Если это следствие есть предложение прежде доказанное, то на нем и останавливаются; если же нет, переходят к следующему ближайшему следствию и вообще продолжают такой последовательный вывод следствий до тех пор, пока не дойдут до предложения, вполне доказанного.
Если последнее предложение не верно, то и данное не верно, ибо неверное следствие нельзя получить из верного предложения.
Если же последнее предложение верно, то для убеждения в верности данного предложения требуется, чтобы были соблюдены некоторые условия.
Схематически этот прием анализа можно представить в виде
M — N — O — P — Q — R — S
где M данное предложение, N предложение, служащее его ближайшим следствием, а S то последнее предложение, в справедливости которого мы вполне убеждены.
Из двух предложений R и S, стоящих в такой связи, что если справедливо R, то справедливо и предложение S, мы, как известно, не всегда можем обратно заключать, что если справедливо S, то справедливо и предложение R.
Чтобы последнее заключение имело место, требуется, чтобы теоремы R и S были взаимно-обратными предложениями.
Итак, для того, чтобы убедиться, что теоремы R и S стоят в такой связи, что она удовлетворяет схеме R — S и схеме S — R, требуется доказать, что предложения R и S взаимно-обратны.
Таким образом, чтобы можно было по верности последнего предложения S заключить о верности данного предложения M, требуется доказать, что каждые два рядом стоящие предложения R и S, P и R, O и P, N и O, M и N удовлетворяют закону обратимости.
Если это доказано, то цепь предложений можно обратить, и рядом со схемой M — N — O — P — Q — R — S справедлива и схема
S — R — Q — P — O — N — M
по которой мы имеем право заключить, что если справедливо предложение S, то справедливо и предложение M.
Так как затруднительно всякий раз доказывать обратимость двух предложений, то этого избегают, соединяя способ аналитический с синтетическим. После того, как из предложения M выведено предложение S как его следствие, смотрят, нельзя ли обратно вывести предложение M как необходимое следствие предложения S.
Если синтез есть способ, называемый дедукцией или выводом, то анализ можно назвать редукцией (приведение, наводка).
Примером аналитического способа доказательства может послужить следующая теорема.
Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Доказательство. Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны (черт. 225). Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до предложения уже доказанного.
Сравнение синтеза с анализом. Способ аналитический вернее ведет к доказательству данной теоремы, ибо от данной теоремы легче переходить к его ближайшему основанию или следствию.
Хотя анализ лучше синтеза объясняет, почему выбран тот или другой путь для доказательства теоремы, однако неопределенность при доказательствах не устраняется вполне в том смысле, что при последовательных заменах одного предложения другим, мы не всегда можем дойти до предложения нам известного, ибо иногда не видно, какое из следствий или какое из оснований данного предложения нужно выбрать для того, чтобы его доказать. Затруднения увеличиваются еще больше, когда приходится для доказательства проводить новые вспомогательные прямые. Иногда трудно дать верные указания, какие из них облегчают доказательство данной теоремы.
Анализ, как и все логические приемы, только облегчает и помогает находить доказательство данного предложения, но не всегда необходимо ведет к самому доказательству.
Кроме этих прямых существует непрямой способ доказательства, известный под именем доказательства от противного или способа приведения к нелепости.
Способ доказательства от противного состоит в том, что для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
На этом основании это доказательство называется доказательством от противного. Оно достигает своей цели всякий раз, когда из двух предложений, данного и противоположного, одно непременно имеет место.
В этом случае для доказательства данного, допустив противоположное предложение, выводят из него такие следствия, которые противоречат аксиомам или теоремам, уже доказанным. Если одно из следствий этого предложения ложно, то и противоположное предложение ложно, а следовательно данное предложение справедливо.
Этот прием часто применяют для доказательства теорем обратных или противоположных данным.
Не трудно заметить, что этот способ есть второй способ анализа, в котором от данного предложения последовательно переходят к его следствиям.
Примером применения такого способа может послужить приведенное выше доказательство теоремы: против равных углов в треугольнике лежат равные стороны (теорема 26).
В геометрии также применяют способы, зависящие от самого содержания геометрических истин. Геометрические истины относятся к геометрическим протяжениям. Эти протяжения обладают определенными свойствами, подлежащим внешним чувствам. Геометрическое протяжение может рассматриваться как целое, доступное наблюдению внешними чувствами. Убедительности доказательства содействует и самое чувственное созерцание. Обойтись без него в геометрии невозможно.
К числу приемов, имеющих место в геометрии, принадлежат: способ наложения, способ пропорциональности и способ пределов.
Способ наложения состоит в том, что одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений, смотря по тому, совмещаются или не совмещаются ни при наложении.
Способ пропорциональности состоит в применении к геометрическим протяжениям свойств пропорций. Этот способ применяется при доказательстве теорем, относящихся к подобным фигурам и к пропорциональным отрезкам.
Способ пределов состоит в том, что вместо данных протяжений рассматривают свойства протяжений близких по своим свойствам к данному, и выводы, получаемые из рассмотрения одних, применяют к другим сходным протяжениям.
Способы решения геометрических задач
При решении геометрических задач синтез и анализ применяют точно так же как и при доказательстве теорем.
Решая задачу синтетически, берут такую другую задачу, которую умеют решить, потом из ее решения выводят решение следующей задачи, как ее необходимое следствие, и поступают так до тех пор, пока не доходят до решения данной задачи.
Синтетический метод решения задачи обладает всеми теми же недостатками, какими обладает и синтетический метод доказательства.
Поэтому чаще и успешнее для решения задач применяют анализ.
При решении задачи анализом заменяют данную задачу новой. Эту новую задачу будем называть заменяющей.
Если две задачи находятся в таком отношении, что условия второй есть необходимые следствия условий первой, то первую задачу будем называть начальной, а вторую — производной.
При анализе существуют два способа.
Первый способ. Заменяющую задачу выбирают так, чтобы условия данной задачи вытекали как необходимое следствие условий новой заменяющей задачи, т. е. по нашей терминологии от данной задачи переходят к первой начальной задаче. Если решение этой задачи известно, то решение данной является как необходимое следствие решения начальной задачи. Если же ее решение неизвестно, то от нее переходят ко второй, третьей начальной задаче и продолжают так поступать до тех пор, пока не получат задачу, решение которой известно.
Решив эту последнюю задачу, вместе с этим последовательно доходят и до решения данной задачи.
Второй способ. Можно переходить от данной задачи к такой другой, условия которой являются следствием условий данной, т. е. от данной задачи переходят к ее производной.
Заменяя таким образом последовательно одну задачу другой ее производной, мы можем дойти до задачи, решение которой уже известно. Решение этой задачи дает иногда возможность решить и данную задачу.
Такой переход от данной задачи к ее производной применяют чаще, ибо переходить к следствию легче, нежели подыскивать основание для какой-нибудь истины.
В этом частном случае анализа обыкновенно полагают, что задача решена, и из этого предположения выводят соотношения, дающие возможность решить данную задачу.
При переходе от данной задачи к ее заменяющей весьма важно обращать внимание на то, будут ли две задачи обладать свойством взаимной обратимости. Эта взаимность в условиях двух задач является тогда, когда одна задача, будучи начальной для другой, может быть в то же время и ее производной; иначе когда две задачи находятся в таком отношении, что условия одной могут быть и необходимыми следствиями другой и наоборот.
Если две задачи, данная и новая, обладают такими свойствами, то новая задача вполне заменяет данную. В этом случае все решения одной будут и решениями другой.
Если же условия двух задач не обладают свойствами взаимной обратимости, то, заменяя данную задачу новой, мы можем найти или лишние решения или иметь некоторые из решений потерянными.
Если заменяющая задача будет производной для данной, то мы можем найти некоторые лишние решения; если же она будет начальной для данной, то мы можем найти некоторые решения потерянными.
Так как чаще от данной задачи переходят к задаче производной, то чаще приходится получать решения лишние.
Чтобы отделить лишние решения и отыскать потерянные, поверяют все найденные решения.
Поверка есть способ отделения посторонних (лишних) решений. Она дополняет анализ.
Аналитическое решение задачи указывает на то построение, которое нужно сделать для решения задачи. Совершая это построение, поступают при решении задачи способом обратным анализу, т. е. прибегают к синтетическому способу. Этот синтетический способ часто может заменить и самую поверку найденных решений.
Совместное применение синтеза и анализа дает средство избегнуть тех ошибок, которые могут получиться при применении только одного из этих методов решения.
Решим одну и ту же задачу синтетически и аналитически. Для примера может послужить следующая задача.
Задача. Разделить данный отрезок AB в крайнем и среднем отношении.
Решение. Восставим из конца отрезка AB перпендикуляр BO равный половине AB (черт. 226). Из центра O опишем окружность радиусом BO, соединим центр O с точкой A и отложим на отрезке AB отрезок AC равный AD, тогда отрезок AC или AD будет искомый.
Доказательство. Прямая AB — касательная к окружности, следовательно
(AE — AB)/AB = (AB — AD)/AD
Так как DE = AB и AD = AC, то в предыдущей пропорции имеем:
AE — AB = AE — DE = AD = AC
AB — AD = AB — AC = BC
откуда имеем пропорцию
Это решение синтетическое. В нем мы отправляемся от известной теоремы о свойствах касательной и решение данной задачи вытекало как необходимое следствие этой теоремы.
Решение аналитическое. Допустим, что задача решена, а следовательно и отрезок AC найден, тогда
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
Из последней пропорции видно, что AB есть касательная, AB + AC пересекающаяся, AC ее внешний и AB внутренний отрезок.
Отсюда вытекает и само построение. Нужно из конца B восставить перпендикуляр равный ½AB, провести окружность, соединить O с A и отложить на отрезке AB часть AC = AD.
В этом аналитическом решении мы данную задачу, удовлетворяющую условию (1), заменяем задачей, удовлетворяющей условию (2).
Условие (2) указывает и путь для решения самой задачи построением.
Обыкновенно, найдя решение задачи способом аналитическим, совершают построение, в котором, применяя способ рассуждений синтетический, доказывают, что это построение действительно разрешает задачу и этим доказательством заменяют поверку, имеющую в виду устранить посторонние решения.
В данном примере между задачами, удовлетворяющим условиям (1) и (2), существует полная обратимость, ибо из условий (1) вытекают условия (2) как необходимое следствие и наоборот, поэтому здесь нет ни потерянных, ни посторонних решений.
Исследование второстепенных и вспомогательных приемов решения задач еще не достигло в своей обработке полной и совершенной законченности. Мы пока устраняемся от их подробного рассмотрения.
Неравенства. Доказательства неравенств. Задачи олимпиад.
На занятии мы рассмотрим различные методы доказательства неравенств: сравнение с нулем, выделение полного квадрата, метод математической индукции, а также научимся использовать вспомогательные неравенств (неравенство Коши, Бернулли и др.).
Конспект занятия «Неравенства. Доказательства неравенств. Задачи олимпиад.»
Неравенства. Свойства неравенств. Задачи олимпиад.
Определение: Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b , если их разность a — b –положительное (отрицательное) число.
Если a b и b c , то ac.
Если ab , то a+cb+c.
Если a b и m 0, то am bm .
Если a b и m am bm .
Если a b и b c , то ac.
Если a b и c d , то a + c b + d .
Если a b и c d , то acbd, a,b,c,d0.
Если ab , то a n b n ,a,b 0,.
Если a b , то a n b n , n -нечетное.
Провести доказательства некоторых свойств.
Неравенство об обратных величинах:
Среднее арифметическое:
Среднее геометрическое:
Среднее гармоническое
Среднее квадратичное
Неравенство о средних:
При этом неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим называют неравенством Коши.
Неравенство Коши – Буняковского
Для любых действительных чисел выполняется неравенство:
Равенство в (4) имеет место тогда и только тогда, когда числа и пропорциональны, то есть существуют такие числа и , что и для всех k =1,2,…, n выполняется равенство
.
Основные методы доказательства неравенств
I . Доказательство неравенств с помощью определения
Для доказательства неравенства этим способом на заданном множестве значений переменных a , b , c , …, z составляют разность и доказывают, что она положительна при всех значениях переменных.
Пример 1. (Неравенство Коши)
Доказать, что при всех выполняется неравенство
(1)
Доказательство. Составим разность и выясним ее знак. Имеем: . Выражение неотрицательно при любых значениях (условия определяют существование и), причем знак равенства имеет место лишь при a = b . То есть , а это означает, что , ч.т.д.
Пример 2. Доказать, что если , то
(2)
Доказательство. Имеем: . Так как , то , причем знак равенства имеет место лишь при a = b . Таким образом, разность неотрицательна и неравенство (2) доказано.
II . Синтетический метод доказательства неравенств
Суть этого метода заключается в том, что с помощью различных преобразований доказываемое неравенство выводят из некоторых опорных (известных) неравенств. В качестве опорных можно использовать следующие неравенства:
а) ,
б) неравенство Коши (1),
в) , при , которое является следствием (2),
г) при ,
д) для всех чисел a и b .
Пример 3. Доказать, что для любых чисел a , b и c имеет место неравенство
(3)
Доказательство. В качестве опорных, выберем неравенства
, ,
Сложим почленно эти неравенства, а затем разделим обе части полученного неравенства на два. Получим нужное нам неравенство.
Пример 4. Доказать, что для любых неотрицательных чисел a , b , c , d имеет место неравенство
.
Доказательство. Воспользуемся в качестве опорных неравенствами Коши и . Тогда получим:
III . Доказательство методом «от противного»
Метод доказательства «от противного» высказывания «из А следует В» применяют в следующей форме: считают истинным высказывание «не выполняется В» и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания «не выполняется А». Если это удается, то получается противоречие, из которого следует, что предположение о неверности А – ошибочно. Покажем, как этот метод применяется при доказательстве неравенств.
Пример 5. Доказать, что для любого числа а выполняется неравенство
Доказательство. Предположим противное, что для некоторого числа а рассматриваемое неравенство неверно, то есть имеет место неравенство:
. По свойству 3 можно умножить обе части неравенства на положительное число , при этом знак неравенства не изменится: . По свойству 2 можно вычесть из обеих частей неравенства выражение . После преобразований правой части получим:
, то есть . Последнее неравенство не выполняется ни при каком значении а, так как правая часть неравенства не может принимать отрицательные значения. Полученное противоречие доказывает верность исходного неравенства.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Докажите, что для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство .
Указание: Перенести все члены в левую часть, преобразовать и определить знак полученного выражения.
Доказать, что для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство
Указание: Перенести все члены в левую часть, преобразовать и определить знак полученного выражения.
Докажите, что если , и , то выполняется неравенство
Указание: Перенести все члены в левую часть, преобразовать и определить знак полученного выражения.
Доказать, что если , то верно неравенство
Указание: Обозначить и использовать в качестве опорного неравенство (3).
Доказать, что для любых положительных чисел a , b и c выполняется неравенство
Указание: Воспользоваться три раза неравенством (1), где в качестве слагаемых взять, соответственно, , в первом неравенстве, , во втором неравенстве и , в третьем неравенстве.
Доказать, что для любых положительных чисел a , b и c выполняется неравенство
Указание: Воспользоваться в качестве опорного неравенством Коши — Буняковского.
Доказать, что если , то верно неравенство
Указание: доказательство провести методом от противного. Возвести обе части в квадрат и получить противоречие с неравенством Коши.
Доказать, что при верно неравенство
Указание: доказательство провести методом от противного. Возвести обе части в квадрат и после преобразований сравнить знак левой и правой частей неравенства.
Доказать, что при верно неравенство
Указание: доказательство провести методом математической индукции.
Доказать, что при верно неравенство
Указание: доказательство провести методом математической индукции.
11. Доказать неравенство
12. Доказать, что при любых значениях x и y верно неравенство
Доказательство неравенств путем преобразования очевидного или известного классического неравенства к виду доказываемого неравенства.
13. Доказать неравенство
если a, b, c — неотрицательные числа.
14. Доказать, что
если a , b , c — неотрицательные числа.
15. Доказать неравенство: ab ( a + b )+ bc ( b + c )+ ac ( a + c ) 6 abc
17. Доказать неравенство:
18. Докажем, что (a+b)(ab+1) 4ab, при а0, b0.
19 . Доказать неравенство:
20. Докажите неравенства:
21. Докажите справедливость неравенства:
Числовые неравенства
Если числа a и b равны между собой, то a — b = 0. Если же числа a и b не равны между собой, то разность a — b либо положительна, либо отрицательна.
Если разность a — b положительна, то говорят, что число a больше числа b; записывается это таким образом:
a > b. (1)
Если разность a — b отрицательна, то говорят, что число a меньше числа b; записывается это таким образом:
a 3, поскольку разность 5 — 3 = 2 положительна; — 7 и b, то точка А будет лежать правее точки В. Если же a a, (3)
1 /a > 3, (4)
a — 1 0,25, то число a = 0,25 удовлетворяет неравенству (3). А вот число 4 ему уже не удовлетворяет, поскольку \(\sqrt\) 1 /1 Основные свойства числовых неравенств
- Если a > b, то b а.Доказательство. Пусть a > b. По определению это означает, что число (a — b) положительно. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число — (a — b) будет, очевидно, отрицательным. Поэтому — (a — b) b, a b > c, то a > с. Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу a) лежит правее точки В (соответствующей числу b), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С. Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств. Пусть a > b, a b > с. Это означает, что числа (a — b) и (b- с) положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Поэтому (a — b) + (b- с) > 0, или a — с > 0. Но это и означает, что a >с.
- Если a > b, то для любого числа сa + с > b + с, a — c >b — с. Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.Доказательство. Пусть a > b. Это означает, что a — b > 0. Но a — b = (a + с) — (b + с). Поэтому (a + с) — (b + с) > 0. А по определению это и означает, что a + с > b + с. Аналогично показывается, что a — c >b — с. Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 1 1 /2, то получим
6 1 /2 > 5 1 /2. Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > — 1. Следствие.Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный. Пусть, например, a + b > с. Требуется доказать, что a > с — b. Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b. - Пусть a > b. Если с > 0, то аc > bc. Если же с 1 почленно на 7, получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на — 7 дает — 35 b. Это означает, что число а — b положительно. Произведение двух положительных чисел а — b и с, очевидно, также положительно, т. е. (a — b) с > 0, или
aс — bс >0. Поэтому aс > bс. Аналогично рассматривается случай, когда число сотрицательно. Произведение положительного числа a — b на отрицательное число с, очевидно, отрицательно, т. е.
(а — b) с 1 /c.
Сложение и вычитание неравенств
Про два неравенства, имеющие одинаковые знаки неравенства (оба знак > или оба знак b и 3 > 2 — одинакового смысла, так как оба они имеют один и тот же знак > ; неравенства a , а другое знак 0 и 5 b и с > d. Докажем, что a + с > b + d.
Так как a > b и с > d, то числа (a — b) и (с — d) положительны. Сумма двух положительных чисел также положительна: (a — b) + (с — d) > 0.
Но (a — b) + (с — d) = (a + с) — (b + d).
Поэтому число (a + с) — (b + d) положительно. А это и означает, что a + с > b + d.
Почленное умножение неравенства c — d. Сложив это неравенство с данным неравенством a > b, получим a — c > b — d.
Случай, когда a d, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.
Замечание. Неравенства одинакового смысла почленно вычитать, вообще говоря, нельзя. Например, если бы мы из неравенства 2 > 0 вычли почленно неравенство 0 > — 5, то пришли бы к противоречию: 2 больше 5.
Умножение неравенств
Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.
Доказательство. Пусть a > b и с > d, причем числа a, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.
Умножив неравенство a > b почленно на положительное число с, получим aс > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: aс > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть aс > bd.
Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a 1\\6 > 4\end> 4> \;\;\;\; \frac<\cdot \begin5 > 3\\100 > 10\end> 30>\;\;\;\; \frac<\cdot \begin1 b, причем числа a и b положительны, то для любого натурального п
a n > b n .
Действительно, умножая почленно неравенство a > b само на себя, получим a 2 > b 2 . Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство a > b, получим a 3 > b 3 и т. д.
Следствие 2. Если числа a и b положительны и
a n > b n (1)
(п — натуральное число), то a > b.
Действительно, возможен один из трех случаев: a = b, a b.
Если а = b, то а n = b n .
При a а, и потому по следствию 1 b n > a n . И то и другое противоречит неравенству (1).
Остается признать, что а > b.
Пример. Определить, какое число больше: \(\sqrt\) + \(\sqrt\) или \(\sqrt\) + \(\sqrt\).
Возвысим оба числа в квадрат:
(\(\sqrt\) + \(\sqrt\)) 2 = 5 + 2\(\sqrt\) + 6 = 11 + 2\(\sqrt\) ;
(\(\sqrt\) + \(\sqrt\)) 2 = 3 + 2\(\sqrt\) + 8 = 11 + 2\(\sqrt\)
Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2
Двойные неравенства
Иногда приходится иметь дело с двойными неравенствами. Так называются неравенства вида
a’ la > la». (3)
Строгие и нестрогие неравенства
Когда хотят записать, что число a не меньше числа b (другими словами, a больше или равно b), то используют знак > и пишут a > b. Например, a 2 + 1 > 1, | х | > 0 и т. д.
Если нужно записать, что число a не больше числа b (другими словами, a меньше или равно b), то используют знак 2 , — | х | b и a b и a или знак или знак 6 — строгие, а неравенства 17 > 17 и 3 b, то b b, то а + с > b +с и т. д.
Способы доказательства неравенств
Доказать неравенство, содержащее некоторые буквы, — это значит показать, что ему удовлетворяют любые допустимые или специально указанные значения этих букв.
Существуют различные способы доказательства неравенств. Проиллюстрируем некоторые из них на конкретных примерах.
Пример 1. Доказать, что любые положительные числа a и b удовлетворяют неравенству
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда a = b .
1-й способ. Рассмотрим разность
Ее можно привести к виду:
Поэтому \(\frac — \sqrt \geq 0 \). А это и означает, что \(\frac \geq \sqrt\).
Знак равенства в формуле (1) имеет место тогда и только тогда, когда \(\sqrt\) — \(\sqrt\) = 0, т. е при a = b.
2-й способ. Предположим, что данное неравенство верно. Тогда, умножив обе его части на 2, получим:
Перенесем 2 \(\sqrt\) в левую часть:
a + b — 2 \(\sqrt\) > 0.
Наконец, перепишем полученное неравенство в виде
Последнее неравенство, очевидно, верно для любых положительных чисел a и b, причем равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда a = b. Таким образом, данное неравенство мы свели к очевидному неравенству. Теперь, производя все рассуждения в обратном порядке, мы докажем данное неравенство.
Для любых, положительных чисел a и b имеем:
a — 2 \(\sqrt\) + b > 0.
Знак равенства при этом имеет место тогда и только тогда, когда a = b. Перенося — 2\(\sqrt\) в правую часть, получаем a + b > 2\(\sqrt\), откуда \(\frac \geq \sqrt\).
Сразу трудно было догадаться, что при доказательстве неравенства (1) нужно исходить из очевидного неравенства (2). Вот почему предварительно нам пришлось сделать допущение, что неравенство (1) верно, и получить при этом допущении неравенство (2).
Пример 2. Доказать, что если произведение положительных чисел х и у равно 1, то (1 + x)(1 + у) > 4.
Доказательство. Полагая в только что доказанном неравенстве
a = 1, b = х, получим \(\frac \geq \sqrt\) или 1 + х > 2\(\sqrt\)
Аналогично показывается, что 1 + y > 2\(\sqrt\). Почленное умножение полученных неравенств дает:
(1 + х)(1+у) > 2\(\sqrt\) •2\(\sqrt\),
(1 + х)(1+у) > 4\(\sqrt\).
Но по условию ху = 1. Поэтому
(1 + х)(1+у) > 4.
Решить неравенство графически : 2x — 3y > 6.
Решение: Переносим переменные по разным сторонам неравенства.3У2X. Подробнее »
Решите неравенство используя метод интервалов А) (х+8)(х-4)> 0 Б) х-5 ——.
Решение: $$ (x+8)(x-4)>0 $$———-()———-()——-> -8 4Подставим 0 в неравенство (так как он лежит между -8 и 4). Получаем отрицательное число, а значит нами подходит два интервала: (-∞;-4)U(8;+∞)$$ \frac -7. Подробнее »
решите неравенство , используя метод интервалов (х+8)(х-4)>0.
Решение: (х+8)(х-4)>0 (х+8)>0 (х-4)>0 X>-8 x>4Вычерчиваем две прямые и выделяем промежутки:x>-8 , x>4Ответ:(4;плюс ∞)Раскрываем скобки x2-4x+8x-32>0x2+4x-32>0y=0 y=x2+4x-32×2+4x-32=0D=144 1x= -4+12:2=4 2x=-4-12:2=-4 Строим график функции x и отмечаем точки (-4:4)Находим интервалы для x и получаем ответ x принадлежит от ( -∞:-4) и(4:∞). Подробнее »
Неравенство с модулем: $$ 3|x+3|+|x-10|-35 > 0 $$.
Решение: Упростим наше неравенство, удобно сделать замену $$ x+3=t $$ , получаем $$ 3|t|+|t-13|-35>0 $$ , его легче решить $$ t \geq 0 \\ t \geq 13 $$ Решаем на интервале $$ (-oo;0) $$ $$ -3t+13-t-35[tex]x+38 \\ (-\infty;-8.5) \cup (8;+\infty) $$>0 \\ -4t-22>0 \\ -4t>22 \\ t0 \\ t>11 \\ t \in (11;13) \\ $$На. Подробнее »
Неравенство с модулем2|x|<4+|x+1|.
Решение: Значения х обращающие модули в 0 х=0 и х=-1рассмотрим следующие интервалы1) при х-4+1x>-3⇒x∈(-3,-1) (1)2) при -1 ≤х≤ 0/x/=-x, /x-1/=x+1-2x-4-1x>-5⇒x∈[-1,0] (2)3) при х>0/x/=x, /x+1/=x+12x