2.Аппроксимация в среде MathCad.
2.1. Аппроксимация линейной функцией с использованием встроенных функций системы MathCad .
Пусть функция f(x) эадана таблицей значений < (xi ,yi ) , i=0,1,2. n >
Настройка системы Mathcad
Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой линией).
Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept – точку пересечения графика с вертикальной осью.
c=0.407843
Определяем аппроксимирующую функцию:
Mathcad предлагает для этих же целей также использовать функцию line
Вычислим стандартное отклонение.
Графики аппроксимирующей прямой и табличных данных
2.2.Аппроксимация полиномами.
Теперь попытаемся подобрать полиномы второй и третьей степени, в качестве аппроксимирующей функции.
Для этих целей служат встроенные функции regress и interp.
Функция regress (Mx,My,n) является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp , где
— Mx,My — данные аппроксимации ;
— n – степень аппроксимирующего полинома (Очевидно, что если в качестве аппроксимирующей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный полином будет точно проходить через все заданные узлы.).
Функция interp(vs , Mx ,My , x) возвращает значение полинома в точке x , где
— vs = regress (Mx,My,n) — вектор, который содержит, в том числе, и коэффициенты полинома ;
— x – значение аргумента , для которого необходимо вычислить значение
Вводим степени полиномов :
Вычислим коэффициенты аппроксимирующих полиномов
Определив новые функции f2, f3, мы получили возможность находить значение полинома в любой заданной точке.
Коэффициенты аппроксимирующих полиномов получим из vs2 и vs3 с помощью встроенной функции submatrix :
Вычислим стандартные отклонения
Стандартные отклонения почти не отличают друг от друга, коэффициент при третьей степени z невелик, поэтому дальнейшее увеличение степени полинома нецелесообразно и достаточно ограничиться только второй степенью.
К сожалению, функция regress имеется далеко не во всех версиях Matcad‘а.
Однако, провести полиномиальную регрессию можно и без использования этой функции.
Для этого нужно определить коэффициенты нормальной системы и решить полученную систему уравнений, например, матричным методом.
Теперь попытаемся аппроксимировать экспериментальные данные полиномами степени m и m1, не прибегая к помощи встроенной функции regress .
Вычисляем элементы матрицы коэффициентов нормальной системы
и столбец свободных членов
Находим коэффициенты полинома, решая систему матричным методом,
Определяем аппроксимирующие функции
Коэффициенты полиномов следующие:
Вычислим стандартное отклонение
Графики аппроксимирующего полинома функции и данных аппроксимации :
Апроксимация функции в MathCAD
Аппроксимация функций с помощью MathCAD К ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ 1. Линейная регрессия Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и от- счетов Y функциями: intercept(X,Y) – вычисляет параметр а1 , смещение линии регрессии по вертикали; slope(X,Y) – вычисляет параметр a2 , угловой коэффициент линии регрессии. Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x . Функция corr(Y,y(x)) вычисляет коэффициент корреляции Пирсона . Чем он ближе к 1 , тем точнее обрабатываемые данные соответствуют линейной зависимости. 2. Полиномиальная регрессия Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома с произвольными координатами отсчетов в Mathcad выполняется функциями: regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S , в составе которого находятся коэффици- енты ai полинома n -й степени; Значения коэффициентов ai могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix(S, 3, length(S)-1, 0, 0) . Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x+a3*x 2 . 3. Нелинейная регрессия Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций нелиней- ной регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad. К их числу относится функция expfit(X,Y,S) , которая возвращает вектор, со- держащий коэффициенты a1 , a2 и a3 экспоненциальной функции y(x) = a1·exp(a2·x) + a3 . В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a1 , a2 и a3 первого приближения.
Пример расчетов в среде MathCAD Исходные данные:
| 0 | 16 | |||||
| 0.4 | 20 | |||||
| 0.7 | 25.5 | |||||
| 1 | 34 | |||||
| 1.5 | 40.7 | |||||
| m | ||||||
| 49 | x m | 0 | y m | 1 | ||
| 1.9 | ||||||
| 2.5 | 60 | |||||
| 2.9 | 69.6 | |||||
| 3.6 | 89 | |||||
| 4.3 | 98.3 | |||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 16 | |||
| 1 | 0.4 | 1 | 20 | |||
| 2 | 0.7 | 2 | 25.5 | |||
| x | 3 | 1 | y | 3 | 34 | |
| 4 | 1.5 | 4 | 40.7 | |||
| 5 | 1.9 | 5 | 49 | |||
| 6 | 2.5 | 6 | 60 | |||
| 7 | 2.9 | 7 | 69.6 | |||
| 8 | 3.6 | 8 | 89 | |||
| 9 | 4.3 | 9 | 98.3 | |||
Линейная регрессия:
| a1 | intercept(x y) | |
| a1 | 12.665 | |
| a2 | slope(x y) | |
| a2 | 19.971 | |
| f(x) a1 | a2 x | corr(y f(x)) 0.997 |
100 y f(x) 50 0
| Полиномиальная регрессия (n=2): | ||||
| s regress(x y 2) | ||||
| coeff submatrix(s 3 length(s) | 1 0 0) | |||
| A coeff | ||||
| a1 A 0 | a1 14.494 | |||
| a2 A 1 | a2 16.96 | |||
| a3 A 2 | a3 0.714 | |||
| f(x) a1 | a2 x a3 x 2 | corr(y f(x)) 0.998 | ||
| 150 | ||||
| y | 100 | |||
| f(x) | 50 | |||
| 0 | 2 | 4 | 6 | |
| 0 | ||||
| x | ||||
| Экспоненциальная регрессия (n=2): | ||||||
| 1 | ||||||
| s 1 | ||||||
| 1 | ||||||
| 169.694 | ||||||
| A expfit(x y s) | A | 0.095 | ||||
| 154.614 | ||||||
| a1 A 0 | a1 169.694 | |||||
| a2 A 1 | a2 0.095 | |||||
| a3 A 2 | a3 154.614 | |||||
| f(x) a1 e a2 x a3 | corr(y f(x)) 0.997 | |||||
| 150 | ||||||
| y | 100 | |||||
| f(x) | ||||||
| 50 | ||||||
| 0 | 2 | 4 | 6 | |||
| 0 | ||||||
| x | ||||||
Вывод: сравнивая результаты вычислений, можно сделать вывод, что самый высокий коэффициент детерминированности (корреляции) – в случае полиноми- альной регрессии второй степени ( 0.998 ). Следовательно, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описы- вает экспериментальные данные.
14.03.2016 767.9 Кб 303 Антонов В.В. Поиски и разведка подземных вод Уч пос 2006.pdf
22.11.2018 200.19 Кб 8 антропогенные нарушения водных объектов.doc
Как сделать апроксимацию в маткаде
Приведем два варианта решения задачи аппроксимации:
-
в первом примере каждый из перечисленных этапов реализован в виде отдельного блока с необходимыми комментариями;
Функция MNK, использованная во втором примере, получает через список параметров m – объем выборки; k – число факторов; z – матрицу значений факторов; y – вектор значений функции отклика. Результатом выполнения функции будет вектор коэффициентов регрессии – (k+1) элемент, так как исходное регрессионное уравнение предполагает наличие свободного члена.
Отметим, что рассмотренный алгоритм позволяет оценить коэффициенты уравнений при нескольких независимых переменных, т.е. является алгоритмом множественной линейной регрессии. Основная задача пользователя – правильно определить факторы и вычислить их значения для матрицы факторов.
Mathcad имеет ряд встроенных функций, реализующих алгоритмы аппроксимации для различных видов уравнений. Как правило, предполагается наличие одной независимой переменной.
Все функции, упоминаемые далее в этом разделе, описаны в приложении «Встроенные функции и ключевые слова» настоящего пособия.
2. Линейная регрессия общего вида аппроксимирует заданную совокупность точек функцией вида
Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x), . Fn(x), причем сами эти функции (факторы) могут быть нелинейными, что расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.
Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция
Она возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек, координаты которых хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x), . Fn(x), записанные в символьном виде.
3. В Mathcad введена и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома
Она возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией interp(VS, VX, VY.x), содержащий коэффициенты многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает «облако» точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY. Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix (см. пример).
На практике не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше 4–6, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают. Функция regress создает единственный приближающий полином, коэффициенты которого вычисляются по всей совокупности заданных точек.
4. Многомерную регрессию также можно реализовать в Mathcad. Самый типичный случай ее использования – приближение поверхностей в трехмерном пространстве. Их можно описать, задав массив значений высот z, соответствующих двухмерному массиву Мху координат точек (х,у) на горизонтальной плоскости.
Новых функций для этого не задано. Используются уже описанные ранее функции, но в несколько иной форме, например
- regress (Mxy, Vz, n) – возвращает вектор, запрашиваемый функцией interp (VS. Mxy, Vz, V) для вычисления многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает точки множества Мху и Vz, Мху – матрица размера 2m, содержащая координаты х и у. Vz – m-мерный вектор, содержащий z-координаты, соответствующие m точкам, указанным в Мху.
- Interp(VS, Mxy, Vz, V) – возвращает значение z по заданным векторам VS (создается функцией regress) и Мху, Vz и V (вектор координат х и у заданной точки, для которой находится z).
5. Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К коэффициентов произвольной функции F(x, К1, К2, . Кn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция
genfit(VX, VY, VS, F)
Эта функция возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F(x, К1, К2, . Кn) исходных данных.
F должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.
В примере далее приведен образец реализации нелинейной регрессии общего вида для уравнения ln p = A – B / (C + t).
При решении этой задачи возникают две проблемы. Во-первых, надо вычислить значения производных по переменным A, B, C. В документе это сделано с помощью символьных операций
Вторая проблема связана с необходимостью применения функции genfit в ее стандартном виде. Поэтому пришлось заменить искомые коэффициенты модели на элементы массива k
6. Перечень некоторых дополнительных функций для оценки коэффициентов аппроксимирующих уравнений разного вида (см. приложение)
- expfit(vx, vy, vg) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты (a, b и с) аппроксимирующего выражения вида а·еxp(b·х)+с, график которого лучшим образом приближается к точкам, координаты которых хранятся в векторах vx и vy (вектор vg содержит первое приближение к решению);
- lgsfit(vx, vy, vg) – то же, но для выражения а/(1+b·е (–с·х) );
- logfit(vx, vy) – то же, но для выражения a·ln(x+b)+c (начального приближения не требуется);
- medfit(vx, vy) – то же, но для выражения а+bx (начального приближения не требуется);
- pwrfit(vx, vy, vg) – то же, но для выражения а·х b +с. Вектор vg содержит первое приближение к решению;
- sinfit(vx, vy, vg) – то же, но для выражения a·sin(x+b)+c.
Методики для аппроксимации зависимостей нескольких переменных в программной среде MS Excel и Mathcad Текст научной статьи по специальности «Математика»
АППРОКСИМАЦИЯ / ЗАВИСИМОСТЬ / ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ / АРГУМЕНТ / ИССЛЕДОВАНИЕ / ЭКСПЕРИМЕНТ / ДИСКРЕТНОЕ МНОЖЕСТВО / КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА / СПЛАЙН / АЛГОРИТМ / APPROXIMATION / DEPENDENT / FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES / ARGUMENT / STUDY / EXPERIMENT / DISCRETE DATA / COMPUTER PROGRAM / SPLINE / ALGORITHM
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Горожанкин Сергей Андреевич, Шитов Анатолий Анатольевич, Савенков Никита Владимирович
Предложены методики аппроксимации дискретных данных непрерывными гладкими функциями нескольких переменных при выполнении экспериментальной части научного исследования . Приведенный материал базируется на применении таких относительно распространенных программных продуктов, как MS Excel и Mathcad, может быть реализован в аналогичных по структуре и назначению компьютерных программах , содержит результаты практического применения на примере аппроксимации функциями нескольких переменных различного вида характеристик современного автомобильного двигателя внутреннего сгорания. Даны рекомендации по рациональному применению предлагаемых методик, описаны возможные сопутствующие сложности при их реализации в рассматриваемых программных оболочках. Представленные теоретический материал и практические примеры процедур аппроксимации отличаются множеством настроек, гибкостью применения к различному виду представления исходных данных, а также относительной простотой использования, так как построены по принципу «от простого к сложному».
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Горожанкин Сергей Андреевич, Шитов Анатолий Анатольевич, Савенков Никита Владимирович
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ MathCAD
Аппроксимационное построение математических моделей по точечным экспериментальным данным методом cut-glue
Гладкая кусочно-квадратичная аппроксимация в комплекснозначном нейросетевом базисе
К вопросу о сплайн-фильтрации сигналов
Интерполяция, экстраполяция и сглаживание или «Ложь, наглая ложь и статистика»
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Procedures for Approximating Dependences of Several Variables in MS Excel and Mathcad Software Environment
The article suggests a technique for approximating the original data via continuous smooth functions of several variables when performing the experimental part of a scientific study . The material is based on using such relatively common software like MS Excel and Mathcad, it can be implemented in structurally and functionally similar computer programs, and also provides results of practical application on the example of approximating the characteristics of a modern automobile internal combustion engine via functions of several variables of different kinds. In addition, the paper presents recommendations for rational use of the suggested methods and possible related difficulties in their implementation in the considered software shells. Theoretical material and practical examples of the approximation procedures prepared by the authors aredistinguished by a lot of options, flexibility of application to different types of representation of the original data, as well as the relative ease of use, because they are based on a simple-to-complex basis.
Текст научной работы на тему «Методики для аппроксимации зависимостей нескольких переменных в программной среде MS Excel и Mathcad»
DOI: 10.5862/JCSTCS.247.4 УДК 517.4+004.942
С.А. Горожанкин, A.A. Шитов, Н.В. Савенков
методики для аппроксимации зависимостей нескольких переменных в программной
СРЕДЕ MS ExCEL И MATHCAD
S.A. Gorozhankin, A.A. Shitov, N.V. Savenkov
procedures for approximating dependences
OF SEVERAL VARIABLES IN MS ExCEL AND MATHCAD
Предложены методики аппроксимации дискретных данных непрерывными гладкими функциями нескольких переменных при выполнении экспериментальной части научного исследования. Приведенный материал базируется на применении таких относительно распространенных программных продуктов, как MS Excel и Mathcad, может быть реализован в аналогичных по структуре и назначению компьютерных программах, содержит результаты практического применения на примере аппроксимации функциями нескольких переменных различного вида характеристик современного автомобильного двигателя внутреннего сгорания. Даны рекомендации по рациональному применению предлагаемых методик, описаны возможные сопутствующие сложности при их реализации в рассматриваемых программных оболочках. Представленные теоретический материал и практические примеры процедур аппроксимации отличаются множеством настроек, гибкостью применения к различному виду представления исходных данных, а также относительной простотой использования, так как построены по принципу «от простого к сложному».
АППРОКСИМАЦИЯ; ЗАВИСИМОСТЬ; ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ; АРГУМЕНТ; ИССЛЕДОВАНИЕ; ЭКСПЕРИМЕНТ; ДИСКРЕТНОЕ МНОЖЕСТВО; КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА; СПЛАЙН; АЛГОРИТМ.
The article suggests a technique for approximating the original data via continuous smooth functions of several variables when performing the experimental part of a scientific study. The material is based on using such relatively common software like MS Excel and Mathcad, it can be implemented in structurally and functionally similar computer programs, and also provides results of practical application on the example of approximating the characteristics of a modern automobile internal combustion engine via functions of several variables of different kinds. In addition, the paper presents recommendations for rational use of the suggested methods and possible related difficulties in their implementation in the considered software shells. Theoretical material and practical examples of the approximation procedures prepared by the authors are distinguished by a lot of options, flexibility of application to different types of representation of the original data, as well as the relative ease of use, because they are based on a simple-to-complex basis.
APPROXIMATION; DEPENDENT; FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES; ARGUMENT; STUDY; EXPERIMENT; DISCRETE DATA; COMPUTER PROGRAM; SPLINE; ALGORITHM.
В настоящей статье предлагаются методики аппроксимации многофакторных зависимостей на примере таких относительно распространенных, а также имеющих простой пользовательский интерфейс, программных продуктов, как табличный
процессор Microsoft Excel и система компьютерной алгебры Mathcad.
Предлагаемые методики отличаются от традиционного использования рассматриваемых программ возможностью поэтапного выполнения процедуры аппроксимации
при комбинированном применении элементарных и кусочно-заданных функций различного вида, а также относительно более широким набором настраиваемых параметров; это позволяет повысить достоверность разрабатываемых математических моделей.
Новизна предлагаемых методик относительно известных общих рекомендаций, изложенных в работах [1—5], заключается в построении многофакторных зависимостей средствами программных продуктов, предназначенных главным образом для выполнения однофакторной аппроксимации. Такой подход позволяет: индивидуально подбирать для каждой переменной такой тип аппроксимирующей функции, при котором обеспечивается минимальное значение величин численного отклонения, и при этом не нарушается физический смысл рассматриваемого объекта либо процесса; применять в пределах одной аппроксимирующей функции нескольких переменных зависимости различных типов (например, кусочно-заданные и элементарные); отказаться от необходимости структурирования исходного дискретного множества в виде сетки с заданным шагом значений аргументов — предлагаемые методики, фактически, позволяют работать непосредственно с результатами экспериментальных исследований.
Приведенный в статье материал отобран и систематизирован нами с целью разработки некоторых общих рекомендаций и готовых практических решений, позволяющих облегчить процесс обработки результатов экспериментальных исследований.
Ввиду своей относительной сложности для некоторых нелинейных зависимостей, автоматическая аппроксимация исходных дискретных множеств может быть осуществлена с помощью:
• элементарных функций, представленных уравнениями, которые могут применяться для практических инженерных расчетов, а также экспортироваться в другие программные продукты (например, в Mathcad или в Maple) для последующей обработки и анализа;
зависимостей, под которыми подразумеваются такие фрагментные зависимости, которые содержат логические операторы (например, сплайн-функции). Эти зависимости применены для описания физических процессов, аппроксимация которых с помощью элементарных функций сопряжена с большей величиной численного отклонения и на некоторых интервалах противоречит физическому смыслу изучаемого процесса [2].
Для автоматизированного создания аппроксимирующих зависимостей, представленных элементарными функциями, может быть применено множество программных продуктов, например — Microsoft Excel или CurveExpert. Работа с кусочно-заданными функциями в настоящей статье рассмотрена на примере системы компьютерной алгебры Mathcad; вычислительные комплексы, подобные последнему, обычно не позволяют получить аппроксимирующие уравнения в аналитическом виде (что объясняется громоздким представлением и ограниченными возможностями самих программ). Поэтому дальнейшая работа с полученными условными функциями выполняется, как правило, в среде соответствующего программного продукта.
Приведенные принципы автоматической аппроксимации обусловлены формой исходного дискретного множества и числом его аргументов. Статья посвящена построению функций нескольких переменных, однако для иллюстрации возможностей предлагаемых методик, рассмотрим в первую очередь особенности создания зависимостей одной переменной.
Аппроксимация зависимости одной переменной вида y = f(x) с помощью как элементарной, так и кусочно-заданной функций выполняется в один этап и приведена на примере внешней скоростной характеристики эффективной мощности автомобильного двигателя внутреннего сгорания (ДВС). На рис. 1 а показано исходное дискретное множество (результаты измерений на лабораторном стенде) и соответствующие аппроксимирующие функции.
♦ ЛИ ♦ ^т/ : J^ ♦ ÜB/ ♦ /ir ♦ w
♦ pr ♦ Г ♦ fj\ ♦ ♦ 1 ♦ 1 ♦ w +fT\
Рис. 1. Пример графического построения средствами МаШсад различных аппроксимирующих
функций для зависимостей одной переменной:
а — эффективной мощности N ДВС от частоты вращения коленчатого вала п; б — зависимости коэффициента использования мощности к от коэффициента нагрузки X
(о) — результаты экспериментов; (-) — аппроксимация элементарной функцией;
(——) — аппроксимация кусочно-заданной функцией
Для автоматической аппроксимации элементарной функцией применен табличный процессор Microsoft Excel (команда «Добавить линию тренда» [3]). Исходному множеству (при значении коэффициента коллинеарности R = 0,9997) удовлетворяет полином 4-й степени:
N = /(п) = а + Ьп + с п2+й п3+е п4, (1)
е о \ / е е е е е ‘
где а , Ь , с , й , е — полиномиальные коэф-
е1 е1 е1 е1 е т
фициенты, равные соответственно: —5,6032; 0,0297; —1,0379’10-5; 4,2-10-9; -5,78910 13.
Эту аппроксимацию можно осуществить и с помощью других программных пакетов. Например, применение всесторонней системы подбора кривых СигуеЕхрей позволяет получить аналогичный результат.
В общем виде алгоритм для аппроксимации исходного множества кусочно-заданной функцией кубического интерполяционного сплайна в системе компьютерной алгебры Mathcad представлен следующими зависимостями:
Х:= (х, Х2 Хз . х)т, (2)
У:= (У1 у2 Уз . Уп)т, (3) а кусочно-заданной линейной функцией
у(х) := Шегр (сБр1те(Х, У), X, У, х), (4)
у(х):= 1Шегр(Х, У, х), (5)
где X — массив аргументов дискретного множества; У — массив соответствующих значений дискретного множества; х1.хп, у1.уп — соответственно аргументы и значения дискретного множества, полученные в результате выполнения эксперимента (рис. 1 а) [6].
Для рассматриваемого примера одно-факторной зависимости соответствующий листинг будет представлен выражениями:
Х:= (1000 1500 2000 2500 (6) 3000 3500 4000)т, (6)
У:= (17 25 37 47 57 66 70)т, (7)
ЛТ(п) := Шегр ^р1те(Х, У), X, У, п). (8)
Вместо команды кубического сплайна «срНпе» для некоторых функций, в соответствии с их видом, может быть применена команда аппроксимации параболическим сплайном «psp1ine» или линейным «крНпе».
Приведенные алгоритмы Mathcad также позволяют получать значения исследуемой зависимости и за пределами исходной дискретной области — в экстраполяции.
При работе с программными оболочками могут получиться и противоречивые результаты. Например, несмотря на высокое значение коэффициента коллинеарности (R = 1), кусочно-заданные сплайн-функции не всегда могут быть применены для аппроксимации исходного физического процесса. На рис. 1 б приведены результаты экспериментальных исследований зависимости коэффициента использования мощности автомобильного бензинового двигателя от коэффициента нагрузки, а также соответствующие аппроксимирующие функции. Как показано на графике, наилучшим вариантом является аппроксимация элементарной экспоненциальной (Вейбула) функцией:
где ak, bk, ck, dk, — коэффициенты: 0,992; 7,36; 14,92; 0,56.
Приведенная функция получена в программной среде CurveExpert с помощью команды «Apply Fit».
Использование для описания дискретных множеств кусочно-заданных сплайн-функций в ряде случаев на некоторых интервалах может противоречить исходному физическому процессу, как это показано на рис. 1 б, где по своему определению величина 1 не может принимать значения, превышающие единицу. В основном образование так называемых «возмущений» между опорными точками объясняется недостаточной плотностью их расположения на координатных плоскостях [7].
Аналогичным образом зависимости двух переменных могут быть аппроксимированы непрерывными функциями рассматриваемых типов вида z = fx, y) в один либо в два этапа.
Исходные дискретные множества, в соответствии с особенностями планирования конкретного эксперимента (подразумеваются особенности как самой методики про-
ведения опыта, так и применяемого оборудования, приборов, а также специфики исследуемого физического процесса), могут быть представлены в двух различных вариантах. Первый — в виде математической матрицы, в которой каждому значению (хпт или уп) одноименного аргумента (X или У) соответствует одинаковое количество значений функции (^пт), табл. 1. Второй вариант — в виде семейства зависимостей вида Ът = fXm), каждая из которых справедлива для конкретного значения ут аргумента У; при этом каждому значению ут может соответствовать различное количество значений функции znm, табл. 2 [8].
В таблицах приведена запись исходных дискретных данных как в общем виде для обоих вариантов, так и в виде конкретных примеров двухфакторных зависимостей — удельного расхода топлива ДВС = f п, к) (табл. 1) и объемного расхода воздуха ДВС б0 = f Р, п) (табл. 2), где Р — давление воздуха в ресивере впускной системы ДВС. Данные получены в ГОУ ВПО «ДонНАСА» при стендовых испытаниях двигателя УМЗ-4216 [9, 10].
Наиболее сложный случай представления дискретной двухфакторной зависимости вида z = /х, у), в котором каждому ее значению соответствует своя пара значений аргументов, в данной статье не рассмотрен.
Процедура аппроксимации двухфак-торной зависимости, которая задана квадратной матрицей (табл. 1), с помощью кусочно-заданной функции может быть выполнена в Mathcad за один этап на основании приведенного алгоритма [11]: