Радиус и высота конуса
Через радиус конуса можно найти все параметры конуса, связанные с основанием, а значение высоты позволяет вычислить площади, объемы и все остальные объемные параметры конуса. Так, диаметр конуса равен удвоенному радиусу, периметр окружности в основании вычисляется по стандартной формуле через радиус, равно как и площадь основания. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2 Прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса, связывает эти три значения теоремой Пифагора, по которой можно вычислить неизвестную образующую, а также угол между образующей и основанием. Тем временем, угол α рассчитывается из равнобедренного треугольника, сформированного двумя образующими и диаметром из того принципа, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.40.1, 40.2) l=√(h^2+r^2 ) tanβ=h/r α=180°-2β Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, необходимо умножить радиус и апофему на число π. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади его основания и площади боковой поверхности. В обеих формулах вместо апофемы нужно подставить квадратный корень через высоту и радиус, полученный по теореме Пифагора. S_(б.п.)=πrl=πr√(h^2+r^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)=πr(√(h^2+r^2 )+r) Чтобы найти объем конуса, достаточно знать значения радиуса и высоты, тогда формула объема выглядит как произведение числа π на квадрат радиуса и высоту, деленное на три. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3 Радиус сферы, вписанной в конус, зависит не только от радиуса основания конуса и его высоты, но и от образующей, поэтому чтобы вычислить радиус вписанной сферы конуса через радиус конуса и высоту, нужно вместо образующей подставить полученное для нее выше выражение. Радиус описанной сферы может быть представлен сразу формулой только с переменными радиуса и высоты. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=rh/(√(h^2+r^2 )+r) R=(h^2+r^2)/2h
Как найти радиус(r) основания конуса если извести высота(h) и образующая(l)?
Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Образующая в квадрате минус высота в квадрате равняется радиус в квадрате. Извлекаешь корень. Задача решена.
Источник: голова
Остальные ответы
По теореме Пифагора, из квадрата образующей вычесть квадрат высоты, получим квадрат радиуса.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Радиус и образующая конуса
Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2 Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cosβ=r/l α=180°-2β Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r) Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3 Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r) R=l^2/2h
Как из объема конуса найти радиус
Найдите высоту и радиус основания конуса наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса R .
Решение
Пусть P – вершина конуса, h – его высота, r – радиус основания (рис.1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O . В сечении получится окружность радиуса R (рис.2), в которую вписан равнобедренный треугольник ABP с вершиной P , основанием AB = 2r и высотой PM = h . Продолжим высоту PM до пересечения с окружностью в точке K . Тогда PBK – прямоугольный треугольник, а BM – его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
BM 2 = PM· KM, или r 2 = h(2R — h).
Пусть V(h) – объём конуса. Тогда
V(h) = π r 2 h = π h 2 (2R — h).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π h 2 (2R — h) на интервале (0;2R) .
Решив уравнение V’(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R) .
V’(h) = ( π (2Rh 2 — h 3 ))‘ = π(4Rh — 3h 2 ) = π h(4R — 3h) = 0.
Промежутку (0;2R) принадлежит единственный корень этого уравнения h = R . При переходе через точку h = R производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке (0;R) функция V(h) возрастает, а на промежутке (R;2R) – убывает. Следовательно, при h = R объём конуса наибольший. При этом
r = = = R.
Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(h) = π h 2 (2R — h) = π · 4· h· h· (2R — h)
π( ) 3 = π · = ,
причём равенство достигается, если h = 2R — h , т.е. при h = R . Следовательно, наибольшее значение объёма конуса достигается при h= R . При этом
r = = = R.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7443 |