Сколько углов у треугольника вписанного в квадрат

Треугольник вписанный в окружность

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:
   \[ r = \frac\]
2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   \[ r = \fracP> \]
3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   \[ r = \sqrt

   > \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
   \[ R = \frac\]
2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   \[ R = \frac\]
3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр: \[ R = \frac> \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности: \[ S = pr \]
2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр: \[ S = \sqrt \]
3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание: \[ S = \frac2 ah \]
4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла: \[ S = \frac\]
5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними: \[ S = \fracab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   \[ P = a + b + c \]
2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности:
   \[ P = \frac\]
3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними: \[ P = \sqrt < b2 + с2 — 2 * b * с * cosα>+ (b + с) \]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними: \[ a = \sqrt \]
2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:
   \[ a = \frac\]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   \[ l = \frac\]
2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известныдве стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угламежду ними:
   \[ l = \frac>\]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание: \[ h = \frac\]
2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты: \[ h = b \cdot \sin \alpha \]
3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием: \[ h = \frac\]

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Квадрат. Формулы и свойства квадрата

Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.

Рис.1	Рис.2

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC ┴ BD	AO = BO = CO = DO =	d
		2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата

Определение.

Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√ 2 раз.

Формулы определения длины диагонали квадрата

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

d =	P
	2√ 2

4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l :

d = l	2√ 10
	5

Периметр квадрата

Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формулы определения длины периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l :

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l :

S = l 2	16
	√ 5

Окружность описанная вокруг квадрата

Определение.

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√ 2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:

R = Dв	√ 2
	2

8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l :

R = l	√ 10
	5

Окружность вписанная в квадрата

Определение.

Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.

Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат

1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l :

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Треугольник вписанный в квадрат

Надо в макросе сделать чтобы он вычислял,треугольник со сторонами 1 вписанный в квадрат со сторонами 2.
Хотя бы напишите площадь треугольника вписанного в квадрат?

Лучший ответ

Вписать — значит вершины лежать на сторонах квадрата. Но тогда треугольник со сторонами 1 не вписать в квадрат со сторонами 2. Он маловат для такого квадрата.

Остальные ответы
это несовместимые условия
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Сколько углов имеет треугольник, вписанный в квадрат? Разбираемся с геометрией!

Треугольник, вписанный в квадрат, является особой геометрической фигурой, которая привлекает внимание ученых и математиков уже многие века.

Первая интересная особенность такого треугольника заключается в его углах. Поскольку треугольник полностью вписан в квадрат, каждая его вершина будет соприкасаться с одной из вершин квадрата. Всего в треугольнике будет три вершины, поэтому он будет иметь три угла.

Вторая интересная особенность связана с типами этих углов. Во-первых, два угла треугольника будут прямыми, поскольку они соприкасаются с углами квадрата. Третий угол будет острым внутренним углом, поскольку он формируется между двумя сторонами треугольника и одной из сторон квадрата.

Треугольник вписанный в квадрат

Треугольник вписанный в квадрат – это треугольник, вершины которого лежат на сторонах квадрата. Из-за такого расположения вершин, треугольник вписанный в квадрат обладает некоторыми особенностями.

1. Все стороны треугольника, а также стороны квадрата, являются отрезками прямой, поэтому длины всех сторон могут быть измерены численно.

2. Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Это следует из неравенства треугольника.

3. Треугольник вписанный в квадрат может быть разносторонним, равносторонним или равнобедренным, в зависимости от соотношений длин его сторон.

4. Всякий треугольник, вписанный в квадрат, обязательно имеет единственную параллельную прямую, которая делит его на две равные части – вершинами этого треугольника являются вершины квадрата.

5. Каждый угол треугольника вписанного в квадрат является прямым углом. Таким образом, у треугольника вписанного в квадрат всегда три прямых угла.

Из-за особенностей треугольника вписанного в квадрат, этот геометрический объект привлекает внимание и используется в различных математических и геометрических задачах.

Определение и свойства треугольника вписанного в квадрат

Треугольник вписан в квадрат, когда его вершины лежат на сторонах данного квадрата. В таком треугольнике каждая из вершин также является вершиной квадрата, а каждая его сторона — касательной к окружности, описанной вокруг квадрата.

Треугольник вписан в квадрат обладает следующими свойствами:

1. Угол, образованный касательной к окружности и стороной квадрата, равен 90 градусов.
2. Длины сторон треугольника вписанного в квадрат могут быть разными, но сумма длин двух любых сторон всегда больше длины третьей стороны.
3. Периметр треугольника вписанного в квадрат всегда больше периметра квадрата.
4. Треугольник вписан в квадрат с минимальным периметром, когда его стороны равны сторонам квадрата, а углы треугольника равны 45 градусам.

Определение и свойства треугольника вписанного в квадрат являются основой при изучении геометрии и нахождении различных зависимостей между углами и сторонами треугольника.

Геометрические особенности

Треугольник, вписанный в квадрат, имеет несколько интересных геометрических особенностей:

1. Кратность основных углов: У треугольника, вписанного в квадрат, все углы равны между собой. Это означает, что все углы треугольника равны 60 градусам.
2. Сумма углов: Сумма углов треугольника, вписанного в квадрат, всегда равна 180 градусам. Это свойство справедливо для всех треугольников в общем.
3. Соотношение сторон: Стороны треугольника, вписанного в квадрат, могут быть разной длины. Однако, для данного типа треугольника, сторона, противоположная углу в 60 градусов, является наибольшей стороной треугольника.
4. Совпадение центров: Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с центром квадрата, в которого вписан треугольник.

Из-за указанных выше особенностей треугольник, вписанный в квадрат, часто используется в геометрических задачах и доказательствах теорем. Этот тип треугольника является одним из простейших и хорошо исследован в рамках геометрии.

Количество углов

Треугольник, вписанный в квадрат, имеет три угла. Все углы внутри треугольника составляют 180 градусов, так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусов.

Но если говорить о количестве углов, которые образуют треугольник в контексте квадрата, то тут мы имеем дело с дополнительными углами. Два угла треугольника прилегают к сторонам квадрата, и эти углы составляют 90 градусов каждый. Третий угол треугольника образуется внутри квадрата, и его величина определяется как разница между 180 градусами и двумя углами квадрата, которые прилегают к треугольнику.

Таким образом, можно сказать, что треугольник вписанный в квадрат имеет два прямых угла (углы прилегающие к сторонам квадрата) и один дополнительный угол, который не является прямым.

Зависимость от типа треугольника

В общем случае, число углов треугольника, вписанного в квадрат, составляет три. Однако, известны некоторые особые типы треугольников, для которых число углов может быть иное.

Остроугольный треугольник – такой треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов). У такого треугольника также будет три угла.

Прямоугольный треугольник – такой треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. Такой треугольник будет иметь также три угла.

Тупоугольный треугольник – такой треугольник, у которого один из углов больше 90 градусов. У такого треугольника также будет три угла.

Таким образом, количество углов в треугольнике, вписанном в квадрат, зависит от типа треугольника, но всегда остается равным трем.

Таблица ниже показывает все три типа треугольников и их углы:

Тип треугольника	Углы
Остроугольный	Все углы острые (меньше 90 градусов)
Прямоугольный	Один угол равен 90 градусов
Тупоугольный	Один угол больше 90 градусов

Доказательство

Для начала рассмотрим квадрат ABCD и вписанный в него треугольник EFG.

1. Проведем диагонали квадрата ABCD. По свойству 7.1 углы внутри квадрата равны 90 градусам, следовательно, углы BAE и FCG также равны 90 градусам.

2. По свойству 7.8 треугольник BAE является прямоугольным.

3. Угол EBA прямой, поэтому угол EBC, который является внешним по отношению к треугольнику BAE, будет равен разности 90 градусов и угла EBA. То есть, угол EBC равен 90 — угла EBA.

4. Рассмотрим треугольник BCG. Углы BCG и FCG равны, так как они являются вертикальными, а вертикальные углы равны. Угол BCG также равен 90 градусам, по свойству внутреннего угла треугольника.

5. Значит, угол FCB равен разности 90 градусов и угла BCG. То есть, угол FCB равен 90 — угла BCG.

Таким образом, мы доказали, что углы треугольника EFG равны углам треугольника BCD.

Итак, треугольник EFG вписан в квадрат ABCD, и его углы равны углам квадрата ABCD. В квадрате ABCD все углы равны 90 градусам, следовательно, углы треугольника EFG также равны 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что у треугольника, вписанного в квадрат, все углы равны 90 градусам.

Математические приложения

Математика — одна из самых фундаментальных наук, которая находит применение во многих областях нашей жизни. Ее приложения можно найти в различных сферах, от строительства и инженерии до экономики и физики.

Вот несколько примеров математических приложений:

1. Финансы и экономика: Математические модели используются для прогнозирования экономического роста, управления финансами и определения оптимальных инвестиций. Теория вероятности и статистика помогают анализировать данные и принимать решения на основе статистических выводов.
2. Технологии: Математика является основой многих технологий, от разработки программного обеспечения и криптографии до создания искусственного интеллекта и компьютерного зрения.
3. Медицина: В медицине математика используется для моделирования и анализа медицинских данных, например, в генетике, эпидемиологии и исследованиях новых лекарственных препаратов.
4. Физика и инженерия: Математика является ключевым инструментом в физике и инженерии. Она используется для моделирования и решения сложных задач, таких как динамика движения, электричество и магнетизм, расчет напряжений в конструкциях и т.д.
5. География: Математика позволяет анализировать географические данные, моделировать климатические изменения и прогнозировать естественные катастрофы.

Это лишь небольшой перечень областей, в которых математические методы и концепции играют решающую роль. Математика помогает нам понять и описать мир, создать новые технологии и разработать эффективные стратегии управления. Без нее наш современный мир был бы невозможен.

Вопрос-ответ

Сколько углов у треугольника вписанного в квадрат?

У треугольника вписанного в квадрат всегда четыре угла.

Является ли каждый угол треугольника вписанного в квадрат прямым?

Да, каждый угол треугольника вписанного в квадрат является прямым.

Сколько прямых углов в треугольнике, который вписан в квадрат?

Треугольник, вписанный в квадрат, имеет три прямых угла.

Может ли треугольник вписанный в квадрат иметь острый угол?

Нет, треугольник вписанный в квадрат не может иметь острый угол, так как все его углы являются прямыми.

Если один из углов треугольника вписанного в квадрат равен 90 градусам, то какие углы остальные?

Если один из углов треугольника вписанного в квадрат равен 90 градусам, то все остальные углы также равны 90 градусам.

Сколько углов в треугольнике вписанном в квадрате прямые?

В треугольнике, вписанном в квадрат, все углы являются прямыми.