Степени и корни
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( – 5 ) 0 = 1, ( – 3 / 5 ) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.
где a ≠ 0 , не существует .
В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0
— любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.
Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то
0 0 — любое число.
Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,
в этом случае нет решения.
Таким образом, x > 0.
Авторские права © 2004-2024 Д-р Юрий Беренгард.
Все права защищены.
Формулы сокращенного умножения:
степень суммы и степень разности
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y) 2 = (x + y)(x + y) , (x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) , (x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y) |
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы |
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 |
| Пятая степень суммы | (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 |
| Шестая степень суммы | (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) суммы
Куб (третья степень) суммы
Четвертая степень суммы
(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y +
+ 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
Пятая степень суммы
(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y +
+ 10x 3 y 2 +
+ 10x 2 y 3 +
+ 5xy 4 + y 5
Шестая степень суммы
(x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y +
+ 15x 4 y 2 +
+ 20x 3 y 3 +
+ 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6
Общая формула для вычисления суммы
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности |
(x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 |
| Четвертая степень разности | (x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4 |
| Пятая степень разности | (x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5 |
| Шестая степень разности | (x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) разности
Куб (третья степень) разности
Четвертая степень разности
(x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y +
+ 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4
Пятая степень разности
(x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y +
+ 10x 3 y 2 –
– 10x 2 y 3 +
+ 5xy 4 – y 5
Шестая степень разности
(x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y +
+ 15x 4 y 2 –
– 20x 3 y 3 +
+ 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена» :
(x + y + z) 3 =
= x 3 + y 3 + z 3 + 3x 2 y +
+ 3x 2 z + 3xy 2 +
+ 3xz 2 +
+ 3y 2 z + 3yz 2 + 6xyz .
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |
Степень: Свойства, формулы, упрощения
Степенью называется выражение вида $a^n$ $a$ — основание степени. $n$ — показатель степени.
Основанием степени может быть любое число , а также числовое или алгебраическое выражение.
Показателем степени могут быть натуральные и дробные числа, а также любые алгебраические выражения.
Степени c натуральным показателем Натуральной n- ой степенью a-числа называется
$a^n=a\cdot a\cdot. \cdot a$ произведение на самого себя $n$ — раз.
$a^0=1$ число в нулевой степени равно 1 . $a^1=a$ число в первой степени равняется самому себе.
$a^2=a\cdot a$ число, выражение во второй степени — это число, помноженное само на себя: Квадрат числа.
$a^3=a\cdot a\cdot a$ число, выражение в третьей степени — это число, помноженное само на себя $3$ раза: Куб числа.
$a^7=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$ $7$ раз помноженное само на себя , получим 7-ую степень числа: «a в 7-ой степени» ..
Степень — удобная запись произведения нескольких одинаковых множителей. Также, как произведение = сумма одинаковых.
Пример 1: Вычислить степени, упростить .
a=b ⁿ, как выразить n (степень числа)?
Допустим, уравнение вида a=b ⁿ;
Как отсюда возможно вывести степень числа?
a и b — известны, нужно найти n, нужна именно формула, если таковая существует.
Лучший ответ
a и b — известны, нужно найти n, нужна именно формула, если таковая существует — конечно существует с начала 16 века и называется ЛОГАРИФМОМ (в переводе с греческого — «число, изменяющее отношение»). Логарифм числа a по основанию b определяется как показатель степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (логарифм существует только у положительных чисел)