Как решать матрицы 3х3

Вычислите определитель матрицы 3х3 по правилу сарруса.

На этой странице вы узнаете, что такое определитель квадратной матрицы 3х3. Вы увидите, как решать определители третьего порядка с помощью правила Саррюса. И, кроме того, у вас есть примеры и упражнения, решенные шаг за шагом, так что вы можете попрактиковаться и понять их в совершенстве.

Что является определителем матрицы 3×3?

Определитель третьего порядка — это матрица размерности 3×3 , представленная вертикальной чертой с каждой стороны матрицы. Например, если у нас есть следующая матрица:

Таким образом, $a_=7$.

Ответ. $a_=7$

Умножение матрицы на число

Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 475 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Пусть $A=\left( \begin \\ \end\right)$ . Найти матрицу 2$A$.

Ответ. $2 A=\left( \begin \\ \end\right)$

Сложение и вычитание матриц

Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.

Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$, если $A=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right), B=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right)$

Умножение матриц

Теоретический материал по теме — умножение матриц.

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right), B=\left( \begin & \\ & \end\right)$

Решение. Так как $A=A_$ , а $B=B_$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_$ , а это матрица вида $C=\left( \begin> & > \\ > & > \\ > & >\end\right)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Выполним произведения в более компактном виде:

Найдем теперь произведение $D=B A=B_ \cdot A_$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

Транспонирование матрицы

Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.

Задание. Найти матрицу $A^$, если $A=\left( \begin & \\ & \end\right)$

Минор и алгебраическое дополнение

Задание. Найти минор $M_$ к элементу $a_$ определителя $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

Задание. Найти алгебраическое дополнение $A_$ к элементу $a_$ определителя $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ .

Вычисление определителя

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin & \\ & \end\right|$

Решение. $\left| \begin & \\ & \end\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $\Delta=-80$

Нахождение обратной матрицы

Задание. Для матрицы $A=\left( \begin & \\ & \end\right)$ найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице $A$ справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $A^=\left( \begin & \\ & \end\right)$

Задание. Найти обратную матрицу для $A=\left( \begin & \\ & \end\right)$

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $\Delta=\left| \begin & \\ & \end\right|=2-1=1 \neq 0$

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=\left( \begin & & \\ & & \\ & & \end\right)$

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$\Delta=\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=1 \cdot(-1) \cdot(-1)+2 \cdot 3 \cdot 2+0 \cdot 1 \cdot 1-$

$-1 \cdot(-1) \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 \neq 0$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^$ к матрице $A$ находится по формуле:

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

Нахождение ранга матрицы

Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:

Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки:

Ответ. $\operatorname A=2$

Задание. Найти ранг матрицы $A=\left( \begin & & & \\ & & & \\ & & & \end\right)$ , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор $M_=1 \neq 0$ . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор $M_^=\left| \begin & \\ & \end\right|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор $M_$ окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_^=\left| \begin & \\ & \end\right|=5 \neq 0$ , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор $M_^$ . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$ равен двум: $\operatorname A=2$

Ответ. $\operatorname A=2$

Как найти определитель матрицы 3Х3

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 20 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 133 899.

В этой статье:

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Метод 1 из 2:

Поиск определителя

• M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) = ( 1 5 3 2 4 7 4 6 2 ) a_&a_&a_\\a_&a_&a_\\a_&a_&a_\end>=<\begin1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end>>

• Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a₁₁ a₁₂ a₁₃.

• В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2 :
• 1 5 3
• 24 7
• 46 2

• В нашем примере определитель матрицы ( 4 7 6 2 ) 4&7\\6&2\end>> = 4*2 — 7*6 = -34.
• Этот определитель называется минором элемента, который мы выбрали в нашей первоначальной матрице. [2] X Источник информации Другими словами, мы только что нашли минор a₁₁ .

• В нашем примере мы выбирали элемент a₁₁, который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2×2), и у нас получится 1*-34 = -34.

• + — +
• — + —
• + — +
• Поскольку мы работали с элементом a₁₁ , для которого стоит знак +, то мы будем умножать полученное значение на +1 (то есть оставим его как есть). Алгебраическое дополнение нашего элемента будет равно -34 .
• Вы также можете найти знак алгебраического дополнения по формуле (-1) i+j, где i и j — номер столбца и строки выбранного элемента соответственно. [3] X Источник информации

• Вычеркните строку и столбец с этим элементом. В нашем примере мы должны выбрать элемент a₁₂ (равный 5). Вычеркнем первую строку (1 5 3) и второй столбец ( 5 4 6 ) 5\\4\\6\end>> матрицы.
• Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2×2. В нашем примере матрица будет иметь вид ( 2 7 4 2 ) 2&7\\4&2\end>>
• Найдите определитель этой новой матрицы 2×2. Воспользуйтесь вышеприведенной формулой ad — bc. (2*2 — 7*4 = -24)
• Умножьте полученный определитель на выбранный элемент матрицы 3×3. -24 * 5 = -120
• Проверьте, нужно ли умножить результат на -1. Воспользуемся формулой (-1) ij , чтобы определить знак алгебраического дополнения. Для выбранного нами элемента a₁₂ в таблице указан знак «-», аналогичный результат дает и формула. То есть мы должны изменить знак: (-1)*(-120) = 120 .

• Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу ( 2 4 4 6 ) 2&4\\4&6\end>>
• Ее определитель равен 2*6 — 4*4 = -4.
• Умножьте результат на элемент a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Элемент a₁₃ имеет знак + в приведенной выше таблице, поэтому ответ будет -12 .

• В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74 .

Как найти обратную матрицу 3х3

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 104 191.

В этой статье:

Как правило, обратные операции используются для упрощения сложных алгебраических выражений. Например, если в задаче присутствует операция деления на дробь, можно заменить ее операцией умножения на обратную дробь, что является обратной операцией. Более того, матрицы делить нельзя, поэтому нужно умножать на обратную матрицу. Вычислять матрицу, обратную матрице размером 3х3, довольно утомительно, но нужно уметь делать это вручную. Также обратную величину можно найти с помощью хорошего графического калькулятора.

Метод 1 из 3:

С помощью присоединенной матрицы

• В случае матрицы размером 3х3 сначала обязательно вычислите определитель.
• Чтобы получить подробную информацию, прочитайте статью Как найти определитель матрицы 3х3.

• Чтобы поменять строки на столбцы, запишите элементы первой строки в первом столбце, элементы второй строки во втором столбце, а элементы третьей строки в третьем столбце. Порядок изменения положения элементов показан на рисунке, на котором соответствующие элементы обведены цветными кружками.

• Например, чтобы найти матрицу 2х2 для элемента, который расположен на пересечении второй строки и первого столбца, зачеркните пять элементов, которые находятся во второй строке и первом столбце. Оставшиеся четыре элемента являются элементами соответствующей матрицы 2х2.
• Найдите определитель каждой матрицы 2х2. Для этого произведение элементов второстепенной диагонали вычтите из произведения элементов главной диагонали (смотрите рисунок).
• Подробную информацию о матрицах 2х2, соответствующих определенным элементам матрицы 3х3, можно найти в интернете.

• Схема изменения знаков: знак первого элемента первой строки не меняется; знак второго элемента первой строки меняется на противоположный; знак третьего элемента первой строки не меняется и так далее построчно. Обратите внимание, что знаки «+» и «-», которые показаны на схеме (смотрите рисунок), не свидетельствуют о том, что соответствующий элемент будет положительным или отрицательным. В данном случае знак «+» говорит о том, что знак элемента не меняется, а знак «-» свидетельствует об изменении знака элемента.
• Подробную информацию о матрицах кофакторов можно найти в интернете.
• Так вы найдете присоединенную матрицу исходной матрицы. Иногда ее называют комплексно-сопряженной матрицей. Такая матрица обозначается как adj(M).

• Определитель матрицы, которая показана на рисунке, равен 1. Таким образом, здесь присоединенная матрица является обратной матрицей (потому что при делении любого числа на 1 оно не меняется).
• В некоторых источниках операция деления заменяется операцией умножения на 1/det(М). При этом конечный результат не меняется.