Как разложить степень на множители

Разложение многочлена на множители определенной степени

Следующий калькулятор находит множители входного полинома определенной степени в конечном поле. Также можно использовать этот калькулятор, как проверку на возможность разложения на множители (если в результате будет только один множитель, значит заданный полином не разлагаем на множители).

Разложение многочленов по определенным степеням

Коэффициенты полинома
Рассчитать
Входной многочлен
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить 
 Ссылка  Сохранить  Виджет

Если степень полученного множителя больше степени разложения, то дальнейшее разложение на множители возможно при помощи алгоритма Берлекампа или Кантора-Зассенхауза. Если степень полученного множителя совпадает со степенью разложения — этот множитель больше не разлагаем в заданном поле.
Перед началом работы этот калькулятор производит разложение на свободные от квадратов множители, если таковые находятся, то степень такого множителя будет отражена в колонке показатель.

Разложение на множители определенной степени

Алгоритм калькулятора использует известный факт, что неразлагаемый многочлен степени d будет делителем многочлена x p d -x в поле F_p, а также не будет делителем многочлена x p c -x, если 0

// v(x) - свободный от квадратов входной полином // p - модуль w ⟵ x+0 d ⟵ 0 loop while d+1 ≤ deg(v)/2 w ⟵ w^p mod v g ⟵ gcd( w - x, v) if g ≠ 1 then output ⟵ g,d v ⟵ v / g w ⟵ w mod v end if end loop if v ≠ 1 then output ⟵ v,deg(v)

Дональд Кнут, Искусство программирования том 2, пар. 4.6.2 Разложение полиномов на множители ↩

Как разложить многочлен

Чтобы разобраться в данной теме, в первую очередь, нужно разобраться с основной терминологией. Соответственно, понять, что такое многочлены.

Это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида. Данный термин играет ключевую роль в алгебре как в дисциплине, поэтому стоит понимать детали. Именно благодаря многочленам в дисциплину были введены понятия: «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число». Благодаря им возможно решение множества поставленных задач, причем как в теории, так и на практике.

Чтобы разложить многочлен на множители, в первую очередь нужно упростить его, а потом сократить. Произведение заданного действия имеет смысл тогда, когда степень выражения не ниже второй. Многочлен с первой степенью — линейный. Разложение в этом случае не производится, поскольку сам процесс бессмыслен.

Если нужно разложить выражение, то это делается по следующему алгоритму. Далее будет приведена теорема, где подробно объяснен механизм действий.

Многочлен с произвольной степенью n можно записать в виде следующего выражения: Pn(x)=y_nx n +y_n-1x n-1 +. +y₁x+y0

Следовательно, это произведение со старшей степенью y_n и n линейными множителями (х−хi), где i=1, 2 и т.д. Из этого можно вывести, следующую формулу: P_n(х)=y_n(х−x_n)(х−x_n−1). (х−х₁), где x_i, i=1, 2… и n_i=1, 2, . . Исходя из всего перечисленного, можно сделать вывод, что это и есть корни многочлена.

Чтобы детально разобраться в этой теории, нужно проанализировать доказательство теоремы алгебры и следствие из теоремы Базу.

Основная теорема алгебры: что она собой представляет и когда применяется

Перед тем как переходить к теореме Безу, нужно разобраться, что такое основная теорема алгебры, поскольку она является базой в заданной теме. Теорема сообщает, что любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень. Доказать эту теорему можно с помощью практических примеров.

Важно понимать, что в данном случае подразумевается, что корни могут быть различных видов: как вещественный (или действительный), так комплексный.

Данная теорема впервые встречается в 17 веке в трудах немецкого ученого Петера Рота. Со временем она стала обретать большую популярность, многие математики заинтересовались ею и проводили исследования, связанные с представленной теоремой. Она не теряет актуальность и по наш день.

Теорема Безу: что она собой представляет

Представленная теорема, в свою очередь, говорит, что остаток от деления многочлена P(х) на двучлен (х-y) равен P(y).

После того как было произведено деление многочлена вида P_n(x)=y_nx n +a_n−1x n−1 +. +y₁x+y₀ на (x−s), тогда можно получить остаток, который равен многочлену в точке s.

У теоремы Безу очень богатая история. По сути она была изобретена никем иным как Исааком Ньютоном в доказательство его теории про число точек пересечения кривых. Однако свое название она получила в честь французского математика Этьена Безу, который жил в середине восемнадцатого века. Именно он в своих трудах впервые опубликовал представленную теорему и доказал ее.

Сейчас теорема Безу является инструментом, которым активно пользуются, если нужно сделать ряд алгебраических вычислений.

Разбор следствия из теоремы Безу

Из приведенной выше теоремы Безу можно сделать следующее следствие: когда корень многочлена Pn(x) считается a, тогда Pn(х)=y_nx n +yn−₁x n−1 +. +y₁х+y₀=(х−a)*Q_n−1(х). Оно в полной мере описывает приведенную выше теорему и делает ее механизм рабочим.

Как разложить на множители квадратный трехчлен: особенности этого процесса и как он производится.

От теоремы Безу стоит плавно перейти к квадратным трехчленам, а точнее к тому, как разложить их на отдельные множители. Но сначала нужно обратиться к теории и понять, что квадратные трехчлены в целом собой представляют.

Квадратный трехчлен – это многочлен, который записывается в следующем формате: ах2 + bx + с.

Его можно разложить на линейные множители. В итоге получится, что ах 2 +bx+с=а (х−х₁)(х−х₂), где х₁и х₂ — это корни

Это решение можно проиллюстрировать рядом конкретных примеров. Достаточно лишь подставить соответствующее выражение в формулу. Так мы получим четкое решение и подтверждение тому, что формула рабочая. По такой схеме производится разложение аналогичных выражений. Если ответ не получается, то причина этому скорее всего кроется в арифметической ошибке. В таких ситуациях рекомендуется вернуться к началу и перерешать все еще раз.

Как разложить на многочлен множители, если его степень выше второй

Выше была подробно ситуация, где по заданию нужно разложить на множители квадратный трехчлен. Это является самым легким вариантом в этом разделе. В большинстве заданий все гораздо сложнее и необходимо раскладывать на множители выражения со степенью, выше второй.

Если по заданию нам нужно разложить на множители многочлен степени выше второй, то в этой ситуации также стоит базироваться на теореме Безу, а точнее на ее следствии.

Если нам нужно выполнить заданное действие, то нужно найти значение корня x₁ и понизить его степень. Затем найти корень x₂. Делать это нужно до тех пор, пока не получится полное разложение.

В том случае, если корень так и не был найден, следует применять другие способы разложения на множители, о которых подробно пойдет речь далее. Это более серьезный уровень. эти варианты стоит разбирать в персональном порядке, чтобы понять, какие там есть особенности и каков в целом алгоритм действий.

Чтобы продемонстрировать теорию на практике, можно решить несколько аналогичных примеров. Делает это по одинаковой схеме, которая была приведена выше. Достаточно лишь подставить числа в приведенную формулу.

Как поможет в процессе решения вынесение общего множителя за скобки

Для более полного погружения в материал, нужно рассмотреть случай, когда свободный член равен 0. В таком случае многочлен выглядит следующим образом: P_n(x)=y_nx n +y_(n-1)x n-1 +. +y₁x.

Можно заметить, что корень в такой ситуации также ровняется нулю. Из-за этого можно перевести все выражение в следующий вид: P_n(x)=y_nx n +y_n−1 x n−1 +. +y₁x=x(y_nx n −1+y_n−1x n−2 +. +y₁).

По этому алгоритму можно производить аналогичные разложения. Для получения решений нужно лишь подставить правильные значения в формулу.

Чтобы показать, как это работает, можно привести несложный пример:

Пример №1 Необходимо выполнить разложение 2×3+4×2−x.

В итоге получим следующее решение:

2×3+4×2−x = х(2×2+4x−1)

2x 3 +4x 2 −x = х(2x 2 +4x−1)

Далее нужно найти корни и дискриминант, чтобы получить верное решение.

Какие существуют искусственные приемы при разложении многочлена

Рациональные корни бывают далеко не у всех многочленов. Однако это совсем не значит, что их нельзя разложить на множители, просто в этом случае следует использовать специальные приемы.

К ним относятся:

способ группировки;
формулы сокращенного умножения и бином ньютона;
замена переменной.

О каждом из этих методов стоит поговорить подробнее, чтобы понять, что он представляет собой.

Способ группировки: что собой представляет и как применяется на практике

Встречается ряд случаев, когда слагаемые многочлена можно сгруппировывать. Это делается для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки. Данный метод в значительной степени упростит процесс решения.

В качестве примера можно привести следующее выражение. По заданию необходимо разложить x 4 +4x 3 −x 2 −8x−2x 4 +4x 3 -x 2 -8x-2 на множители.

При решении этого задания в первую очередь рекомендуется обратить внимание на коэффициенты. Они продемонстрированы как целые числа, из чего можно сделать предположение, что высока вероятность того, что корни также могут оказаться целыми. Это можно проверить простым способом: взять несколько положительных и отрицательных значений и подставить их в уравнение.

При проверке выясняется, что корней нет, а значит надо пользоваться способом группировки. Это делается по следующей схеме:

x 4 +4x 3 −x 2 −8x−2=(x 2 −2)(x 2 +4x+1)=(x−√2)(x+√2)(x+2−√3)(x+2+√3)

Этот способ пользуется определенной популярностью при решении аналогичных выражений. Основная причина заключается в том, что многие люди считают его слишком простым, однако на практике это не так. Данный метод также обладает множеством нюансов и подводных камней, при решении следует быть максимально внимательными.

Как для разложения многочлена применяются формулы сокращенного умножения и бином Ньютона

В сложных ситуациях для разложения выражения на множители можно использовать формулы сокращенного умножения и бином Ньютона. Однако прежде стоит понять, что это такое.

Формулы сокращенного умножения — специальные алгоритмы, которые помогают упростить решение многочлена.

Чтобы понять, как эта методика работает, можно проиллюстрировать ее простым примером. Если по заданию нужно разложить на множители следующее выражение: x 4 +4x 3 +6x 2 +4 x −2, то в итоге мы получим, что

x 4 +4x 3 +6x 2 +4x−2=(x 4 +4x 3 +6x 2 +4x+1)−3=(x+1) 4 −3=(x+1) 4 −3=((x+1) 2 −√3)((x+1) 2 +√3)=(x+1− 4 √3)(x+1+ 4 √3)(x 2 +2x+1+√3).

По такой же схеме производится вычисление в аналогичных ситуациях.

Как производятся замены переменной и что это действие в целом собой представляет

Если в процессе разложения многочлена на множители нужно воспользоваться методикой замены переменной, то это происходит по следующему алгоритму: в заданном выражении производится понижение степени и разложение многочлена на множители производится по установленному образцу.

Этот способ также можно проиллюстрировать на примере простого выражения x 6 +5x 3 +6. Решение выглядит следующим образом:

x 6 +5x 3 +6=openy=x 3 >=y 2 +5y+6==(y+2)(y+3)=(x 3 +2)(x 3 +3)==(x+ 3 √2)(x 2 − 3 √2x+ 3 √4)(x+ 3 √3)(x 2 − 3 √3x+ 3 √9).

По аналогии производятся и другие вычисления.

Тема разложения многочленов на множители достаточно сложная. Для ее освоения нужно знать множество деталей, ориентироваться в базовых формулировках, основных теоремах, уметь применять их на практике. Если детально разобраться в теории, то решение конкретных заданий будет происходить в разы легче.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Как разложить на множители многочлен второй степени (квадратное уравнение)

Соавтор(ы): Grace Imson, MA. Грейс Имсон — преподаватель математики с более чем 40 годами опыта. В настоящее время преподает математику в Городском колледже Сан-Франциско, ранее работала на кафедре математики в Сент-Луисском университете. Преподавала математику на уровне начальной, средней и старшей школы, а также колледжа. Имеет магистерскую степень по педагогике со специализацией на руководстве и контроле, полученную в Сент-Луисском университете.

Количество просмотров этой статьи: 38 500.

В этой статье:

Многочлен содержит переменную (х), возведенную в степень, и несколько членов и/или свободных членов. Разложение многочлена на множители – разбиение его на короткие и простые многочлены, которые перемножаются друг с другом. Умение раскладывать многочлен на множители требует достаточных математических знаний и навыков.

Метод 1 из 7:

Начальные шаги

Запишите уравнение. Стандартная форма квадратного уравнения:

ax 2 + bx + c = 0
Расставьте члены, начиная с наивысшего порядка. Рассмотрим пример:

6 + 6x 2 + 13x = 0
Приведите данное уравнение к стандартной форме квадратного уравнения (просто поменяв местами члены):

6x 2 + 13x + 6 = 0

Разложите на множители, используя один из методов, приведенных ниже. Разложение многочлена на множители – это разбиение его на короткие и простые многочлены, которые перемножаются друг с другом.

6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
В этом примере двучлены (2x +3) и (3x + 2) являются множителями исходного многочлена 6x 2 + 13x + 6.

Проверьте работу путем перемножения членов и сложения одинаковых (подобных) членов.

6x 2 + 4x + 9x + 6

(где 4х и 9х – подобные члены). Таким образом, мы правильно разложили многочлен на множители, так как при их перемножении мы получили исходный многочлен.

Метод 2 из 7:

Решение путем проб и ошибок

Если вам дан довольно простой многочлен, вы можете самостоятельно разложить его на множители. Например, опытные математики могут сходу определить, что многочлен 4x 2 + 4x + 1 имеет множители (2x + 1) и (2x + 1). (Заметьте, этот метод не будет таким простым при разложении более сложного многочлена.) Рассмотрим пример:

Запишите пары множителей коэффициентов a и c. Используя выражение вида ax 2 + bx + c = 0, определите коэффициенты a и c. В нашем примере

a = 3 и множители: 1 * 3
c = -8 и множители: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Напишите две пары скобок с пробелами, вместо которых поставите найденные свободные члены:

Перед x поставьте пару множителей для коэффициента a. В нашем примере такая пара только одна:

После x поставьте пару множителей для с. Допустим, мы возьмем 8 и 1. Получим:

(3x 8)(x 1)

Решите, какой знак поставить между x и числами (свободными членами). В зависимости от знаков в исходном уравнении можно определить знаки перед свободными членами. Обозначим свободные члены в наших двучленах-множителях через h и k:

Если ax 2 + bx + c, то (x + h)(x + k)
Если ax 2 — bx — c или ax 2 + bx – c, то (x — h)(x + k)
Если ax 2 — bx + c, то (x — h)(x — k)
В нашем примере 3x 2 + 2x – 8, поэтому (x — h)(x + k) и

Проверьте результаты, перемножив выражения в скобках. Если уже второй член (с переменной х) неправильный (неважно, отрицательный или положительный), вы выбрали не ту пару множителей c.

3x 2 — 3x + 8x — 8

3x 2 — 3x + 8x — 8 = 3x 2 + 5x — 8 ≠ 3x 2 + 2x — 8Таким образом, при перемножении множителей получаем выражение, которое не равно исходному; это значит, что мы выбрали не ту пару множителей.

Поменяйте пару множителей c. В нашем примере, возьмем 2 и 4 вместо 1 и 8.

(3x + 2)(x — 4)
Теперь c = -8. Однако (3x * -4) + (2 * x) = -12x+2x = -10х, то есть теперь b = -10х, а в исходном уравнении b = 2x (получили неверное значение b).

Поменяйте порядок множителей. Поменяем местами 2 и 4:

(3x + 4)(x — 2)
c такой, каким должен быть (4 * -2 = -8). -6x+4x дают нам правильную величину (2х), но неправильный знак перед ней (-2х вместо +2х).

Поменяйте знаки. Порядок членов в скобках оставляем прежним, но меняем знаки:

(3x — 4)(x + 2)
c такой, каким должен быть (-8), а

b= 6x — 4x = 2x
2x = 2x что и требовалось. Таким образом, мы нашли правильные множители исходного уравнения.

Метод 3 из 7:

Решение путем декомпозиции

Используя этот метод, можно определить все множители коэффициентов a и c и использовать их при нахождении множителей данного уравнения. Если числа большие или вам надоело угадывать, воспользуйтесь этим способом. Рассмотрим пример:

Умножьте коэффициент a (6 в нашем примере) на коэффициент c (тоже 6 в нашем примере).

Найдите коэффициент b разложением на множители и последующей проверкой. Мы ищем два числа, которые при перемножении дадут результат, равный результату умножения a * c (в нашем примере 36), а при сложении дадут результат, равный коэффициенту b (в нашем примере 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Подставьте два найденных числа в исходное уравнение в качестве суммы (которая равна b). Обозначим найденные числа через k и h (порядок не важен):

ax 2 + kx + hx + c
6x 2 + 4x + 9x + 6

Разложите многочлен на множители группировкой членов. Сгруппируйте члены исходного уравнения так, чтобы вынести наибольшие общие множители из первых двух и последних двух членов. При этом выражения в обеих скобках должны быть одинаковыми. Общие множители организуйте в выражение и умножьте его на одинаковое выражение в скобках.

6x 2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)

Метод 4 из 7:

Тройной метод

Очень похож на метод декомпозиции. Этот метод рассматривает возможные множители результата умножения a на c и использует их для нахождения значения b. Рассмотрим пример: 8x 2 + 10x + 2

Умножьте a (8 в примере) на c(2 в примере).

Найдите два числа, которые при перемножении дадут 16, а результат сложения которых равен коэффициенту b (10 в примере).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Найденные два числа (обозначим их через h и k) подставьте в следующее уравнение (формулу «тройного метода»):

Выясните, какое выражение в обеих скобках полностью делится на a. В нашем примере таким выражением является (8x + 8). Разделите это выражение на a, а выражение второй скобки оставьте как есть.

(8x + 8) = 8(x + 1)
Разделите это выражение на 8 (a) и получите (x + 1)

Вынесите наибольший общий делитель (НОД) из какой-либо или из обеих скобок (если он есть). В нашем примере НОД выражения из вторых скобок равен 2 (так как 8x + 2 = 2(4x + 1)). Таким образом, получим

Метод 5 из 7:

Разность квадратов

Некоторые коэффициенты многочленов могут быть идентифицированы как «квадраты» (произведение двух одинаковых чисел). Нахождение «квадратов» позволяет ускорить разложение многочлена на множители. Рассмотрим пример:

Вынесите за скобки наибольший общий делитель (если он есть). В нашем примере 27 и 12 делятся на 3.

27x 2 — 12 = 3(9x 2 — 4)

Определите, что исходное уравнение – разность двух квадратов. Уравнение должно иметь два члена, из которых можно извлечь квадратный корень.

9x 2 = 3x * 3x и 4 = 2 * 2 (заметьте, что мы отбросили знак минус)

Подставьте значения a и c в выражение вида:

В нашем примере a = 9 и c = 4, √a = 3 и √c = 2. Таким образом,

27x 2 — 12 = 3(9x 2 — 4) = 3(3x + 2)(3x — 2)

Метод 6 из 7:

Формула решения квадратного уравнения

Если другие методы не работают и многочлен не разлагается на факторы, воспользуйтесь формулой решения квадратного уравнения. Рассмотрим пример:

Подставьте соответствующие значения в формулу:

x = -4 ± √(4 2 — 4•1•1) / 2

Находим x. Вы должны получить два значения x. Как показано выше, мы находим два решения:

x = -2 + √(3) или x = -2 — √(3)

Подставьте найденные значения x вместо h и k в выражение вида:

(x — (-2 + √(3))(x — (-2 — √(3)) = (x + 2 — √(3))(x + 2 + √(3))

Метод 7 из 7:

Калькулятор

Если вы можете пользоваться графическим калькулятором, то это значительно упростит процесс разложения многочленов на множители. Ниже приведены инструкции для графического калькулятора TI. Рассмотрим пример:

Введите ваше уравнение в [Y = ].

Нажмите [GRAPH], чтобы построить график уравнения. Вы увидите плавную кривую (в нашем случае параболу, так как это квадратное уравнение).

Найдите точки пересечения параболы с осью Х. Таким образом вы найдете значения x.

Если не можете определить координаты визуально, нажмите [2nd], а затем [TRACE]. Нажмите [2] или выберите «нуль». Подведите курсор к левому пересечению и нажмите [ENTER]. Подведите курсор к правому пересечению и нажмите [ENTER]. Калькулятор сам определит значения x.

Подставьте значения x вместо h и k в выражение вида:

(x — (-1))(x — 2) = (x + 1)(x — 2)

Если у Вас есть графический калькулятор TI-84, то для него существует программа SOLVER, которая решает квадратные уравнения (и вообще уравнения любой степени).
Если члена в многочлене нет, то коэффициент равен 0. Если у вас такой случай, полезно переписать уравнение в виде:

Предупреждения

Если вы изучаете разложение многочленов на занятиях, применяйте тот метод, который советует преподаватель, а не тот, который вам нравится. Преподаватель на экзамене может потребовать использовать какой-либо определенный способ и может запретить пользоваться графическим калькулятором.

Что вам понадобится

Связанные wikiHows

Как сделать график квадратного уравнения
Как разложить на множители трехчлен
Как разложить число на множители
Как решать квадратные уравнения

Дополнительные статьи

найти квадратный корень числа вручную

найти среднее значение, моду и медиану

вычислить общее сопротивление цепи

вычесть дробь из целого числа

решать кубические уравнения

извлечь квадратный корень без калькулятора

$найти множество значений функции$

найти множество значений функции

переводить из двоичной системы в десятичную

перевести миллилитры в граммы

умножить в столбик

$проводить действия с дробями$

проводить действия с дробями

вычислить вероятность

найти область определения и область значений функции

разделить целое число на десятичную дробь

Об этой статье

Преподаватель математики

5 способов разложения многочлена на множители

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты это сделаешь, выражение станет намного проще и ты легко сможешь с ним «разобраться»!

Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

Как этому научиться?

Прочитай эту статью. Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова.

Потом объясним все пять способов разложения многочлена на множители.

И затем разберем на примерах как это делать.

Let’s dive right in… (Поехали!) ��

Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:

вынесение общего множителя за скобки;
использование формул сокращенного умножения;
метод группировки;
метод выделения полного квадрата;
разложение квадратного трехчлена на множители.

Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)

Одночлены

Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.

Многочлены

Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

Множители

Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число $ 12$, разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей.

Так $ 12$ мы можем получить, умножив $ 2$ на $ 6$.

А $ 6$, в свою очередь, можно представить как произведение $ 2$ и $ 3$.

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

Разложение числа на множители

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, $ 12=2\cdot 6$, а $ 6=2\cdot 3$?

Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, $ 2\cdot 2\cdot 3=12$.

Тут $ 2$, еще раз $ 2$ и $ 3$ – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь.

Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь «официальное» определение.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Давай посмотрим на каждый из них…

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

$ \displaystyle ac+bc=c(a+b)$

2. Формулы сокращенного умножения

3. Метод группировки

Применяется если преобразование не очевидно. Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

Метод группировки

Группируем члены парами, получаем:

4. Выделение полного квадрата

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – многочлен вида

Теорема. Если квадратное уравнение $ a^>+bx+c=0$ имеет корни $ _>,\text< >_>$, то его можно записать в виде:

Подробнее о каждом из 5-ти способов разложения на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Иначе говоря, $ a\left( b\text< >+\text< >c \right)\text< >=\text< >ab\text< >+\text< >ac$.

Так же можно проделать и обратную операцию, $ ab\text< >+\text< >ac\text< >=\text< >a\left( b\text< >+\text< >c \right)$.

Вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как $ x$ и $ y$, например, так и с числами: $ 6\text< >+\text< >8\text< >=\text< >2\left( 3\text< >+\text< >4 \right)$.

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа $ 12$, ведь все знают, что числа $ 6$, $ 8$ и $ 12$ делятся на $ 2$.

А как быть, если вам досталось выражение посложнее:

Как узнать на что, например, делится число $ 123$.

Нееет! С калькулятором-то любой сможет, а без него слабо?

А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Делится на:	Признак делимости числа на данный делитель
2	Оканчивается на: 0, 2, 4, 6, 8
3	Сумма цифр делится на 3
4	Две последние цифры делятся на 4
5	Последняя цифра 5 или 0
7	Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь
9	Сумма цифр делится на 9
10	Последняя цифра – ноль
11	Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Что ж, вернемся к выражению $ 3xy+123y$, может вынести за скобку $ y$ да и хватит с него?

Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ, что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на $ 2$ разделить не удастся.

Можно воспользоваться признаком делимости на $ 3$, сумма цифр $ 1$, $ 2$ и $ 3$, из которых состоит число $ 123$, равна $ 6$, а $ 6$ делится на $ 3$, значит и $ 123$ делится на $ 3$.

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления $ 123$ на $ 3$ получаем $ 41$ (признаки делимости пригодились!).

Таким образом, число $ 3$ мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

$ 3xy\text< >+\text< >123y\text< >=\text< >3y\cdot \left( x\text< >+\text< >41 \right)$.

Чтобы удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях.

Вот тут, например, $ 2^>-16^>+4x$, видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на $ 2$ – снова выносим, смотрим что получилось: $ 2^>-16^>+4x=2x(^>-8x+2)$.

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».

А вот здесь можно решить вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком 119 задач на формулы сокращенного умножения!

А вот здесь наше видео о том, какой навык, относящийся к формулам сокращенного умножения является самым сложным и самым важным — выделение полного кавдрата!

Справка.

Эти видео — часть нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике. Можно провести бесплатный «тест-драйв» этого курса. Например, посетить наши пробные вебинары.

В чем суть разложения на множители с помощью формул сокращенного умножения?

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение.

Формулы сокращенного умножения (таблица)

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

$ \displaystyle 16^>-8b+1$
$ \displaystyle -42c+9^>+49$
$ \displaystyle <<\left( 5\text\right)>^>-3$
$ \displaystyle \frac<\left( 4\text+2\text \right)\cdot \left( 4\text-2\text \right)>^>+4<<\text>^>-16\text>$
$ \displaystyle <<\left( 3\text\right)>^>-1$

Вот что должно было получиться:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

3. Метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на $ \displaystyle 3$ что-то делится и на $ \displaystyle 5$, а что-то на $ \displaystyle x$ и на $ \displaystyle y$

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене $ \displaystyle ^>-3xy-5^>y+15^>$ ставим член – $ \displaystyle 3xy$ после члена – $ \displaystyle 5x2y$ получаем:

Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки $ \displaystyle ^>$, а из второй $ \displaystyle 3y$, получаем:

Но это же не разложение!

После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части…

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это $ \displaystyle (x-5y)$

$ \displaystyle (x-5y)$за скобку и получаем финальное произведение $ \displaystyle (^>-3y)(x-5y)$

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения $ \displaystyle (x-5y)$, которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: $ \displaystyle ^>-3xy-5^>y+15^>=(^>-3y)(x-5y)$.

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен $ \displaystyle ^>-4x+2$ в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать.

Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будешь довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно $ \displaystyle 4$ вместо $ \displaystyle 2$.

Представим третий член $ \displaystyle 2$ как разность $ \displaystyle 4-2$, получим: $ \displaystyle ^>-4x+4-2=(^>-4x+4)-2$

К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов. ), имеем: $ \displaystyle <<\left( x-2 \right)>^>-2$, к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности. ), представив $ \displaystyle 2$, как $ \displaystyle \sqrt$, получим: $ \displaystyle (x-2-\sqrt)(x-2+\sqrt)$.

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду.

Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

$ \displaystyle 25^>-49^>;$
$ \displaystyle ^>-^>;$
$ \displaystyle ^>-^>;$
$ \displaystyle ^>+2-3$
$ \displaystyle ^>+6x+5;$

Решения:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

Примеры 5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило: $ \displaystyle ac+bc=c\left( a+b \right)$

Пример 1:

Разложить многочлен на множители $ \displaystyle 10^>-15^>$.

Пример 2:

Разложи на множители $ \displaystyle 12^>-2y$.

Решения двух примеров:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример 1:

Разложите на множители выражение $ \displaystyle ^>-8^>$.

Пример 2:

Разложите на множители многочлен $ \displaystyle ^>-1$.

Решение примеров 1 и 2:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

3. Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен $ \displaystyle 2^>+^>y-6xy-3^>$.

Решение:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен $ \displaystyle ^>+6-7$.

Решение:

Пример:

Разложите на множители многочлен $ \displaystyle ^>-4^>-1$.

Решение:

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример

Квадратный трехчлен – многочлен вида $ \displaystyle a^>+bx+c=0$, где $ \displaystyle x$ – неизвестное, $ \displaystyle a$, $ \displaystyle b$, $ \displaystyle c$ – некоторые числа, причем $ \displaystyle a\ne 0$.

Значения переменной $ \displaystyle x$, которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения $ \displaystyle a^>+bx+c=0$.

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема.

Если квадратное уравнение $ \displaystyle a^>+bx+c=0$ имеет корни $ \displaystyle _>,\text< >_>$, то его можно записать в виде: $ \displaystyle a^>+bx+c=a\left( x-_> \right)\left( x-_> \right)$.

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: $ \displaystyle 2^>+5x-3$.

Сначала решим квадратное уравнение: Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

$ \displaystyle 2^>+5x-3=2\left( x-\frac \right)\left( x+3 \right)$.

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны
автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
профессиональный репетитор c 2003 года;
преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;
в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Добавить комментарий Отменить ответ

17 комментариев

Татьяна Федоровна Архипова :
Разложить на множители x^4+2x+1
Сергей :
Аб+а^2? Разложить
Здравствуйте!
Помогите разложить на множители 128a⁷+b⁷.
Алексей Шевчук :
Света, (2a)⁷+b⁷ = (2a+b)((2a)⁶ — (2a)⁵*b + (2a)⁴ * b² — (2a)³ * b³ + (2a)² * b⁴ — (2a) * b⁵ + b⁶)
Ирина Лаговская :
Все замечательно. Но не могу разложить такое 15а^2 +14ab — 8b^2.
Александр Кель :

Ответ Алексея Шевчука: Ирина, один из вариантов раскладывать подобные выражения — приравнять к нулю и решить квадратное уравнение относительно одной из переменных. Например, если за переменную считать a, то получится: D = 196b^2 + 480b^2 = 676b^2 = (26b)^2 => a = 2b/5 или a = -4b/3. Это даёт нам разложение 15(a — 2b/5)(a + 4b/3) = (5a — 2b)(3a + 4b).

Марьяна :
Прекрасное изложение, спасибо! Успехов и продвижения вам!
Александр Кель :
Спасибо, Марьяна. Очень приятно слышать. И вам успехов и удачи!
1 из 100 сайтов нормальных
Александр Кель :
Спасибо, Захар. Заходите )
Татьяна :
t^2*(t+12)^3-t*(t+12)^12*(t-6)^2 подскажите, пожалуйста, как разложить на множители
Александра Купцова :

Здравствуйте, Татьяна!
Сначала давайте вынесем (t+12)^3, получим:
(t+12)^3(t^2 — t(t+12)^9(t-6)^2)
Смотрим на вторую скобку. Там у обеих частей есть t, вынесем:
t(t+12)^3(t — (t+12)^9(t-6)^2)
Я думаю, вторую скобку разложить больше не получится.

Спасибо за материал, а то везде дальше перечня и формул и примитивных примеров ничего нет. Подскажите, если можно, что делать с числителем.
5х^2-х-4/х^3-1 .

Александр Кель :

Ирина, спасибо за отзыв. Я перешлю Алексею Шевчуку ваш вопрос, но он может не ответить. Сейчас очень загружены ((

Александра Купцова :

Здравствуй, Ирина!
Давай начнем со знаменателя: внизу у тебя разность кубов, распиши ее по формуле (x^3-1^3=(x-1)(x^2+1*x*1^2))
Теперь посмотрим на числитель. Главная хитрость в том, что любой квадратный многочлен ax^2+bx+c (у тебя это 5x^2-x-4) можно представить в виде a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 – решения квадратного уравнения.
То есть ты решаешь 5x^2-x-4=0, находишь его корни. Это -0.8 и 1, значит, ты можешь написать, что 5x^2-x-4=5(x-1)(x+0.8)

Александр Кель :

Как круто! Куб в знаменателе я тоже увидел конечно, а вот что делать с числителем не догадался ) Спасибо, Саша!