Примеры задач с прямыми на плоскости
Разнообразие видов уравнений прямых на плоскости порождается многообразием геометрических способов задания прямых. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую на плоскости, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой на плоскости.
Для удобства решения типовых задач, связанных с прямыми на плоскости, все основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы задания этих прямых отражены в таблице 3.1.
Примеры составления прямых по геометрическим данным, указанным в таблице 3.1, разбирались в предыдущих разделах. Рассмотрим примеры нахождения уравнений прямых, заданных как геометрические места точек.
Пример 3.14. По сторонам и перемещаются точки и так, (рис.3.28). Найти геометрическое место точек — середин отрезков .
Решение. Введем аффинную систему координат с базисными векторами и (рис.3.28). Вершины и , а точки и – координаты и , где .
Середина отрезка имеет координаты , т.е. . Это означает, что при изменении параметра изменяются по закону
Получили параметрическое уравнение прямой. Поскольку параметр , то при и , точка совпадает с серединой стороны имеем и , точка совпадает с серединой . Поэтому искомое геометрическое место точек — отрезок , параллельная стороне Таблица 3.1. Основные типы уравнений прямых на плоскости
Пример 3.15. Найти геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух заданных точек плоскости постоянна (равна ).
Решение. Пусть (рис.3.29): начало координат ), тогда ось ординат совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку длину отрезка и . Пусть произвольная точка искомого множества. По условию задачи или
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем , это уравнение определяет пару прямых, перпендикулярных оси абсцисс (или ось ординат при ). Следовательно, искомое геометрическое место точек – серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему заданные точки (при ), или два перпендикуляра и к прямой, проходящей через заданные точки.
Метрические приложения уравнений прямых на плоскости
Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих их прямых.
1. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:
2. Расстояние между параллельными прямыми и находится как расстояние отточки , координаты которой удовлетворяют уравнению , до прямой no формуле:
3. Острый угол между двумя прямыми и находится по формулам:
а) , если и — направляющие векторы прямых и соответственно (в случае задания прямых каноническими или параметрическими уравнениями);
б) , если и — нормали к прямым и соответственно (в случае задания прямых общими уравнениями);
в) , если и — угловые коэффициенты прямых и соответственно (в случае задания прямых уравнениями с угловыми коэффициентами).
При решении задач свойства 1-3 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры (см. [url]p[/url]).
Пример 3.16. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найти расстояние от точки пересечения медиан до центра вписанной в треугольник окружности.
Решение. Пусть — заданный треугольник с катетами см и см. Введем прямоугольную систему координат (рис.3.30): начало координат совпадает с вершиной прямого угла треугольника ; ось абсцисс содержит катет , ось ординат — катет . Тогда вершины треугольника имеют координаты и . По координатам вершин треугольника находим координаты точки пересечения его медиан: , т.е. (см. [url]разд.2.1.1[/url]). Найдем координаты центра , то абсцисса и ордината точки , где — радиус вписанной окружности. Выразим радиус как расстояние от точки
Это уравнение прямой «в отрезках». Запишем его как общее уравнение прямой , и по свойству 1 выразим расстояние от точки . Отсюда ,
то есть , касающейся гипотенузы). Следовательно, точка . Осталось найти искомое расстояние
Взаимное расположение прямых и плоскостей: полное руководство с примерами
Давайте представим наш мир как огромную книгу, где каждая страница — это плоскость, а строки на этой странице — прямые. Понимание того, как они располагаются относительно друг друга, поможет нам «читать» эту книгу.
Что такое прямая?
Представьте себе нитку, которая тянется бесконечно в обе стороны. Вне зависимости от того, как вы её изгибаете или пытаетесь завязать в узел, в какой-то момент она всегда будет прямой. Вот и в математике прямая — это что-то, что идет прямо и никогда не изгибается.
Пример: Дорога, которая идет прямо вперед и никогда не поворачивает, напоминает прямую.
Что такое плоскость?
Теперь представьте лист бумаги, который тянется во всех направлениях до бесконечности. Этот лист бумаги не имеет толщины, но у него есть длина и ширина. Таким образом, плоскость — это как бесконечный лист бумаги в математическом мире.
Пример: Столешница или доска для рисования — это примеры плоскостей в нашем окружении.
Как прямая может располагаться на плоскости?
Если мы возьмем нашу «математическую нитку» (прямую) и положим ее на «бесконечный лист бумаги» (плоскость), то прямая может:
- Лежать полностью на плоскости, как если бы вы нарисовали линию на листе бумаги.
- Пересекать плоскость, как если бы вы воткнули иглу в лист бумаги под прямым углом.
- Идти параллельно плоскости, не касаясь её, как если бы вы держали нитку над листом бумаги.
Понимание этих основных понятий поможет нам в дальнейшем разобраться с более сложными аспектами взаимного расположения прямой и плоскости. Давайте двигаться дальше!
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Как мы увидели ранее, прямая и плоскость могут взаимодействовать между собой разными способами. Но что происходит, когда мы добавляем третий элемент — пространство? Представьте себе комнату. Эта комната — это наше пространство, а стены, потолок и пол — это плоскости. Прямые же могут быть представлены, например, лучами света, которые проникают в комнату.
Прямая и плоскость пересекаются
Когда луч света попадает на стену, он ее пересекает в одной точке. Это и есть точка пересечения прямой и плоскости.
Пример: Если вы включите фонарик и направите его свет на стену, то точка, в которой свет фонарика касается стены, и будет нашим примером пересечения.
Прямая лежит на плоскости
Если луч света идет ровно вдоль стены, не уходя от нее ни в одну сторону, то говорят, что прямая (в нашем примере – луч света) лежит на плоскости.
Пример: Рассмотрите тень от предмета, который лежит ровно на столе. Эта тень будет идти ровно вдоль поверхности стола, и это будет нашим примером прямой, лежащей на плоскости.
Прямая идет параллельно плоскости
Если луч света, например, идет ровно над полом, не касаясь его, но и не уходя в сторону, то говорят, что прямая идет параллельно плоскости.
Пример: Представьте, что вы держите фонарик так, чтобы свет шел ровно над поверхностью стола, не касаясь его. Этот свет будет нашим примером прямой, идущей параллельно плоскости.
Теперь, освоив эти простые понятия, вы можете легко определить, как прямая и плоскость взаимодействуют между собой в пространстве. Эти знания станут отправной точкой для дальнейшего изучения более сложных геометрических концепций.
Как определить взаимное расположение прямой и плоскости
Теперь, когда мы знаем, как прямая может располагаться относительно плоскости, давайте разберемся, как определить их взаимное расположение в конкретных ситуациях.
Наблюдение и визуализация
Самый простой способ — это «глазомер». При помощи рисунков и моделей вы можете визуально определить, как прямая расположена относительно плоскости.
Пример: На картонной коробке, представляющей собой плоскость, нарисуйте прямую. Если она касается коробки в одной точке — это пересечение. Если прямая идет по всей коробке — она лежит на плоскости.
Математический анализ
Для более сложных задач, где нужна точность, используют математические методы. При помощи формул и уравнений можно определить, пересекается ли прямая с плоскостью, лежит ли на ней или идет параллельно.
- Найдите уравнение прямой и уравнение плоскости.
- Подставьте координаты прямой в уравнение плоскости. Если результат удовлетворяет обоим уравнениям, прямая пересекает плоскость.
- Если прямая не пересекает плоскость, проверьте, являются ли они параллельными. Если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, то прямая и плоскость параллельны.
Практические задачи для проверки
Попробуйте решить несколько задач, чтобы закрепить свои знания.
Пример задачи: Даны уравнение прямой x = 2 + t, y = 3t, z = 1 — 2t и уравнение плоскости x + y + z = 6 . Определите их взаимное расположение.
С помощью этих методов вы сможете точно определить, как прямая расположена относительно плоскости в любой заданной ситуации. Не бойтесь экспериментировать и пробовать разные методы для лучшего понимания материала!
Взаимное расположение двух прямых: на плоскости и в пространстве
После изучения взаимного расположения прямой и плоскости, давайте рассмотрим, как могут располагаться две прямые относительно друг друга.
Прямые на плоскости
- Параллельные прямые: Это прямые, которые не пересекаются никогда, независимо от того, как далеко они продолжаются. Представьте две железнодорожные рельсы — они идут параллельно друг другу.
- Пересекающиеся прямые: Это прямые, которые пересекаются ровно в одной точке. Представьте два меча, которые скрестились, образуя «Х».
- Совпадающие прямые: Это две прямые, которые полностью совпадают друг с другом. Если вы наложите одну линейку на другую, то они будут совпадать.
Прямые в пространстве
- Параллельные прямые: Аналогично плоскости, это прямые, которые идут параллельно друг другу и никогда не пересекаются.
- Пересекающиеся прямые: Это прямые, которые пересекаются ровно в одной точке.
- Скрещивающиеся прямые: Вот тут интересно! Это прямые, которые не пересекаются и не идут параллельно друг другу. Представьте два карандаша, которые вы удерживаете так, чтобы они не касались друг друга, но и не были параллельны.
Угол между двумя прямыми
Если две прямые пересекаются, между ними образуется угол. Этот угол может быть измерен, и он помогает понять, как именно прямые расположены друг к другу.
Пример: Если две прямые пересекаются, образуя угол в 90 градусов, это значит, что они перпендикулярны друг другу.
Теперь, когда вы знаете, как могут располагаться две прямые, вы сможете анализировать их взаимное расположение в различных задачах и ситуациях, как на плоскости, так и в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости: основные случаи и варианты
До этого момента мы рассмотрели, как прямая может располагаться по отношению к плоскости. Теперь давайте систематизируем эту информацию и выделим ключевые случаи.
Прямая пересекает плоскость
Как уже было сказано, прямая может пересекать плоскость, причем ровно в одной точке. Это наиболее общий и легко заметный случай.
Пример: Если выставить карандаш вертикально на стол, то его кончик будет точкой пересечения с плоскостью стола.
Прямая лежит на плоскости
Если каждая точка прямой также принадлежит плоскости, то прямая полностью лежит на этой плоскости.
Пример: Рассмотрите линию, нарисованную на листе бумаги. Эта линия (прямая) лежит на плоскости бумаги.
Прямая параллельна плоскости
Прямая и плоскость могут быть параллельными, если они никогда не пересекутся, независимо от того, насколько далеко они продолжатся.
Пример: Представьте линию на полу и линию на потолке комнаты. Они никогда не пересекутся и будут идти параллельно друг другу.
Сколько существует вариантов взаимного расположения?
На самом деле, основываясь на вышеизложенном, можно выделить три основных случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
- Прямая пересекает плоскость.
- Прямая лежит на плоскости.
- Прямая параллельна плоскости.
Понимание этих трех основных случаев дает хороший фундамент для анализа различных геометрических задач и ситуаций, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Прежде чем исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, давайте напомним себе, что пространство представляет собой безграничную, трехмерную область, в которой размещены объекты. В контексте геометрии это место, где находятся прямые, плоскости и другие фигуры.
Взаимное расположение двух плоскостей
- Параллельные плоскости: Это плоскости, которые никогда не пересекаются, несмотря на их бесконечность.
- Совпадающие плоскости: Если каждая точка одной плоскости также принадлежит другой, тогда они полностью совпадают.
- Пересекающиеся плоскости: Если две плоскости пересекаются, они создают прямую пересечения.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Мы уже рассмотрели это ранее. В пространстве две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.
Взаимное расположение прямой и двух плоскостей
- Прямая пересекает обе плоскости: Это может произойти, если прямая проходит через обе плоскости, пересекая каждую из них в одной точке.
- Прямая лежит на одной из плоскостей и параллельна другой: Прямая может лежать на одной плоскости, при этом будучи параллельной другой плоскости.
- Прямая пересекает одну плоскость и параллельна другой: Это случай, когда прямая пересекает одну плоскость и идет параллельно другой.
Осмысливание этих концепций требует времени и практики. Визуализация, создание моделей и решение задач по этим темам помогут усвоить и понять материал. В российской системе образования эти темы часто изучаются в старших классах, и их понимание критически важно для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Сколько случаев взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве имеется?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала уточним основные позиции, которые прямая может занимать по отношению к плоскости в пространстве.
- Прямая пересекает плоскость: В этом случае прямая и плоскость пересекаются ровно в одной точке. Примером может служить карандаш, установленный вертикально на стол так, что его кончик касается поверхности стола.
- Прямая лежит на плоскости: Здесь каждая точка прямой также принадлежит плоскости. Пример — это любая линия, нарисованная на листе бумаги.
- Прямая параллельна плоскости: Прямая и плоскость никогда не пересекутся, независимо от того, насколько далеко они продолжатся. Представьте линию на потолке и плоскость пола — эта линия никогда не пересечет пол.
Таким образом, у нас имеется три основных случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.
Однако стоит отметить, что в зависимости от контекста или уровня изучения математики могут рассматриваться и дополнительные аспекты этой темы. Но в базовом курсе геометрии именно эти три случая являются наиболее существенными и часто рассматриваемыми. Освоив их, ученик легко сможет анализировать различные задачи и ситуации, связанные с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве
Прямые на плоскости:
Взаимное расположение двух прямых на плоскости может быть следующим:
- Пересекающиеся прямые: Эти прямые пересекаются в одной точке. Пример: Две улицы, пересекающиеся под прямым углом.
- Параллельные прямые: Они никогда не пересекутся, независимо от их продолжительности. Пример: Железнодорожные пути.
- Совпадающие прямые: Это две прямые, которые совершенно идентичны друг другу и лежат на одной линии.
Прямые в пространстве:
Прямые в пространстве могут иметь более сложное взаимное расположение:
- Пересекающиеся прямые: Две прямые пересекаются в одной точке.
- Параллельные прямые: Прямые, идущие параллельно друг другу и никогда не пересекающиеся.
- Скрещивающиеся прямые (или не параллельные и не пересекающиеся): Это две прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными. Если вы продолжите их в обе стороны на бесконечность, они никогда не встретятся.
Заключение
Чтобы успешно работать с геометрическими задачами, связанными с взаимным расположением прямых и плоскостей, важно иметь четкое понимание базовых концепций и уметь визуализировать различные ситуации. Эти навыки особенно важны для учащихся, которые готовятся к ЕГЭ по математике в России. С практикой и тщательным рассмотрением различных примеров студенты смогут с легкостью определять взаимное расположение различных геометрических объектов, что станет отличной базой для дальнейшего изучения математики.
Прямые и плоскости
Направляющий вектор прямой — это любой ненулевой вектор, коллинеарный ей. Так как всякие два направляющих вектора одной прямой коллинеарны друг другу, то один из них получается из другого умножением на некоторое число, не равное нулю.
| M 0 M → = t a M>>=t\mathbf > | (1) |
С другой стороны, всякая точка M , для которой выполнено условие (1), лежит на рассматриваемой прямой. Таким образом, этому условию удовлетворяют все точки прямой и только они. Обозначим через r 0 _> и r > радиусы-векторы точек M 0 <\displaystyle M_> и M соответственно. Тогда M 0 M → = r − r 0 <\displaystyle <\overrightarrow
| r − r 0 = t a -\mathbf _=t\mathbf > |
| r = r 0 + t a =\mathbf _+t\mathbf > . | (2) |
Уравнение (2) называют векторным уравнением прямой.
| < x = x 0 + t a 1 y = y 0 + t a 2 x=x_+ta_\\y=y_+ta_\end>> | (3) |
Это параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( x 0 , y 0 ) ,y_)> с направляющим вектором < a 1 , a 2 >,a_\>> .
Исключая из параметрического уравнения параметр t , получаем каноническое уравнение прямой:
| x − x 0 a 1 = y − y 0 a 2 >>>=>>>> | (4) |
Если, например, a 1 = 0 =0> , то данное уравнение переписывают в виде x − x 0 = 0 =0> .
Придем уравнение (4) к общему знаменателю:
| a 2 x − a 2 x 0 − a 1 y + a 1 y 0 = 0 x-a_x_-a_y+a_y_=0> |
Обозначим A = a 2 , B = − a 1 , C = a 1 y 0 − a 2 x 0 ,B=-a_,C=a_y_-a_x_> , запишем в виде
| A x + B y + C = 0 | (5) |
Это общее уравнение прямой на плоскости.
Теорема. На плоскости прямые и только прямые описываются уравнениями первой степени.
Согласно (1) существует такое число t , что
| A ⋅ ( x − x 0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) = 0 )+B\cdot (y-y_)=0> |
| A x + B y − A x 0 − B y 0 = 0 -By_=0> | (∗) |
Поскольку ( x 0 , 0 ) ,_)> — решение уравнения (5), то C = − A x 0 − B y 0 <\displaystyle C=-Ax_-By_> . Значит, равенство (∗) совпадает с равенством (5), то есть координаты всякой точки M , принадлежащей l , удовлетворяют уравнению (5).
Уравнение первой степени — прямая. Пусть точка M ( x , y ) удовлетворяет уравнению (5). Тогда из того, что точка M 0 ( x 0 , y 0 ) (x_,y_)> также удовлетворяет этому условию, следует
| A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) = 0 )+B(y-y_)=0> |
| x − x 0 − B = y − y 0 A >>=>>> |
Из доказательства следует, что направляющий вектор прямой, задаваемой уравнением (5), — < − B , A >> .
Если B ≠ 0 , то уравнение (5) можно переписать в виде
| y = − A B x − C B >x->> |
| y = k x + b | (6) |
Стоит отметить, что в произвольной системе координат угловой коэффициент k не является тангенсом угла наклона прямой к оси абсцисс, как в прямоугольной системе координат.
Если на прямой заданы две точки M 0 ( x 0 , y 0 ) (x_,y_)> и M 1 ( x 1 , y 1 ) (x_,y_)> , то в качестве направляющего вектора можно взять вектор < x 1 − x 0 , y 1 − y 0 ><\displaystyle \
| x − x 0 x 1 − x 0 = y − y 0 y 1 − y 0 >-x_>>=<\frac |
Взаимное расположение двух прямых на плоскости [ править ]
Две прямые на плоскости могут
- совпадать;
- быть параллельными;
- пересекаться.
Пусть даны две прямые l 1 > и l 2 > , задаваемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 x+B_y+C_=0> и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 x+B_y+C_=0> соответственно. Определим условия, необходимые и достаточные для определения взаимного расположения данных прямых.
Теорема. Для того чтобы прямые l 1 > и l 2 > совпадали необходимо и достаточно, чтобы
| A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 >>>=>>>=>>>> | (7) |
Доказательство. Необходимость. Векторы < − B 1 , A 1 >,A_\>> и < − B 2 , A 2 >,A_\>> являются направляющими для прямых l 1 <\displaystyle l_> и l 2 <\displaystyle l_> , значит, они коллинеарны. Существует такое число λ , что
| < − B 1 , A 1 >= λ < − B 2 , A 2 >,A_\>=\lambda \,A_\>> |
Умножим уравнение второй прямой на λ и вычтем его из уравнения первой прямой.
| A 1 x + B 1 y + C 1 − λ A 2 x − λ B 2 y − λ C 2 = C 1 − λ C 2 = 0 x+B_y+C_-\lambda A_x-\lambda B_y-\lambda C_=C_-\lambda C_=0> |
Это равносильно условию (7). Достаточность. Из условия (7) следует, что
| A 1 x + B 1 y + C 1 = λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 ) x+B_y+C_=\lambda (A_x+B_y+C_)> |
для некоторого λ , то есть уравнения, задающие прямые l 1 > и l 2 > , эквивалентны. ◻
Теорема. Прямые l 1 > и l 2 > параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда
| A 1 A 2 = B 1 B 2 ≠ C 1 C 2 >>>=>>>\neq >>>> | (8) |
Доказательство. Необходимость следует из пропорциональности направляющих векторов и справедливости предыдущей теоремы.
Достаточность. Первая часть условия (8) дает параллельность направляющих векторов, вторая — несовпадение прямых. ◻
Теорема. Прямые l 1 > и l 2 > пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
| A 1 A 2 ≠ B 1 B 2 >>>\neq >>>> | (9) |
Доказательство. Данное утверждение следует из предыдущих двух теорем. ◻
Полуплоскости, связанные с данным уравнением [ править ]
Пусть даны плоскость и лежащая на ней прямая. Две точки M и N лежат по одну сторону от прямой, если отрезок M N не пересекается с данной прямой. Полуплоскостью называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от прямой.
Теорема. Если прямая l на плоскости задана уравнением (5), то множества F + > и F − > всех точек M ( x , y ) , для которых A x + B y + C > 0 0> и A x + B y + C < 0 , являются полуплоскостями, ограниченными прямой l .
Доказательство. Пусть точки M 0 ( x 0 , y 0 ) (x_,y_)> и M 1 ( x 1 , y 1 ) (x_,y_)> лежат в множестве F − > . Рассмотрим произвольную внутреннюю точку M ( x , y ) отрезка M 0 M 1 M_> . Поскольку эта точка делит отрезок в некотором соотношении 1 λ <\displaystyle <\tfrac <\lambda >>> , ее координаты
| x = x 0 + λ x 1 1 + λ , y = y 0 + λ y 1 1 + λ +\lambda x_><1+\lambda >>,y=+\lambda y_><1+\lambda >>> |
Учитывая очевидное тождество C = 1 1 + λ C + λ 1 + λ C <1+\lambda >>C+<1+\lambda >>C> , получаем
так как обе точки M 0 > и M 1 > принадлежат F − > . По определению полуплоскости F − > лежит в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой l . Аналогичные рассуждения верны и для F + > . Поскольку плоскость исчерпывается множествами F − > , l и F + > , то множества F − > и F + > лежат в разных полуплоскостях и исчерпывают их. ◻
Множество F − > называют отрицательной полуплоскостью по отношению к уравнению (5) прямой l , а F + > — положительной полуплоскостью.
Если ту же прямую задать другим уравнением
| A ′ x + B ′ y + C ′ = 0 , | (5′) |
Плоскости в пространстве [ править ]
Утверждения о плоскости в пространстве аналогичны утверждениям о прямой на плоскости. Основное различие — в размере формул. Поэтому при выводе формул, принципиально не отличающихся от формул для прямой на плоскости, некоторые детали будут опущены.
Уравнения плоскости [ править ]
| M 0 M → = u a + v b M>>=u\mathbf +v\mathbf > | (10) |
Обозначим через r 0 _> и r > радиусы-векторы точек M 0 <\displaystyle M_> и M соответственно. Тогда M 0 M → = r − r 0 <\displaystyle <\overrightarrow
| r − r 0 = u a + v b -\mathbf _=u\mathbf +v\mathbf > |
| r = r 0 + u a + v b =\mathbf _+u\mathbf +v\mathbf > . | (11) |
Уравнение (11) называют векторным уравнением плоскости’.
Возьмем некоторую аффинную систему координат в пространстве. Пусть точки и векторы имеют координаты
Переходя от равенства векторов к равенству их координат, получаем
| < x = x 0 + u a 1 + v b 1 y = y 0 + u a 2 + v b 2 z = z 0 + u a 3 + v b 3 x=x_+ua_+vb_\\y=y_+ua_+vb_\\z=z_+ua_+vb_\end>> | (12) |
Это параметрические уравнения плоскости. Эквивалентная система уравнений
| < x − x 0 = u a 1 + v b 1 y − y 0 = u a 2 + v b 2 z − z 0 = u a 3 + v b 3 x-x_=ua_+vb_\\y-y_=ua_+vb_\\z-z_=ua_+vb_\end>> |
выражает линейную зависимость столбцов матрицы
| [ x − x 0 a 1 b 1 y − y 0 a 2 b 2 z − z 0 a 3 b 3 ] x-x_&a_&b_\\y-y_&a_&b_\\z-z_&a_&b_\end>> , |
что эквивалентно равенству
| | x − x 0 y − y 0 z − z 0 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = 0 x-x_&y-y_&z-z_\\a_&a_&a_\\b_&b_&b_\end>=0> , | (13) |
или (после раскрытия определителя по первой строке) уравнению
| A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 )+B(y-y_)+C(z-z_)=0> , |
Обозначив D = − A x 0 − B y 0 − C z 0 -By_-Cz_> , получим общее уравнение плоскости
| A x + B y + C z + D = 0 | (14) |
Аналогично случаю плоскости можно доказать, что в пространстве плоскости и только плоскости описываются уравнением первой степени.
Если плоскость задана тремя точками с координатами M i ( x i , y i , z i ) i = 0 , 1 , 2 (x_,y_,z_)\quad i=0,1,2> , не лежащими на одной прямой, то принимают a = M 0 M 1 → , b = M 0 M 2 → M_>>,\mathbf =<\overrightarrow
| | x − x 0 y − y 0 z − z 0 x 1 − x 0 y 1 − y 0 z 1 − z 0 x 2 − x 0 y 2 − y 0 z 2 − z 0 | = 0 x-x_&y-y_&z-z_\\x_-x_&y_-y_&z_-z_\\x_-x_&y_-y_&z_-z_\end>=0> |
Взаимное расположение плоскостей [ править ]
Аналогично случаю прямых на плоскости, можно доказать, что две плоскости, заданные своими общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 x+B_y+C_z+D_=0> и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 x+B_y+C_z+D_=0>
Полупространства, связанные с данным уравнением плоскости [ править ]
Пусть дана плоскость в пространстве. Две точки M и N лежат по одну сторону от плоскости, если отрезок M N не пересекается с данной плоскостью. Полупространством называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от плоскости.
Аналогично случаю прямой на плоскости множества F + > и F − > всех точек M ( x , y , z ) , для которых A x + B y + C z + D > 0 0> и A x + B y + C z + D < 0 , являются полупространсвами, ограниченными плоскостью.
Множество F − > называют отрицательным полупространством по отношению к уравнению (14) плоскости, а F + > — положительным полупространством.
Прямая в математике – определение, виды и свойства
Прямая линия в евклидовой геометрии – это примитивный объект бесконечной длины, не имеющий кривизны и ширины и, который равномерно лежит на точках, составляющих его.
Прямая (понятие, определение):
Прямая линия в евклидовой геометрии – это примитивный объект бесконечной длины, не имеющий кривизны и ширины и, который равномерно лежит на точках, составляющих его.
Когда говорят о прямой линии, последнее слово в словосочетании принято опускать.
При изображении прямой линии на плоскости, видно только ее часть, подразумевается, что она продолжается в обе стороны бесконечно.
Прямую обозначают одной маленькой буквой латинского алфавита или двумя большими буквами, обозначающими точки на прямой.
Рис. 2. Обозначение прямой
Виды прямых линий:
Параллельные прямые – прямые, которые не имеют общих точек и не пересекаются между собой;
Рис. 3. Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, которые имеют одну общую точку;
Рис. 4. Пересекающиеся прямые
Перпендикулярные прямые – прямые, которые пересекаются под углом 90 градусов. Перпендикулярные прямые образуют прямой угол .
Рис. 5. Перпендикулярные прямые
Касательная – прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Рис. 6. Касательная
Виды прямых, взаимодействующих с фигурами:
Прямая Симсона – прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности.
Прямая Эйлера – прямая, проходящая через центроид треугольника , ортоцентр треугольника , точку пересечения серединных перпендикуляров и центр окружности девяти точек.
Прямая Гаусса – прямая, соединяющая середины диагоналей четырёхугольника.
Свойства прямой в евклидовой геометрии:
1. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.
2. Через произвольные две точки можно провести единственную прямую.
3. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.
4. Есть точки, лежащие на прямой, и не лежащие на ней.
5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
- ← Реакция меди с азотной кислотой
- Катион, формула катиона, образование катиона →
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
- Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (106 533)
- Экономика Второй индустриализации России (102 545)
- Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (27 747)
- Метан, получение, свойства, химические реакции (24 179)
- Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (23 881)
- Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (21 534)
- Крахмал, свойства, получение и применение (20 870)
- Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (19 942)
- Целлюлоза, свойства, получение и применение (19 728)
- Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (18 986)
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Прямая на плоскости – необходимые сведения
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Взаимное расположение прямой и точки
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В , то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р . Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».
Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .
Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А , В , С , которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С , следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .
Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:
Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Две прямые на плоскости могут совпадать.
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Две прямые на плоскости могут пересекаться.
Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .
При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .
Две прямые на плоскости могут быть параллельны.
Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b : a ∥ b .
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
- если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
- если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.
Рассмотрим это на рисунках.
Способы задания прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H . Точки F и G лежат на прямой a . Точки D и H не лежат на прямой a .
В тексте точку обозначают символом « (·)» . Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами « ∈ » и « ∉ ». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы « Э » или как знак евро « € » .
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
- (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
- (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
- (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
- (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
-
На рисунке изображены:
- Прямая a
- Прямая f
- Прямая CH
- Прямая DK
Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .
Решение задачи
Обозначим её буквой a .
Отметим точки (·)A и (·)B , лежащие на прямой a .
Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R , не лежащие на прямой a .
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
- (·)A ∈ a
- (·)B ∈ a
- (·)P ∉ a
- (·)Q ∉ a
- (·)R ∉ a
Как обозначается пересечение прямых
На рисунке прямые a и b не пересекаются . Прямые b и c пересекаются .
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩ . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:
- b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
- a ∩ c — прямые a и с пересекаются.
Прямые e и g имеют общую точку M . Другими словами, прямые пересекаются в точке M . Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну .
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M .
Третий случай расположения прямых
Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B .
Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно .
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Теперь прямая a пересекается с прямой b , прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a .
В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D .
Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D . Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F .
Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D , прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E . Условие задачи выполнено.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T .
Сам отрезок можно назвать ST или TS . Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:
- если х = 0, то у = -2;
- если х = 2, то у = -1;
- если х = 4, то у = 0;
- и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Свойства линейной функции
- Область определения функции — множество всех действительных чисел.
- Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
- График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
- Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
- Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция. - Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
- График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b). - x=-b/k — является нулем функции.
- Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х. - Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, – b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, – b /k). - Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
- если k > 0, то график наклонен вправо;
- если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
- если b 1 /2x + 3, y = x + 3.
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая. В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3). Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = – 1 /2x + 3, y = -x + 3. 
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая. Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3). Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x – 2. 
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые. При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
- график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
- график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
- график функции y = 2x – 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png” style=”height: 600px;”>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png” style=”height: 600px;”>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
- С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b). - С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = – b /k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
- В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10 - Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
- Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство. - Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
- Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Плоскость, прямая линия, луч
Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.
Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.
Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.
Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.
Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.
Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.
Прямая линия
Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.
Даже когда мы рисуем на листе бумаги небольшой кусок прямой линии, то мы предполагаем , что этот лист бумаги – это бесконечная плоскость, и мы можем мысленно раздвинуть видимые границы бумаги и продлить прямую бесконечно долго.
Обозначение прямой
В основном прямую, как и любую другую линию, обозначают при помощи строчной (маленькой) буквы латинского алфавита .
Иногда обозначение прямой линии происходит при помощи двух точек , которые принадлежат (часто говорят просто – лежат на) этой прямой. В этом случае ее обозначают названием этих двух точек.
Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:
Рис. 1 Обозначение прямой линии
Если на одной прямой лежат три и более известных нам точек, то обозначить эту линию можно любой из комбинаций имен любых двух точек .
Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками
На рисунке 2 видно, что на одной прямой b лежат четыре точки: D , G , H , O . Поэтому данную прямую мы можем назвать любым из этих семи имен: b , DG , DH , DO , GH , GO или HO .
Некоторые свойства прямой
Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.
Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.
Рис. 3 Отрезок на прямой
Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.
Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.
И наоборот, если у двух разных прямых нет общей точки, тогда эти прямые не пересекаются .
Рис. 5 Пересечение прямых
На рисунке 5 можно видеть, что прямые l и q пересекаются в точке O , а прямые q и g не пересекаются.
Обозначение пересечения письменно записывается при помощи символа ∩: l ∩ q — прямая l пересекается с прямой q .
Как вам уже известно из этого урока, на рисунках мы можем отображать только часть прямых (поскольку они бесконечные), и что их можно мысленно увеличивать, делать более протяженными. Поэтому, если мысленно продлить прямые l и g , то станет понятно, что они тоже пересекаются.
Взаимное расположение точек и прямой , а также их обозначение, точно такое же, как и у всех линий вообще.
Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.
Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.
Рис. 6 Деление прямой линии точкой
На рисунке 1 точка O делит прямую a на две части, то есть, на два луча. Один из них, как вы видите, длится бесконечно вправо, а другой – бесконечно влево. Оба они начинаются в одной и той же точке O , которую называют началом луча.
У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.
Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.
Обозначение луча
Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.
Рис. 7 Обозначение луча
На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:
- a – строчной (маленькая) буква латинского алфавита;
- OF – точками, расположенными на луче. При этом на первом месте всегда пишут точку начала луча, а на втором – любую точку, которая принадлежит лучу.
Луч имеет второе название – полупрямая.
Два луча, которые лежат на одной прямой, начинаются в одной точке и направлены в разные стороны, называются дополнительными друг другу лучами , поскольку в соединенном виде они формируют одну прямую линию в точке их начала.
Если лучи лежат на одной прямой, начинаются в одной точке и направлены в одну сторону, их называют совпадающие , или говорят, что эти лучи совпадают .
Рис. 8 Дополнительные друг другу и совпадающие лучи
На рисунке 8 видно, что:
- CB и CH – дополнительные друг другу лучи,
- BC и BH – совпадающие лучи,
- HC и HB – совпадающие лучи.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 19
Основные понятия геометрии. Понятие точки, прямой и плоскости
Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия.
Прямая и плоскость безграничны, поэтому на чертеже изображают часть.
- Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D,…
- Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d,… Или же прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней.
- Отрезок обозначается заглавными латинскими буквами: AB, CD,…
Точка – это самая простая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.
Всякая более сложная геометрическая фигура – это множество точек, обладающих определенным свойством, характерным только для этой фигуры.
Прямую можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:
Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком (или отрезком прямой). Основное свойство отрезка – это его длина. Длина отрезка – это расстояние между его концами. Измерить отрезок – это значит установить его длину в определенных единицах. Основные единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км).
Отрезок изображается так:
Луч – это направленная полу прямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:
Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два противоположно направленных луча. Такие лучи называются дополнительными.
Плоскость, как и прямая, – это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, невозможно увидеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.
Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную геометрическую фигуру:
Взаимное расположение прямой и точки
Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости:
– либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку);
– либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).
Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ « (in) ». К примеру, если точка (A) лежит на прямой (a) , то это можно записать в виде (Ain a) . Если точка (A) не принадлежит прямой (a) , то записывают как (Anotin a) .
Аксиома – это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.
Основные свойства принадлежности точек и прямых
- Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
- Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости
- Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Основные свойства измерения отрезков
- Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Основные свойства откладывания отрезков
- На любой полу прямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы.
Урок 4 Бесплатно Плоскость. Прямая. Луч
В этом уроке мы продолжим разговор про геометрию, начатый в прошлых уроках.
Мы рассмотрим такие понятия, как плоскость, прямая, луч, поговорим еще раз про отрезки. Также обсудим, как все эти объекты могут располагаться друг относительно друга. Начнем же.
Плоскость
Важно отметить, что в начале разбора приходится некоторые понятия принимать как нечто, что не требует определения, к таким понятиям относятся понятия прямой и точки.
Немецкий учений Гильберт как-то сказал на эту тему, что “точкой можно назвать хоть стул”, тем самым говоря, что вся наша модель строится на некоторых условностях.
С этим пониманием приступим к первой теме урока.
Для начала нам нужно понять, что такое поверхность.
Есть много строгих математических формулировок, но они уместны скорее в высших учебных заведениях, пока будет достаточно обиходного понятия поверхности.
Будем понимать под поверхностью непрерывное множество точек, границу, отделяющую геометрическое тело от внешнего пространства.
Представьте себе поверхность рабочего стола, футбольного мяча или любого другого предмета.
Также известно, что некоторые поверхности, например, рабочего стола, плоские.
Так мы подходим к понятию плоскости. Плоскость – плоская, бесконечная поверхность.
Плоская в данном случае обозначает, что если через любые две точки, принадлежащие этой плоскости, провести прямую, то она будет лежать в этой плоскости.
В самом деле, если нарисовать две точки на поверхности стола и соединить их прямой, то эта прямая будет лежать в плоскости стола.
Если же отметить две точки на шаре, то (тут нужен некоторый мысленный эксперимент) прямая, соединяющая их, будет проходить внутри шара, а не по его поверхности. Таким образом, поверхность шара не плоская, не является плоскостью.
Сейчас очень важно понять, что плоскость – это некоторое математическое понятие, соответствующее нашим бытовым плоским поверхностям с главным отличием в том, что у плоскости нет края.
Обычно на рисунках плоскость обозначается конечной, в крайнем случае лист бумаги или экран компьютера конечен.
Но это лишь обозначения, сама плоскость бесконечна.
Поверхности и плоскости принято обозначать двумя способами: с помощью трех латинских букв, соответствующих трем точкам плоскости, или одной греческой.
Выше изображена четырехугольная пирамида. В ней можно насчитать 5 плоскостей:
Согласись, две точки слишком мало, чтобы обозначить плоскость: на данном рисунке, например, есть две плоскости, проходящие через точки A и E, а четыре точки уже несут избыточную информацию, поэтому плоскости обозначают тремя точками.
Иногда плоскость обозначают одной строчной греческой буквой, например, так:
Плоскость – множество точек.
Точка может принадлежать плоскости (лежать в ней) или не принадлежать плоскости.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Прямая
Прямая – это, как уже было сказано, фундаментальное понятие и формального определения не имеет, но мы можем ее описать.
Проведем отрезок, назовем его AB.
А теперь продолжим его по линейке за концы в обе стороны:
Так мы получим прямую. Прямая, как и плоскость, бесконечна.
Если плоскость простирается во все стороны, то прямая в конкретные два направления.
Как и в случае с плоскостью, невозможно изобразить нечто бесконечное в тетрадях или на мониторах, так как эти объекты имеют границы, поэтому любое изображение будет лишь обозначать прямую.
Для обозначения прямой используются две заглавные латинские буквы, так выше приведенную прямую можно назвать “прямая АВ” или “прямая ВА”.
Также иногда прямые обозначают строчными латинскими буквами:
Вот, например, прямая а.
В геометрии есть понятия, которые принимаются без доказательств, – аксиомы.
И вот одна из них:
Через любые две точки проходит единственная прямая.
То есть ситуация, при которой между двумя точками нет ни одной прямой или, напротив, более одной, невозможна.
Прямая – это множество точек. Значит, как и в случае с плоскостями, точки могут принадлежать прямым.
Так на рисунке выше точки А и В принадлежат прямой АВ.
Рассмотрим другой рисунок:
В данном случае точки С и D не принадлежат прямой АВ.
Мы можем представить себе прямую, нарисованную на плоском листе бумаги.
Так и в математике прямые могут принадлежать плоскостям.
Можно изобразить это так:
На рисунке прямая а, принадлежит плоскости (mathbf )
Обычно такие рисунки сопровождают текстовым описанием для того, чтобы их понимали однозначно.
Также мы можем видеть прямые и на других рисунках.
Мы знаем, что через любые две точки проходит прямая.
Так что смотря на рисунок выше мы можем говорить про прямые AE, ED, DC, AC, AB, EB, DB, CB
Точно также можно видеть прямые не только на объемных рисунках, но и на плоских.
Так на этом рисунке можно говорить про прямые AB, BC и AC
Также отношение “принадлежит” обладает в данном случае таким свойством: если точка принадлежит прямой, а прямая принадлежит плоскости, то верно, что эта точка принадлежит плоскости.
Посмотрим на рисунок:
Если нам известно, что точка А принадлежит прямой а и прямая а принадлежит плоскости (mathbf ), то очевидно, что и сама точка А принадлежит прямой (mathbf )
Про прямые надо знать такое определение:
Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке.
В данном случае это точка О.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Любая точка на прямой делит ее на две части.
Каждую из этих частей называют лучом.
Сама такая точка будет называться началом луча.
Конца у луча нет – луч бесконечный.
На рисунке выше – точка М делит прямую АВ на два луча: МА и МВ.
Точка М является началом обоих лучей.
Лучи МА и МВ называются дополнительными друг другу. Это такие лучи, на которые точка разбивает прямую.
Давая лучам название, первой буквой пишут вершину луча, вторая определяет направление.
Это может быть как точка на соответствующей прямой, так и просто буква, подписанная возле соответствующей части прямой, как на рисунке выше.
Как и в случае с прямой, точки могут лежать и не лежать на луче.
Посмотрим, как лежат точки относительно луча MB.
Точки Р и К не лежат на прямой АВ, значит и на луче, как на части прямой, лежат не могут.
Точка С не лежит на луче МВ, так как находится с другой стороны от точки М, луч уходит в сторону В.
Научимся видеть лучи еще в некоторых ситуациях.
Например, сколько лучей образуются при пересечении прямых?
Обозначим прямые как АВ и CD, точку пересечения назовем точкой О.
Имеем одну точку, которая может стать началом луча, от нее отходят четыре половины прямых.
А полупрямая это и есть луч. Значит, при пересечении двух прямых от точки их пересечения будет отходить 4 луча.
Посмотрим еще раз на картинку с треугольником АВС.
Мы уже говорили, что прямые вида AB и ВС – это одна и та же прямая, просто записанная разными способами.
В случае с лучом принципиально, где у него начало, а где продолжение (конца не бывает).
Тогда у нас есть 3 точки-кандидата на начало луча. От каждой точки отходит по два отрезка, но чтобы обозначить луч нам нужна любая точка с продолжения, так что получается, что от каждой вершины отходят по 2 луча и всего на рисунке можно увидеть 6 лучей, если не ставить дополнительных точек.
Теперь вы знаете, что такое плоскость, прямая и луч, понимаете, в каких случаях точки могут принадлежать им, а в каких – нет, а также знаете, как давать имена всем этим объектам.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Геометрия, про которую мы сегодня говорили, называется Евклидовой.
Как уже было сказано, часть понятий является фундаментальными. В данном случае первоначальные понятия Евклидовой геометрии предложил, как следует из названия, Евклид, живший в Древней Греции.
Если быть более точным, жил он в Александрии и являлся первым математиком Александрийской школы.
О самом Евклиде, к сожалению, известно крайне мало информации.
Самая его известная книга “Начала” содержала в себе факты о геометрии, а также об арифметике.
Иногда книга издавалась с комментариями. Из одного из таких изданий с комментариями от Прокла мы знаем что-то про Евклида, хотя Прокл жил примерно на 800 лет позже Евклида.
Также существуют скульптуры и портреты, посвященные Евклиду, но есть сомнения в их достоверности.
По сути единственное, что известно более-менее точно, так это то, что ученые занимались вопросами геометрии еще в те времена.
Сохранились и другие работы Евклида, например, ему приписывают “Деление канона” (трактат о теории музыки), но им уделяется меньше внимания.
Помимо Евклида уже значительно позже другие ученые предлагали свои варианты аксиом геометрии. Одним из них был Николай Лобачевский – русский математик XIX века, но его геометрия не получила такой популярности, как геометрия Евклида.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации