Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности
На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например «Симметричную монету бросают дважды. » или «Бросают 3 монеты . «, но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).
Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
- Классическая вероятность (перебор)
- Классическая вероятность (комбинаторный подход)
- Формула Бернулли
- Полезные ссылки
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
1. Классическое определение вероятности
Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.
Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.
Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).
Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.
Взяли разгон и переходим к 4 монетам.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.
Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.
Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.
2. Комбинаторика + классическая вероятность
Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.
Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.
Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=\frac+\frac=\frac+4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.
Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.
Например, если рассмотреть подобную задачу:
Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза
Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\\ m=C_8^4=\frac=\frac=70;\\ P=\frac=\frac=0.273. $$
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).
Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).
Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.
Способ 3. Формула Бернулли
Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.
Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot \left(1/2\right)^k \cdot \left(1-1/2\right)^=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n. $$
То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n=\frac=C_n^k \cdot 0.5^n, \quad C_n^k=\frac. $$
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 \cdot \left(1/2\right)^2=2 \cdot \frac=\frac=0.5.$
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 \cdot \left(1/2\right)^4+C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^4=(6+4) \cdot \frac=\frac=0.625.$$
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 \cdot \left(1/2\right)^3=1 \cdot \frac=\frac=0.125.$
Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.
Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 \cdot \left(1/2\right)^8+ C_8^7 \cdot \left(1/2\right)^8=(1+8) \cdot \frac=\frac=0.035.$$
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.
Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу
Полезные ссылки
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
монету подкидывают 3 раза какова вероятность, что орел выпадет меньше 2
Вероятность, что орёл не выпадет ни разу: 1/2х1/2х1/2=1/8.
Вероятность, что орёл выпадет в первый раз, а во второй и третий выпадет решка: 1/2х1/2х1/2=1/8. Аналогично, вероятность того, что орёл выпадет только во второй и только в третий раз по 1/8. Итого, вероятность того, что орёл выпадет только один раз: 1/8+1/8+1/8=3/8.
Вероятность того, что орёл не выпадет ни разу или выпадет только один раз: 1/8+3/8=4/8=1/2.
Ответ: 1/2.
Остальные ответы
1/1 или выпадет или нет
Вероятность выпадения орла 3 раза подряд
Вероятность — это важное понятие в математике, используемое для определения того, насколько вероятно что-то произойдет. Для любителей азартных игр, понимание вероятности может помочь принять более обоснованные решения и оценить свои шансы на успех.
Одним интересным примером является определение вероятности выпадения орла 3 раза подряд при многократном броске монеты. На первый взгляд может показаться, что вероятность выпадения орла или решки равна 1/2, так как у нас есть две возможности. Однако, в ситуации с несколькими испытаниями, вероятность меняется.
Чтобы определить вероятность выпадения орла 3 раза подряд, мы можем использовать применяемую в теории вероятностей формулу для нахождения вероятности независимых событий. В данном случае, каждый бросок монеты является независимым событием, так как результат предыдущего броска не влияет на результат следующего броска.
Вероятность выпадения орла 3 раза подряд равна произведению вероятностей выпадения орла в каждом отдельном броске.
Так как вероятность выпадения орла в каждом броске равна 1/2, мы можем использовать эту информацию, чтобы рассчитать вероятность выпадения орла 3 раза подряд. Умножая 1/2 на 1/2 на 1/2, мы получаем 1/8. Таким образом, вероятность выпадения орла 3 раза подряд при многократном броске монеты составляет 1/8 или 0.125.
Шансы на успех: математический расчет
Давайте рассмотрим математическую вероятность выпадения орла в подбрасывании монеты. В данном случае, нам интересно узнать вероятность получить орла 3 раза подряд.
Вероятность выпадения орла или решки в одном подбрасывании монеты равна 1/2. Таким образом, вероятность выпадения орла 3 раза подряд можно рассчитать умножением вероятностей каждого подбрасывания.
Для этого воспользуемся формулой умножения вероятностей. Вероятность получить орла 3 раза подряд равна:
(1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8
Таким образом, шансы на успех в виде выпадения орла 3 раза подряд составляют 1 к 8.
Расчет вероятностей выпадения орла можно также представить в виде таблицы:
| Подбрасывание | Вероятность выпадения орла |
|---|---|
| Первое | 1/2 |
| Второе | 1/2 |
| Третье | 1/2 |
Из таблицы видно, что вероятность выпадения орла в каждом подбрасывании монеты одинакова и составляет 1/2.
Таким образом, мы можем математически рассчитать шансы на успех в виде выпадения орла 3 раза подряд и установить, что эта вероятность равна 1 к 8.
Влияние случайности на вероятность
Одна из основных причин, по которой требуется математический расчет вероятности, заключается в том, что случайные события подчиняются определенным закономерностям.
Рассмотрим пример с монетой. Вероятность выпадения орла или решки при однократном броске равна 0,5 для каждого исхода. Однако при нескольких подряд идущих бросках монеты вероятность может меняться.
Если мы бросим монету 3 раза подряд, чтобы определить вероятность выпадения орла 3 раза подряд, нужно знать вероятность одного выпадения орла и применить принцип умножения.
Вероятность одного выпадения орла равна 0,5. Вероятность выпадения орла 3 раза подряд равна:
| Исходы | Вероятность |
|---|---|
| Орел | 0,5 |
| Орел | 0,5 |
| Орел | 0,5 |
Таким образом, вероятность выпадения орла 3 раза подряд равна 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 или 12,5%.
Важно отметить, что вероятность выпадения орла или решки в каждом отдельном броске не зависит от предыдущих результатов. Это означает, что даже если орел выпал 2 раза подряд, вероятность выпадения орла или решки в следующем броске все равно будет равна 0,5.
Следовательно, вероятность выпадения орла 3 раза подряд не зависит от предыдущих результатов и всегда будет равна 12,5%. Это явление называется независимостью событий и является одной из основных характеристик случайных процессов.
Практическое применение расчетов
Расчет вероятности выпадения орла 3 раза подряд имеет множество практических применений в различных областях.
Например, в криптографии, вероятность выпадения орла 3 раза подряд может использоваться для создания случайных чисел. Если мы знаем вероятность выпадения орла (или решки) при подбрасывании монеты, мы можем использовать это для генерации случайной последовательности битов, которая может использоваться в качестве ключа для шифрования.
В финансовой сфере, вероятность выпадения орла 3 раза подряд может быть использована при анализе рынка и прогнозировании изменений цен. Например, если вероятность выпадения орла высока, то это может сигнализировать о повышении риска на рынке или о возможных изменениях в тренде цен на акции.
В спорте и азартных играх, расчет вероятности выпадения орла 3 раза подряд может использоваться для определения стратегии и принятия решений во время игры. Например, зная вероятность выпадения орла, игрок может выбирать определенные действия в зависимости от текущей ситуации и риска.
Основываясь на математических расчетах вероятности, мы можем применять их в различных сферах для принятия решений, прогнозирования и создания случайных чисел. Использование вероятностных расчетов может помочь в повышении эффективности и анализе процессов в различных областях деятельности.
Вопрос-ответ
Какова вероятность выпадения орла 3 раза подряд?
Вероятность выпадения орла в одном подбрасывании монеты равна 0,5 (или 50%). Так как мы хотим узнать вероятность выпадения орла 3 раза подряд, мы должны перемножить вероятности каждого из событий: 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 (или 12,5%). Таким образом, вероятность выпадения орла 3 раза подряд равна 12,5%.
Какова формула для расчета вероятности выпадения орла 3 раза подряд?
Формула для расчета вероятности выпадения орла 3 раза подряд состоит из перемножения вероятностей каждого из событий. В данном случае, формула будет выглядеть так: P = P(орел) * P(орел) * P(орел), где P(орел) — вероятность выпадения орла при одном подбрасывании монеты.
Какова вероятность выпадения орла 4 раза подряд?
Вероятность выпадения орла в одном подбрасывании монеты равна 0,5 (или 50%). Чтобы узнать вероятность выпадения орла 4 раза подряд, мы должны перемножить вероятности каждого из событий: 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,0625 (или 6,25%). Таким образом, вероятность выпадения орла 4 раза подряд равна 6,25%.
Какова вероятность выпадения орла 2 раза подряд?
Вероятность выпадения орла в одном подбрасывании монеты равна 0,5 (или 50%). Чтобы узнать вероятность выпадения орла 2 раза подряд, мы должны перемножить вероятности каждого из событий: 0,5 * 0,5 = 0,25 (или 25%). Таким образом, вероятность выпадения орла 2 раза подряд равна 25%.
Если я выпущу монету 100 раз, какова вероятность, что орел выпадет 3 раза подряд?
Вероятность выпадения орла в одном подбрасывании монеты равна 0,5 (или 50%). Если вы подбросите монету 100 раз, вероятность выпадения орла 3 раза подряд будет ниже. Для расчета вероятности произойдет другое количество вариантов и можно использовать биномиальное распределение. Но в общем случае, вероятность будет ниже 12,5%, так как требуется, чтобы орел выпал подряд в трех подряд идущих бросках, что является менее вероятным событием.
Монету бросают трижды, орел выпадет все три раза
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
Решение
- Данную задачу будем решать по формуле:
Где Р(А) – вероятность события А, m – число благоприятствующих исходов этому событию, n – общее число всевозможных исходов.
- Применим данную теорию к нашей задаче:
- А – событие, когда орел выпадет все 3 раза;
- Р(А) – вероятность того, что орел выпадет все 3 раза.
- Определим m и n:
m — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда орел выпадет все 3 раза. В эксперименте бросают монету трижды, которая имеет 2 стороны: решка (Р) и орел (О). Нам необходимо, чтобы выпало 3 орла, а это возможно тогда, когда выпадет следующая комбинация: ООО, то есть получается, что
m = 1, так как возможен 1 вариант, когда орел выпадут все 3 орла;
n – общее число всевозможных исходов, то есть для определения n нам необходимо найти количество всех возможных комбинаций, которые могут выпасть при бросании монеты трижды. Кидая первый раз монету может выпасть либо решка, либо орел, то есть возможно два варианта. При бросании второго и третьего раз монету возможны точно такие же варианты. Получается, что
- Осталось найти вероятность выпадения 3-х орлов:
Р(А) = m/n = 1/8 = 0,125
Ответ: 0,125