Как по графику составить функцию

Графики функций и их формулы

График функции — это визуальное представление зависимости между входными и выходными данными функции. График позволяет наглядно увидеть, как изменяются значения функции в зависимости от изменений в её аргументах.

На плоскости он представляется как набор точек, координаты которых соответствуют аргументам и значениям функции. Горизонтальная ось обычно представляет собой ось аргументов (независимой переменной), а вертикальная ось — ось значений функции (зависимой переменной).

График функции может иметь различные формы, такие как прямые линии, параболы, гиперболы, экспоненциальные кривые и другие. Визуальное представление графика позволяет легче анализировать поведение функции, находить экстремумы (минимумы и максимумы), определять интервалы возрастания и убывания, а также делать выводы о её свойствах. Играют важную роль в математике, науках, инженерии и других областях, где требуется анализировать и визуализировать зависимости между переменными.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Декарт вводит свою систему координат — способ представления точек на плоскости с помощью пар вещественных чисел.

Какие бывают

Графики функций могут быть классифицированы по различным критериям. Вот некоторые общие классификации:

1. По форме:
   • прямая линия (линейная функция);
   • парабола (квадратичная функция);
   • гипербола (рациональная функция);
   • экспоненциальная кривая (экспоненциальная функция);
   • логарифмическая кривая (логарифмическая функция);
   • тригонометрические кривые (синусоиды, косинусоиды и др.).
2. По поведению:
   • функции возрастания и убывания;
   • монотонные функции (всегда убывающие или возрастающие);
   • ограниченные функции (ограниченные сверху или снизу);
   • функции с экстремумами (минимумы и максимумы);
   • функции с точками перегиба.
3. По периодичности:
   • периодические функции (функции, которые повторяются через определенные интервалы).
4. По асимптотам:
   • функции с горизонтальными или вертикальными асимптотами.
5. По числу аргументов:
   • одномерные функции (зависят от одного аргумента);
   • многомерные функции (зависят от нескольких аргументов).
6. По типу переменных:
   • действительные функции (работают с действительными числами);
   • комплексные функции (работают с комплексными числами).
7. По области определения и значений:
   • определенные функции (имеют определение для всех возможных значений аргумента);
   • частично определенные функции (имеют ограниченную область определения).

Формулы

Вот некоторые примеры функций вместе с их формулами:

1. Линейная функция: Формула: f (x)=ax+b , где a — коэффициент наклона, b — свободный член.
2. Квадратичная функция: Формула: f ( x ) = a x 2 + b x + c , где a , b и c — коэффициенты.
3. Экспоненциальная функция: Формула: f ( x ) = a ⋅ e b x , где a и b — коэффициенты, e — число Эйлера (примерно 2.71828).
4. Логарифмическая функция: Формула: f ( x ) = a ⋅ ln ( b x ) , где a и b — коэффициенты, ln⁡ — натуральный логарифм.
5. Синусоидальная функция (синус или косинус): Формула: f ( x ) = A ⋅ sin ( b x + c ) или f ( x ) = A ⋅ cos ( b x + c ) , где A — амплитуда, b — коэффициент частоты, c — смещение.
6. Параболическая функция: Формула: f ( x ) = a x 2 + b x + c , аналогичная квадратичной функции.
7. Гиперболическая функция: Пример: f ( x ) = x a ​ , где a — коэффициент.
8. Полиномиальная функция: Пример: f ( x ) = a _{n ​} x n + a _{n − 1} ​ x n − 1 + … + a ₁ ​ x + a ₀ ​ , где a _i​ — коэффициенты, n — степень полинома.

Как построить

Построение графиков функций — это процесс построения графика (кривой) соответствующей функции. Построение графиков базовых функций, таких как линейная, квадратичная, кубическая и т.д., довольно просто, а построение графиков сложных функций, таких как рациональная, логарифмическая и т.д., требует определенных навыков и понимания некоторых математических понятий.

Графиком функции f называется множество всех точек на плоскости вида (x, f(x)). График функции f можно также определить как график уравнения y = f(x). Таким образом, график функции является частным случаем графика уравнения.

При построении графиков функций мы выполняем следующие действия:

1. Найдите область действия функции.
2. Найдите и постройте графики x- и y-пересечений.
3. Найдите асимптоты по вертикали, горизонтали и наклону и проведите пунктирные линии, чтобы разбить график вдоль этих линий и убедиться, что график не касается их.
4. Создайте таблицу значений, взяв несколько произвольных значений x (по обе стороны от x-интерцепта и по обе стороны от вертикальной асимптоты) и вычислив соответствующие значения y.
5. Постройте точки из таблицы и соедините их с помощью асимптот, области и диапазона.

Основная концепция построения графиков функций заключается в следующем:

1. Если возможно, определите форму. Если это линейная функция вида f(x) = ax+ b, то ее графиком является прямая; если квадратичная функция вида, то графиком является парабола.
2. Нахождение некоторых точек на ней путем подстановки произвольных значений x и нахождение соответствующих значений y путем подстановки каждого значения в функцию.

Постоянной функцией называется любая функция вида f(x)=c, где c может быть любым действительным числом. Постоянные функции линейны и имеют вид f(x)=0x+c. Из этой формы видно, что наклон равен 0, а перекресток y — (0,c). С получается при вычислении любого значения x, например x=2.

Графиком постоянной функции является горизонтальная линия. Доменная область состоит из всех действительных чисел R, а область действия — из единственного значения c.

Примеры решения задач

Определите, какие из следующих точек лежат на графике функции f(x) = 2×3 — 2? (a) (1, 1) (b) (1, 0) (c) (2, 6).

Подставим каждую точку в заданную функцию и посмотрим, какая из них удовлетворяет функции.

1 = 2(1)3 — 2
1 = 2 — 2
1 = 0, нет

Таким образом, (1, 1) НЕ лежит на графике функции.

0 = 2(1)3 — 2
0 = 2 — 2
0 = 0, да

Таким образом, (1, 1) находится на графике функции.

6 = 2(2)3 — 2
6 = 16 — 2
6 = 14, нет.

Таким образом, (2, 6) НЕ лежит на графике функции.

Ответ: Только (b) лежит на заданной функции.

Вопрос: имеет ли график выше асимптоты? Сколько частей он имеет?

Решение: Данная функция f(x) = 2×3 — 2 является полиномиальной функцией и, следовательно, не имеет асимптот. Если асимптоты отсутствуют, то при построении графика функции мы получим только одну кривую (так как кривая нигде не ломается).

Ответ: Асимптоты отсутствуют, и кривая только одна.

Постройте график функции из задания 1 с указанием точки (точек), в которой находится ее решение.

Решение: Ранее мы уже выяснили, что точка (1, 0) лежит на графике функции f(x) = 2×3 — 2. Для построения графиков функций необходимо большее количество точек. Для этого построим таблицу.

x	y
-1	2(-1) 3 — 2 = -4
0	2(0) 3 — 2 = -2

Нанесем эти точки на график (1, 0) и построим его.

Набросать график функции, заданной уравнением f(x)=x3.

Начнем со значений x -2,-1,0,1 и 2, затем воспользуемся уравнением f(x)=x3 для определения пар (x, f(x)) (например, f(-2)=(-2)3=-8). Они приведены в таблице.

Построение пар (x, f(x)), определяемых уравнением f(x)=x3.

Затем строим график точек из таблицы в декартовой системе координат, как показано на рисунке. Добавим в нашу таблицу еще несколько пар и построим их график. Это показано ниже:

Построение дополнительных пар (x, f(x)), определяемых уравнением f(x)=x3.

Окончательный график f(x)=x3:

Построение графика функции онлайн

Полярные координаты. Режим позволяет построить график кривой, заданной в полярной системе координат, то есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

Список констант

Константа	Описание
pi	Число =3,14159.
e	Число Эйлера =2,71828.

Список функций

Функция	Описание
+ − * /	Сложение, вычитание, умножение, деление
( )	Группирующие скобки
abs() или | |	Модуль числа. Выражение abs(x) эквивалентно |x| . Если функция содержит модуль под модулем, то пользуйтесь abs() . Например, если вы хотите построить график функции |1-x+|x+5|| , то нужно вводить abs(1-x+abs(x+5)) .
pow() или ^	Степень числа. Например, выражения pow(x, 3) и x^3 дают x в третьей степени
sqrt()	Квадратный корень
sin()	Синус
cos()	Косинус
tg()	Тангенс
ctg()	Котангенс
arcsin()	Арксинус
arccos()	Арккосинус
arctg()	Арктангенс
arcctg()	Арккотангенс
ln()	Натуральный логарифм числа
lg()	Десятичный логарифм числа
log(a, b)	Логарифм числа b по основанию a
exp()	Степень числа e
sh()	Гиперболический синус
ch()	Гиперболический косинус
th()	Гиперболический тангенс
cth()	Гиперболический котангенс

График функции

Графиком функции называется множество точек плоскости таких, что абсциссы и ординаты этих точек удовлетворяют уравнению .

Программа создана для школьников и студентов и позволяет строить графики функций онлайн. Во многих браузерах (например, Google Chrome) картинку с графиком функции можно сохранить на компьютер.

Пожалуйста, все предложения и замечания по работе программы пишите в комментариях.

Кроме того мы планируем создать библиотеку функций с интересными и забавными графиками. Если вы открыли функцию с таким графиком, то обязательно напишите об этом в комментариях! Ваше открытие будет опубликовано и станет носить ваше имя ;).

Построение графиков функций онлайн Справка

Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат.

Просто введите формулу функции в поле «Графики:» и нажмите кнопку «Построить».

Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.

Загляните в раздел примеров, наверняка, там есть графики функций, похожие на то, что нужно Вам, останется только слегка откорректировать готовые формулы функций.

Дополнительно на нашем сайте вы можете воспользоваться калькулятором матриц, с помощью которого можно производить различные преобразования и действия с матрицами онлайн.

Как построить график функции

С помощью программы Desmos можно построить график одной или нескольких функций. Каждая новая функция вводится с новой строки. Для добавления точек с координатами (x,y) используйте + и вид table . Для добавления одной точки достаточно указать, например, A=(3.5,6.1) .
Чтобы настроить вид координатной сетки (пределы по осям и стрелки) используйте .

Трехмерные графики функции

• График функции онлайн
• График по точкам
• Построение графика в Excel

Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ). Видеоинструкция

Также можно начертить график по точкам. Необходимо вставить данные для X (первый столбец) и Y (второй и последующие столбцы).

1. На первом этапе при заданном интервале [a;b] и шаге h рассчитываются значения функции y=f(x) .
2. На втором этапе с помощью инструмента Excel Мастер диаграмм строится визуализация рассчитанных значений.

Принципы и способы построения графика функции

1. При прямом вычислении значений функции y=f(x) необходимо задать интервал [a;b] вычислений и шаг h . Получается таблица, по которой можно построить график.
   Например, определим для функции y=x*e 2x /3+4 интервал [-3;7], на котором будем отображать найденные точки. Чем меньше шаг h , тем точнее график функции (другими словами, тем точнее аппроксимация). Например, при h=2 количество точек для построения равно N=(7-(-3))/2+1=6 (-3; -1; 1; 3; 5; 7), а при h=0.1 уже N=(7-(-3))/0.1+1=101 .
2. Построение графика функции методом дифференциального исчисления предполагает схематичное построение, используя свойства функции.

Прикладное применение графика функции

Среди задач, в которых необходимо построить график функции можно выделить:

• Построение графика функции методом дифференциального исчисления.
• Приближенное решение алгебраических уравнений.
• Построение тренда.
• Построение уравнения регрессии.
• Построение уравнения касательной к графику функции.
• Построение уравнения нормали к графику функции: .
• Построение плотности и функции распределения дискретной случайной величины.
• Построение плотности и функции распределения непрерывной случайной величины.
• Построение прерывной функции при определении точек разрыва: .
• Площадь фигуры, ограниченной линиями:

Построить пирамиду ABCD по координатам можно здесь.

Онлайн-университет

Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа

Редактор формул онлайн

Удобный редактор формул для Word, Latex и Web .

Финансовый анализ онлайн

Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия:
· Оценка имущественного положения
· Анализ ликвидности и платежеспособности
· Анализ финансовой устойчивости
· Анализ рентабельности и оборачиваемости
· Анализ движения денежных средств
· Анализ финансовых результатов и многое другое

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).