Как переходить к полярным координатам в двойном интеграле
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры
Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ :
Что представляет собой элемент площади dxdy , выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const . Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ + dφ и линии окружности с радиусом r и r + dr . Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ . Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:
а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:
Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ , а внутренний — по радиусу r .
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D .
Пределы интегрирования в повторных интегралах
При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.
Случай первый
Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D , область ограничена линией r = r(φ) .
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
Случай второй
Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , но не является угловой точкой.
Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
Случай третий
Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , и является угловой точкой.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
Случай четвёртый
Полюс O находится вне области интегрирования D .
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β , а область D ограничивают линии r = r 1 (φ) и r = r 2 (φ) . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — r 1 (φ) и r 2 (φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
где область D ограничена линиями , , .
Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.
Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:
Данные в условии линии, ограничивающие D , приводим к полярным координатам:
Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:
Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):
Пример 2. В повторном интеграле
перейти к полярной системе координат.
Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x² , а сверху — прямой y = 1 . Область интегирования изображена на следующем чертеже.
При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1 , в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1) . В первой точке полярный угол составляет , во второй точке он составляет . Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до , во второй области — от 0 до , в третьей области — от до π .
Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1 : или . Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:
Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:
Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
где область D ограничена линией окружности .
Решение. Строим на чертеже область интегрирования.
Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a . В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:
Линия окружности касается оси Oy , поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от до . Подставим и в уравнение окружности и получим
Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:
Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:
Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:
В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ , и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:
Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии , , , .
Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.
Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:
Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:
Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
где область D ограничена линиями и .
Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:
Строим на чертеже область интегрирования.
В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:
В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:
Кратные и криволинейные интегралы
- Вычисление двойных интегралов
- Двойные интегралы в полярных координатах
- Вычисление тройных интегралов
- Вычисление криволинейных интегралов
- Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
- Вычисление поверхностных интегралов
1.5. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
Типовое задание формулируется примерно так: «Вычислить двойной интеграл, используя полярную систему координат». После чего для решения предлагается… обычный двойной интеграл в декартовых координатах по области .
Сначала рассмотрим более простой и распространённый случай, когда подынтегральная функция двух переменных и двойной интеграл численно равен площади области интегрирования. Разберём алгоритм решения на бесхитростной демо-задаче:
Пример 23
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат
На первом этапе решения ничего нового. Выполняем чертёж области в прямоугольной системе координат. Линейное неравенство определяет правую полуплоскость, включая ось , а уравнение , очевидно, задаёт какую-то линию 2-го порядка. Чтобы выяснить, какую – выделим полный квадрат:
– окружность единичного радиуса с центром в точке .
Таким образом, нам нужно вычислить площадь половинки круга:
Не упустим возможность сразу узнать ответ. По школьной формуле площади круга, должно получиться:
Площадь фигуры стандартно рассчитывается по формуле , однако по условию нужно воспользоваться полярными координатами. При переходе к полярной системе координат произведение дифференциалов ВСЕГДА превращается в следующую вещь:
То есть, от интегрирования по декартовым «иксу» и «игреку» мы перешли к интегрированию по полярному радиусу «эр» и полярному углу «фи». Обратите внимание на появившийся множитель , образно говоря, это «плата за переход», любители вышмата могут погуглить якобиан перехода к полярным координатам. Практическая же сторона вопроса состоит в том, что этот множитель «эр» терять нельзя.
Таким образом:
Но это ещё не всё – ведь границы области тоже заданы в декартовой системе. Используем формулы перехода к полярным координатам . Ось ординат не трогаем, а вот окружность потревожим:
, основное тригонометрическое тождество:
и сокращаем на «эр»:
– что и говорить, гораздо более приятное уравнение окружности.
Сведём двойной интеграл к повторным интегралам. Для этого нужно выяснить порядок обхода области. Недавно мы орудовали лазерной указкой, а сейчас будет удачна другая ассоциация – просвечивание области радаром. Представьте, что из полюса исходит красный луч света и вращается против часовой стрелки:
Когда луч радара поворачивается от полярной оси до угла (зелёная стрелка), то он входит в область непосредственно из полюса (начиная со значения ) и выходит из неё через окружность (красная стрелка). Таким образом, на промежутке полярный радиус изменяется в пределах , и область интегрирования полностью «просканирована».
В результате: – множитель , разумеется, уходит во внутренний интеграл, где осуществляется интегрирование по «эр».
И здесь я вновь рекомендую оформлять решение в два пункта:
1) Сначала возьмём внутренний интеграл:
2) Подставляем трофей во внешний интеграл и используем популярную формулу понижения степени :
что и требовалось получить (вспоминаем вычисления по школьной формуле).
Ответ:
В простых случаях, как этот, вычисления можно оформить и «одной строкой»:
К слову, совсем забыл привести такое решение для случая декартовых координат, решим «быстрым» способом, скажем, простенький Пример 13:
Но злоупотреблять короткой дорожкой не советую – повышается риск запутаться.
В разобранной задаче жёстко требовалось использовать полярную систему координат, и это очень хорошо! Я не иронизирую. Как ни странно, более свободная формулировка условия может здОрово осложнить жизнь. Отрубим ящерице хвост:
«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла»
Дело в том, что площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим, и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам, то будет загружен трудной работой. А по условию, никто ведь не запрещает решать через декартовы координаты 😉
Давайте ещё укоротим условие:
«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями »
Здесь появилась новая степень свободы, и площадь фигуры помимо прочих способов можно рассчитать с помощью однократного интеграла (решение будет почти совпадать с решением через двойной интеграл). Впрочем, рецензент может не оценить такую вольность :). Чуть позже я коснусь ещё одной важной разновидности условия, а пока рассмотрим более содержательный пример:
Пример 24
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: изобразим данную фигуру на чертеже. С прямыми всё понятно, осталось прояснить вид линий 2-го порядка. Выделяем полные квадраты:
– окружность единичного радиуса с центром в точке .
– окружность с центром в точке радиуса 2.
Таким образом:
В условии задачи ничего не сказано о полярной системе координат, и поэтому площадь фигуры можно рассчитать «обычным» двойным интегралом в декартовых координатах. Но что-то не хочется :).
Итак, площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:
По формулам перехода найдём полярные уравнения окружностей:
Теперь выясним порядок обхода области. Луч радара (см. рис. выше) входит в область через окружность и выходит из неё через окружность (красная стрелка), при этом он осуществляет поворот от полярной оси до угла (зелёная стрелка).
Напомню также, что «альфа» и «бета» – это не просто формальные значения углов: полярное уравнение непосредственно задаёт полярную ось (положительное направление оси абсцисс), а уравнение – луч, исходящий из полюса и совпадающий с верхней частью прямой . В нашей задаче дана «хорошая» прямая и значение угла понятно «с ходу». Но как найти угол в общем случае? Вспоминаем, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой к положительному направлению оси абсцисс: . В данном случае , откуда следует, что .
И после такой шикарной справки возвращаемся к решению. По результатам «сканирования» области мы выяснили, что на промежутке полярный радиус изменяется в пределах .
Перейдём к повторным интегралам:
Остальное – дело техники:
1) Раскрутим внутренний интеграл:
2) И внешний, с помощью формулы :
Ответ:
Прикинув по чертежу количество клеточек, приходим к выводу, что полученный результат вполне и вполне правдоподобен. Теперь ответим на следующий важный вопрос:
Каковы предпосылки для перехода к полярным координатам?
Основной предпосылкой является наличие окружности (ей). Подчёркиваю, что это лишь предпосылка, а не обязательное правило! То есть, область интегрирования может быть ограничена окружностью (ями), но переход к полярным координатам только усложнит решение, а то и вообще заведёт его в тупик. Поэтому другим важным условием является удачное «сканирование» области «радаром». Впрочем, в каждом случае нужно смотреть индивидуально.
Следующие два примера для самостоятельного решения:
Пример 25
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Пример 26
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
И в Примере 26 мы встретили ещё одну распространённую формулировку условия, в которой предложено непосредственно вычислить двойной интеграл. Да, он численно равен площади области , но, коль скоро, о площади изначально молчок, то и в решении об этом не нужно упоминать 😉 Подумайте, как грамотно записать ответ задания.
Примерные образцы решений и чертежи в конце книги. Я их оформил в разном стиле, выбирайте, что больше нравится.
Разумеется, в двойном интеграле может оказаться и «настоящая» функция с «живым» «иксом» и / или «игреком»:
Пример 27
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
Решение: область интегрирования здесь очень простая – это часть кольца между концентрическими окружностями , которая располагается в 4-й координатной четверти (о чём нам сообщают неравенства ). И коль скоро так всё просто, можно сразу заняться переходом к полярной системе координат по формулам .
Найдём уравнения окружностей в полярных координатах:
ну, прямо чудо получилось – всегда бы такие уравнения J
Выполним чертёж:
Порядок обхода области предельно понятен:
Можно было взять промежуток , но работать с табличным значением гораздо привычнее.
Отличие от предыдущих примеров состоит в дополнительном шаге – преобразовании подынтегральной функции . Используем те же стандартные формулы перехода . Если совсем просто, то в функцию двух переменных вместо «икс» подставляем и вместо «игрек» :
После подстановки полученное выражение максимально упрощают, но здесь этого особо не потребовалось.
Фишка последнего шага должна быть вам хорошо знакома: когда проводится интегрирование по переменной «эр», то переменная «фи» считается константой (и наоборот). Поэтому константу целесообразно сразу вынести из внутреннего интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.
1) Вычислим незамысловатый внутренний интеграл:
2) И внешний, сразу вынося полученную выше константу за пределы интеграла:
Ответ:
Повторим геометрический смысл полученного результата. Так как и , то поверхность расположена над плоскостью (в 4-й координатной четверти). Полученный в задаче результат – это в точности объём цилиндрического бруса, который ограничен (представляем мысленно) плоскостью снизу, поверхностью – сверху и множеством перпендикулярных лучей, исходящих из границы области – сбоку. С задачей нахождения объёма тела мы вплотную столкнёмся при изучении тройных интегралов.
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Пример 28
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
Примерный образец чистового оформления задания в конце книги.
В соответствующей статье сайта я также разбираю более редкие интегралы, где можно обойтись даже без чертежа, но это уже углублённый курс. Напомню заодно, что если условие задачи того не требует – то чертёж можно и не выполнять. Правда, область интегрирования всё равно придётся представить мысленно. Но даже если у вас есть такие способности, то демонстрировать их совсем не обязательно, ибо что тяжелА жизнь вундеркинда 😉 Исключение составляют какие-то совсем простые области .
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
© mathprofi.ru / com, 2010-2024, Высшая математика – просто и доступно!
Как вычислить двойной интеграл
в полярной системе координат?
Закончим бой с двойным интегралом нокаутом в третьем раунде. Что нужно знать и уметь для полной победы? Ещё раз взглянем на заголовок статьи… очевидно, вы должны знать, что такое полярные координаты… и уметь решать двойные интегралы =) Стоп-стоп, не закрываем в панике страницу – первое осваивается в считанные минуты, ну а второе, конечно, несколько дольше. Итак, чайникам – двойные интегралы для чайников, остальных же читателей приглашаю ознакомиться с третьим уроком темы. Новизны будет совсем немного и если вы мало-мальски набили руку на вычислении двойных интегралов, то особых трудностей возникнуть не должно.
Типовое задание формулируется примерно так: «Вычислить двойной интеграл, используя полярную систему координат». После чего для решения предлагается … обычный двойной интеграл в декартовых координатах по области . Сначала рассмотрим более простой и распространённый случай, когда подынтегральная функция двух переменных и двойной интеграл численно равен площади области интегрирования. Разберём алгоритм решения на бесхитростной демо-задаче:
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат
Решение: На первом этапе ничего нового. Выполняем чертёж области в прямоугольной системе координат. Линейное неравенство определяет правую полуплоскость, включая ось , а уравнение , очевидно, задаёт какую-то линию 2-го порядка. Чтобы выяснить, какую именно – выделим полный квадрат:
– окружность единичного радиуса с центром в точке .
Таким образом, требуется вычислить площадь половинки круга:
Не упустим возможность сразу узнать ответ. По школьной формуле у нас должно получиться:
Площадь фигуры стандартно рассчитывается по формуле , однако по условию нужно воспользоваться полярными координатами. На всякий случай закомментирую расположение полярной системы координат: полюс совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Полярную ось можно прочертить жирнее, но лично я часто этим пренебрегаю.
При переходе к полярной системе координат произведение дифференциалов ВСЕГДА превращается в следующую вещь:
То есть, от интегрирования по декартовым «иксу» и «игреку» мы перешли к интегрированию по полярному радиусу «эр» и полярному углу «фи». Обратите внимание на дополнительно появившийся множитель , образно говоря, это «плата за переход», любители высшей математики могут погуглить якобиан перехода к полярным координатам. Практическая же сторона вопроса состоит в том, что этот множитель «эр» терять нельзя.
Но это ещё не всё – ведь границы области тоже заданы в декартовой системе. Используем формулы перехода к полярным координатам . Ось ординат не трогаем, а вот окружность потревожим:
– получено типовое уравнение, на котором заострялось внимание ещё в статье Полярные координаты.
Теперь двойной интеграл необходимо свести к повторным интегралам. Для этого нужно выяснить порядок обхода области. На уроке Двойные интегралы для чайников мы орудовали виртуальной лазерной указкой, в полярных же координатах более удачна другая ассоциация – просвечивание области радаром. Представьте, что из точки полюса исходит луч света и вращается против часовой стрелки.
Когда луч радара поворачивается от полярной оси до угла (зелёная стрелка), то он входит в область непосредственно из полюса (начиная со значения ) и выходит из неё через окружность (красная стрелка). Таким образом, на промежутке полярный радиус изменяется в пределах , и область интегрирования полностью «просканирована».
Множитель , разумеется, уходит во внутренний интеграл, где осуществляется интегрирование по «эр».
Начинающим вновь рекомендую оформить концовку в два пункта:
1) , чтобы продемонстрировать на следующем шаге примечательный факт, дальше упрощать пока не буду.
2) Подставляем трофей во внешний интеграл:
Заметьте, что здесь прорисовалась знакомая формула площади криволинейного сектора , которой мы активно пользовались на уроке Вычисление площади в полярных координатах с помощью интеграла, и фактически 2-й пункт – это повторение пройденного материала!
Что и требовалось получить.
Ответ:
В простых случаях, как этот, вычисления можно оформить и одной строкой:
Но злоупотреблять короткой дорожкой не советую – повышается риск запутаться.
В разобранной задаче жёстко требовалось использовать полярную систему координат, и это очень хорошо! Я не иронизирую. Как ни странно, более свободная формулировка условия может здОрово осложнить жизнь. Отрубим ящерице хвост:
«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла»
Дело в том, что площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим (см. задачу нахождения площади круга), и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам (а по условию это не запрещено!), то будет загружен трудной работой.
Давайте ещё укоротим условие:
«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями »
Здесь появилась новая степень свободы, и площадь фигуры помимо прочих способов можно рассчитать с помощью однократного интеграла (решение будет почти совпадать с решением через двойной интеграл). А люди со своеобразным чувством юмора вычислят площадь и по школьной формуле, чтобы затем настойчиво доказывать рецензенту корректность своего решения =) В чём, кстати, будут правы – ибо поборник конкретики должен и задачи ставить конкретно!
Чуть позже я коснусь ещё одной важной разновидности условия, а пока рассмотрим более содержательное задание:
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже. С прямыми всё понятно, осталось прояснить вид линий 2-го порядка. Выделяем полные квадраты:
– окружность единичного радиуса с центром в точке .
– окружность с центром в точке радиуса 2.
Таким образом:
В условии задачи ничего не сказано о полярной системе координат, и поэтому площадь фигуры можно рассчитать «обычным» двойным интегралом. Но что-то не хочется. Впрочем, если найдётся энтузиаст и отправит мне разборчивое решение, то я его, пожалуй, опубликую в качестве страшилки =) . И это случилось! Причём, двумя способами; первый демонстрирует, что бывает, когда не переходишь к новым пределам интегрирования в определённом интеграле. Таким образом, страшилка превзошла все ожидания. Спасибо за ваши письма! И возвращаемся к теме:
Какова предпосылка для перехода к полярным координатам?
Очевидно, что основной предпосылкой является наличие окружности (ей). Подчёркиваю, что это лишь предпосылка, а не обязательное правило! То есть, область интегрирования может быть ограничена окружностью (ями), но переход к полярным координатам только усложнит решение, а то и вообще заведёт его в тупик. И такие примеры встречаются реально.
Итак, площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:
По формулам перехода найдём полярные уравнения окружностей:
Теперь выясним порядок обхода области. Луч радара входит в область через окружность и выходит из неё через окружность (красная стрелка), при этом он осуществляет поворот от полярной оси до угла (зелёная стрелка).
Напомню также, что «альфа» и «бета» – это не просто формальные значения углов: полярное уравнение непосредственно задаёт полярную ось (положительное направление оси абсцисс), а уравнение – луч, исходящий из полюса и совпадающий с верхней частью прямой .
Примечание: если рассматривать обобщенные полярные координаты, то уравнение определяет полярную ось и её продолжение (всю ось абсцисс), а уравнение – всю прямую
В рассматриваемой задаче дана «хорошая» прямая и значение угла понятно «с ходу». Как найти угол в общем случае? Из материалов статьи Прямая на плоскости вспоминаем, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой к положительному направлению оси абсцисс: . В данном случае , откуда следует, что (если тяжко с числами – тригонометрические таблицы в помощь).
Возвращаемся к решению. По результатам «сканирования» области мы выяснили, что на промежутке полярный радиус изменяется в пределах .
Перейдём к повторным интегралам:
Остальное – дело техники:
Ответ:
Прикинув по чертежу количество клеточек, приходим к выводу, что полученный результат вполне и вполне правдоподобен.
Следующие два примера для самостоятельного решения:
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
В примере № 4 мы встретили ещё одну распространённую формулировку условия, в которой предложено непосредственно вычислить двойной интеграл. Да, он численно равен площади области , но, коль скоро, о площади изначально молчок, то и в решении об этом не нужно упоминать 😉 Подумайте, как грамотно записать ответ задания.
Примерные образцы решений и чертежи в конце урока. Я их оформил в разном стиле, выбирайте, что больше нравится.
То были заезженные типовики, а сейчас на очереди более редкий, но очень интересный и поучительный экземпляр:
Вычислить двойной интеграл
Решение: определённый интеграл задаёт площадь области интегрирования, но о площади нас никто не спрашивал, поэтому никого не будем загружать своей эрудицией =) К тому же она сейчас ой как потребуется для других целей.
В чём заключается особенность этого задания? Прежде всего, бросается в глаза, что область «дэ» ограничена единственной кривой, и по характерным признакам – это какая-то алгебраическая линия 4-го порядка. Основная проблема у нас с чертежом. Конечно, можно погрузиться в справочники, но на это нет ни времени, ни особого желания. Поэтому мы попытаемся ограничиться общим анализом и обойтись совсем без чертежа.
Можно ли обойтись без чертежа?
Об этом я уже говорил на 1-м уроке: если условие задачи его не требует – то можно. Правда, область интегрирования всё равно придётся представить мысленно. Но даже если у вас есть такие способности, то демонстрировать их совсем не обязательно – потому что тяжелА жизнь вундеркинда =) И житейская мудрость заключается в том, что чертёжи, по возможности лучше выполнять. Однако у нас другой случай, когда наоборот – будет подозрительно смотреться построенный график линии 4-го порядка. Знаниями убивать тоже никого не надо, и в этой связи мы постараемся отделаться чисто аналитическим решением.
Поскольку область интегрирования, как правило, ограничена, то уравнение задаёт либо единственную замкнутую кривую, либо несколько ограниченных областей – что-то наподобие лепестков полярной розы. Ситуацию помогла бы прояснить область определения функции, но её нахождение тоже затруднено ввиду навороченности уравнения.
Что делать? Подумать о возможности использования полярной системы координат. Причём подумать самостоятельно – условие нам совершенно не намекает на способ решения. Поскольку в уравнении присутствуют знакомые «икс квадрат» и «игрек квадрат», то применение полярных координат действительно выглядит перспективно. По формулам перехода :
Вот и первое достижение – удалось понизить степень. С извлечением корня никаких шероховатостей, полярный радиус неотрицателен, параметр , косинус в знаменателе – в чётной степени:
Теперь займёмся областью определения. Поскольку тригонометрические функции периодичны, то нас интересует промежуток , или, что то же самое .
Знаменатель не может равняться нулю, поэтому .
Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: . Сведём данное условие к простейшему тригонометрическому неравенству, применив формулы понижения степени:
Я неоднократно ратовал за графическое решение подобных неравенств, но раз уж решили обойтись без чертежей, давайте вытащим из школьного учебника известную формулу. Решением неравенства , где , является следующее множество промежутков:
, где (любое целое число).
Разделим все части неравенства на 2:
В «сферу наших интересов» входят следующие значения «ка»:
В результате, область определения полярной функции :
Два нижних значения не вошли в найденные выше промежутки, что избавляет нас от дополнительных хлопот. На отрезках расположены две одинаковые (в силу периодичности и ) кривые, и график функции , судя по всему, представляет собой что-то вроде двух одинаковых лепестков, как, собственно, и предполагалось.
Таким образом, достаточно рассмотреть промежуток , а результат удвоить. Луч радара, исходя из полюса , сразу попадает в область интегрирования и выходит из неё через границу «лепестка» ; при этом он осуществляет поворот от значения до .
Переход к повторным интегралам, думаю, всем понятен:
1) Понеслась нелёгкая:
2) Подставляем результат предыдущего пункта во внешний интеграл, не забывая про «двойку» перед ним (удвоение «лепестка»):
На первом шаге удвоили интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля отрезку. Чтобы «не таскать всё за собой», подынтегральную функцию удобно преобразовать отдельно. Приведём её к пригодному (и выгодному!) для интегрирования виду:
Если где-то возникли непонятки, посмотрите тригонометрические формулы. А если появились вопросы по самим принципам решения подобных интегралов, пожалуйста, посетите уроки Интегралы от тригонометрических функций и Сложные интегралы.
Ответ:
Именно так. Не забываем, что в условии не спрашивалось о площадях и квадратных единицах. Однако после того как я нашёл в своих закромах этот трудный пример и включил его в содержание статьи, мне стало жутко интересно, так как же всё-таки выглядит график функции , и не допущена ли ошибка в вычислениях. Придав параметру значение , я изобразил график функции с помощью своего графопостроителя (см. Математические формулы и таблицы), и полученное значение площади оказалось очень похоже на правду. Желающие могут проделать то же самое. А если условие подобной задачи требует чертежа – то придётся =)
Получился такой увлекательный разбор решения, что на этом фоне как-то затерялся тот момент, что в двойном интеграле может оказаться «настоящая» функция с «живым» «иксом» и/или «игреком»:
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
Решение: область интегрирования здесь очень простая – это часть кольца между концентрическими окружностями , которая располагается в четвёртой координатной четверти (о чём нам сообщают неравенства ). И коль скоро так всё просто, можно сразу заняться переходом к полярной системе координат по формулам .
Найдём уравнения окружностей:
И выполним чертёж:
Порядок обхода области предельно понятен:
Можно было взять промежуток , но работать с табличным значением гораздо привычнее.
Отличие от предыдущих примеров состоит в дополнительном шаге – преобразовании подынтегральной функции . Используем те же стандартные формулы перехода . Если совсем просто, то в функцию двух переменных вместо «икс» подставляем и вместо «игрек» :
После подстановки максимально упрощаем выражение, но здесь этого особо не потребовалось.
Фишка последнего шага должна быть вам хорошо знакома: когда проводится интегрирование по переменной «эр», то переменная «фи» считается константой (и наоборот). Поэтому константу целесообразно сразу вынести из внутреннего интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.
Ответ:
После того, как занавес опущен, повторим геометрический смысл полученного результата. По условию , следовательно, , то есть поверхность, которую задаёт эта функция двух переменных, в 1-й и 4-й четвертях расположена над плоскостью . Полученный в задаче результат – это в точности объём цилиндрического бруса, который ограничен плоскостью снизу, поверхностью – сверху и множеством перпендикулярных плоскости прямых, проходящих через каждую точку границы области («четвертинки» кольца) – сбоку. Примерно 66 «кубиков»: С задачей нахождения объёма тела мы вплотную столкнёмся при изучении тройных интегралов.
Завершим занятие несложным примером для самостоятельного решения:
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
Примерный образец чистового оформления задания в подвале.
Иногда область интегрирования приходится разбивать на две части и находить сумму двух двойных интегралов в полярных координатах, желающие могут потренироваться на Примерах № 8, 9 урока Площадь в полярных координатах. Кроме того, много дополнительных задач по теме можно раздобыть на странице готовых решений по высшей математике.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: выделим полные квадраты и определим вид линий:
– окружность единичного радиуса с центром в точке ;
– окружность единичного радиуса с центром в точке .
Изобразим область интегрирования на чертеже:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:
Найдём угол наклона прямой :
Порядок обхода области:
Таким образом:
1)
2)
Ответ:
Пример 4: Решение: найдём уравнения линий в полярной системе координат:
Изобразим область интегрирования на чертеже:
Порядок обхода области:
Таким образом:
1)
2)
Ответ:
Пример 7: Решение: перейдём к полярной системе координат:
Изобразим область интегрирования на чертеже:
Порядок обхода области:
Таким образом:
1)
2)
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено