Как привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду
Перейти к содержимому

Как привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду

  • автор:

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида a 1 1x 2 + 2a 1 2xy + a 2 2y 2 + 2a 0 1x + 2a 0 2y + a 0 0 = 0 определяет на плоскости кривую.
Канонический вид кривой второго порядка: λ1x 2 + λ2y 2 , причем:
а) если λ1>0; λ2>0 – эллипс, в частности, при λ12 это окружность;
б) если λ1>0, λ212>0) имеем гиперболу;
в) если λ1=0 либо λ2=0, то кривая является параболой.

  • Ввод данных
  • Инструкция
  • Оформление Word
  • Типовые задания

Инструкция . Заполните коэффициенты при соответствующих переменных и нажмите кнопку Решение .
Видеоинструкция

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

1. Переход к системе координат с осями x2=0, y2=0.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Окончательный вариант графика:

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Учебно-методический

√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия

Библиотека материалов

√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ

Инвестиции с JetLend

Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.

  • Задать вопрос или оставить комментарий
  • Помощь в решении
  • Поиск
  • Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

Тогда полуоси эллипсоида будут

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

чертёж эллипсоида

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

чертёж однополостного гиперболоида

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

чертёж двуполостного гиперболоида

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

известном как каноническое уравнение конуса.

чертёж конуса

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

чертёж эллиптического параболоида

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

чертёж гиперболического параболоида

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

чертёж эллиптического цилиндра

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

чертёж гиперболического цилиндра

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

чертёж параболического цилиндра

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Рассмотрим задачу приведения уравнения поверхности второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.

Напомним, что алгебраической поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида

где левая часть — многочлен трех переменных второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных , а также при их произведениях взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.

Уравнение (4.41) можно записать в матричном виде: где — матрица квадратичной формы, — столбец коэффициентов линейной формы (см. пункты 5,6, замечаний 4.1).

Требуется найти прямоугольную систему координат , в которой уравнение поверхности приняло бы наиболее простой вид.

Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема.

Классификация алгебраических поверхностей второго порядка

Теорема 4.3. Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение этой поверхности принимает один из следующих семнадцати канонических видов:

В этих уравнениях , причем в уравнениях 1,2; в уравнениях 3,4,5,6,7,9,10.

Теорема 4.3 дает аналитические определения поверхностей второго порядка. Согласно п.2 замечаний 4.1, поверхности (1),(4),(5),(6),(7),(8),(9), (12),(13),(14),(15),(17) называются вещественными (действительными) , а поверхности (2),(3),(10),(11),(16) — мнимыми.

Поясним доказательство теоремы. Оно аналогично доказательству теоремы 3.3 и фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.

Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение поверхности второго порядка задано в прямоугольной системе координат. В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат к прямоугольной , при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 4.1.

Пусть в прямоугольной системе координат алгебраическая поверхность второго порядка задана уравнением (4.41), в котором хотя бы один из старших коэффициентов ап, отличен от нуля,n поскольку левая часть уравнения — многочлен трех переменных второй степени.

Упрощение общего уравнения (4.41) производится в два этапа. На первом этапе при помощи однородного ортогонального преобразования координат «уничтожаются» члены с произведением неизвестных, как и в случае уравнения линии второго порядка, при этом достаточно сделать три поворота (см. углы Эйлера).

Докажем, что существует однородная ортогональная замена переменных

где — столбцы старых и новых переменных, — ортогональная матрица , при которой квадратичная форма

приводится к каноническому виду

для которого матрица квадратичной формы диагональная:

Действительно, подставляя в квадратичную форму

т.е. при однородной ортогональной замене переменных (4.42) матрица квадратичной формы преобразуется по закону

Составим характеристическое уравнение для матрицы

Так как это уравнение третьей степени, то оно имеет хотя бы один действительный корень. Обозначим его . Однородная система уравнений

определитель которой равен нулю, имеет бесконечно много ненулевых решений. Обозначим через вектор, координатный столбец которого совпадает с ненулевым решением системы, удовлетворяющим условию нормировки . Дополним этот единичный вектор векторами до ортонормированного базиса пространства. Координатные столбцы векторов удовлетворяют условиям

кроме того столбец удовлетворяет равенству или, что то же самое, . Из координатных столбцов базисных векторов составим матрицу , которая в силу (4.44) является ортогональной, так как

и, следовательно, . Сделаем в квадратичной форме с ортогональной матрицей . По закону (4.43) находим

Последний столбец этой матрицы, учитывая равенство и ортогональность , имеет вид

Следовательно, в матрице и . Поэтому квадратичная форма имеет вид

Как показано при доказательстве теоремы 3.3, многочлен двух переменных при помощи поворота системы координат можно привести к виду . Этот поворот соответствует повороту найденной системы координат вокруг оси аппликат.

Таким образом, существует преобразование прямоугольной системы координат, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. При этом уравнение (4.41) не содержит членов с произведением неизвестных:

На втором этапе, при помощи параллельного переноса «уничтожаются» один, два или все три члена первой степени. В результате всех преобразований получаем систему координат , в которой уравнение (4.45) становится приведенным (одного из следующих пяти типов):

Уравнения (I), (II), (II) совпадают с приведенными уравнениями линии второго порядка, поскольку не зависят от неизвестной положительны, то, перенося линейный член в правую часть и разделив обе части уравнения на , получим . Обозначим положительные величины и изменим направление оси аппликат, т.е. сделаем замену: , , Если окажется, что , то переименуем координатные оси:

Уравнение (V) в зависимости от знаков коэффициентов сводится к каноническим уравнениям эллипсоидов (1),(2), гиперболоидов (4),(5) или конусов (3),(6).

1. Система координат, в которой уравнение алгебраической поверхности второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной на не изменяет уравнений (1)–(17).

2. Поверхности второго порядка, приведенные в формулировке теоремы 4.3, изображены в канонической системе координат. Изображение мнимых поверхностей дается штриховыми линиями только для иллюстрации.

3. В случаях (11),(13),(15)-(17) поверхности называются распадающимися , поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.

4. Напомним, что ненулевой столбец , удовлетворяющий равенству собственным вектором матрицы собственным значением этой матрицы. Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению или, что то же самое, при помощи поворотов прямоугольной системы координат вокруг ее начала

можно привести к каноническому виду

где — собственные числа матрицы , а матрица замены переменных составлена из попарно ортогональных единичных собственных векторов матрицы . Другими словами, для любой квадратичной формы , составленный из собственных векторов матрицы 5. При ортогональном преобразовании координат собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы ), то вектор является собственным для матрицы , где — ортогональная матрица.

Действительно, учитывая, что и , получаем

т.е. . Следовательно, — собственный вектор, соответствующий собственному значению .

6. При однородной невырожденной замене переменных линейная форма меняется следующим образом , т.е. столбец коэффициентов линейной формы изменяется по закону . Свободный член квадратичной функции при однородной замене переменных не изменяется.

Порядок приведения уравнения поверхности
второго порядка к каноническому виду

Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.

1. Составить матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы:

Если матрица квадратичной формы диагональная, т.е. , то положить и перейти к пункту 4.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни (с учетом кратности).

3. Найти взаимно перпендикулярные единичные собственные векторы , соответствующие корням характеристического уравнения, и составить из них матрицу

а) если уравнение имеет один тройной корень , то базис исходной системы координат является каноническим. Поэтому полагаем и переходим к пункту 4;

б) если все корни простые, то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений . Например, собственный вектор для простого корня находится как любое ненулевое решение системы

в) если имеется двойной корень, например , то для простого корня найти соответствующий собственный вектор — любое не нулевое решение системы . Для кратного корня в качестве взять любой ненулевой столбец матрицы , а координатный столбец найти, используя векторное произведение .

Нормируя найденные в пункте «б» или «в» собственные векторы , получаем координатные столбцы

базисных векторов новой прямоугольной системы координат . Составляем матрицу перехода к новому базису, записывая собственные векторы по столбцам: .

4. Вычислить столбец коэффициентов линейной формы и составить «почти» приведенное уравнение поверхности второго порядка:

В зависимости от вида этого уравнения выполнить следующие действия.

а) Если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 5.

б) Если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например, если в уравнении и , то выполняем преобразования:

а затем замену неизвестных , после которой в уравнении не будет линейного члена с неизвестной .

в) Если в уравнении имеются два линейных члена с двумя неизвестными, а квадраты одноименных неизвестных отсутствуют, то делаем ортогональную замену этих неизвестных так, чтобы заменить их одной неизвестной. Например, если в уравнении , т.е. уравнение имеет вид

то нужно выполнить замену неизвестных

где . Эта ортогональная замена неизвестных приводит уравнение к виду

г) Если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид

то, выполняя замену неизвестных , получаем уравнение без свободного члена:

5. Полученное в результате упрощений (пункт 4) уравнение имеет «почти» канонический вид [9]. Для окончательного упрощения «почти» канонического уравнения применяются при необходимости следующие преобразования:

а) переименование координатных осей, например, ;

б) изменение направления координатной оси, например: ;

в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;

г) перенос членов из одной части уравнения в другую.

В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.

Пример 4.18. В прямоугольной системе координат заданы уравнения алгебраических поверхностей второго порядка:
а) (рис. 4.52,а);
б) (рис. 4.52,б);
в) (рис. 4.52,в).
Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат.

1. Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы

2. Матрица диагональная , а уравнение имеет «почти» приведенный вид. Поэтому полагаем, что и переходим к пункту 4.

4. В заданном уравнении имеются линейные члены всех неизвестных, а также квадраты неизвестных и . Дополняем члены с этими неизвестными до полных квадратов (см. пункт 4,»б» алгоритма):

Сделаем замену . Получили уравнение, в котором имеется один линейный член с неизвестной , а квадрата этой неизвестной нет (см. пункт 4,»г» алгоритма). Сделаем замену , чтобы в уравнении исчез свободный член (для единообразия обозначим ):

5. Полученное уравнение имеет простейший вид (IV). Переносим линейный член в правую часть: , и делаем замену , меняя направление оси аппликат (для единообразия обозначаем ):

Получили каноническое уравнение (7) эллиптического параболоида с коэффициентами .

Найдем замену неизвестных, приводящую данное уравнение к каноническому виду. В пунктах 4,5 решения были сделаны следующие замены: . Выражая заменяемые неизвестные, получаем цепочки замен:

Таким образом, найдены координатный столбец переноса начала координат и матрица перехода к каноническому базису:

1. Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы

2. Матрица диагональная , а уравнение имеет «почти» приведенный вид. Поэтому полагаем, что и переходим к пункту 4.

4. В заданном уравнении имеются линейные члены двух неизвестных и , а также квадрат другой неизвестной . Поэтому заменяем неизвестные (см. пункт 4,»в» алгоритма):

где . После такой замены уравнение принимает вид

5. Полученное уравнение имеет простейший вид (П). Переносим линейный член в правую часть: , и делаем замену , после которой получаем уравнение . Это уравнение (14) параболического цилиндра с параметром .

Найдем замену неизвестных, приводящую данное уравнение к каноническому виду. В пунктах 4,5 решения были сделаны следующие замены: . Выражая заменяемые неизвестные, получаем цепочки замен:

Таким образом, найдены координатный столбец переноса начала координат и матрица перехода к каноническому базису:

1. Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы

2. Составляем характеристическое уравнение:

Раскрывая определитель, получаем

Таким образом, корни характеристического уравнения .

3. Поскольку все корни простые, то для каждого корня находим ненулевое решение однородной системы уравнений

Нормируя собственные векторы , получаем координатные столбцы базисных векторов новой прямоугольной системы координат и составляем матрицу

4. Вычисляем столбец коэффициентов линейной формы

Составляем «почти» приведенное уравнение:

Поскольку для каждой неизвестной имеются линейный и квадратичный члены, то дополняем их до полного квадрата:

5. Для окончательного упрощения умножим уравнение на и перенесем свободный член в правую часть:

Делаем замену , переименовывая координатные оси:

Получили каноническое уравнение однополостного гиперболоида .

Найдем замену неизвестных, приводящую исходное уравнение к каноническому виду. В пунктах 3,4,5 были сделаны следующие замены:

Таким образом, начало канонической системы координат относительно исходной системы координат имеет координаты 1, –1, 1, а матрица перехода от исходного базиса к каноническому имеет вид

Проверим ортогональность этой матрицы. Поскольку

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *