Как построить эскиз графика функции

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме:
1) выяснение области определения функции;
2) решается вопрос о четности или нечетности функции;
3) исследуется периодичность функции;
4) находят точки пересечения кривой с осями координат;
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции;
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;
8) отыскание асимптот кривой;
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Видеоинструкция

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(x+2)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

Пример №1 . Провести полное исследование функции и построить ее график. 1) Функция определена всюду, кроме точек . 2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x) , и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞. 3) Функция не периодическая. 4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат. 5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота. 6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x₁ = -3, x₂ = 0, x₃ = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x₂=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)). В окрестности точки x₃=3 имеет: y’>0 при x3, следовательно, в точке x₃ функция имеет максимум, y_max(3)=-9/2. Найти первую производную функции Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения. 7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞). Найти вторую производную функции 8) Выясним вопрос об асимптотах. Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота. 9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:
Построить график функции Пример №2 . Построить график функции .
Решение.
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем
; .
4. Точки разрыва x=0 , причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
;
.
Наклонная асимптота имеет уравнение y=x .
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x =2. В промежутках x∈(-∞ ;0)∪(2; +∞) y’>0, следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(0;2) y’; y»(2)>0, следовательно, x=2 – точка минимума y_min=3.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Строим график функции.

Библиотека материалов

√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ

Онлайн-университет

Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа

Редактор формул онлайн

Удобный редактор формул для Word, Latex и Web .

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Как построить график функции

С помощью программы Desmos можно построить график одной или нескольких функций. Каждая новая функция вводится с новой строки. Для добавления точек с координатами (x,y) используйте + и вид table . Для добавления одной точки достаточно указать, например, A=(3.5,6.1) .
Чтобы настроить вид координатной сетки (пределы по осям и стрелки) используйте .

Трехмерные графики функции

• График функции онлайн
• График по точкам
• Построение графика в Excel

Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ). Видеоинструкция

Также можно начертить график по точкам. Необходимо вставить данные для X (первый столбец) и Y (второй и последующие столбцы).

1. На первом этапе при заданном интервале [a;b] и шаге h рассчитываются значения функции y=f(x) .
2. На втором этапе с помощью инструмента Excel Мастер диаграмм строится визуализация рассчитанных значений.

Принципы и способы построения графика функции

1. При прямом вычислении значений функции y=f(x) необходимо задать интервал [a;b] вычислений и шаг h . Получается таблица, по которой можно построить график.
   Например, определим для функции y=x*e 2x /3+4 интервал [-3;7], на котором будем отображать найденные точки. Чем меньше шаг h , тем точнее график функции (другими словами, тем точнее аппроксимация). Например, при h=2 количество точек для построения равно N=(7-(-3))/2+1=6 (-3; -1; 1; 3; 5; 7), а при h=0.1 уже N=(7-(-3))/0.1+1=101 .
2. Построение графика функции методом дифференциального исчисления предполагает схематичное построение, используя свойства функции.

Прикладное применение графика функции

Среди задач, в которых необходимо построить график функции можно выделить:

• Построение графика функции методом дифференциального исчисления.
• Приближенное решение алгебраических уравнений.
• Построение тренда.
• Построение уравнения регрессии.
• Построение уравнения касательной к графику функции.
• Построение уравнения нормали к графику функции: .
• Построение плотности и функции распределения дискретной случайной величины.
• Построение плотности и функции распределения непрерывной случайной величины.
• Построение прерывной функции при определении точек разрыва: .
• Площадь фигуры, ограниченной линиями:

Построить пирамиду ABCD по координатам можно здесь.

Учебно-методический

√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия

Библиотека материалов

√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ

Онлайн-университет

Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Как построить график функции в Excel

График функции – графическое представление математического выражения, показывающее его решение. Для построения обычно используются линейные графики с точками, с чем прекрасно справляется Microsoft Excel. Кроме того, в нем еще можно выполнить автоматические расчеты, быстро подставив нужные значения.

Существует огромное количество функций, поэтому в качестве примера я разберу только две самые наглядные, чтобы вы поняли базовые правила составления подобных элементов в таблице.

График функции F(x) = X^2

Функция X^2 – одна из самых популярных математических функций, которую разбирают еще на уроках в школе. На графике необходимо показать точки Y, что в Excel реализовывается следующим образом:

1. Создайте строку на листе в программе, вписав туда известные значения X.
2. Сделайте то же самое и с Y. Пока значения этой оси координат неизвестны. Чтобы определить их, нам нужно выполнить простые расчеты.
3. Поэтому в качестве значения для каждой ячейки укажите формулу, которая посчитает квадрат числа, указанного в строке X. Для этого впишите =A1^2, заменив номер ячейки.
4. Теперь достаточно зажать левую кнопку мыши на нижней точки готовой ячейки и растянуть таблицу, чтобы формула автоматически подставилась в остальные ячейки, и вы могли сразу ознакомиться с результатом.
5. Перейдите на вкладку вставки и выберите раздел с рекомендуемыми диаграммами.
6. В списке отыщите точечную диаграмму, которая подойдет для составления подходящего графика.
7. Вставьте ее в таблицу и ознакомьтесь с результатом. На следующем скриншоте вы видите параболу и значения X, при которых она получилась правильной (такую часто показывают в примерах на математике).

Всего 7 простых шагов потребовалось для достижения желаемого результата. Вы можете подставлять свои значения в таблицу и изменять их в любое время, следя за тем, как перестраивается график функций.

Комьюнити теперь в Телеграм
Подпишитесь и будьте в курсе последних IT-новостей

График функции y=sin(x)

y=sin(x) – вторая функция, которую мы возьмем за пример. Может показаться, что ее составление осуществляется сложнее, хотя на самом деле это не так. Дело в том, что Excel сам посчитает значения, а вам останется только задать известные числа и вставить простой линейный график для вывода результатов на экран.

1. Если вам будет проще, впишите в отдельную клетку функцию, укажите интервал и шаг. Так вы не запутаетесь при дальнейшем заполнении ячеек.
2. Добавьте два столбца, в которые будут вписаны значения каждой оси. Это нужно не только для обозначения чисел, но и для их вычисления при помощи функций программы.
3. Начните вписывать значения X с необходимым интервалом и шагом. Кстати, вы можете заполнить всего несколько полей, а затем растянуть клетки таким же образом, как было показано в предыдущем примере, чтобы они подставились автоматически до конца вашего интервала.
4. Теперь более сложное, но не страшное действие – определение значения Y. Понятно, что он равняется синусу X, значит, нужно вписать функцию =SIN(A1), где вместо A1 используйте нужную ячейку, а затем растяните функцию на оставшийся интервал.
5. На следующем скриншоте вы видите результат заполнения таблицы. Используйте округление для удаления лишних знаков после запятой.
6. Вставьте обычную линейчатую диаграмму и ознакомьтесь с результатом.

На примере этих двух функций уже можно понять, как работает построение графиков в Экселе. При использовании других функций просто учитывайте особенности заполнения ячеек и не забывайте о том, что вам не нужно ничего считать, поскольку Excel все сделает за вас после указания необходимой формулы.

Построение эскиза графика функции: смысл и принципы

Построение эскиза графика функции является неотъемлемой частью анализа и изучения математических функций. Это важный инструмент для понимания свойств и особенностей функции, а также для решения задач и выявления закономерностей. Правильное построение эскиза графика функции позволяет наглядно представить изменение функции в разных точках, определить ее поведение на бесконечности, а также находить точки экстремума, пересечения с осями координат и другие характеристики.

Процесс построения эскиза графика функции состоит из нескольких шагов. Во-первых, необходимо определить домен функции, то есть множество всех значений переменной, при которых функция определена. Затем следует найти область значений функции – множество всех возможных значений функции. Это позволяет понять, какие значения может принимать функция и ограничить область построения графика.

Далее следует найти особые точки функции: точки пересечения графика с осями координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты, точки разрыва функции. Эти точки помогут понять, как функция ведет себя в окрестности этих точек и определить ее поведение на бесконечности.

Шаги построения эскиза графика функции

1. Определение области значений. Необходимо определить, на каком интервале будем строить график функции. Для этого анализируем заданную функцию и определяем интервал значений аргумента функции.
2. Нахождение особых точек. Ищем точки, в которых функция может иметь особенности, такие как точки разрыва, вертикальные и горизонтальные асимптоты, точки экстремума и т. д.
3. Определение осей координат. Рисуем оси координат на бумаге или в программе построения графиков. Они будут служить для отображения значений аргумента и значения функции.
4. Построение точек. Для построения графика функции выбираем несколько значений аргумента из области значений и вычисляем соответствующие значения функции. Полученные точки помещаем на график.
5. Прямолинейные участки графика. Если функция имеет прямолинейные участки, рисуем их на эскизе. Они определяются по возрастанию или убыванию функции в заданных интервалах.
6. Симметрия. Если функция обладает определенной симметрией, необходимо учесть это при рисовании графика.
7. Плавность графика. График функции должен быть плавным и без рывков. При рисовании его следует скруглить и сделать гладким.
8. Нанесение дополнительных элементов. По мере необходимости можно добавить на график дополнительные элементы, как например, точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и т. д.
9. Подписи и масштаб. Выписываем основные значения аргумента и функции прямо на графике. Важно также указать названия осей координат и название функции.

Выбор функции

Когда мы строим график функции, важно выбрать подходящую функцию, чтобы она отображала необходимые нам свойства и особенности. Вот несколько шагов, которые помогут вам выбрать правильную функцию для графика:

1. Определите, какие свойства функции вам нужны. Например, если вы хотите построить график функции, которая моделирует рост населения города, вам нужна функция, которая будет увеличиваться со временем.
2. Узнайте, какие типы функций могут отображать указанные свойства. Например, если вам нужна функция, которая увеличивается со временем, вы можете рассмотреть экспоненциальную функцию.
3. Исследуйте свойства выбранных функций. Определите, какие параметры функции влияют на ее график. Например, для экспоненциальной функции параметр роста будет определять, насколько быстро функция увеличивается.
4. Выберите функцию, которая наилучшим образом соответствует вашим требованиям и свойствам, которые вы хотите отобразить. Убедитесь, что вы понимаете, как изменение параметров функции может влиять на график.

После выбора функции вы можете приступить к построению ее графика с помощью правил и методов, которые применяются при создании эскизов графиков функций.

Определение области определения и множества значений

Чтобы определить область определения функции, необходимо рассмотреть ограничения, заданные в условии или в уравнении функции. Например, если функция задана в виде уравнения с корнем или в знаменателе имеет выражение, при котором знаменатель равен нулю, то эти значения аргумента исключаются из области определения.

Множество значений функции определяется функциональной зависимостью между аргументом и значением функции. Если функция является линейной или монотонной, то множество значений может быть определено аналитически. В других случаях, для определения множества значений часто используют графический метод.

Например, для функции, заданной уравнением y = x^2, где x — аргумент, можно определить область определения как множество всех действительных чисел. Множество значений будет положительными значениями функции. Имея эти сведения, можно построить эскиз графика функции.

Нахождение особых точек

Для нахождения особых точек следует рассмотреть следующие случаи:

1. Точки разрыва функции. Функция может иметь разрывы в точках, где происходит деление на ноль или когда функция не определена для некоторых значений аргумента. Такие точки называются точками разрыва. Их необходимо выявить, проведя анализ функции и находя места, где может возникнуть деление на ноль или неопределенность.
2. Экстремумы функции. Экстремумы — это точки экстремума (максимума или минимума) функции. Чтобы найти данные точки, необходимо проанализировать производную функции и найти корни производной. В этих точках функция может менять свое поведение и направление роста/спада.
3. Точки пересечения с осями координат. Это особые точки, где график функции пересекает оси координат. Найти такие точки можно, приравняв функцию к нулю и решив полученное уравнение. Это позволяет найти точки пересечения с осью OX. Для нахождения точек пересечения с осью OY необходимо подставить значение x=0 в функцию и найти соответствующее значение y.

После определения особых точек функции и их характера, можно переходить к построению эскиза графика функции с учетом полученной информации.

Построение графика и примеры

Для построения графика функции необходимо выполнить несколько шагов:

1. Определить область определения функции. Это позволит определить, в каких точках осуществляется построение графика.
2. Вычислить значения функции. Для этого выбираются произвольные значения аргумента из области определения и вычисляются соответствующие значения функции.
3. Установить точки на графике. На основе полученных значений функции строятся точки на графике. При этом, если значения функции находятся за пределами видимой области графика, необходимо использовать масштабирование для включения их.
4. Проложить график. Для этого проводят линии через построенные точки. Обычно график функции оказывается гладким и плавным, если функция непрерывна.
5. Добавить метки осей. Оси графика нумеруются, чтобы позволить пользователям определить точные значения функции в различных точках.
6. Подписать оси и график. Наименования осей и самой функции помогут понять, какая функция изображена на графике.
7. Добавить любую необходимую дополнительную информацию. Некоторые графики могут требовать дополнительных аннотаций или меток.

Примеры построения графиков функций:

• График линейной функции: проходит через две точки и является прямой линией.
• График параболы: имеет форму плавной кривой, которая открывается либо вверх, либо вниз.
• График синусоиды: представляет собой колебательную кривую с равномерным изменением высоты на протяжении периода.
• График экспоненциальной функции: характеризуется быстрым ростом или убыванием и может быть представлен в виде плавной кривой.
• График логарифмической функции: обычно имеет форму плавной кривой, которая возрастает или убывает.