Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
Определение равнобедренного треугольника
Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.
Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).
Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника (\( \small \angle A \) ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами (\( \small \angle B, \ \angle C \) ) называются углами при основании.
 |
Существует более общее определение равнобедненого треугольника:
Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.
Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.
Теорема о равнобедренном треугольнике
Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.
 |
Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что \( \small \angle B= \angle C. \) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол \( \small \angle A \) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:
| \( \small CE=BD,\) | (1) |
| \( \small \angle ACE=\angle ABD.\) | (2) |
Из \( \small AB=AC\) и \( \small AD=AE \) следует:
| \( \small CD=BE.\) | (3) |
Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: \( \small CE=BD,\) \( \small CD=BE ,\) сторона \( \small BC \) общая. Отсюда следует, что
| \( \small \angle ECB= \angle DBC. \) | (4) |
Из (2) и (4) следует, что \( \small \angle B= \angle C. \)
 |
Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису \( \small AH \) треугольника. Тогда \( \small \angle CAH=\angle BAH. \) Докажем, что \( \small \angle B= \angle C. \) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона \( \small AH \) общая, \( \small \angle CAH=\angle BAH. \) Отсюда следует: \( \small \angle B= \angle C. \)
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона \( \small AH \) общая, \( \small \angle 1=\angle 2. \) Тогда \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 3=\angle 4. \) Равенство \( \small CH=HB \) означает, что \( \small AH \) является также медианой треугольника ABC. Углы \( \small \angle 3\) и \( \angle 4 \) смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда \( \small AH \) является также высотой треугольника \( \small ABC. \) Поскольку высота \( \small AH \) перпендикулярна к \( \small BC \) и \( \small CH=HB, \) то \( \small AH \) является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.
Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.
Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.
Признаки равнобедренного треугольника
Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.
Признак 1 следует из определения 1.
Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).
Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small CH=HB. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)
Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small \angle 1=\angle2. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small \angle 1=\angle 2, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)
  |
Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда
| \( \small \angle 1=\angle2, \) \( \small CH=HB. \) | (5) |
Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHC \):
| \( \small \frac <\large CH><\large \sin \angle 1>= \frac <\large AH><\large \sin \angle C>. \) | (6) |
Свойства равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник имеет ряд свойств, которые отличают его от произвольной фигуры. Именно эти свойства во многом помогают решению задач, связанных с равнобедренным треугольником. В этой статье мы подробно разберем каждый из признаков, приведем доказательства и поговорим об обратных теоремах.
Теорема 1
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Это свойство углов равнобедренного треугольника можно легко и быстро доказать. Из вершины на основание опустим высоту BH. В результате получим два прямоугольных треугольника, у которых катет BH будет общим, а гипотенузы АВ и ВС равны между собой, так как являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника.
Тогда треугольники АВН и ВСН равны по гипотенузе и катету.
В работе с прямоугольными треугольниками полезны теоремы равенства, которые значительно упрощают доказательство. Любую из них можно вывести из 3 основных теорем равенств треугольников, но это занимает лишнее время, которое можно сэкономить, просто запомнив 5 признаков равенства прямоугольных треугольников.
Раз треугольники равны, то соответствующие элементы тоже равны, то есть угол ВАН и угол ВСН равны между собой. Что и требовалось доказать.
Теорема 2
Перед формулированием теоремы, нужно сказать, что теорем всего 4, но 2, 3 и 4 похожи между собой. Поэтому докажем только 2, а остальные просто сформулируем.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является так же биссектрисой и высотой.
Проведем в треугольнике АВС высоту ВН. Она разделить треугольник на два прямоугольных, которые будут равны между собой по гипотенузе и катету, так же, как и в доказательстве первой теоремы. Если треугольники равны, значит, соответственные элементы тоже равны.
Значит отрезок AH=HC. А это значит, что BH является медианой. Так как медиана, это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Углы АВН и НВС равны, а значит, отрезком ВН угол АВС делится пополам, т.е. ВН является его биссектрисой. Биссектриса это отрезок, который делит угол пополам.
Сформулируем и запишем краткое доказательство оставшихся двух теорем.
Теорема 3
Медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является так же высотой и биссектрисой.
В этом случае ВН будет являться медианой. Тогда сторона ВН – общая для двух треугольников, стороны АВ=ВС – по определению равнобедренного треугольника, АН=НС, так как ВН является медианой. Значит, треугольники АВН и ВСН равны по трем сторонам. Дальнейшее доказательство совпадает с теоремой 2.
Теорема 4
Биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.
Тогда, угол АВН равен углу НВС по определению биссектрисы, сторона ВН – общая, а стороны АВ=ВС – по определению. Треугольники АВН и ВСН равны по двум сторонам и углу между ними.
Как видно, теоремы говорят об одном и том же, а также имеют схожие доказательства, поэтому очень часто запоминают лишь вторую теорему, приводя ее в решении и пользуясь, при этом, всеми тремя. Подобные рассуждения ошибкой не являются.
Теорема, обратная теореме 1
Теоремы, обратные теоремам 2, 3 и 4 не имеют смысла, так как будут повторять друг друга. Но теорема, обратная теореме 1, является одним из признаков равнобедренного треугольника, поэтому может использоваться при решении.
Формулировка: Если в треугольнике два угла равны между собой, то такой треугольник является равнобедренным.
Это нужно учитывать, поскольку в задаче не всегда определяют вид треугольника, а без использования свойств в задачах на эту тему не обойтись.
Что мы узнали?
Мы разобрали 4 теоремы о свойствах равнобедренного треугольника, сформулировали обратную теорему и разобрались в доказательствах свойств. Сказали, что эти свойства характерны только для равнобедренного треугольника и использовать их для произвольной фигуры нельзя, а также разобрались в том, как просто и быстро запомнить каждое из свойств.
Свойства равнобедренного треугольника
Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.
Доказать: В = С.
Доказательство:
Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, 
BAD = CAD, так как АD — биссектриса по построению, 
АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).
Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение:
| Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный. |
2. Теорема
| В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. |
Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.
Доказать: АD — медиана и высота.
Доказательство:
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.
Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).
Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС — смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 180 0 , тогда ADВ = ADС = 90 0 , т.е. АD
BC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).
Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение:
| Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
3. Теорема
| В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. |
Свойства равнобедренного треугольника
↪ Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой, а соответствующие углы при основании также равны.
↪ У равнобедренного треугольника равны основания и боковые стороны, углы при основании равны между собой, а угол при вершине также является равным.
↪ Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить, используя формулу: Площадь = (основание * высота) / 2, где основание — одна из сторон треугольника, а высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.
- Свойства и формулы равнобедренного треугольника
- Часто задаваемые вопросы:
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
Репетиторы
Репетитор по математике- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализация
- Репетитор по олимпиадной математике
- Подготовка к олимпиадам по химии
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
- Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по английскому для взрослых
- Репетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
- Программирование Pascal
Предметы по класам
- 1 класс
- 2 класс
- 3 класс
- 4 класс
- 5 класс
- 6 класс
- 7 класс
- 8 класс
- 9 класс
- 10 класс
- 11 класс
- Не школьник