Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

Курс лекций по дисциплине «Математика и информатика». Математика

Часть 3. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения
Глава 5. Случайные величины
5.1. Понятие случайной величины

В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = х_i. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:

где х – произвольное действительное число.

Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:

Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.

Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от математического ожидания.

Среднее квадратическое отклонение s(Х) для дискретной и непрерывной случайной величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии:

Далее рассматриваются отличия между дискретной и непрерывной случайными величинами.

Система случайных величин. Задачи с решениями

Одна случайная величина – хорошо, а две – лучше, а ещё лучше – их система, которую также называют двумерной случайной величиной. Кроме того, можно рассмотреть системы трёх и бОльшего количества величин, но это уже будет слишком хорошо, а оно, как известно, плохо 🙂 Продолжаем разговор о случайных величинах (СВ), и для тех, кто не в теме, я сразу привёл ссылку выше. Для более подготовленных читателей тоже сразу:

– на ближайших уроках будут разобраны распространённые задачи с двумерной случайной величиной и кратко освещены соответствующие теоретические моменты.

План такой, нам с тобой:

• В этой статье рассмотрим самые-самые популярные вещи, которые предлагаются даже студентам-заочникам. Это простейшие примеры с двумерной дискретной, а также составной одномерной СВ наподобие . + Матожидания, дисперсии и иже с ними.
• Далее остановимся на задачах с дискретной зависимой случайной величиной, условных законах распределения и узнаем, как находить коэффициенты ковариации и корреляции.
• Двумерная непрерывная случайная величина, функция распределения и функция плотности распределения. С подробными объяснениями примерами и эксклюзивными чертежами
• И, наконец, условные законы распределения и коэффициент ковариации двумерной непрерывной СВ.

Ещё раз подчёркиваю, что будет, в основном, практика, и если вам нужны развернутые теоретические выкладки, то рекомендую обратиться к одному из последних изданий учебного пособия В.Е. Гмурмана, которое переиздаётся более 50 лет, и в представлении не нуждается.

Ну а меня зовут Александр Емелин (кто не знает), и я с энтузиазмом присматриваюсь к следующему столетию:)

Вспоминаем первый урок по теме и эталонный пример с игральным кубиком (костью), где мы рассмотрели случайную величину – количество очков, выпавших в результате его броска. В правильных руках правильный кубик даёт следующий закон распределения вероятностей:

Теперь рассмотрим другой такой же кубик и случайную величину – количество очков, выпавших на этом кубике. Очевидно, что вероятности выпадения его граней будут точно такими же:

Что мы имеем? Две случайные величины. Но это пока что не система, как, например, не являются системой отдельно взятые диффуры. О системе речь заходит, когда мы рассматриваем эти величины ВМЕСТЕ, например, при подбрасывании костей в игре.

Построим закон распределения вероятностей системы . Так как результат броска одного кубика никак не влияет на количество очков, выпавших на другом кубике, то случайные величины являются независимыми.

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность выпадения любой возможной комбинации очков постоянна и равна . Закон распределения вероятностей можно записать аналитически:

– вероятность выпадения любой пары , где случайные величины могут принять одно из следующих значений: , .

Но в произвольной задаче вероятности чаще бывают разными, и поэтому на практике широко распространена табличная запись системы. Тот случай, когда копипаст не просто полезен, а очень полезен:

Устройство таблицы очевидно, но на всякий случай я обвёл красным один пример: вероятность того, что случайная величина примет значение 2 и случайная величина значение 4 записывается в ячейку, расположенную на пересечении 2-й строки и 4-го столбца.

Обратите внимание, что сумма всех вероятностей равна единице, это означает, что в таблице учтены все возможные исходы (полная группа), и в результате броска двух кубиков достоверно появится одна из 36 пар.

Помимо дискретных, систему могут образовывать и непрерывные случайные величины. За примером далеко ходить не будем: предположим, что мы бросаем игральный кубик в некую цель, например, в коробку. Тогда уместно рассмотреть следующую двумерную случайную величину: , где – случайное отклонение от цели «по горизонтали» (влево/вправо) и – случайное отклонение от цели в длину (ближе/дальше).

Кстати, есть ли отличие между понятиями «система двух случайных величин» и «двумерная случайная величина»? – в различных источниках информации используют и тот, и другой термин. С моей точки зрения, отличие есть. Двумерная или большемерная случайная величина, как правило, порождается в результате конкретного испытания, зачастую (но не обязательно) с одним объектом, пожалуйста – тот же бросок кубика в цель. Понятие же системы более формально: один кубик может подбрасывать бабушка на кухне, а другой дедушка в коридоре, или даже ничего не подбрасывать, а совершать прыжки в длину. Но математика-то не запрещает рассмотреть соответствующие СВ единой системой! А психиатрия вообще приветствует.

Независимые случайные величины принимают только целые значения:

– от 1 до 13 с равными вероятностями;
– от 1 до 16 с равными вероятностями.

Найти – вероятность того, что в очередном испытании сумма появившихся чисел будет меньше шести.

Решение: предложенные случайные величины можно ассоциировать с нестандартными игральными костями, на одной из которых 13, а на другой – 16 граней.

Из условия следует, что:
– вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение равна ;
– вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение равна .

Так как случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность появления любой пары чисел в очередном испытании постоянна и равна: . Заметьте, что рассмотрение пар уже констатирует тот факт, что мы рассматриваем СИСТЕМУ случайных величин, а не их по отдельности.

Подсчитаем количество пар, соответствующих событию :

сумме соответствует единственная пара ;

Итого: 10 нужных пар.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что сумма появившихся чисел будет меньше шести

Ответ:

Но то, конечно, была разминка:

Две независимые дискретные случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Нет, это не опечатка, случайные величины имеют одинаковые законы распределения. Здесь их удобно ассоциировать с двумя одинаковыми и независимо работающими палатами игровыми автоматами, на которых с определенными вероятностями загораются пронумерованные лампочки.

1) Найти закон распределения вероятностей системы случайных величин и вычислить:
– математическое ожидание случайной величины , при условии, что другая величина приняла значение ;
– математическое ожидание случайной величины , при условии .

2) Вычислить – вероятности того, что случайная величина примет значение из соответствующих двумерных областей.

3) Найти закон распределения вероятностей случайной величины . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

В реальной работе вам может встретиться и то, и другое, и третье и чётвёртое, поэтому разбираемся во всём осознанно и очень внимательно.

Решение:

1) Составим закон распределения вероятностей системы случайных величин.

«Иксовые» вероятности будем обозначать как обычно:
,
а к «игрековым» вероятностям добавим «птичку»:

Вычисления стандартно начнём с наименьшего «икса» и «игрека». Найдём – вероятность того, что случайная величина примет значение и случайная величина значение . По условию, случайные величины независимы, и коль скоро так, то по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Найдём – вероятность того, что :

И так далее. Вычисления удобно проводить на калькуляторе или даже устно, а результаты заносить в таблицу. В качестве ещё одного примера я вычислил и отметил красным цветом вероятность – того, что случайные величины примут значения :

Это и есть закон распределения системы . Не забываем проверить, что сумма всех вероятностей равна единице. Кстати, это ещё не значит, что ошибок нет. Для бОльшей уверенности следует просуммировать вероятности по строкам – в результате должны получиться , т.е. закон распределения случайной величины ; и просуммировать вероятности по столбцам – в результате должны получиться «игрековые» вероятности величины .

Для системы СВ не вводится понятия «общего» математического ожидания, однако можно подсчитать матожидания условные – при условии, что одна из величин примет или уже приняла некоторое конкретное значение.

Вычислим – математическое ожидание случайной величины , при условии, что другая величина приняла значение . Так как случайные величины независимы, то распределение случайной величины не зависит от того, какое значение приняла случайная величина . А значит, при любом возможном значении «игрек» условные математические ожидания:
– в точности равны матожиданию самой случайной величины .

Логично? Представьте, что на 2-м игровом автомате зажглась лампочка (любая). Ну и что с того? Первый же автомат работает независимо!

Следует отметить, что с зависимыми величинами всё не так, и на следующем уроке мы разберём алгоритм вычисления условного матожидания, который формально пригоден и для независимых величин.

Ну а пока нам достаточно найти математическое ожидание , и заодно сразу вычислим дисперсию, потребуется позже:

Таким образом:

С вероятностью аналогично – представьте, что на «иксовом» игровом автомате зажглась лампочка №4. Ну и что? Это никак не повлияло на «игрековый» автомат и его матожидание, поэтому:
– даже считать не пришлось, т.к. наши случайные величины имеют одинаковые распределения вероятностей.

2) Вычислим вероятность – того, что случайная величина примет значение из области, которую задают неравенства в скобках.

По аналогии с одномерным случаем, это можно сделать с помощью функции распределения вероятностей. Но для двумерной СВ составить такую функцию – не то, чтобы сложное, но весьма кропотливое занятие, и поэтому здесь проще просуммировать вероятности, соответствующие условиям . На рисунке ниже я обвёл их красным цветом, и обратите внимание, что в силу строгости неравенства , строку не следует включать в эту область. Таким образом: – вероятности я привык суммировать по строкам слева направо.

Аналогично, область отграничена синим цветом, и здесь не следует учитывать значение . В результате: – вероятность того, что компонента примет значения, не превосходящее двух, и компонента – значение, меньшее двух.

И с вероятностью всё просто. Поскольку на переменную «икс» не наложено никаких ограничений, то она может быть любой, но вот то, что «игрек» окажется больше четырёх – есть событие невозможное. Поэтому .

Точно по такому же принципу вычисляются вероятности и в случае зависимости случайных величин , . Тут разницы нет.

3) Найдем закон распределения вероятностей случайной величины .

Принципиальным отличием от предыдущих пунктов является то, что здесь речь идёт об одномерной случайной величине. Как получаются её значения? С помощью суммирования случайных значений , которые могут принять величины . И нам нужно перебрать все возможные варианты.

Начать удобно с самой маленькой возможной суммы, её образует пара , в результате чего случайная величина «зет» примет значение с вероятностью:

Может ли сумма равняться трём? Может. Исходу соответствуют пары . По теоремам умножения вероятностей независимых и сложения несовместных событий:

Сумме соответствуют пары и вероятность:

Сумма тоже возможна, и ей соответствуют 4 пары: . Наверное, вы заметили, что вероятности выпадения всех пар уже подсчитана в первом пункте, и, возможно, на практике вам будет удобнее предварительно составить таблицу распределения вероятностей системы . Но, разумеется, можно обойтись и без неё:

Сумме соответствуют пары и вероятность:

и, наконец, сумме – последняя возможная пара :
.

Искомый закон распределения сведём в таблицу и сразу проведём стандартные вычисления для нахождения матожидания и дисперсии:

Обязательно контролируем, что , ну и дальнейшее просто:

4) Вычислим

Начнём с . Как можно поступить? Можно составить закон распределения случайной величины . Паре соответствует значение , паре – значение , паре – значение и так далее…. И далее напрямую вычислить матожидание. Но есть путь короче.

Для математического ожидания справедливы следующие свойства:

– математическое ожидание величины, которая принимает единственное значение , равно этому значению. Логично

– постоянный множитель можно вынести за знак матожидания.

– это свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин. И сразу убедимся в справедливости этого факта. В первом пункте мы вычислили , во втором – :
, что и требовалось проверить.

Но, следует отметить, что вам может быть предложено и «драконовское» задание, а именно, доказать, что . При такой формулировке таки придётся составить закон распределения случайной величины и вычислить непосредственно.

Едем дальше. С нахождением никаких проблем: в первом пункте мы уже вычислили и по свойствам матожидания:

Энтузиасты могут составить случайную величину , и убедиться в справедливости равенства .

И осталось вычислить .

Для дисперсии справедливы следующие свойства:

– дисперсия постоянной величины равна нулю.

– константу можно вынести за знак дисперсии, возведя её в квадрат. Тоже логично: коль скоро, дисперсия – есть квадратичная величина, то при вынесении постоянного множителя, мы должны «расплатиться» возведением его в квадрат.

Для независимых случайных величин справедливо:
, и сразу проверяем: в пункте 1 мы нашли , и в пункте 3 вычислили .

Внимание! Для зависимых величин данное равенство неверно! Но об этом в другой раз.

И из последних двух свойств следует парадоксальное на первый взгляд равенство:
, и тут прямо какой-то закон философии получился – когда из хаоса мы пытаемся вычесть другой хаос, то меры этих хаосов только суммируются.

И настал торжественный момент заключительных вычислений нашей большой задачи:

Но готовы ли вы? 🙂 Небольшая задачка для самостоятельного решения:

Две независимые дискретные случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

1) Найти закон распределения вероятностей системы и вычислить .

Вычисления, кстати, удобно проводить в Экселе – «забиваем» числа и не «забиваем» 🙂

2) Найти закон распределения вероятностей случайной величины , вычислить и вероятность того, что полученная СВ примет отрицательное значение.

3) Проверить справедливость равенства

В последнем пункте сформулировано ещё одно свойство математического ожидания, которое справедливо только для независимых случайных величин.

Наверное, вы обратили внимание, что во всех задачах этой статьи в условии прямо констатируется независимость случайных величин. Но такого подарка может и не быть, и тогда нам предстоит выполнить самостоятельное исследование. Как его провести? Существуют строгие математические критерии, позволяющие выяснить, зависимы случайные величины или нет, и я приглашаю вас на следующий урок, где мы не только рассмотрим соответствующие примеры, но и узнаем много интересного.

Краткое решение Примера 3:

1) Используя теоремы умножения вероятностей независимых и сложения несовместных событий, составим закон распределения системы :

Суммируя вероятности по строкам, убеждаемся, что получается закон распределения случайной величины , и, суммируя вероятности по столбцам, получаем в точности закон распределения .

Вычислим требуемые вероятности:

2) Найдём закон распределения случайной величины .

Начнём с наименьшего значения , которое даёт пара . Вероятности появления всех возможных комбинаций уже вычислены в предыдущем пункте:

Произведению соответствуют пары . По теореме сложения несовместных событий:

Произведению соответствует пара :

Произведению соответствуют пары :

и, наконец, произведению – пара :

Закон распределения случайной величины сведём в 2 верхние строки расчётной таблицы, не забывая проконтролировать, что :

Математическое ожидание: , дисперсия:

– вероятность того, что случайная величина примет отрицательное значение.

3) Покажем справедливость равенства .

– вычислено в предыдущем пункте.

Вычислим матожидания исходных случайных величин:

Таким образом:

– получено верное равенство, что и требовалось проверить.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Дискретная случайная величина

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
3. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:

Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math] , определённая на [math]\mathbb[/math] как [math]P(\xi\leqslant x)[/math] , т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение меньшее или равное [math]x[/math]

Если случайная величина [math]\xi[/math] дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией [math]\mathbb(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots[/math]

Функция распределения [math]F(x)[/math] этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как [math]F(x) = \sum\limits_ p_i[/math] .

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

• [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]

• [math]F(x)[/math] непрерывна во всех точках [math]x\in \mathbb[/math] , таких что [math]\forall i ~ x \ne x_i [/math] , и имеет разрыв первого рода в точках, таких что [math]\forall i ~ x = x_i[/math] .

• [math]\lim\limits_ F(x) = 0, \lim\limits_ F(x) = 1[/math] .

Примеры

1. Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть [math]n[/math] выстрелов, вероятность попадания равна [math]p[/math] . Необходимо найти [math]F(k)[/math] . Для [math]k \lt 0 ~ F(k) = 0[/math] , так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для [math]k \geqslant 0 ~ F(k) = \sum\limits_^<\min(n, \lceil k \rceil - 1) >\dbinomp^ (1-p)^< n - i>[/math]
2. Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла — [math]p[/math] .
3. Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел [math]1 \ldots 6[/math] соответственно равны [math]p_ \ldots p_[/math] . Для [math]k \lt 1 ~ F(k) = 0[/math] , так как не может выпасть цифра меньше [math]1[/math] . Для [math]k \geqslant 1 ~ F(k) = \sum\limits_^<\min(6,\lceil k \rceil - 1) >p_[/math]

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например [math] F(x) = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac>, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 1, & x \gt 3 \end[/math]

Функция плотности распределения вероятностей

Определение:

Функция плотности распределения вероятностей (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math] , определённая на [math]\mathbb[/math] как первая производная функции распределения. [math]f(x) = F'(x)[/math]

Свойства функции плотности вероятности:

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

• Плотность вероятности определена почти всюду.

Для примера выше [math] f(x)=F'(x) = \begin (0)’, & x \lt 0 \\ \left(\dfrac> \right)’, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ (1)’, & x \gt 3 \end = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 0, & x \gt 3 \end [/math]

Для дискретной случайной величины не существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

См. также

Источники информации

• КГУ — Определение дискретной случайной величины
• Википедия — Дискретная случайная величина
• Википедия — Плотность вероятности

Независимые случайные величины

Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

Независимость в совокупности

Определение:

Случайные величины [math]\xi_1, \ldots ,\xi_n[/math] называются независимы в совокупности (англ. mutually independent), если события [math]\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n[/math] независимы в совокупности.

Примеры

Карты

Пусть есть колода из [math]36[/math] карт ( [math]4[/math] масти и [math]9[/math] номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

[math]\xi[/math] — масть вытянутой карты : [math]0[/math] — червы, [math]1[/math] — пики, [math]2[/math] — крести, [math]3[/math] — бубны

[math]\eta[/math] : принимает значение [math]0[/math] при вытягивании карт с номиналами [math]6, 7, 8, 9, 10[/math] или [math]1[/math] при вытягивании валета, дамы, короля или туза

Для доказательства того, что [math]\xi, \eta[/math] независимы, требуется рассмотреть все [math]\alpha,\beta[/math] и проверить выполнение равенства: [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math] , остальные рассматриваются аналогично:

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac [/math]

[math]P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] [math] \cdot [/math] [math] \dfrac [/math] [math] = [/math] [math] \dfrac [/math]

Тетраэдр

Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): [math]\Omega = \[/math] . [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math] , [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac \right \rfloor[/math] .

Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math] , [math]\beta = 1[/math] . [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac [/math] .

Для этих значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: [math]\xi (i) = i \bmod 3[/math] , [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac \right \rfloor[/math] , то эти величины зависимы: положим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math] . Тогда [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac [/math] [math] \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)[/math] .

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: [math]\Omega = \[/math] , [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math] , [math]\eta (i) = \dfrac <\mathcal i>>[/math] . Для того, чтобы показать, что величины [math]\xi, \eta[/math] зависимы, надо найти такие [math]\alpha, \beta[/math] , при которых [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

При [math]\alpha = 0, \beta = 1[/math] :

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac [/math] [math] = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\eta \leqslant 1) = [/math] [math] \dfrac [/math]

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)[/math] , откуда видно, что величины не являются независимыми.

См.также

• Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
• Дискретная случайная величина
• Математическое ожидание случайной величины

Источники информации

• НГУ — Независимость случайных величин

• Википедия — Независимость (теория вероятностей)

Похожие публикации:

1. Trend micro что это
2. Usbdm memory dump как пользоваться
3. Как вытащить фото из заблокированного iphone
4. Как убрать синие стрелки в solidworks