Докажите что функция возрастает на r
Перейти к содержимому

Докажите что функция возрастает на r

  • автор:

Упр.44.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Изображение Докажите, что заданная функция возрастает на R:a) у = cos х + 2х; б) y = sin х + х3 + х; в) у = х5 + Зх3 + 7x + 4;г) у = х5 + 4х3 + 8х -.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Похожие решебники

Мордкович 10-11 класс
Мордкович, Семенов

Популярные решебники 10 класс Все решебники

Рабочая тетрадь
Босова, Босова, Лобанов
Баранова, Дули, Копылова
Атанасян 10-11 класс
Атанасян, Бутузов
Happy English
Сороко-Цюпа
Сороко-Цюпа
New Millennium
Казырбаева, Дворецкая

Изображение учебника

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Докажите, что функция возрастает на множестве R при k>0

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день, уважаемые форумчане. Решил на досуге восстановить знания 10-11 класса алгебры. Взял старый, но хороший учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс средней школы» А.Н.Колмогорова и стал делать все задачи подряд. Естественным образом столкнулся с массой проблем, которые не могу решить. Не знаю, правильнее создавать на каждый вопрос по теме, но вопросы на столько типичные, что все таки напишу в одной теме. Причём задачи относятся в любом случае к одному разделу — функции, анализ функций, графики функций. Надеюсь, Вы мне по можете.
(я буду выкладывать не сразу все вопросы, чтобы можно было постепенно их обсудить)
Итак.
1. Докажите, что функция y=kx+b; a) возрастает на множестве R при k>0; b) убывает на множестве R при k

тут все понятно, ещё с школы учили, что если коэффициент k у функции y=kx+b(прямая) меньше нуля, то она убывает, иначе возрастает. Но как доказать? Вот вопрос

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Докажите, что в частично упорядоченном множестве нет бесконечного подмножества
Докажите, что в частично упорядоченном множестве N^k (порядок покоординатный) нет бесконечного.

Докажите что отношение делимости на множестве натуральных чисел есть отношение нестрогого порядка
Докажите что отношение делимости на множестве натуральных чисел есть отношение нестрогого порядка.

Докажите, что следующая функция является примитивно рекурсивной f(x) = x+n
Докажите, что следующая функция является примитивно рекурсивной f(x) = x+n Есть светлые мысли как.

Докажите,что функция
Докажите,что функция y=F(x) являеться первообразной для y=f(x),если F(x)=4sinx;f(x)=4cosx.

Докажите что функция возрастает на r

Докажите,что заданная функция возрастает на R : y=sinx+x^3+x

Функция возрастает на R, если каждому большему значению аргумента (переменной) соответствует большее значение функции.

Функция будет возрастающей, если производная будет больше нуля.

y’ = cosx + 3 * x^2 + 1.

Косинус — тригонометрическая функция, оценим область значений:

Получили сумму числа, значение которого от 0 до 2, и утроенного квадрата другого числа, которые одновременно нулю равны не могут быть. Поэтому функция возрастает на R.

10.19. Докажите, что функция возрастает:

ГДЗ к Задачнику по Алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович и др.)

Решебник по алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др., 2010 год),
задача №10.19.
к главе «§10. Свойства функций».

Докажите что функция возрастает на r

Докажите, что для монотонно возрастающей функции f ( x ) уравнения x = f ( f ( x )) и x = f ( x ) равносильны.

Дана функция f , определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y , таких, что x > y , верно неравенство ( f ( x ))² ≤ f ( y ). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].

Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10 –|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Функции f(x) – x и f(x²) – x 6 определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция также возрастает при всех положительных x.

На отрезке [0; 1] задана Эта функция во всех точках неотрицательна, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не величина не превосходит суммы величин и

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]

Проект осуществляется при поддержке и .

Докажите что функция у=f(x):
a)y=-5×2-4 убывает на множество R
b)y=3×3+ ½ возрастает на множество R

Докажите что функция у=f(x):
a)y=-5x^2-4 убывает на множестве R
у (0)= -4; у (1)= -5-4=-9; -4 >-9 ; Поэтому у (0)> у (1); Значит функция убывает на множестве R
b)y=3x^3+ ½ возрастает на множестве R
у (0)= 0,5; у (1)= 3+0,5= 3,5; 0,5

Остальные ответы

нужно, наверное, графики функций построить

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Возрастание и убывание функции

Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале \((a,b)\) функция \(f(x)\) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$
f'(x)\geq 0\ при \ всех\ x\in(a,b).\label
$$
Аналогично, условие
$$
f'(x)\leq 0\ при \ всех \ x\in(a,b)\label
$$
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\).

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.

Необходимость. Пусть \(x_0\) — произвольная точка интервала \((a,b)\). Из определения возрастающей функции следует, что
$$
\forall x\in (a,b):\ x > x_\ \rightarrow f(x)\geq f(x_),\nonumber
$$
$$
\forall x\in (a,b):\ x < x_\ \rightarrow f(x)\leq f(x_),\nonumber
$$
Следовательно, если \(x\in(a,b)\) и \(x\neq x_0\), то выполняется неравенство
$$
\frac\geq 0.\label
$$
Так как левая часть \eqref имеет при \(x\rightarrow x_0\) предел, равный \(f'(x_)\), то из неравенства \eqref по свойству сохранения знака нестрогого неравенства при предельном переходе получаем
$$
f'(x_0)\geq 0\ для \ любого \ x_\in (a,b).\nonumber
$$

Достаточность. Пусть выполняется условие \eqref и пусть \(x_1, x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\), причем \(x_1 < x_2\). Применяя к функции \(f(x)\) на отрезке \([x_1,x_2]\) теорему Лагранжа, получаем
$$
f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),\nonumber
$$
где \(f'(\xi)\geq 0\), так как \(\xi\in(a,b)\). Отсюда следует, что
$$
\forall x_,x_\in (a,b):\ x_ > x_1\rightarrow f(x_2) \geq f(x_).\label
$$
Это означает, что функция \(f(x)\) является возрастающей на интервале \((a,b).\ \bullet\)

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если для всех \(x\in (a,b)\) выполняется условие
$$
f'(x) > 0,\label
$$
то функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\), а если для всех \(x\in (a,b)\) справедливо неравенство
$$
f'(x) < 0,\label
$$
то функция \(f(x)\) строго убывает на интервале \((a,b)\).

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется условие \eqref. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\) такие, что \(x_1 < x_2\). По теореме Лагранжа
$$
f(x_)-f(x_)=f'(\xi)(x_-x_1),\ где \ \xi\in(a,b).\nonumber
$$
Отсюда и из условия \eqref следует, что \(f(x_2) > f(x_)\). Это означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\). \(\bullet\)

Доказать, что функции \(\operatornamex\) и \(\operatornamex\) строго возрастают на \(\mathbb\).

\(\triangle\) Так как \((\operatornamex)’=\operatornamex > 0\) и \((\operatornamex=\displaystyle \frac<\operatorname^x> > 0\) для всех \(x\in\mathbb\), то по теореме 2 функции \(\operatornamex\) и \(\operatornamex\) являются строго возрастающими на \(\mathbb\). \(\blacktriangle\)

Условие \eqref не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция \(f(x)=x^\) строго возрастает на \(\mathbb\), но условие \eqref не выполняется, так как \(f'(0)=0\).

Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и удовлетворяет условию \eqref, то эта функция строго убывает на отрезке \([a,b]\).

\(\circ\) Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. \(\bullet\)

\(\triangle\) Рассмотрим функцию \(f(x)=\displaystyle \frac,\;f(0)=1\). Эта функция непрерывна на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac<\pi>\right]\) и дифференцируема на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi>\right)\), причем \(f'(x)=\displaystyle \frac(x-\operatornamex) < 0\), так как на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi>\right)\) выполняются неравенства \(\cos x > 0,\ \operatornamex > x\). По теореме 3 функция \(f(x)\) строго убывает на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac<\pi>\right]\), и поэтому \(f(x) > f(\displaystyle \frac<\pi>)\) для \(x\in\left(0,\displaystyle \frac<\pi>\right)\), то есть выполняется неравенство \(\displaystyle \frac > \frac<\pi>\), равносильное на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi>\right)\) неравенству \eqref. Геометрическая интерпретация неравенства \eqref: на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac<\pi>\right)\) график функции \(у=\sin x\) лежит выше графика функции \(y=\displaystyle \frac<\pi>x\) (рис. 20.1).

Отметим, что
$$
\sin x\geq \displaystyle \frac<\pi>x \ при \ x\in \left[0,\displaystyle \frac<\pi>\right],\label
$$
причем при \(x=0\) и \(x= \displaystyle \frac<\pi>\) неравенство \(\sin x\geq \displaystyle \frac<\pi>x\) обращается в равенство.\(\blacktriangle\)

Возрастание (убывание) функции в точке.

Будем говорить, что функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\) если существует \(\delta\;>\;0\) такое, что
$$
\begin
\forall x\in (x_-\delta,x_0)\rightarrow f(x) < f(x_),\\
\forall x\in (x_,x_0+\delta)\rightarrow f(x) > f(x_),
\end\label
$$

Заметим, что условие \eqref равносильно условию
$$
\frac> > 0,\quad x\in\dot_(x_).\label
$$
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции \(f(x)\) в точке \(x_0\). В этом случае
$$
\frac> < 0,\quad x\in\dot_(x_).\nonumber
$$

Если \(f'(x_0) > 0\), то функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\), а если \(f'(x_0) < 0\), то функция \(f(x)\) строго убывает в точке \(x_0\).

Доказательство.

\(\circ\) Пусть, например, \(f'(x) > 0\). Из определения производной следует, что по заданному числу \(\varepsilon=f'(x_0) > 0\) можно найти \(\delta > 0\) такое, что для всех \(x\in\dot_(x_0)\) выполняется неравенство \(\left|\displaystyle \frac>-f'(x_)\right| < f'(x_)\), откуда следует утверждение \eqref.

Аналогично рассматривается случай \(f'(x_0) < 0\). \(\bullet\)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *