Производная экспоненты
То есть оставляем изначальную функцию неизменной и умножаем на производную степени, стоящей в экспоненте.
Примеры решения
Так как дана сложная функция, то находим производную по правилу:
Для этого считаем $ f(x) = 2x $ и $ f'(x) = (2x)’ = 2 $.
Подставляем всё в формулу:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Такая функция является сложной и взять от неё производную нужно по соответствующему правилу: $$ y’ = ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Записываем: $$ y’ = (\cos e^x)’ = -\sin e^x \cdot (e^x)’ = -\sin e^x \cdot e^x = -e^x \sin e^x $$
Обратите внимание на то, что экспонента является единственной функцией на которую не оказывает влияния производная!
Нужно подробное решение своей задачи?
Почему производная экспоненты равна ей самой?
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уверен, что многие из Вас из школьного курса математики прекрасно помнят чудесную функцию — экспоненту, производная которой, сколько бы её не брать, равняется исходной функции.
Однако, многие ли из Вас знают, почему так происходит? Сегодня я хочу это рассказать на максимально простом языке. Поехали! Рассмотрим две показательные функции:
Вспомним теперь классическое определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
- Простыми словами: мы анализируем скорость изменения функции f(x) при бесконечно малом изменении её аргумента, которое мы будем обозначать ∆х.
В формулах для первой функции это выглядит так:
Давайте кое-что посчитаем на калькуляторе, а именно выражение под знаком предела. Например, пусть изменение функции ∆х = 0,001. Тогда:
Впрочем, это ничего нам не даст. До того момента, как мы не посчитаем аналогичное выражение для функции, в основании которой 3:
А вот это уже интересно. Если немного вспомнить математический анализ, то в голове всплывает вторая теорема Больцано-Коши или теорема о промежуточном значении.
Применительно к нашему случаю она позволяет утверждать, что рассматриваемая функция (имеется ввиду дробь (x^∆х-1)/∆х) при каком-то x равняется единице! Если мы найдем такое х, то по определению получим равенство функции её производной! Начинаем! Приравниваем нашу функцию к единице:
Второй замечательный предел — это известное из школьного курса соотношение, неизменно приводящее к числу Эйлера. Таким образом, доказательство окончено!
- TELEGRAM«Математика не для всех»— там я публикую не только интересные статьи, но иматематический юмор и многое другое.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Производная экспоненты
Производная экспоненты
28.01.2011, 02:01
На матанализе был такой факт — что экспонента(а точнее, функция видa С*exp(x)) — единственная функция, производная которой равна самой себе. А это как-нибудь доказано(просто интересно)?
Re: Производная экспоненты
28.01.2011, 02:14
| Заслуженный участник |
karlicos в сообщении #405659 писал(а):
А это как-нибудь доказано(просто интересно)?
Единственность доказывается так: пусть 
— такая функция, что 
1.
