Как посчитать количество путей в графе

Граф. Поиск максимального количества путей для каждой вершины

Необходимо посчитать максимальное количество путей для каждой вершины до помеченных вершин, при условии, что все пути для одной вершины проходят через разные вершины (не пересекаются), не считая ее саму и конечную. Есть ли подобная реализация, так же интересует частный случай, не для всего графа, а только для одной вершины. И еще одно возможное допущение, доказать что существует хотя бы 2 пути по разным вершинам. Для всех допущений: Необходимо перебором по-очереди выкидывать каждую вершину и рекурсивно, через смежные вершины искать помеченную точку. Если в какой-то итерации точка не будет найдена, значит 2х путей нет. Вроде так.

Отслеживать
задан 27 мар 2017 в 12:39
777 4 4 серебряных знака 11 11 бронзовых знаков

Количество вариантов наборов непересекающихся путей может быть более одного. При этом разные варианты могут включать разное количество путей. Т.е. задача может иметь несколько решений. Простейший вариант: граф 1-2,1-3,2-3,2-4,3-4. Начало — 1, конец — 4. Возможен вариант с 2 путями 1-2-4 и 1-3-4, и вариант с 1 путём 1-2-3-4. Тебя устроит решение «1 или 2»?

27 мар 2017 в 12:43

Вы хотели сказать, конец 4, я полагаю. Нужно найти максимальное кол-во путей. Для вершины 1 кол-во путей 2.

Количество путей в графе: основные понятия и методы подсчета

Эта статья рассказывает о путях в графах и способах их подсчета, а также о свойствах количества путей.

Количество путей в графе: основные понятия и методы подсчета обновлено: 17 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

В данной лекции мы будем изучать графы и пути в них. Графы – это абстрактные структуры данных, которые состоят из вершин и ребер, соединяющих эти вершины. Пути в графе представляют собой последовательности вершин, которые связаны ребрами. Мы рассмотрим определение графа, пути в графе, а также способы подсчета количества путей в графе. Также мы изучим некоторые свойства количества путей в графе. Давайте начнем!

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Определение графа

Граф – это абстрактная математическая структура, которая состоит из набора вершин и ребер, соединяющих эти вершины. Вершины представляют собой отдельные объекты, а ребра – связи между этими объектами.

Графы широко используются для моделирования и анализа различных ситуаций и явлений. Они могут представлять сети связей, отношения между объектами, дорожные сети, социальные сети и многое другое.

Графы могут быть направленными или ненаправленными. В направленном графе ребра имеют определенное направление, тогда как в ненаправленном графе ребра не имеют направления.

Графы также могут быть взвешенными или невзвешенными. Взвешенный граф имеет числовые значения, называемые весами, присвоенные каждому ребру. Невзвешенный граф не имеет весов.

Графы могут быть представлены в виде матрицы смежности или списка смежности. Матрица смежности представляет собой квадратную матрицу, где элементы указывают наличие или отсутствие ребра между вершинами. Список смежности представляет собой список, где каждая вершина имеет список смежных с ней вершин.

Определение пути в графе

Путь в графе – это последовательность вершин, которые соединены ребрами. Путь может быть прямым или косвенным, в зависимости от того, есть ли промежуточные вершины между начальной и конечной вершинами.

Прямой путь – это путь, в котором нет повторяющихся вершин. То есть, каждая вершина встречается только один раз.

Косвенный путь – это путь, в котором могут быть повторяющиеся вершины. Такой путь может проходить через одну или несколько вершин несколько раз.

Длина пути – это количество ребер, которые нужно пройти, чтобы перейти от начальной вершины к конечной вершине. Длина пути может быть равна нулю, если начальная и конечная вершины совпадают.

Путь может быть направленным или ненаправленным, в зависимости от того, есть ли у ребер графа определенное направление. В направленном пути нужно двигаться только в одном направлении по ребрам, а в ненаправленном пути можно двигаться в обоих направлениях.

Количество путей в графе

Количество путей в графе – это количество различных способов перемещения от одной вершины к другой в графе. Путь может быть прямым или косвенным, и может содержать любое количество вершин и ребер.

Для подсчета количества путей в графе можно использовать различные методы, в зависимости от его структуры и свойств. Некоторые из них включают:

Матрица смежности

Матрица смежности – это квадратная матрица, в которой строки и столбцы соответствуют вершинам графа, а элементы матрицы указывают наличие или отсутствие ребра между вершинами. Для подсчета количества путей между двумя вершинами можно возвести матрицу смежности в степень и проверить значение в соответствующей ячейке.

Алгоритмы обхода графа

Алгоритмы обхода графа, такие как поиск в глубину (DFS) и поиск в ширину (BFS), могут использоваться для подсчета количества путей. При обходе графа, каждый раз, когда достигается конечная вершина, увеличивается счетчик путей.

Рекурсивные алгоритмы

Рекурсивные алгоритмы могут быть использованы для подсчета количества путей в графе. Один из таких алгоритмов – это рекурсивный обход графа, где каждый раз, когда достигается конечная вершина, вызывается рекурсивная функция для каждого соседнего узла.

Важно отметить, что количество путей в графе может быть ограничено или бесконечным, в зависимости от его структуры и свойств. Поэтому при подсчете количества путей необходимо учитывать возможные ограничения и условия задачи.

Способы подсчета количества путей

Существует несколько способов подсчета количества путей в графе. Рассмотрим некоторые из них:

Матрица смежности

Один из способов подсчета количества путей в графе – это использование матрицы смежности. Матрица смежности представляет собой квадратную матрицу, где каждый элемент указывает наличие или отсутствие ребра между двумя вершинами. Для подсчета количества путей между двумя вершинами можно возвести матрицу смежности в степень n, где n – количество шагов или длина пути. Значение в ячейке (i, j) результирующей матрицы будет указывать количество путей между вершинами i и j.

Алгоритм обхода графа

Другой способ подсчета количества путей – это использование алгоритма обхода графа. Один из таких алгоритмов – это рекурсивный обход графа, где каждый раз, когда достигается конечная вершина, вызывается рекурсивная функция для каждого соседнего узла. В процессе обхода графа подсчитывается количество путей, и в конце получается общее количество путей между начальной и конечной вершинами.

Динамическое программирование

Третий способ подсчета количества путей – это использование динамического программирования. Динамическое программирование позволяет решать задачу путей в графе, разбивая ее на более простые подзадачи и сохраняя результаты этих подзадач для последующего использования. Например, можно использовать рекуррентное соотношение, где количество путей между двумя вершинами зависит от количества путей между их соседними вершинами.

Это лишь некоторые из способов подсчета количества путей в графе. Выбор конкретного способа зависит от структуры и свойств графа, а также от условий задачи.

Примеры подсчета количества путей

Пример 1:

Рассмотрим простой ориентированный граф с 3 вершинами: A, B и C. Вершина A соединена с вершиной B, вершина B соединена с вершиной C, и вершина C соединена с вершиной A. Нам нужно посчитать количество путей от вершины A до вершины C.

Мы можем использовать рекуррентное соотношение для подсчета количества путей. Пусть P(A, C) обозначает количество путей от вершины A до вершины C. Тогда мы можем записать:

P(A, C) = P(A, B) * P(B, C)

Так как у нас есть только один путь от вершины A до вершины B и только один путь от вершины B до вершины C, мы можем записать:

Таким образом, количество путей от вершины A до вершины C равно 1.

Пример 2:

Рассмотрим граф с 4 вершинами: A, B, C и D. Вершина A соединена с вершиной B, вершина B соединена с вершиной C, вершина C соединена с вершиной D, и вершина D соединена с вершиной A. Нам нужно посчитать количество путей от вершины A до вершины D.

Мы можем использовать рекуррентное соотношение для подсчета количества путей. Пусть P(A, D) обозначает количество путей от вершины A до вершины D. Тогда мы можем записать:

P(A, D) = P(A, B) * P(B, C) * P(C, D)

Так как у нас есть только один путь от вершины A до вершины B, только один путь от вершины B до вершины C и только один путь от вершины C до вершины D, мы можем записать:

P(A, D) = 1 * 1 * 1 = 1

Таким образом, количество путей от вершины A до вершины D равно 1.

Это лишь два примера подсчета количества путей в графе. В каждом конкретном случае необходимо анализировать структуру и свойства графа, а также условия задачи, чтобы выбрать подходящий метод подсчета.

Свойства количества путей в графе

Коммутативность

Количество путей от вершины A до вершины B в графе может быть равно количеству путей от вершины B до вершины A. Это свойство называется коммутативностью количества путей.

Ассоциативность

Количество путей от вершины A до вершины C, проходящих через вершину B, может быть равно произведению количества путей от вершины A до вершины B и количества путей от вершины B до вершины C. Это свойство называется ассоциативностью количества путей.

Нулевой путь

Если вершины A и B не связаны ни одним путем, то количество путей от вершины A до вершины B равно 0.

Единичный путь

Если вершина A и вершина B совпадают, то количество путей от вершины A до вершины B равно 1.

Сложение путей

Если в графе существуют два пути от вершины A до вершины B, то количество путей от вершины A до вершины B равно сумме количеств путей по каждому из путей.

Умножение путей

Если в графе существуют два пути от вершины A до вершины B и два пути от вершины B до вершины C, то количество путей от вершины A до вершины C равно произведению количеств путей от вершины A до вершины B и количеств путей от вершины B до вершины C.

Эти свойства помогают нам анализировать и вычислять количество путей в графе, что является важным инструментом при решении задач, связанных с графами.

Таблица сравнения количества путей в графе

• Простота реализации
• Быстрый доступ к информации о смежности вершин

• Занимает больше памяти для хранения матрицы
• Неэффективен для больших графов

• Эффективен для больших графов
• Не требует дополнительной памяти для хранения матрицы

• Сложность реализации
• Может зациклиться на графах с циклами

• Эффективен для графов с большим количеством вершин и ребер
• Позволяет решать более сложные задачи, связанные с графами

• Более сложная реализация
• Требует больше вычислительных ресурсов

Заключение

В этой лекции мы рассмотрели основные понятия и свойства графов. Граф – это абстрактная структура данных, состоящая из вершин и ребер, которые соединяют эти вершины. Мы изучили определение пути в графе и способы подсчета количества путей. Также мы рассмотрели некоторые свойства количества путей в графе. Графы являются важным инструментом в информатике и находят применение в различных областях, таких как сети, логистика, социальные сети и многое другое.

Количество путей в графе: основные понятия и методы подсчета обновлено: 17 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Теория графов: Определение цикла, свойства и алгоритмы поиска в простых терминах

В данной статье мы рассмотрим основные определения и свойства циклов в графах, а также рассмотрим алгоритмы поиска циклов и их применение в различных задачах.

Теория графов: Определение цикла, свойства и алгоритмы поиска в простых терминах обновлено: 11 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

Добро пожаловать на лекцию по Теории графов! В этой лекции мы будем изучать основные понятия и свойства графов, а также различные типы путей и циклов в графах.

Графы – это абстрактные математические структуры, которые представляют собой совокупность вершин и ребер, связывающих эти вершины. Графы широко применяются в различных областях, таких как компьютерные науки, транспортная логистика, социальные сети и многое другое.

В этой лекции мы сосредоточимся на понятии цикла в графе. Цикл – это путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, пройдя при этом через другие вершины. Мы рассмотрим различные типы циклов, такие как простые циклы, эйлеровы циклы и гамильтоновы циклы.

Также мы изучим алгоритмы поиска циклов в графах, которые позволяют эффективно находить циклы в больших и сложных графах.

Давайте начнем наше погружение в мир Теории графов и изучим все эти увлекательные концепции и свойства!

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Определение цикла в графе

Цикл в графе – это путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, и при этом не проходит по одному и тому же ребру более одного раза.

Формально, цикл в графе G = (V, E) – это последовательность вершин v1, v2, …, vn, такая что:

• Вершины v1, v2, …, vn принадлежат множеству вершин V графа G.
• Для каждого i от 1 до n-1, ребро (vi, vi+1) принадлежит множеству ребер E графа G.
• Ребро (vn, v1) также принадлежит множеству ребер E графа G.

Цикл может быть простым или не простым. Простой цикл – это цикл, в котором все вершины, кроме начальной и конечной, различны. Не простой цикл может содержать повторяющиеся вершины.

Простой цикл и его свойства

Простой цикл – это цикл, в котором все вершины, кроме начальной и конечной, различны. То есть, в простом цикле нет повторяющихся вершин, за исключением начальной и конечной вершин.

Простой цикл обладает следующими свойствами:

1. В простом цикле нет повторяющихся ребер. Каждое ребро встречается только один раз.
2. Простой цикл не содержит подциклов. Это означает, что ни одна вершина внутри цикла не может быть достигнута из другой вершины внутри цикла, не проходя через внешние вершины цикла.
3. Простой цикл является замкнутым путем, так как начальная и конечная вершины совпадают.
4. Простой цикл может быть любой длины, начиная от 3. Цикл длины 3 называется треугольником, цикл длины 4 – квадратом, и так далее.

Простые циклы являются важным понятием в теории графов и используются в различных алгоритмах и задачах, таких как поиск гамильтоновых циклов или проверка наличия циклов в графе.

Длина цикла

Длина цикла в графе определяется количеством ребер, которые содержит данный цикл. Другими словами, это количество вершин минус один.

Для примера, рассмотрим граф с циклом из 4 вершин:

В данном случае, длина цикла равна 3, так как цикл содержит 4 вершины, но количество ребер равно 3.

Длина цикла может быть любой, начиная от 3. Чем больше длина цикла, тем больше вершин и ребер содержит данный цикл.

Длина цикла имеет важное значение при решении различных задач, таких как поиск гамильтоновых циклов или определение наличия циклов определенной длины в графе.

Пути и циклы в ориентированных графах

В ориентированных графах ребра имеют направление, что означает, что можно перемещаться только в определенном направлении от одной вершины к другой.

Путь в ориентированном графе – это последовательность вершин, в которой каждая вершина связана с последующей ребром. Например, путь может быть представлен как последовательность вершин A, B, C, D, где есть ребра (A, B), (B, C) и (C, D).

Цикл в ориентированном графе – это путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине. Например, цикл может быть представлен как последовательность вершин A, B, C, D, A, где есть ребра (A, B), (B, C), (C, D) и (D, A).

Важно отметить, что в ориентированных графах могут существовать пути и циклы, которые проходят через одну и ту же вершину несколько раз. Такие пути и циклы называются множественными.

Пути и циклы в ориентированных графах имеют свои особенности и свойства, которые могут быть использованы при решении различных задач, таких как поиск кратчайшего пути или определение наличия циклов определенной длины.

Эйлеровы циклы

Эйлеровым циклом называется цикл, который проходит через каждое ребро графа ровно один раз. Другими словами, это путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, и проходит через каждое ребро графа ровно один раз.

Для того чтобы граф имел эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы все вершины графа имели четную степень. Если в графе есть вершина с нечетной степенью, то эйлерового цикла в нем не существует.

Свойства эйлеровых циклов:

• Граф должен быть связным, то есть между любыми двумя вершинами должен существовать путь.
• Все вершины графа должны иметь четную степень.
• Эйлеров цикл может начинаться и заканчиваться в любой вершине графа.

Алгоритм поиска эйлерова цикла в графе:

1. Выбрать произвольную вершину графа и начать обход из нее.
2. Пройти по каждому ребру графа, пока не вернемся в исходную вершину.
3. Если все ребра графа были посещены, то эйлеров цикл найден.
4. Если не все ребра были посещены, найти вершину, из которой можно продолжить обход, и повторить шаги 2-3.

Эйлеровы циклы имеют множество практических применений, например, в задачах коммивояжера, планировании маршрутов и сетевом проектировании.

Гамильтоновы циклы

Гамильтонов цикл в графе – это цикл, который проходит через каждую вершину графа ровно один раз.

Гамильтоновы циклы являются более сложным понятием, чем эйлеровы циклы. В отличие от эйлеровых циклов, которые проходят через каждое ребро графа ровно один раз, гамильтоновы циклы проходят через каждую вершину графа ровно один раз.

Поиск гамильтоновых циклов является NP-полной задачей, что означает, что для большинства графов нет эффективного алгоритма, который бы находил гамильтонов цикл за полиномиальное время.

Однако, существуют некоторые специальные классы графов, для которых можно найти гамильтонов цикл за разумное время. Например, для полных графов (графов, в которых каждая пара вершин соединена ребром) гамильтонов цикл всегда существует и может быть найден за полиномиальное время.

Гамильтоновы циклы имеют множество практических применений, например, в задачах коммивояжера, планировании маршрутов и оптимизации сетей.

Алгоритмы поиска циклов в графах

Существует несколько алгоритмов, которые позволяют найти циклы в графах. Вот некоторые из них:

Поиск в глубину (Depth-First Search, DFS)

Алгоритм поиска в глубину является одним из самых простых и широко используемых алгоритмов для поиска циклов в графах. Он основан на идее обхода графа в глубину, при котором каждая вершина помечается как посещенная и проверяются все ее соседние вершины. Если в процессе обхода встречается уже посещенная вершина, то это означает наличие цикла в графе.

Поиск в ширину (Breadth-First Search, BFS)

Алгоритм поиска в ширину также может быть использован для поиска циклов в графах. Он основан на идее обхода графа в ширину, при котором сначала проверяются все соседние вершины текущей вершины, затем проверяются соседние вершины этих соседних вершин и так далее. Если в процессе обхода встречается уже посещенная вершина, то это означает наличие цикла в графе.

Алгоритм Флойда-Уоршелла

Алгоритм Флойда-Уоршелла, также известный как алгоритм поиска кратчайших путей, может быть использован для поиска циклов в графах. Он основан на идее построения матрицы расстояний между всеми парами вершин в графе. Если в процессе работы алгоритма обнаруживается отрицательный цикл, то это означает наличие цикла в графе.

Алгоритм Косарайю

Алгоритм Косарайю используется для поиска сильно связных компонент в ориентированном графе. Он также может быть использован для поиска циклов в графе. Алгоритм состоит из двух этапов: первый этап – обход графа в глубину и построение обратного графа, второй этап – обход обратного графа в глубину и поиск циклов.

Это лишь некоторые из алгоритмов, которые могут быть использованы для поиска циклов в графах. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, и выбор конкретного алгоритма зависит от конкретной задачи и характеристик графа.

Таблица свойств циклов в графах

Свойство	Описание
Цикл	Замкнутый путь в графе, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, и не проходит по одному и тому же ребру более одного раза.
Простой цикл	Цикл, в котором все вершины, кроме начальной и конечной, различны.
Длина цикла	Количество ребер в цикле.
Путь	Набор вершин, соединенных ребрами в графе, где каждая вершина встречается не более одного раза.
Ориентированный граф	Граф, в котором каждое ребро имеет направление.
Эйлеров цикл	Цикл, который проходит через каждое ребро графа ровно один раз.
Гамильтонов цикл	Цикл, который проходит через каждую вершину графа ровно один раз.
Алгоритмы поиска циклов	Методы и процедуры, используемые для нахождения циклов в графах, такие как поиск в глубину, поиск в ширину и алгоритм Флойда-Уоршелла.

Заключение

Теория графов – это важная область математики, которая изучает свойства и взаимосвязи между вершинами и ребрами графов. В этой лекции мы рассмотрели определение цикла в графе, свойства простого цикла, длину цикла, пути и циклы в ориентированных графах, а также эйлеровы и гамильтоновы циклы. Мы также обсудили различные алгоритмы поиска циклов в графах. Понимание этих концепций и методов поможет вам анализировать и решать различные задачи, связанные с графами. Успехов вам в изучении теории графов!

Теория графов: Определение цикла, свойства и алгоритмы поиска в простых терминах обновлено: 11 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Количество путей в графе

Количество путей в графе — это общее число маршрутов, которые приводят из одной вершины графа к другой его вершине.

Введение

Определение 2

Под путём в графе понимают последовательный набор его вершин, в котором все вершины соединяются со следующей за ней вершиной посредством ребра.

Если G является неориентированным графом, то путём в графе G будет такой конечный или бесконечный набор последовательных рёбер и вершин S = (…, a0, E0, a1, E1, …, En-1, an), для которого пара соседних рёбер Ei и Ei-1 обладают общей вершиной ai. То есть справедливы следующие выражения E0 = (a0, a1), E1 = (a1, a2), …, En = (an, an+1)

Следует заметить, что возможна неоднократная встреча с одним и тем же ребром при прохождении путевого маршрута. В случае, когда нет рёбер, которые предшествуют E0, то a0 считается исходной вершиной S. А когда не существует рёбер, которые идут за E(n-1), то an считается последней вершиной S. Все вершины, которые принадлежат паре соседних рёбер, считаются внутренними.

Следует заметить, что поскольку возможно повторение рёбер и вершин при прохождении путевого маршрута, то внутренняя вершина может быть, как начальной, так и конечной вершиной.

При совпадении начальной и конечной вершин, путь считается циклическим. В случае, когда каждое ребро графа при обходе путевого маршрута, попадается всего один раз (повтор вершин допускается), такой путь считается цепью, а циклический путь считается циклом.

Путь, при котором нет рёбер графа, соединяющих две вершины пути, носит название индуцированного пути. Пара путей считается независимой в смысле вершин, когда у них нет одинаковых внутренних вершин. И по аналогии пара путей считается независимой в плане рёбер, когда у них нет общих внутренних рёбер.

«Количество путей в графе» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Помощь с рефератом от нейросети

Количество путей в графе

В случае, когда в город S возможно доехать лишь из городов X, Y, и Z, то количество разнообразных путевых маршрутов из города А в город S равняется суммарному количеству разных путей движения из А в Х, из А в Y и из А в Z, что можно выразить следующей формулой:

$N_S = N_X + N_Y + N_Z$

Обозначим как NM количество путевых маршрутов из вершины А в некую вершину М. Количество путей будет конечным, если в графе отсутствуют замкнутые пути, то есть циклы. Рассмотрим конкретный пример. Имеется структурная схема дорог, которые соединяют города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. Передвижение по всем дорогам возможно только в одну сторону, в которую указывает стрелка. Необходимо определить количество возможных путей из города А в город Л.

Рисунок 1. Путевые маршруты. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Обозначим как $N_X$ число разных маршрутов из города А в город Х. Считаем, что город А является исходным пунктом путевого маршрута, и, следовательно, NA = 1. А для произвольно выбранного города Х число путей $N_X$ возможно определить по формуле:

$N_X = N_Y + … + N_Z$.

Здесь суммарный путь принят по всем вершинам, имеющим прямую связь с вершиной Х, то есть, к примеру:

$N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К$

Сформируем таблицу, где каждому городу сопоставлено общее число прямых маршрутов в этот город. Вычислим общее число путей из начальной точки маршрута, города А.

В пункты Б и В ведут единственные дороги из А. В пункт В можно попасть из пунктов А, Б, и Г, т.е. $N_В = N_А + N_Б + N_Г = 3$.

Рисунок 2. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В пункт Е можно попасть только из Г, количество путей равно количеству путей в пункт Г. В пункт Ж ведут прямые пути из пунктов Е и В, т.е. $N_Ж = N_В + N_Е = 4$. В пункт Д ведут прямые пути из пунктов Б и В, т.е. $N_Д = N_В + N_Б = 4$.

Рисунок 3. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В пункт И можно попасть только из Д, количество путей равно количеству путей в пункт Д = 4. В пункт К ведет путь только из пункта Е, т.е. $N_К = N_Е = 1$. В пункт Л ведут прямые пути из пунктов Д, И, Ж и К, т.е. $N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К = 13$.

Рисунок 4. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Итоговый результат тринадцать путей.