Как находят число Пи?
Здравствуйте. У меня вопрос по поводу вычисления числа Пи, перерыл интернет, но ответа, который мне нужен не нашел, надеюсь кто нибудь тут ответит на этот вопрос.
Как именно вычисляют число Пи? И почему при решении в столбик, оно повторяется через несколько символов после запятой.
например при делении в столбик 22/7, знаки повторяются уже на 6-й знак посл запятой, при делении 179/57, знаки повторяются уже после 19-го после запятой. и так двлее
Если есть у кого ответы на эти вопросы, пожалуйста отпишитесь.
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Как находят факториал?
Вот код: #include <iostream.h> #include <iomanip.h> #include <math.h> int main() < .
Как определить, по каким запросам в яндексе больше всего находят свадебного фотографа в Самаре?
Уважаемые посетители форума! Посмотрите пожалуйста на мой сайт — pikeev.ru Какие есть ошибки.
Сайт не находят поисковики
Добрый день! Подскажите начинающему, создан сайт р-сим.рф но его не находят поисковики, даже если.
5243 / 4029 / 1386
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 12,315
Сообщение от txtbit
. перерыл интернет, но ответа, который мне нужен не нашел.
Даже здесь.
482 / 270 / 57
Регистрация: 08.10.2015
Сообщений: 1,158
Пи вычисляют с помощью рядов, например:
этот ряд сходится медленно,
этот быстрее,
этот еще быстрее, .
Регистрация: 18.07.2018
Сообщений: 83
Там тоже был, и то что надо не нашел. Точнее я понял как именно вычисляют Пи, но почему при делении в столбик оно повторяется? Все иррациональные числа повиоряются при делении в столбик? Или это только «магическое» число Пи. Просто в статьях про иррациональные числа нет ответа на эти вопросы?
Добавлено через 3 минуты
Значит я просто не до конца понимаю что такое вообще числл Пи. Поищу еще в нэте, нсли не найду, вернусь. Всем спасибо..
P.S. отвеиы все еще принимаются, у кого что еще есть написать — пишите.
482 / 270 / 57
Регистрация: 08.10.2015
Сообщений: 1,158
При делении (натуральное число)/(другое натуральное число) в десятичной записи всегда появится бесконечно повторяющаяся последовательность. Иррациональные же числа такой последовательности не имеют.
Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275
Сообщение от txtbit
Значит я просто не до конца понимаю что такое вообще числл Пи.
Вообще число — это предел, к которому стремится периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность единичного диаметра (или описанного около неё), при бесконечном увеличении количества его сторон; это число равно отношению длины окружности к её диаметру.
Добавлено через 2 минуты
Сообщение от txtbit
Все иррациональные числа повиоряются при делении в столбик?
Наоборот, число является иррациональным и не содержит в своей десятичной записи периодически повторяющихся цифр.
10454 / 6934 / 3773
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 15,925
При делении в столбик получаются только рациональные числа. Число — трансцендентное число (т.е. не рациональное). С помощью деления в столбик получаются только рациональные приближения к этому числу вроде (это представление нашел ещё Архимед).
1104 / 480 / 33
Регистрация: 05.07.2018
Сообщений: 1,870
Записей в блоге: 7
txtbit,
само число пи (его точное значение) никому не известно. Да оно никому и не надо. Ну нужно ли вам знать миллион знаков числа пи? Однако есть алгоритмы, позволяющие вычислить это число с некоторым количеством знаков после запятой (можно записать его и в виде дроби). То есть мы можем знать только ПРИБЛИЖЕННОЕ значение числа пи.
4217 / 3412 / 396
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,818
Сообщение от txtbit
перерыл интернет, но ответа, который мне нужен не нашел
Регистрация: 18.07.2018
Сообщений: 83
Все эти статьи я читал и при том не однократно, но там нет ответа на вопрос, почему 10-й знак после запятой 3,1415926535 именно 5, когда как у меня при делении в столбик в этот момент выходят такой знак как 0, потом 1, потом еще 1, потом 9 и так далее уже естественно не совпадает с тем что указано в вики.
Сообщение от mathidiot
С помощью деления в столбик получаются только рациональные приближения к этому числу вроде (это представление нашел ещё Архимед).
Скорее всего это и есть ответ на мой вопрос, посему не получается точно такое же значение при делении в столбик, как то что указано в вики.
1104 / 480 / 33
Регистрация: 05.07.2018
Сообщений: 1,870
Записей в блоге: 7
Уважаемый txtbit,
насколько я вас понял, то вы пытаетесь с помощью операции деления
из приближенного рационального числа пи, например 22/7 получить
больше знаков числа пи, чем это число может дать.
Например число 22/7 = 3,14 может дать только два десятичных знака после
запятой и дальнейшее деление бессмысленно с точки зрения получения еще
других знаков числа пи
А вот дробь 355/113 = 3,141592 дает 7 знаков числа пи и дальнейшее деление
к числу пи не относится.
Регистрация: 18.07.2018
Сообщений: 83
Сообщение от нтч
и дальнейшее деление к числу пи не относится.
Значит получить число пи путем деления в столбик некоторых чисел не получится? Я имею в виду например 1000 точных знаков после запятой? Для нахождения этой 1000 знаков необходимо использовать выше указанные методы, например:
Сообщение от САлександр
Пи вычисляют с помощью рядов
1104 / 480 / 33
Регистрация: 05.07.2018
Сообщений: 1,870
Записей в блоге: 7
Уважаемый txtbit,
вы совершенно верно поняли. Число пи вычисляется с помощью рядов.
.
примечание
если вам очень хочется всё-же найти пару чисел с помощью которых вычислить
к примеру 1000 знаков числа пи, то изначально вы должны число пи вычислить
обычными методами (с помощью рядов). А потом это длинное (1000 знаков) число
(используя теорию цепных дробей) превратить в рациональное число. По сути это
будут два целых числа длиной порядка 500-1000 знаков каждое .
В общем это надо писать специальную программу, которая может произвести столь
громоздкие вычисления для получения нужного вам результата.
4217 / 3412 / 396
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,818
Сообщение от нтч
надо писать специальную программу
«Всё уже украдено сделано до нас»
Wolfram Mathematica
Число с любым количеством значащих цифр
N[\[Pi],100]
Рациональное приближение с любой точностью (в примере — до 10 -100 )
Rationalize[\[Pi], 10^-100]
Представление в виде цепной (непрерывной) дроби
ContinuedFraction[\[Pi],20]
Преобразование цепной дроби к обычному виду
Convergents[\[Pi],10]
при каком делении чисел образуется число пи
Ни при каком. Это иррациональное число, его нельзя представить в виде дроби.
Когда делишь длину окружности на длину диаметра
311/99. Это и для тебя, и для меня достаточно точно, хотя в одно время довольствовались дробью 22/7.
Число пи не образуется ни при делении 22 на 7, ни при делении 311/99, ни при делении 103993/33102.
Все это лишь числа, близкие к числу пи.
можно получить начальные 11 цифр если делить 15.70796327 на 5
пи = 3,1415926535897932384626433850 я по памяти по этому могут быть ошибки
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Число Пи
Даже если вы давно закончили школу и из всего курса математики помните только таблицу умножения, мы уверены: про число пи вы знаете. Скажете с ходу, чему оно равно? Помните, для чего нужно число пи и как его посчитать? Если нет, читайте наш урок
Представляете, мы живем в эпоху технологического прорыва, но до сих пор не можем точно рассчитать площадь съеденного круглого торта? Все потому, что в формуле вычисления площади круга используется число π.
От автомобильного колеса до орбиты спутника, от часового механизма до электромагнитных и звуковых волн. В любой научной области есть расчеты, и практически в любом расчете не обойтись без числа пи. Даже там, где, казалось бы, окружности нет места, например в статистике.
Что такое число пи
Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. Если записать это отношение математическими символами, то выглядит оно так: π = C/d, где C — это длина окружности, а d — диаметр окружности. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр. Но само по себе число пи не является каким-то параметром окружности. Это математическая постоянная, или константа (то есть неизменная), которая нужна для расчета определенных данных. Например, число пи необходимо, чтобы посчитать площадь круга.
Чему равно число пи
Число пи не имеет точного значения. Это легко проверить. Возьмите круг любого размера, разделите его окружность на диаметр — у вас получится десятичная дробь с множеством цифр после запятой. Математики называют такие числа иррациональными. Результат, который вы увидите, будет равен 3 целых и сколько-то десятых, сотых, тысячных — и далее насколько хватит дисплея калькулятора. У числа пи бесконечное количество знаков после запятой. Но для удобства в расчетах используют округленные значения.
Число π примерно равно 3,14, или, если точнее, 3,1415926535. Именно значение с десятью знаками после запятой принято использовать. Но все дело в округлении. Там, где не нужны максимально точные расчеты, за число пи часто берут 3. А вот для точных расчетов в науке ученые используют число пи с 38-ю знаками десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).
Итак:
π = 3,14 или π = 3,1415926535
Как посчитать число пи самостоятельно
Возьмите несколько круглых предметов разного размера, например тарелку, блюдце и крышку от кастрюли. Измерьте окружность каждого. Для этого используйте сантиметровую ленту. Или можно обернуть их по окружности ниткой или веревкой, а потом полученную длину нитки или веревки измерить линейкой. С помощью сантиметровой ленты или линейки измерьте и диаметр каждого предмета. Длина окружности и диаметры у каждого будут разные, ведь предметы разные по размеру.
Теперь для каждого предмета разделите его длину окружности на диаметр. Вы увидите, что во всех случаях, какого бы размера ни был круглый предмет, полученное значение будет 3 целых и далее десятые и сотые доли. Оно необязательно соответствует принятому значению в 3,14, но всегда будет около него.
Практическое применение числа пи
В школе нас учат использовать число пи для вычисления площади круга. Рассчитывается она по следующей формуле: S = πr², где S — площадь, π — число пи, r² — радиус в квадрате. Можно использовать эту формулу: S = d²/4*π, где d² — диаметр.
Зная число пи и диаметр, можно посчитать длину окружности. Для этого вспомним школьные уравнения. Если π = C/d, то C (длина окружности) высчитывается по формуле C = π*d.
Но применение числа пи в науке гораздо шире. Оно используется практически для любых расчетов в любой области, будь то архитектура, авиация и даже статистика. Например, число π нужно для расчета времени полета самолета и расстояния, которое он должен преодолеть. А в статистике с помощью числа пи рассчитывают значения ниже так называемой кривой нормального распределения. Это нужно для того чтобы, например, выяснить, как распределялись голоса респондентов при опросе.
S (площадь круга) = πr²
История числа пи
Считается, что первым обозначать число пи буквой греческого алфавита π (pi) стал британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а популяризировал обозначение его швейцарский коллега Леонард Эйлер в 1737 году. Есть версия, что эта буква выбрана не случайно, а как начальная в греческом слове perijereia, что означает «окружность», «периферия».
Как и на многие явления, известные науке сегодня, на существование некой постоянной, с помощью которой можно посчитать площадь круга, обратили внимание еще в Древнем мире. Но ученые того времени приходили к разному мнению относительно значения этой постоянной: одни использовали значение 3,125, другие — 3,16, третьи — 3,139. Но всегда это значение было 3 с небольшим.
На точное вычисление числа пи ушли тысячелетия. Первым, кто определил более-менее приблизительное значение π, был древнегреческий ученый Архимед. По его расчетам пи равно 3,142857142857143. Как мы знаем сейчас, верными оказались только первые два десятичных числа.
это интересно
Натуральные числа
Их разряды, классы и свойства
Точнее оказались расчеты китайского математика 480-х годов нашей эры — 3,1415927. Именно это значение числа пи считалось самым верным до 1420-х годов, пока ученые не расширили этот ряд до 16 цифр после запятой, затем до 20-ти, 32-х и так далее.
В XX веке с приходом компьютерных систем и вычислительной техники дело пошло быстрее: теперь уже точные десятичные значения высчитывали машины. С помощью специальных алгоритмов математики во всем мире продолжают определять новые, более точные значения числа пи, устанавливая рекорды по количеству цифр десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).
5 тем, без которых не сдать ЕГЭ по математике
На экзамене даже простые и знакомые темы могут вызывать трудности. Проверьте, все ли из этих тем вам известны.
- Все правила раскрытия скобок
- Три способа вычислить длину окружности
- Что такое смешанные числа
- Как правильно разложить число на простые множители
- Способы вычислить площадь треугольника
Популярные вопросы и ответы
Отвечают Вячеслав Смольняков, учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, эксперт ОГЭ и ЕГЭ Региональной предметной комиссии по математике и информатике; Ирина Ходакова, учитель математики.
Как округлить число пи?
Чтобы не запоминать число пи с большим количеством десятичных значений, его принято округлять, — говорит Вячеслав Смольняков. — В математике все округления проводятся по строгим правилам. Для округления значения числа пи применяют метод округления к ближайшему целому. Если перед округляемым числом стоит число 5 и большее, то число округляется в большую сторону. Например, 12,513. Другой пример: 12,5812,613.
Если перед округляемым числом стоит число менее 5, то число округляется в меньшую сторону. Например, 12,412. Или: 12,3412,312.
Итак, возьмем π — 3,1415. Округление начинают с последнего значения, в данном случае это 5. Значит, следующая за ним единица округляется до двух: 3,14153,142. Последнее число 2 меньше пяти, значит, последующее 4 остается неизменным: 3,1423,14. Вот мы и пришли к общепринятому значению числа пи.
По тому же принципу давайте продолжим округление до целого числа: 3,143,23. И вот у нас получилось значение числа пи 3.
Как запомнить число пи?
Чтобы запомнить значение числа π, — советует Ирина Ходакова, — используют один из самых популярных способов — запомнить фразу, в которой количество букв в каждом слове совпадает с цифрами числа π.
Например, «Что(3) я(1) знаю(4) о(1) круге(5)?»
Чтобы запомнить больше знаков числа π, пользуются различными приемами мнемотехники (совокупность приемов, облегчающих запоминание информации). Например, существует стихотворение С. Боброва «Волшебный двурог» для запоминания числа π, которое совсем не сложно выучить:
«Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь»
Где используется число пи?
Изначально число π было необходимо для применения в строительстве. Ведь порой из-за погрешности в значении числа π падали башни и рушились целые дворцы. Сейчас π используется в различных сферах нашей жизни.
Мы уже выяснили, что число π позволяет нам рассчитывать и создавать окружности. Если колеса на вашем автомобиле будут немного отличаться друг от друга, то поездки для вас станут как минимум не очень удобными. Но применение числа π этим не ограничивается. Например, без числа π нельзя было бы обеспечить качественную работу телевизоров, радио и телефонов, так как инженеры используют π для расчета и оптимизации звуковых волн. Также π играет важную роль в расчете времени и расстояния путешествия на самолете, так как на большие расстояния самолеты летят по округлой дуге. Не было бы даже многих игр, таких как футбол, баскетбол, теннис, ведь мячи должны быть абсолютно круглыми.
Вычисление значения числа «пи»
Отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой (“пи” — начальная буква греческого слова , которое и означало “окружность”).
Архимед в сочинении “Измерение круга” вычислил отношение длины окружности к диаметру (число ) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.
Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя уже в V веке в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929. которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI веке.
В Древней Индии считали равным = 3,1622….
Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. с 9 знаками.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.
Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалась неясным, является ли число рациональным, т. е. отношением двух целых чисел, или иррациональным.
Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число иррационально.
А еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.
Простейшее измерение
Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.
Измерение с помощью взвешивания
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата mкв (=10 г) и вписанного в него круга mкр (=7,8 г) воспользуемся формулами
где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:
Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.
Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг
Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x1, x2, . xn-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле
В нашем случае b=1, a=-1 . Тогда = 2 S .
Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.
Программа 1
REM «Вычисление пи»
REM «Метод прямоугольников»
INPUT «Введите число прямоугольников», n
dx = 1 / n
FOR i = 0 TO n — 1
f = SQR(1 — x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4 * dx * a
PRINT «Значение пи равно «, p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Метод Монте-Карло
Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265 . Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1 , то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.
Программа 2
REM «Вычисление пи»
REM «Метод Монте-Карло »
INPUT «Введите число капель «, n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t — x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1
NEXT i
p = 4 * m / n
PRINT «значение пи равно»; p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице: