Знак суммы как считать

math serfer .narod.ru

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

которая расшифровывается так

( 14 .1)

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

Пример 14 . 2 Вычислим несколько сумм:

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

( 14 .2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Замечание 14 . 1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Предложение 14 . 1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Предложение 14 . 2

( 14 .3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

( 14 .4)

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Замечание 14 . 2 Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , . , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

1. Взять все числа от 5 до 15 (снизу и сверху знака Σ).
2. С каждым из этих чисел сделать то, что написано справа от Σ, — то есть умножить на два.
3. Сложить результаты этих операций.

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Любите данные? Посмотрите вот это

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Методы вычисления суммирования с использованием математического символа сигма

В математике мы часто сталкиваемся с различными символами и знаками, которые используются для обозначения различных математических операций. Один из таких знаков — знак суммы ∑, который называется сигма. Он используется для обозначения суммы ряда чисел или выражений. Если вы только начинаете знакомиться с математикой или столкнулись с этим знаком в задаче, мы поможем разобраться, как правильно считать пример с знаком суммы.

Сигма — это мощный инструмент, который позволяет суммировать большое количество чисел или выражений. Он может быть полезен для решения задач, связанных с рядами чисел или нахождением суммы элементов в последовательности. Но его использование может показаться сложным, особенно если вы только начинаете изучать математику.

Определение и обозначение знака суммы в математике

Применение знака суммы в математике очень широко. Он используется не только для обозначения арифметической суммы чисел, но и для суммирования рядов, последовательностей, интегралов и прочих математических конструкций. Благодаря знаку суммы можно легко записывать и решать сложные задачи, связанные с суммированием. Например, вычисление суммы арифметической или геометрической прогрессии, нахождение суммы ряда или интеграла.

Что такое знак суммы?

Знак суммы может использоваться для различных целей, например, для нахождения суммы последовательности чисел или выражений, либо для решения задач, требующих суммирования. Этот символ позволяет нам удобно и компактно записывать и вычислять сложные суммы без необходимости перечислять каждое слагаемое.

Какой символ используется для обозначения знака суммы?

Знак суммы в математике обозначается символом Σ. Этот символ представляет собой заглавную греческую букву «Сигма», которая подобна большой букве «Э». Такое обозначение используется для обозначения суммы ряда чисел или выражений. А если вы когда-нибудь видели ряд чисел, разделенных этим знаком, значит, вы уже сталкивались с его использованием. Но что именно означает этот символ и для чего он используется?

Знак Σ представляет собой сумму всех чисел или выражений, которые идут после него и находятся под ним. Он часто применяется в математике для сокращения записи длинных и сложных выражений, когда необходимо сложить множество чисел или вычислить сумму ряда. Например, если нужно найти сумму первых десяти натуральных чисел, можно записать это как Σ k от 1 до 10, где k — переменная, принимающая значения от 1 до 10. Таким образом, знак Σ позволяет нам сократить запись и сосредоточиться на самом процессе вычислений.

Понятие и примеры использования знака суммы

Для наглядного представления работы знака суммы рассмотрим пример. Предположим, что у нас есть последовательность чисел от 1 до 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Чтобы вычислить сумму всех этих чисел, мы можем использовать знак суммы. В математической записи это будет выглядеть следующим образом:

Σ(элементы последовательности) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Таким образом, мы с помощью знака суммы смогли быстро и легко посчитать сумму всех чисел данной последовательности. Это лишь один из примеров использования знака суммы, который может быть полезен в решении различных математических задач, таких как вычисление суммы арифметической или геометрической прогрессии, подсчет количества элементов в последовательности и многое другое.

Какие задачи решаются с помощью знака суммы?

Символ сигма позволяет нам компактно записать сложные алгебраические выражения, которые включают в себя суммирование. Он упрощает математическую запись и позволяет легко производить вычисления. Благодаря знаку суммы мы можем решать задачи, связанные с нахождением суммы элементов арифметических или геометрических прогрессий, вычислением суммы ряда чисел или среднего значения.

Сумма ряда

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение��

Что умеет?

• Находит сумму различных типов рядов:
  1. Числовые и функциональные ряды
  2. Степенной ряд
  3. Знакочередующийся и знакопеременные
  4. Гармонический ряд
  5. Ряд с неотрицательными членами (знакоположительный ряд)
  6. Ряд Маклорена
• Использует свойства рядов
• Численный ответ
• Исследует ряд на сходимость по различным признакам:
  1. Необходимое условие сходимости ряда
  2. Достаточное условие расходимости ряда
  3. Признак сравнения рядов
  4. Предельный признак сравнения
  5. Признак Даламбера
  6. Радикальный признак Коши
  7. Признак Коши интегральный (привести к несобственному интегралу)
  8. Абсолютная и условная сходимость: признак Лейбница
  9. Точка и область, интервал сходимости
  10. Теорема Абеля
• Находит радиус сходимости степенного ряда
• График скорости сходимости
• Эталонные ряды и сравнение с ними

Введите данные для подсчета суммы ряда

Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

Примеры

3/(9*n^2 - 3*n - 2)

(4*n - 2)/((n^2 - 1)*(n - 2))

(-1)^n/factorial(n)

Ряд Флинт Хиллз

csc(n)^2/n^3

Ряд обратных квадратов

Сумма с иксом x (степенной ряд)

(-1)^n*x^(3*n+1)/n

1/((n+1)*2^n)

cos(n)^2/n^3

(-1)^(n + 1)/n

(n + 2)*(-1)^(n - 1)

(3*n - 1)/(-5)^n

(-1)^(n - 1)*n/(6*n - 5)

Ряд Ньютона — Меркатора

(-1)^(n + 1)/n*x^n

Сходимость ряда

Данный калькулятор умеет определять — сходится ли ряд, а также показывает — какие признаки сходимости срабатывают, а какие — нет.

Также умеет находить сходимость степенных рядов.

Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

Другие функции

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

sqrt(x)/(x + 1)

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

x*arcsin(x)

x*arccos(x)

x*log(x, 10)

ln(x)/x

exp(x)*x

tg(x)*sin(x)

ctg(x)*cos(x)

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

x*arctg(x)

x*arcctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн