Сколько решений имеет дифференциальное уравнение

Типы дифференциальных уравнений

Решение: (2) разделим на [math]N_(y)M_(x) \neq 0[/math] и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.

Однородные уравнения

Определение:

уравнение вида [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (3)[/math] , где M и N — однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением

Определение:

[math]f(x, y) \ — [/math] однородная функция измерения n [math]\Leftrightarrow \: f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^f(x, y)[/math]

Решение: произвести замену [math]t = \dfrac[/math]

Определение:

[math]\dfrac=f\left(\dfrac\right) \ -[/math] один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным

Определение:

уравнение вида [math]\dfrac= f\left(\dfracx + b_y + c_>x + b_y + c_>\right) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному

Решением уравнения [math](4)[/math] является:

1) [math]\begin a_ & b_\\ a_ & b_ \end \neq 0 \Rightarrow \left\ x = u + \alpha \\ y = v + \beta \end\right. [/math]

[math] (\alpha, \beta) : \left\ a_x + b_y + c_ = 0\\ a_x + b_y + c_ = 0 \end\right.[/math]

Тогда получаем однородное уравнение.

2) [math]\begin a_ & b_\\ a_ & b_ \end = 0 \Rightarrow [/math] пусть [math]a_ x + b_ y + c_ = t [/math]

Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Докажем 1), второй доказывается аналогично. Подставим замену:
[math]a_x + b_y + c_ = a_(u + \alpha) + b_(v + \beta) + c_ = a_\alpha + b_\beta + c_ + a_u + b_v =[/math] [math]a_u + b_v = 0 [/math]

Линейное уравнение первого порядка

Определение:

уравнение вида [math]\frac = p(x) y + q(x)(5)[/math] называется линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Определение:

Если [math]q(x) = 0[/math] , то уравнение [math](5) [/math] называется однородным линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Способ решения методом Бернулли

Пусть [math] y(x) = u(x) v(x)[/math] , тогда:

[math] u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) [/math]

[math] u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) — p(x) v(x)] = q(x) [/math] , назовем это уравнение [math](5a)[/math]

Пусть [math] v(x) [/math] таково, что:

[math] v'(x) — p(x) v(x) = 0 [/math]

[math]\frac — p(x) v(x) = 0 [/math] . Домножим на [math] \frac [/math] [math]\frac — p(x) dx = 0 [/math] . Отсюда получаем:

[math]ln(v) = \int p(x)dx + C[/math]

Пусть [math] C = 1[/math] . Тогда из [math](5a)[/math] получаем:

[math] u(x) = \int q(x) e^ <\int -p(x)dx>dx + C_ [/math] . Тогда

Способ решения методом Лагранжа

[math] \frac = p(x) y [/math]

Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H): [math] y_ = C e^<\int p(x)dx>[/math] (из док-ва Бернулли)

[math] C(x) = \int q(x) C(x) e^ <\int p(x)dx>dx + C_ [/math]

Уравнение в полных дифференциалах

Определение:

Уравнение вида: [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (6)[/math] называется уравнением в полных дифференциалах, если [math](6) = du(x, y)[/math]

т.к. [math]du(x, y) = 0 \Leftrightarrow u(x, y) = C \: -[/math] общий интеграл.

Пусть [math]M(x, y), N(x, y) \in C(G)[/math] , где G — односвязная область, и [math]\frac<\partial M(x,y)><\partial y>, \: \frac<\partial N(x, y)> <\partial x>\in C(G)[/math] ;
Тогда [math]Mdx + Ndy = du \: \Leftrightarrow \frac<\partial M(x, y)> <\partial y>\equiv \frac<\partial N(x, y)> <\partial x>[/math]

Решение: [math]u(x, y) = \int_>^M(x, y)dx + \int_>^N(x_, y)dy = C \: — [/math] Общее решение.

Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах

только как решать все равно не понятно.
Но.
Если [math]\mu[/math] зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:
[math] \mu(x) = e^<\int \frac<\frac<\partial M> <\partial y>— \frac<\partial N><\partial x>> dx>[/math]
[math] \mu(y) = e^<-\int \frac<\frac<\partial M> <\partial y>— \frac<\partial N><\partial x>> dy>[/math]

Уравнение Бернулли

Определение:

уравнение вида [math]\frac = p(x) y + q(x)y^m, \: m \in \mathbb \setminus \left \< 0, 1 \right \>\:[/math] , называется уравнением Бернулли.

Решение:
[math]y^y’ = p(x)y^+q(x), y \neq 0[/math]
[math](\frac)’ — p(x)y^= q(x)[/math] , пусть [math]z(x) = y^ \: \Rightarrow[/math]
[math]z'(x) — p(x)(1 — m)z(x) = (1 — m)q(x) \: — [/math] линейное относительно z уравнение.

Уравнение Риккати

Определение:

Уравнение вида [math]\frac = p(x)y + q(x) + r(x)y^\:\: (9)[/math] , где [math]p, q, r \in C(a,b)\:[/math] называется уравнением Риккати

Решение:
Пусть [math]y_(x)\: — [/math] частное решение уравнения (9), тогда [math]y(x) = z(x) + y_[/math]
[math]z’ + y’_ = p(z + y_) + q + r(z + y_)^[/math]
[math]z’ = pz + rz^ + 2rzy_\: — [/math] уравнение (8)

Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной

x явно зависит от y’

Решение:
Пусть [math]x = \phi(y’)\:\: (10)[/math]
Перейдем к параметрической системе:
[math] \left\ x = \phi(t) \\y’ = t \end\right.[/math]
[math]dy = t dx = t \phi'(t)[/math]
[math] \left\ y = \int t\phi'(t)dt \\x = \phi(t) \end\right.[/math]

y явно зависит от y’

Решение:
Пусть [math]y = \phi(y’)\:\: (11)[/math]
Переходим к системе: [math] \left\ y = \phi(t) \\y’ = t \end\right.[/math]
[math]dx = \frac<\phi'(t)dt>[/math]

уравнение Лагранжа

Определение:

уравнение вида [math]y = \phi(y’)x + \psi(y’)\:\: (12)[/math] , называется уравнением Лагранжа

Решение:
Переходим к системе:
[math] \left\ y = \phi(t)x + \psi(t) \\y’ = t \end\right.[/math]
[math]dy = (\phi'(t)x + \psi'(t))dt + \phi(t)dx = tdx[/math]
[math](\phi'(t)x+ \psi'(t))dt + (\phi(t) — t)dx = 0[/math]
[math]\Rightarrow \: ]x = F(t, C), \: \phi(t) — t \neq 0[/math]
[math]\left\ x = F(t, C) \\y = \phi(t)F(t, C) + \psi(t) \end\right.[/math]

Уравнение Клеро

Определение:

уравнение вида [math]y = xy’ + \psi(y’)\:\: (13)[/math] , называется уравнением Клеро

Решение:
Пусть [math]y’ = t \: \Rightarrow \: dy = tdx = (x + \psi'(t))dt + tdx \: \Rightarrow \: (x + \psi'(t))dt = 0 [/math]
Тогда либо [math]dt = 0 \: (1)[/math] , либо [math]x + \psi'(t) = 0 \: (2)[/math]
[math](1):\: t = C \Rightarrow y = xC + \psi(C)[/math] — общее решение.
[math](2):\: \left\ x = -\psi'(t)\\y = -\psi'(t)t + \psi(t) \end\right.[/math]

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным.

Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.

Если у вас в запасе всего день-два, то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.

Итак, ориентиры расставлены – поехали:

Сначала вспомним «обычные» уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить подобное уравнение? Это значит, найти множество всех чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко видеть, что детское уравнение имеет единственный корень . Выполним проверку, подставив четвёрку в уравнение:

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т. д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению (впрочем, порой, достаточно одной). То есть корнями дифференциального уравнения являются функции. Для ДУ 1-го порядка такое множество функций зачастую имеет вид , который называют общим решением дифференциального уравнения («цэ» принимает различные действительные значения).

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т. п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т. к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в рассматриваемом примере).

То есть ВМЕСТО записи обычно пишут (и это корректно, так как с таким же успехом принимает все действительные значения, что и ).

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: .

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:

После чего подставляем и производную в исходное уравнение :

– получено равенство, верное для всех значений «икс» (тождество), значит, множество функций удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т. д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, сначала нужно провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

4) . Пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент, связанный с переносом переменных в знаменатель, но дабы не накрыть «чайников» лавиной информации, оставлю его до следующего урока.

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её через :

После чего раскрываем модуль:
и снова переобозначаем константу , подразумевая, что «цэ» может принимать как положительные, так и отрицательные значения:

Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. На чистовике обычно сразу переходят от к , но всегда будьте готовы объяснить этот переход. Точно так же как вы – попросили меня объяснить, и я объяснил 🙂

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение:

Выполним проверку. Проверка частного решения включает в себя два этапа:

Сначала нужно проверить, а действительно ли найденная функция удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученную функцию и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено тождество, далее я буду называть его верным равенством.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Решить дифференциальное уравнение

Решение: переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В результате у нас получились одни логарифмы, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже определяем под логарифм.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:
, и сразу-сразу приводим общий интеграл к виду , коль скоро это возможно:

Так делать, вообще говоря, не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора 😉

В принципе, этот шедевр можно записать в ответ, но здесь ещё уместно возвести обе части в квадрат и переобозначить константу:

Ответ: общий интеграл:

! Примечание: общий интеграл часто можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Давайте выразим общее решение:

Само собой, полученный результат годится для ответа, но обратите внимание, что общий интеграл смотрится компактнее, да и решение получилось короче.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно выполнить значительное количество действий, то в большинстве случаев лучше воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Это же касается и «плохих» действий, когда требуется выразить обратную функцию, возвести в степень, извлечь корень и т. п. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками и прочим математическим трэшем.

Как выполнить проверку? Проверку можно выполнить двумя способами. Способ первый: берём общее решение , находим производную и подставляем их в исходное уравнение . Попробуйте самостоятельно!

Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла. Это довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно:

делим каждое слагаемое на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере № 2), нужно:
1) убедиться, что найденная функцию удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что они вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденная функция дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим функцию и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Получено верное равенство, таким образом, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в полученное ДУ подставим с найденной производной . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Найти общий интеграл уравнения , ответ представить в виде .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и поскольку у нас одни логарфимы, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что с индексами часто не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид:

Что за дела?! Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения, ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы получается равноценная варьируемая константа.

Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа, которая с тем же успехом принимает то же множество значений, и поэтому ставить «минус» не имеет смысла.

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Чего и вам советую делать.

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем. В левой части подводим функцию под знак дифференциала, а в правой используем стандартный искусственный приём:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

И, разумеется, здесь НЕ НАДО выражать «игрек» в явном виде, ибо получится трэш (вспоминаем третий технический совет).

Проверка: дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Найти частное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать Примеры № 9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Решить дифференциальное уравнение

Решить дифференциальное уравнение

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Решения и ответы:

Пример 4. Решение: найдем общее решение. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функции в явном виде, используя .
Общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:

Проверка: проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще функция дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:

Подставим функцию и найденную производную в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Примечание: тут можно получить и общее решение:

Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо.

Пример 8. Решение: данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :

Ответ: частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

Пример 9. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

Таким образом:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)

Обратная замена:

Ответ: общий интеграл:

Пример 10. Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Примечание: интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата.

Ответ: общее решение:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Сколько решений имеет дифференциальное уравнение?

Дифференциальные уравнения — это математические уравнения, которые связывают неизвестную функцию с ее производными. Они широко используются в различных областях науки и инженерии для моделирования процессов, которые изменяются во времени или пространстве. Важным вопросом при решении дифференциальных уравнений является определение количества решений.

Одно из основных понятий, используемых в теории дифференциальных уравнений, — это понятие общего и частного решения. Общее решение представляет собой множество всех функций, которые удовлетворяют уравнению, в то время как частное решение — это одно из конкретных значений этого множества. Таким образом, количество решений может быть разным в зависимости от варианта рассмотрения уравнения.

Существует несколько возможных сценариев решений дифференциальных уравнений, включая случай единственного решения, бесконечного числа решений и отсутствия решений. Один из факторов, который влияет на количество решений, это порядок дифференциального уравнения. Порядок уравнения определяет наименьшую производную, которая присутствует в уравнении. Например, для уравнения первого порядка может существовать единственное решение, если известны начальные условия.

Сценарии решений дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения — это уравнения, которые содержат производные и используются для описания изменения каких-либо величин в зависимости от других величин. Решение дифференциального уравнения — это функция, удовлетворяющая условиям уравнения.

Сценарии решений дифференциальных уравнений могут быть различными. Вот некоторые из них:

1. Единственное решение: Дифференциальное уравнение имеет единственное решение, которое удовлетворяет всем условиям уравнения. Такой сценарий возникает, когда все начальные условия заданы явно и в уравнении присутствуют функции, которые однозначно определяют решение.
2. Множество решений: Дифференциальное уравнение может иметь множество решений, которые удовлетворяют условиям уравнения. Такой сценарий возникает, когда в уравнении присутствуют свободные константы или параметры, которые позволяют получить различные решения. Например, при решении уравнения вида $y»(x) — y(x) = 0$ можно получить различные решения, в зависимости от выбора начальных условий или свободной константы.
3. Множество частных решений: Дифференциальное уравнение может иметь множество частных решений, каждое из которых удовлетворяет условиям уравнения, но дополнительно зависит от некоторых дополнительных условий или параметров. Такой сценарий возникает, когда в уравнении присутствуют неопределенные интегралы или неопределенные коэффициенты. Например, при решении уравнения вида $y'(x) = \sin(x) + C$, где $C$ — произвольная константа, можно получить различные частные решения, в зависимости от значения константы $C$.

Таким образом, сценарии решений дифференциальных уравнений могут быть разнообразными, в зависимости от условий и параметров, присутствующих в уравнении. Важно учитывать эти сценарии при решении и анализе дифференциальных уравнений, чтобы получить полное представление о решениях и их свойствах.

Однородные дифференциальные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых все члены содержатся в одной и той же степени производной. Они имеют особенность того, что если одна функция является решением, то и любая ее постоянная кратная тоже будет решением.

Однородное дифференциальное уравнение обычно записывается в виде:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

где P(x, y) и Q(x, y) – непрерывные функции.

Для нахождения решения данного уравнения можно воспользоваться методом разделения переменных или методом замены переменных.

Метод разделения переменных основан на том факте, что если y ≠ 0, то можно разделить обе части уравнения на dy и затем интегрировать обе стороны по соответствующим переменным. Полученное после интегрирования уравнение будет являться общим решением исходного уравнения.

Метод замены переменных заключается в преобразовании уравнения, с целью свести его к более простому виду. Для этого можно взять новую переменную u и ввести замену y = u·x. После необходимых преобразований можно получить уравнение, в котором участвует только одна функция u. Интегрирование этого уравнения даст общее решение исходного уравнения.

Решение однородных дифференциальных уравнений имеет свои особенности. Одно из решений всегда является тривиальным – это y = 0. Также уравнение может иметь бесконечное количество ненулевых решений, которые отличаются постоянными множителями. Например, если y = f(x) – решение уравнения, то y = C·f(x), где C – произвольная постоянная, также является решением.

Если однородное уравнение имеет частное решение, то можно использовать метод вариации постоянной для нахождения общего решения.

Однородные дифференциальные уравнения играют важную роль в различных областях математики и физики. Они являются основой для решения более сложных уравнений и задач, которые моделируют различные физические процессы.

Неоднородные дифференциальные уравнения

В общем случае дифференциальное уравнение называется неоднородным, если в правой части уравнения присутствует функция, отличная от нуля. Наличие неоднородности в уравнении делает его решение более сложным, поскольку требуется найти и общее решение однородной части уравнения, и, кроме того, частное решение неоднородной части.

Однако, в некоторых случаях можно применить методы, которые помогут найти частное решение неоднородного уравнения без необходимости знать решение однородной части.

Одно из таких методов — метод вариации постоянных. Суть метода заключается в замене неизвестных постоянных в общем решении уравнения на функции, после чего подставить эту замену в исходное уравнение и решить полученное систему уравнений. Таким образом, можно найти конкретное решение неоднородного уравнения.

Другой метод — метод неопределенных коэффициентов, который применяется в случае, когда неоднородная функция в правой части уравнения является суммой экспоненциальных функций, синусоид или многочлена. Суть метода заключается в предположении, что частное решение имеет такую же форму, как и неоднородная функция, и нахождении неизвестных коэффициентов этого частного решения.

Также существуют и другие методы решения неоднородных дифференциальных уравнений, например, метод Лагранжа или метод Дюамеля. Однако они требуют более сложных вычислений и знания специальных формул, поэтому их применение может быть ограничено.

Таким образом, решение неоднородных дифференциальных уравнений требует применения специальных методов, которые позволяют найти и общее решение однородной части, и частное решение неоднородной части уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором коэффициенты и функция, зависящая от неизвестной переменной, являются линейными. Общая форма линейного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

Линейные дифференциальные уравнения часто возникают в различных областях науки и инженерии, и их решение может быть полезным при моделировании и предсказании различных физических, биологических и экономических процессов.

Существуют различные методы решения линейных дифференциальных уравнений, в зависимости от их вида и условий, накладываемых задачей. Некоторые из этих методов включают в себя метод вариации постоянных, метод неопределенных коэффициентов, метод Лапласа и метод решения систем линейных дифференциальных уравнений.

Важным свойством линейных дифференциальных уравнений является то, что они имеют единственное решение, если все их коэффициенты и функции заданы явно и непрерывны. Однако, в некоторых случаях, таких как при наличии граничных условий или начальных условий, уравнение может иметь бесконечное количество решений или некоторые решения могут быть недоступными.

В общем случае, решение линейного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы общего решения и частного решения. Общее решение содержит произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных или граничных условий задачи.

В зависимости от свойств коэффициентов и функций уравнения, решение может быть представлено в виде аналитической формулы, рядом или в виде табличных данных. В некоторых случаях, решение может быть найдено численными методами, такими как метод Эйлера или метод Рунге-Кутта.

Изучение и решение линейных дифференциальных уравнений является важной задачей в математике и имеет широкое применение в научных и инженерных расчетах и моделировании различных процессов и явлений.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Кроме линейных дифференциальных уравнений существуют также нелинейные дифференциальные уравнения. В отличие от линейных уравнений, нелинейные содержат нелинейные функции от неизвестной функции или ее производных. Решение нелинейных дифференциальных уравнений может быть гораздо сложнее и требует применения специальных методов и техник.

Нелинейные дифференциальные уравнения могут иметь различные сценарии решений в зависимости от их видов и свойств. Некоторые из возможных сценариев решений нелинейных дифференциальных уравнений включают:

1. Аналитические решения: некоторые нелинейные дифференциальные уравнения могут иметь аналитическое решение, то есть решение, которое может быть представлено в виде явной формулы или функции. Однако такие аналитические решения, в отличие от линейных уравнений, встречаются гораздо реже и требуют использования более сложных методов.
2. Численные решения: большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеют аналитического решения. В этом случае для нахождения решения можно применить численные методы, такие как метод Эйлера или метод Рунге-Кутта. Эти методы позволяют приближенно найти значение функции в заданных точках.
3. Сходимость и расходимость: нелинейные дифференциальные уравнения могут иметь различные сценарии сходимости и расходимости решений. Например, при некоторых значениях параметров уравнения решение может сходиться к определенному значению, в то время как при других значениях параметров решение может расходиться или иметь периодическую или хаотическую природу.

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений является сложной и интересной задачей в математике и физике. Оно требует применения различных аналитических и численных методов, а также внимательного анализа свойств уравнений и их решений.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков — это уравнения, содержащие производные не только первого порядка, но и более высоких порядков. Такие уравнения могут быть более сложными для решения, чем уравнения первого порядка, но они также имеют свои особенности и интересные свойства.

• Для дифференциальных уравнений высших порядков может существовать бесконечное количество решений.
• Решения дифференциальных уравнений высших порядков можно найти, используя методы, аналогичные методам для уравнений первого порядка. Например, можно использовать метод разделяющихся переменных, метод изменения переменных или метод вариации постоянной.
• Дифференциальные уравнения высших порядков могут иметь связь с физическими законами и применяться для моделирования различных физических процессов. Например, уравнение второго порядка, описывающее колебания груза на пружине, или уравнение четвертого порядка, описывающее движение палки, закрепленной на одном конце.

Для решения дифференциальных уравнений высших порядков также могут применяться численные методы, такие как метод Эйлера или метод Рунге-Кутты. Эти методы позволяют приближенно находить решения уравнений, когда аналитическое решение невозможно или сложно получить.

Примеры дифференциальных уравнений высших порядков:
1. Уравнение Гарриота: y» + (ω^2)y = 0
2. Уравнение Лапласа: ∇^2u = 0
3. Уравнение теплопроводности: ∂u/∂t — k∇^2u = 0
4. Уравнение Коши-Римана: ∂u/∂x + i∂v/∂y = 0

Дифференциальные уравнения высших порядков являются важным инструментом в математике и физике. Их исследование позволяет понять различные аспекты природы, моделировать сложные явления и разрабатывать новые методы и подходы в науке.

Рандомные условия и краевые задачи

В реальной жизни, при решении дифференциальных уравнений, мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда у нас нет точных значений начальных условий или краевых задач. В таких случаях нам приходится работать с рандомными условиями или задавать краевые условия на основе определенных предположений.

Рассмотрим пример с рандомными условиями. Пусть у нас есть дифференциальное уравнение вида:

где y(x) — неизвестная функция, p(x), q(x) и f(x) — известные функции.

Если у нас нет точных значений начальных условий y(0) и y'(0), мы можем выбрать какие-то случайные значения для этих условий. Например, можно задать y(0) = 1 и y'(0) = 2.

Другим вариантом является постановка краевых задач. Краевая задача — это задача, в которой мы задаем значения не на одной точке, а на двух или более точках. Например, можем задать значения y(0) = 1 и y(L) = 0, где L — некоторое фиксированное значение.

Краевые задачи могут иметь различные виды условий. Например, могут быть заданы значения не только на концах отрезка, но и на его середине. Также могут быть заданы значения производных функции на концах отрезка или условия на границе области.

Решение дифференциального уравнения с рандомными условиями или краевыми задачами может быть сложно, так как мы не имеем точных значений для расчета. В таких случаях нам приходится использовать методы численного интегрирования или приближенные методы решения.

Методы численного интегрирования позволяют нам аппроксимировать решение дифференциального уравнения, разбивая его на маленькие части и приближая значения функции в каждой точке. Это позволяет получить приближенное решение, которое можно использовать для анализа и прогнозирования различных физических процессов.

В общем случае, решение дифференциального уравнения с рандомными условиями или краевыми задачами может иметь одно или несколько решений. Количество решений зависит от конкретного уравнения и заданных условий. Иногда может быть даже бесконечное количество решений.

В зависимости от поставленной задачи, мы можем выбирать различные методы для решения дифференциальных уравнений с рандомными условиями или краевыми задачами. Некоторые из них включают метод разложения в ряд, метод конечных разностей, метод конечных элементов и т.д. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и ограничения, и выбор конкретного метода зависит от поставленной задачи и доступных ресурсов.

Зависимость решений от начальных условий

Дифференциальные уравнения являются математическими моделями, описывающими изменение системы величин с течением времени. Они могут иметь различные решения в зависимости от начальных условий, которые задаются в момент времени, когда система начинает эволюционировать.

Зависимость решений от начальных условий можно проиллюстрировать на примере простого дифференциального уравнения: dy/dx = k. Здесь y — функция, зависящая от переменной x, а k — константа.

Если начальное условие задается как y(x₀) = y₀, то решением уравнения будет y(x) = kx + y₀. То есть, решение будет линейной функцией с наклоном k и сдвигом относительно начального значения y₀.

Однако, если начальное условие задается как y(x₀) = y₁, то решение будет другим: y(x) = kx + y₁. В этом случае решение также будет линейной функцией, но с другим сдвигом относительно начального значения y₁.

Таким образом, различные начальные условия приводят к различным решениям дифференциального уравнения. Это явление называется «чувствительностью к начальным условиям». Малое изменение начальных условий может привести к существенным отличиям в поведении системы.

Примеры дифференциальных уравнений, где решения зависят от начальных условий, включают уравнения динамики тела, электромагнитные уравнения и уравнения в теории хаоса.

Вопрос-ответ

Сколько решений может иметь обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка?

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может иметь два типа решений: общее и частное. Общее решение содержит произвольную постоянную, которую можно выбирать произвольно, чтобы получить бесконечное количество решений. Частное решение получается из общего решения при подстановке конкретных значений постоянных.

А что если дифференциальное уравнение имеет несколько независимых переменных?

Если дифференциальное уравнение имеет несколько независимых переменных, то общее решение будет содержать несколько произвольных функций. Количество произвольных функций будет равно количеству независимых переменных в уравнении.

Может ли дифференциальное уравнение не иметь решений?

Да, такое возможно. Если начальные условия задачи не удовлетворяют дифференциальному уравнению, то решение не существует. Также, некоторые дифференциальные уравнения могут не иметь аналитического решения и требуют использования численных методов для получения численного решения.

Может ли дифференциальное уравнение иметь бесконечное количество решений?

Да, некоторые дифференциальные уравнения могут иметь бесконечное количество решений. Это происходит, когда уравнение имеет общее решение, которое содержит произвольную постоянную. Благодаря произвольной постоянной можно получить бесконечное множество решений, выбирая разные значения этой постоянной.

Что такое частное решение дифференциального уравнения?

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения путем подстановки конкретных значений постоянных, которые удовлетворяют заданным начальным условиям. Частное решение является конкретным набором значений функций, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению и начальным условиям.

Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

В данной публикации представлен курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка. Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R3, x — независимая переменная из интервала (a, b), y(x) — неизвестная функция, y'(x) — ее производная.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

называют уравнениями в нормальной форме.

Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Для дифференциального уравнения y’=f(x, y), правая часть которого f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в некоторой области D имеет место геометрическая интерпретация, называемая полем направлений.

Если через каждую точку (x, y) области D провести некоторый отрезок l(x, y) с угловым коэффициентом, равным значению правой части f(x, y) в точке (x, y), то получится изображение, которое называется «полем направлений». Любая интегральная кривая y=y(x) в каждой своей точке (x, y(x)) касается отрезка l(x, y).

Если дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=y(x,C), где C — произвольная константа.

Выражение y(x,C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка:

при всех допустимых значениях C функция y=y(x,C) является решением уравнения,

для любого наперед заданного решения y=f(x) найдется такое значение константы C, C=С*, что y(x,C*)=f(x).

Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x0, y0)ОD, то на некотором интервале (x0-h, y0+h) существует единственное решение y=y(x) уравнения y’=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x0, y0)ОD проходит только одна интегральная кривая y=y(x,C0) семейства y=y(x,C) такая, что y(x0,C0)=y0.

2. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши

состоит в построении таблицы приближенных значений

решения y(x) в узлах сетки

Если xi = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h используется информация о решении только в точке x0.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле

yi+1 = yi + h f(xi , yi), i = 0, 1, .

Метод Эйлера допускает простую геометрическую интерпретацию. Пусть известна точка (xi, yi) интегральной кривой уравнения y’=f(x, y).

Касательная к интегральной кривой уравнения, проходящая через эту точку, определяется уравнением

y = yi + f(xi , yi)(x-xi).

Следовательно, вычисленная методом Эйлера точка (xi+1 , yi+1 ),

где xi+1=xi+h, yi+1=yi + h f(xi , yi), лежит на этой касательной.

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+1 вычисляются по следующим формулам:

yi+1 = yi + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 , i = 0, 1, .

k2 = f(xi+h/2, yi+hk1/2),

k3 = f(xi+h/2, yi+hk2/2),

Практически оценить погрешность численного метода позволяет правило Рунге. Сначала вычисляют приближенное решение с шагом h, затем — с шагом h/2. Тогда для метода Рунге-Кутты 4 порядка точности справедливо приближенное равенство

y(x2i) — y2i(h/2) @ (y2i(h/2) — yi(h))/15,

здесь yi(h) — приближенное решение, вычисленное с шагом h,

y2i(h/2) — приближенное решение, вычисленное с шагом h/2.

За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом h/2, принимают величину

maxi|y2i(h/2) — yi(h) |/15.

3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

где X(x) и Y(y) — непрерывные функции.

Общий интеграл уравнения задается выражением

Решение y = y(x) задачи Коши y(x0) = y0 как неявную функцию переменной x задает выражение

Заметим, что если Y(y*) = 0 в некоторой точке y*, то уравнение

y’ = Y(y)X(x) имеет решение y(x) = y* при всех допустимых x.

Все решения системы исчерпываются выражениями y(x) = y* и

4. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в некоторой односвязной области D и в этой области выполнено условие

Тогда общий интеграл уравнения задается выражением

и формула для вычисления u(x, y) имеет вид:

Выражение u(x, y)=0, где

задает решение задачи Коши y(x0) = y0.

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольных постоянных

называется линейным неоднородным уравнением.

называется линейным однородным уравнением.

Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле

где C— произвольная постоянная,

Решение задачи Коши y(x0) = y0 определяется выражением

Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравненя состоит в том, что решение неоднородного уравнения записывается в виде

где C(x) неизвестная функция. Подставляя в уравнение имеем для C(x)

и тогда для общего решения неоднородного уравнения справедливо

где C — произвольная постоянная.

Для решения задачи Коши y(x0) = y0 для линейного неоднородного уравнения справедлива формула

6. Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F(x, y, y’, y», . y(n)) = 0,

где F — известная функция (n+2) переменных, определенная в области D М Rn+2, x — независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) — неизвестная функция, n — порядок уравнения.

В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной — уравнения, записанные в нормальной форме:

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения достаточно определить начальные условия:

y(x0) = y0 , y'(x0) = y0,1 , y»(x0) = y0,2 , . y(n-1)(x0) = y0,n-1.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача, она называется задачей Коши, имеет единственное решение.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если правая часть уравнения

y(n)) = f(x, y, y’, y», . y(n-1))

и ее частные производные по переменным y, y’, y», . y(n-1) непрерывны в области GМ Rn+1, то для любой точки (x0, y0, y0,1, y0,2, . y0,n-1) из G на некотором интервале (x0-h, x0+h) существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y(x0) = y0 , y'(x0) = y0,1 , y»(x0) = y0,2 , . y(n-1)(x0) = y0,n-1.

Численное решение задачи Коши

y(x0) = y0 , y'(x0) = y0,1 , y»(x0) = y0,2 , . y(n-1)(x0) = y0,n-1

состоит в построении таблицы приближенных значений yi решения y=y(x) в точках x1, x2, . xi, . .

Задача о численном решении дифференциального уравнения порядка выше первого чаще всего сводится к численному решению решению задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

получим задачу Коши для системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка

y1’=y2 , y2’=y3 , . yn’ =f(x, y1, y2 , . yn ),

y1(x0 )=y0, y2(x0)=y1,0 , . yn-1(x0)=yn-1,0,

которая в векторной форме имеет вид

`F(x,`Y)= (y2, y3, . yn, f(x, y1, y2 , . yn )).

Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений yi,1 , yi,2 , . yi,N компонент yi(xj) вектора решения в точках x1 , x2 , . xN. Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге—Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить

y, f(x, y), k1, k2, k3, k4 на `Y, `F(x,`Y), `k1, `k2, `k3, `k4 .

7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

y’1 = f1(x, y1, y2 , . yn),

y’2 = f2 (x, y1, y2 , . yn),

y’n = fn (x, y1, y2 , . yn),

где x — независимая переменная, а

y1(x), y2(x), . yn(x) — неизвестные функции, n — порядок системы.

запишем систему в векторной форме

Решением системы называется вектор-функция `Y , которая определена и нерерывно дифференцируема на интервале (a, b) и удовлетворяет системе, т.е. для всех x0О (a, b) справедливо

Задачей Коши (задачей с начальными условиями) называется следующая задача: найти такое решение`Y (x) системы `Y ‘=`F(x,`Y ), что `Y (x0) =`Y 0,

где x0 — заданное число, а `Y 0 — заданный вектор.

Интегральной кривой системы называется кривая в (n+1) -мерном пространстве Rn+1x,y, заданная уравнением `Y =`Y (x), где `Y (x) — решение системы.Таким образом, решить задачу Коши — это значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку пространства Rn+1x,y.

Для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если вектор-функция `F(x,`Y (x)) и ее частные производные по переменным yi , i = 1, 2, . n, непрерывны в области G пространства Rn+1x,y, то на некотором интервале (x0 -h, x0+h) существует единственное решение системы

удовлетворяющее начальному условию

т.е. через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая системы.

Подробнее геометрическая интерпретация систем обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений рассмотрена в разделе, посвященном изучению автономных систем.

Если задачу об отыскании всех решений системы дифференциальных уравнений удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что система интегрируется в квадратурах.

В приложениях крайне редко встречаются системы, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в построении таблицы приближенных значений

yi,1, yi,2 , . yi,N компонент yi(xj,) вектора решения `Y (x) в точках

Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге—Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить

y, f(x, y), k1, k2, k3 , k4 на

`Y , F(x,`Y ), `k 1, `k 2, `k 3, `k 4.

Задача Коши для любого дифференциального уравнения n -го порядка

y(n) = f(x, y’ , y’ , . y(n-1)),

y(x0 )= y0 , y'(x0 )= y0,1, y»(x0 )= y0,2 , . y(n-1)(x0 )= y0,n-1

легко сводится к задаче для системы дифференциальных уравнений порядка

8. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида

y(n) + a1(x) y(n-1) + . + an-1 (x) y’ + an(x) y = f(x),

где y = y(x) — неизвестная функция,

a1(x), a2(x), . an-1(x), an(x), f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:

L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + . + an-1 (x) y’ + an(x) y .

y(n) + a1(x) y(n-1) + . + an-1 (x) y’ + an(x) y = 0 и

y(n) + a1(x) y(n-1) + . + an-1 (x) y’ + an(x) y = f(x), f(x) № 0,

называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде:

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:

а) Если y1(x) и y2(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)

при любых постоянных c1, c2 является решением однородного уравнения.

б) Если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения

L(y) = f(x), то их разность y(x) = y1(x) — y2(x)

является решением однородного уравнения L(y) = 0.

в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

Если y1(x) и y2(x) — решения неоднородных линейных уравнений

L(y) = f1(x) и L(y) = f2(x), то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением уравнения

9. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + . + an-1 (x) y’ + an(x) y = 0,

где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), . an-1(x), an(x) — известные, непрерывные, справедливо:

1) существуют n линейно независимых решений уравнения

2) при любых значениях констант c1, c2, . cn функция

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + . + cn yn(x)

является решением уравнения;

3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, . y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, . c*n, что решение

y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + . + c*n yn (x)

удовлетворяет при x = x0 начальным условиям

Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + . + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), . yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx):

exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + . + an-1exp(lx)’ + anexp(lx)=

= (ln + a1ln-1 + . + an-1l + an)exp(lx) = 0,

т.е. число l является корнем характеристического уравнения

ln + a1ln-1 + . + an-1l + an = 0.

Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:

P(l) = ln + a1ln-1 + . + an-1l + an.

Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней

то фундаментальная система решений состоит из функций

y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . yn(x) = exp(lnx),

и общее решение однородного уравнения имеет вид:

y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + . + cn exp(lnx).

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если

то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций:

yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней

в фундаментальной системе решений отвечает пара функций

yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+1(x) = exp(akx)sin(bkx).

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре

lk=lk+1 = . = l2k+2r-1=ak ± ibk,

в фундаментальной системе решений отвечают функции

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:

записать характеристическое уравнение;

найти все корни характеристического уравнения l1, l2, . , ln;

записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), . yn(x);

записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + . + cn yn(x).

Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1. cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений

c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + . + cn yn(x0) = y0,

c1 y’1(x0) + c2 y’2(x0) + . + cn y’n(x0) =y0,1,

c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + . + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1

10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + . + an-1 (x) y’ + an(x) y = f(x),

где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), . an-1(x), an(x), f(x) — известные, непрерывные,справедливо:

1) если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция

y(x) = y1(x) — y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения;

2) если y1(x) решение неоднородного уравнения, а y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция

y(x) = y1(x) + y2(x) — решение неоднородного уравнения;

3) если y1(x), y2(x), . yn(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч(x) — произвольное решение неоднородного уравнения,

то для любых начальных значений

x0, y0, y0,1, . y0,n-1

существуют такие значения

c*1, c*n, . c*n, что решение

y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + . + c*n yn (x) + yч(x)

удовлетворяет при x = x0 начальным условиям

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + . + cn yn(x) + yч(x)

называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:

где Pk(x), Qm(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.

Искомое решение уравнения записывается в виде:

где Pr(x), Qr(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами

pr , pr-1, . p1, p0, qr, qr-1, . q1, q0.

Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда средикорней характеристического уравнения есть корень

l =a ± ib кратности s.

Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель xs. Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.

Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t.

Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует

найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l1, l2, . , ln, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), . yn(x));

найти любое частное решение неоднородного уравнения yч(x);

записать выражение для общего решения

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + . + cn yn(x) + yч(x);

Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1. cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений

c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + . + cn yn(x0) + yч(x0)= y0,

c1 y’1(x0) + c2 y’2(x0) + . + cn y’n(x0) + yч(x0)=y0,1,

c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + . + cn yn(n-1)(x0) + yч(x0)= y0,n-1

11. Метод вариации произвольных постоянных решения задачи Коши для линейного неоднородные дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Доказано, что для линейного неоднородного дифференциального уравнения

y(n) + a1 y(n-1) + . + an-1 y’ + an y = f(x)

при непрерывной правой части f(x), для любых начальных значений

x0, y0, y0,1, . y0,n-1

существует и единственно решение задачи Коши

Решение задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), который состоит в следующем:

Записываем искомое решение задачи Коши для неоднородного уравнения в виде

y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) + . + cn(x) yn(x),

где y1(x), y2(x), . yn(x) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, и находим неизвестные функции

такие, чтобы функция y = y(x) удовлетворяла неоднородному уравнению и заданным начальным условиям.

Опишем алгоритм решения задачи Коши для уравнения второго порядка

y» + a1 y’ + a2 y = f(x), y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1.

Будем искать решение задачи в виде

y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x),

где y1(x), y2(x) — линейно независимые решения однородного уравнения

y» + a1 y’ + a2 y = 0.

Вычислим y'(x), y»(x) и подставим полученные выражения в уравнение.

Вычислим первую производную

y'(x)= (c1′(x) y1(x) + c2(x)’ y2(x)) + (c1(x) y1′(x) + c2(x) y2′(x)),

c1′(x) y1(x) + c2(x)’ y2(x) = 0

y'(x)= c1(x) y1′(x) + c2(x) y2′(x),

=c1′(x) y1′(x) + c2(x)’ y2′(x) + c1(x) y1»(x) + c2(x) y2»(x).

Подставив y(x) и ее производные в уравнение, получим:

= c1′(x) y1′(x) + c2(x)’ y2′(x) + c1(x) y1»(x) + c2(x) y2»(x) +

+ a1(c1(x) y1′(x)+c2(x) y2′(x)) + a2(c1(x) y1(x)+c2(x) y2(x)) =

= c1(x)( y1»(x)+a1 y1′(x)+a2 y1(x)) + c2(x)( y2»(x)+a1 y2′(x)+a2 y2(x)) +

+ c1′(x) y1′(x) + c2(x)’ y2′(x) = 0 + 0 + c1′(x) y1′(x) + c2(x)’ y2′(x) = f(x),

при условии c1′(x) y1(x) + c2(x)’ y2(x) = 0.

Тогда неизвестные функции c1(x) и c2(x) являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений

c1′(x) y1′(x) + c2(x)’ y2′(x) = f(x),

c1′(x) y1(x) + c2(x)’ y2(x) = 0

с известными y1(x) и y2(x).

Эта система легко разрешима относительно c1(x) и c2(x):

Вычислив интегралы в правой части системы, получим

Произвольные константы C1 и C2 определяются из начальных условий.

Заметим, что разрешимость системы дифференциальных уравнений для

c1′(x) и c2′(x) и однозначная разрешимость системы начальных условий для произвольных констант C1 и C2 гарантированы линейной независимостью y1(x) и y2(x),

(y1′(x)y2(x)-y1(x)y2′(x))№0 для линейно независимых y1(x) и y2(x).

Для того чтобы решить задачу Коши для уравнения более высокого порядка действуем аналогично.

Решение задачи Коши ищем в виде

y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) + . + cn(x) yn(x),

где y1(x), y2(x), . yn(x) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Неизвестные функции c1(x) , c2(x), . cn(x)

находим как решения линейной системы дифференциальных уравнений

c1′(x) y1(x) + c2(x)’ y2(x) + . + cn'(x) yn(x) = 0

c1′(x) y1′(x) + c2′(x) y2′(x) + . + cn'(x) yn'(x) = 0,

c1′(x) y1»(x) + c2′(x) y2»(x) + . + cn'(x) yn»(x) = 0,

c1′(x) y1(n-1)(x) + c2′(x) y2(n-1)(x) + . + cn'(x) yn(n-1)(x) = f(x),

которая в силу линейной независимости y1(x), y2(x), . yn(x) разрешима относительно ci'(x).

Вычислив ci(x) = Fi(x) + Ci находим произвольные постоянные Ci из начальных условий и тогда искомое решение уравнения имеет вид

y(x)= F1(x) y1(x) + F2(x) y2(x) + . + Fn(x) yn(x) + C1y1(x) + C2 y2(x) +. + Cnyn(x).

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:

записать характеристическое уравнение;

найти все корни характеристического уравнения l1, l2, . , ln;

найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), . yn(x));

представить искомое решение задачи Коши в виде линейной комбинации

y(x)= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) + . + cn(x)yn(x),

с неизвестными функциями c1(x), c2(x), . cn(x);

составить и решить систему для c1 (x), c2(x), . cn(x);

подставить вычисленные ci(x) = Fi(x) + Ci в выражение для решения и записать для него начальные условия;

найти из начальных условий значения констант Ci и записать искомое решение.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует

найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l1, l2, . , ln, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), . yn(x));

найти методом вариации произвольных постоянных любое частное решение неоднородного уравнения yч(x);

записать выражение для общего решения

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + . + cn yn(x) + yч(x).

12. Автономные системы на плоскости. Фазовая плоскость. Векторное поле

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему.

В теории автономных систем принято обозначать независимую переменную буквой t, а искомое решение — .

Ограничимся случаем n = 2 и в дальнейшем рассматриваем автономные системы второго порядка:

Будем полагать, что правые части системы f1(x1, x2 ) , f2(x1, x2) непрерывно дифференцируемы в области , т.е. справедлива теорема существования и единственности. Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx1/dt и dx2/dtзависят только от x1 и x2. Автономные системы называют также динамическими системами.

Пусть x1=j1(t), x2= j2(t) — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости. Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы. Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы. Для n >2 фазовые траектории располагаются в фазовом пространстве.

Если на рисунке изображено несколько фазовых кривых системы, характеризующих качественное поведение решений системы (кривые с одинаковыми асимптотами, предельными точками и пр.), то такое изображение называется фазовым портретом системы.

Интегральные кривые рассматриваемой системы изображаются в трехмерном пространстве переменных (t, x1, x2) и, если x1=f1(t), x2= f2(t) — решение системы, то интегральная кривая задается в параметрической форме уравнениями

а фазовая траектория — не что иное, как проекция интегральной кривой на фазовую плоскость (плоскость (x1, x2).

Для фазовых кривых (фазовых траекторий) автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью

справедливы следующие утверждения:

• Если существует такая точка , что , то , является решением автономной системы, т.е. соответствующая фазовая траектория — точка.
• Если точка (x1(t), x2(t)) принадлежит некоторой фазовой кривой, то при любой постоянной С точка (x1(t+С), x2(t+С)) принадлежит той же фазовой кривой.
• Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают.
• Фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой ее точке есть ненулевой касательный вектор).
• Всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов— гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.
• Если фазовая кривая, отвечающая решению , есть гладкая замкнутая кривая, то это решение — периодическая функция.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль,, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Если в каждой точке области задан n-мерный вектор

,, то говорят, что в области G задано векторное поле. Запишем автономную систему второго порядка

в векторной форме:

полностью определяется заданием векторного поля

Действительно, в каждой точке

гладкой фазовой кривой

существует касательный вектор

равный (в силу системы) вектору

иными словами, векторное поле

автономной системы задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.

Точки векторного поля, в которых вектор — нулевой, называют особыми точками векторного поля. Таким образом, точки покоя автономной системы — это особые точки векторного поля.

13. Точки покоя автономной линейной системы

Рассмотрим автономную систему второго порядка:

Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx1 /dt и dx2 /dt зависят только от x1 и x2 и не зависят от t.

Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости . Эта кривая называется фазовой кривойили фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль, , называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если:

1) существует такое , что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям ;

2) для всякого существует такое , что если и , то при всех .

Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если

при достаточно малых .

Очевидно, что линейная автономная система

имеет единственную точку покоя: x1(t) = 0, x2(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l1 и l2 матрицы системы.

А именно, пусть l1 и l2 — собственные значения матрицы A исследуемой системы:

• если l1 и l2— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом;
• если l1 и l2 — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом;
• если l1 и l2 — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом;
• если l1 и l2 — комплексные числа, l1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром, при Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом, а если Rel>0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом;
• если l1 = l2 — отличные от нуля действительные числа, то точка покоя — узел специального вида, называемый диакритическим, устойчивым при отрицательных l1 = l2 и неустойчивым при положительных l1 = l2;
• если l1 = 0 и l2 № 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются точками покоя;
• если l1 = l2 = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.

14. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему.

Рассмотрим автономные системы второго порядка:

Будем полагать, что правые части системы f1(x1, x2), f2(x1, x2) непрерывно дифференцируемы в области определения, т.е. справедлива теорема существования и единственности.

Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx1/dt и dx2/dt зависят только от x1 и x2. Автономные системы называют также динамическими системами.

Пусть x1=j1(t), x2=j2(t) — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости (x1, x2). Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы. Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы. Именно поэтому автономные системы второго порядка принято называть автономными системами на плоскости.

Для фазовых траекторий автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью справедливы следующие утверждения:

• две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают;
• фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой ее точке есть ненулевой касательный вектор);
• всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов— гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.

Если фазовая траектория x1=j1(t), x2=j2(t) — замкнутая гладкая кривая g, в некоторой окрестности которой нет других замкнутых траекторий, то она является предельным циклом: все траектории, которые начинаются достаточно близко от g, спиралевидно приближаются к ней либо при , либо при .

Предельные циклы бывают трех типов:

• устойчивые — близкие траектории «навиваются» на него при ;
• неустойчивые — близкие траектории уходят от него при ;
• полуустойчивые — траектории, лежащие по одну сторону от цикла, «навиваются» на него при , а лежащие по другую строну — «отходят» от цикла.

15. Жесткие системы дифференциальных уравнений

В вычислительной практике часто встречаются системы дифференциальных уравнений, которые принято называть жесткими.

Не приводя точного определения жесткой системы, проиллюстрируем содержание этого понятия и возникающие проблемы на примере жесткой линейной системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть требуется численно решить задачу Коши

y’1 = -2y1 — 998 y2 ,

Эту задачу можно записать в матричной форме в виде:

значение решения в начальной точке x = 0 — начальное условие.

Легко видеть, что точное решение системы имеет вид:

y1 (x) = exp(-2x) + exp(-1000x),

убывает очень быстро,

а слагаемое exp(-2x) — гораздо медленнее.

Попытаемся найти решение этой задачи методом Рунге-Кутты с различными шагами. Графики полученных решений и графики точного решения приведены ниже (график точного решения — справа).

Видно, что полученные приближенные решения уже на первых шагах содержат большие ошибки. Для получения правдоподобного результата на отрезке [0, 0.1] нужно выбирать шаг, меньший 0.003. Это означает, что для достаточно большого интервала интегрирования потребуется выполнить вычисления для очень большого числа шагов. Казалось бы, можно избежать интегрирования на всем промежутке с малым шагом: вести вычисления с малым шагом до тех пор, пока компонента

станет пренебрежимо малой, а затем увеличить шаг и до конца промежутка интегрирования вести вычисления с большим шагом. Оказывается, что на самом деле это совсем не так. Вторая компонента заставляет вести интегрирование с малым шагом на всем промежутке интегрирования. Это и означает, что система жесткая. Жесткость системы проявляется тогда, когда длина промежутка интегрирования T удовлетворяет соотношению

где lmax — наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы системы A. Для интегрирования жестких систем необходимо применять специально разработанные методы.

В примере рассмотрена линейная жесткая система. Однако специальные методы решения жестких систем, как правило, универсальны, т.е. применяются для решения как линейных так и нелинейных систем.

16. Решение задачи Коши операционным методом

Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентамисводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

Функцией-оригиналом называется функция f(x) для которой справедливо:

f(x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек,

существуют такие постоянные M и a, что

при всех неотрицательных x.

Преобразованием Лапласа функции f(x) называется функция

Функция F(p) называется изображением функции f(x), а функция f(x) — оригиналом для F(p).

Основные свойства преобразования Лаплалса, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие:

• оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва — теорема единственности;
• если F(p) и G(p) — изображения соответственно для f(x) и g(x), то изображением для
  af(x)+bg(x)
  является aF(p) +bG(p) — линейность преобразования Лапласа;
• изображением для производной f (n)(x) является функция
  pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f'(0)- …- pf (n-2)(0)-f (n-1)(0) — изображение производных;
• если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0 изображением для f(x-a) является — теорема запаздывания.

Рассмотри задачу Коши:

a1, a2, …, an — постоянные.

Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x).

Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:

или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) — многочлены.

и искомое решение задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p).

Совершенно аналогично операционное исчисление применяется к решению задачи Коши для системлинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу Коши:

A- постоянна матрица размерности n·n.

Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем.

Обозначим изображения для — компонентами вектор-функций являются изображения соответствующих компонент вектор-функций . Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:

где E — единичная матрица, — обратная матрица к матрице .

Тогда искомое решение задачи Коши является оригиналом для .

Наверх

17. Приложения обыкновенных дифференциальных уравнений к задачам биологии и экономики

Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования реальных систем, зависящих от времени, в частности, для описания и исследования экономических и биологических систем.

Динамика популяций. Уравнения Вольтерра-Лотка

В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра—Лотка. Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества.

Пусть x1 и x2 — число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв x1’/x1 равен a-bx2, a>0, b>0, где a — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, -bx2 — потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи ( x1=0 ) относительная скорость изменения популяции хищников равна , c>0 , наличие пищи компенсирует убывание, и при x1>0 имеем , d>0.

Таким образом, система Вольтерра—Лотка имеет вид:

Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и пр.

Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра—Лотка для a=4, b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x1(0)=3, x2(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3 : 1 , обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины b=2.5 , популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников и когда число жертв достигает величины x1=c/d =2 (в этой точке x2’=0), число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины x2=a/b =1.6 (в этой точке x1’=0).С этого момента начинает расти популяция жертв, через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и . процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин x1=2, x2=1.6 соответственно (дробные числа здесь не означают “половину волка”, величины могут измеряться в сотнях, тысячах и т.п.). Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости — фазовая кривая (x1(t), x2(t)) — замкнутая линия. Самая левая точка, этой кривой, — это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка x1=4,x2=1.6 , — точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает, до нижней точки фазовой кривой,x1=2 , где достигает наименьшего значения, а затем растет до верхней точки фазовой кривой (x1=2, x2=2.5). Фазовая кривая охватывает точку x1=2, x2=1.6.

На языке дифференциальных уравнений это означает, что система имеет стационарное состояние

которое достигается в точке x1=2, x2=1.6. Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решения x1(t), x2(t) не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.

Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и т.п.

Уравнения Вольтерра-Лотка с логистической поправкой

Рассмотрим модель конкурирующих видов с “логистической поправкой”:

В этом случае поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра a.

Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра—Лотка для a =0.1, a=4, b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x1(0)=3, x2(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения — в затухающие колебания. При любом начальном условии состояние системы через некоторое время становится близким к стационарному и стремится к нему при .

Графики решений и фазовая кривая при отрицательном значении параметра a, a =-0.1, приведены ниже.

Как видно, в этом случае стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. В этом случае как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного.

На примере модели Вольтерра—Лотка и модели Вольтерра—Лотка с логистической поправкой было продемонстрировано одно из важнейших качественных свойств центров — они легко разрушаются даже при самых малых изменениях правой части. Большинство моделей является идеализацией действительности; в них внимание сосредоточено на некоторых основных переменных и соотношениях между ними. Поэтому устойчивость моделей относительно малых возмущений чрезвычайно важна в приложениях. Модели, не чувствительные к малым возмущениям, называются грубыми.

Модель Вольтерра—Лотка неустойчива относительно возмущений, поскольку ее стационарное состояние — центр.

Существует другой вид моделей, в которых возникают незатухающие колебания, — это модели, имеющие на фазовых портретах предельные циклы. Такая модель существует для системы конкурирующих видов — это модель Холлинга—Тэннера.

Скорость роста популяции жертв x’1 в этой модели равна сумме трех величин:

• скорости размножения в отсутствие хищников — r x1;
• влиянию межвидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах (для случая конкурирующих производителей это влияние ограниченных сырьевых ресурсов) —
• влиянию хищников , в предположении, что хищник перестает убивать, когда насыщается —

Скорость роста популяции хищников x’2 строится так же, как в модели Вольтерра—Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко. Если для поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то популяция из x1 жертв сможет обеспечить пищей x1/J хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину, имеет вид

Таким образом, имеем модель Холлинга—Тэннера:

где r, s, K, D, J > 0.

Можно показать, что при

на фазовом портрете системы будет устойчивый предельный цикл. Ниже приведено решение системы при r=1, K=7, w=1, D=1, s=0.2, J=0.5 и двух различных начальных состояниях и фазовый портрет системы, построенные программой ОДУ.

Модель выравнивания цен по уровню актива интересна тем, что в ней можно наблюдать гармонические колебания решений возле стационарного состояния. Предположим, что изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d, т.е. q’=k(s-d), k > 0. Предположим далее, что изменение цены p пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q0 так, что p’=-m(q-q0 ) , m > 0. Таким образом, модель выравнивания цен по уровню актива имеет вид

Ниже приведены график решения и фазовая кривая для

s0 =10, d0 =50, c=-10

при начальном состоянии

построенной программой ОДУ.

Видно, что цена и актив колеблются возле стационарного состояния. Фазовая траектория представляет собой эллипс, охватывающий стационарную точку. Это означает, что колебания актива и цены — гармонические.

Теги

• оду
• линейное дифференциальное уравнение
• нелинейное дифференциальное уравнение