Какие из заданных отображений являются линейными операторами

Примеры решений. Линейные операторы

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач, касающиеся линейных операторов (преобразований, отображений): нахождение матрицы оператора в разных базисах, проверка его свойств, нахождение собственных (характеристических) значений и векторов.

Понравилось? Добавьте в закладки

Решения задач: линейные операторы

Задача 1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования $A$, заданного уравнениями $x’=5x+4y, y’=8x+9y$.

Задача 2. Найти в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ матрицу линейного оператора $f: E^3 \rightarrow E^3$, переводящего любой вектор $x$ в вектор $y=f(x)$, $f(x)=(a,x)a$, если $a=i-j+2k$.

Задача 3. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее $x_1», x_2», x_3»$ через $x_1, x_2, x_3$.

Задача 4. Установить, являются ли заданные отображения $A: R^4 \to R^4$ линейными. В случае линейности отображения записать матрицу оператора $A$ в каноническом базисе

$$ e_1=(1,0,0,0); e_2=(0,1,0,0); e_3=(0,0,1,0); e_4=(0,0,0,1). $$ $$ Ax=(x_1-2x_4; x_2+x_3; -x_1; x_1+3x_2);\quad Ax=(x_1-2x_4; x_2\cdot x_3; -x_1; x_1+3x_2). $$

Задача 5. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей $А$.

$$A= \begin -2 & -2 & -4\\ -2 & 1 & -2\\ 5 & 2 & 7\\ \end $$

Задача 6. Линейный оператор $A: R^3 \to R^3$ в базисе $e_1, e_2, e_3$ представлен данной матрицей. Найти матрицу этого линейного оператора в базисе $f_1, f_2, f_3$ .

$$A= \begin -2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & -4\\ -1 & 2 & 1\\ \end, \quad \left\ < \beginf_1&=e_1-e_2+3e_3,\\ f_2&=4e_1+e_2-e_3,\\ f_3&=2e_1-3e_2.\\ \end \right. $$

Установить, какие из заданных отображений являются линейными операторами

Какие из отображений групп f :C*→R* являются гомоморфизмами
Какие из отображений групп f :C*→R* являются гомоморфизмами: a) f(z) = |z|; б) f(z) = 2|z|; в).

Какие из следующих множеств являются линейными пространствами
Помогите с линейными пространствами пожалуйста. Какие из следующих множеств являются линейными.

Работа с линейными операторами
Проекция на плоскость XOY. Вектор а = (-2,0,1). Найти матрицу линейного оператора А в базисе.

какие из заданных чисел являются палиндромами
С КЛАВИАТУРЫ пользователь вводит 10 чисел, какие из этих чисел являются палиндромами. Определение.

36610 / 20336 / 4223
Регистрация: 12.02.2012
Сообщений: 33,662
Записей в блоге: 13

Оба являются. Чтобы построить матрицу в каноническом базисе нужно построить образы трех векторов: (1,0,0) , (0,1,0) и (0,0,1). Для оператора A имеем:

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Определить, какие из заданных трёх действительных чисел a,b и c являются целыми
Плиз,помогите Определить, какие из заданных трёх действительных чисел a,b и c являются целыми.

Определить, какие из заданных трёх действительных чисел a, b и c являются целыми
Определить, какие из заданных трёх действительных чисел a, b и c являются целыми. Никак не могу.

Являются ли линейными следующие преобразования?
Пусть x=(x1.x2.x3) Являются ли линейными следующие преобразования? AX=(x1,x1-2×2-3,4×1-5×2-6).

Являются ли линейными следующие операторы
Являются ли линейными следующие операторы: Ах=( х1, х1+х3, х2-х3), Вх=(х12, 5, х1х2), .

Являются ли линейными операторы A и B? Найти их матрицу
Пусть x = . Являются ли линейными операторы A и B? Найдите матрицу каждого линейного.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису (Семинары по линейной алгебре)

Файл «Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису» внутри архива находится в папке «Семинары по линейной алгебре». Документ из архива «Семинары по линейной алгебре», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «лекции и семинары», в предмете «линейная алгебра и фнп» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису»

Текст из документа «Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису»

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами. Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в линейном пространстве L называется всякое отображение пространства L в себя, обладающее свойствами А(λх) = λАх и А(х + у) = Ах + Ау. Пусть А − линейный оператор в конечномерном пространстве L_n и B = (e₁, . , е_n) некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Ае_k, k = 1, . n по базису B: Ае_k = а_1kе₁ + . + а_nkе_n, k = 1, . п. Тогда матрица A называется матрицей линейного оператора A в базисе B. Пусть А и А’ − матрицы оператора А в базисах B и B’, a − матрица перехода от базиса B к базису B’. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид . Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве L, вводятся следующие операции: а) сложение операторов: (А + В)х = Ах + Вх; при этом [A + B] = A + B; б) умножение операторов на числа: (λА)х = λ(Ах); при этом [λA] = λA; в) умножение операторов: (AB)x = A(Bx); при этом [AB] = AB. Обратным к оператору A называется оператор А −1 такой, что А А −1 = А −1 A = E, где Е − единичный оператор, реализующий тождественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным) в том и только том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [А −1 ] = А −1 . Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.83 – 4.99 (неч.), 4.103, 4.106 (б), 4.107, 4.110, 4.113 В задачах 4.83−4.89 установить, какие из заданных отображений пространства V₃ в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе 4.83. Ах = λх, λ − фиксированное число. 4.85. Ах = (x, е)е, где е − заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения. 4.87. Ах = (а, х)х, а − фиксированный вектор. 4.89. Если x = xi + yj + zk, то Ax = (y + z)i + (2x + z)j + (3x − y + z)k. В задачах 4.90−4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R 3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе. 4.91. Ах = (х₁, х₂ + 1, x₃ + 2). 4.93. Ах = (х₁ + 2х₂ + 2х₃, −3х₂ + х₃, 2х₁ + 3х₃). 4.95. Ах = (3x₁ + 5х₃, x₁ + x₃ + 1, 3х₂ − 6х₃). В пространстве R 3 заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [С] линейного оператора С = АВ − ВA и его явный вид в каноническом базисе R 3 : 4.97. Аx = (7x₁ + 4x₃, 4x₂ − 9x₃, 3x₁ + x₂), x = (x₂ − 6x₃, 3x₁ + 7x₃, x₁ + x₂ − x₃). 4.99. Аx = (3x₁ + x₂ − 2x₃, 3x₁ − 2x₂ + 4x₃, − 3x₁ + 5x₂ − x₃), Bx = (2x₁ + x₂, x₁ + x₂ + 2x₃, − x₁ + 2x₂ + x₃). 4.106. В L₄ задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе B = (e₁, e₂, e₃, е₄) равна Найти матрицу этого оператора в базисе B’ = (e₁, e₁ + e₂, e₁ + e₂+ e₃, e₁ + e₂+ e₃ + е₄) 4.107. В L₃ заданы два базиса: B’: , , , B»: , , . Найти матрицу оператора А в базисе B», если его матрица в базисе B’ имеет вид 4.110. В пространстве P₃ задан линейный оператор дифференцирования . Найти матрицу этого оператора в базисе: a) 1, t, . t n − 1 ; 4.113. В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования и оператор A = e λt умножения на функцию e λt . Проверить равенство DA − AD = λA. Домашнее задание: 4.84, 4.86, 4.90 – 4.100 (четн.), 4.108, 4.110(б) 4.84. Ах = λх + а, λ и а фиксированы. 4.86. Aх = [a, х], а − фиксированный вектор. 4.90. Ах = (х₂ + х₃, 2x₁ + x₃, 3x₁ − х₂ + x₃). 4.92. Ах = (0, х₂ − х₃, 0). 4.94. Ах = (3x₁ + x₂, x₁ − 2x₂ − x₃, 3x₂ + 2x₃). 4.98. Аx = (2x₁ − x₂ + 5x₃, x₁ + 4x₂ − x₃, 3x₁ − 5x₂ + 2x₃), Bx = (x₁ + 4x₂ + 3x₃, 2x₁ + x₃, 3x₂ − x₃). 4.100. Аx = (3x₁ + x₂ + x₃, 2x₁ + x₂ + 2x₃, x₁ + 2x₂ + 3x₃), Bx = (x₁ − x₂ − x₃, 2x₁ − x₂ + x₃, x₁ + x₂). 4.108. В пространстве L₂ оператор А в базисе B’: , , имеет матрицу . Оператор В в базисе B»: , , имеет матрицу . Найти матрицу оператора A + B в базисе B». 4.110. б) _. Ответы:

Линейный оператор и их матрицы.

3. Пусть x=(x1,x2,x3) . Установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов В3 в себя являются линейными операторами, и выпишите их матрицы в каноническом базисе:
A(x)=(x1,x1-2*x2-3,4*x1-5*x2-6) B(x)=(x1,x1-2*x2-3*x3,4*x1-5*x2-6*x3)

Голосование за лучший ответ

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.