Как решить задачу подбором

Как решить задачу подбором

Часто метод перебора (подбора) некоторыми репетиторами считается несерьёзным или даже нематематическим и потому не рассматривается ни на занятиях по олимпиадной математике ни вообще. Другие считают, что такой метод может принести ученику скорее вред, чем пользу, если тот начнёт применять его для решения некоторых школьных задач. Действительно, в школьной программе встречаются задачи, которые можно достаточно легко решить устно, используя метод «разумного» подбора вместо того, чтобы составлять уравнение. Пример применения этого метода приведён здесь (Задача 1, 2-й способ). Решить задачи этим способом уместно тогда, когда величины, которые надо найти в задаче — целые числа. Однако тех школьников, кто будет разбирать этот метод с помощью настоящей страницы, хочу сразу же предостеречь. Этот метод целесообразно применять тогда, и только тогда, когда неизвестных в задаче два, три, иногда больше, но когда условий недостаточно, чтобы решить задачу в «лоб», используя привычные методы. Также следует отметить, что такого рода задач нет в обычной школьной программе, но они вполне могут встретиться на олимпиадах по математике. А на олимпиаде школьнику полезно знать и такой метод. Тем более, что существует целый ряд задач, которые решить можно только методом «разумного перебора» и никак иначе, другие — в помощью рассуждений и разумным подбором решаются проще, чем школьными методами. Приведу два простых примера таких задач.

Пример 1. Прилетели галки, сели на палки. Если на каждой палке сядет по одной галке, То для одной галки не хватит палки. Если же на каждой палке сядет по две галки, То одна из палок будет без галок. Сколько было галок? Сколько было палок?

Решение. . Стихотворный слог, кажется настраивает ученика на лёгкое решение. Однако если решать задачу школьными способами, то скорее всего надо вводить два неизвестных, например, X палок и Y галок и составлять два уравнения для каждого условия. Однако система уравнений в школе проходится только в 7-м классе. А такого рода задача может встретиться на олимпиаде в 5-м классе. Как быть в том случае, если для решения задачи требуется то, что еще не знакомо пятикласснику? Для начала важно отметить, что как количество палок. так и количество галок — целые числа. Во-вторых, галок на одну больше, чем палок, что следует из условия «Если на каждой палке сядет по одной галке, то для одной галки не хватит палки». В-третьих, из условия «Если же на каждой палке сядет по две галки, то одна из палок будет без галок» следует, что галок — чётное количество. После этого начинается подбор двух чисел, удовлетворяющих условию задачи. Предположим, что галок 6, тогда, исходя из первого условия, палок должно быть 5. Проверим, удовлетворяет ли это предположение второму условию? Исходя из него, если палок 5, то галок должно быть 10. — Неверно. Берём другую пару чисел — 4 галки и 3 палки. Проверяем на соответствие второму условию. Если 4 галки сядут на две палки, то — да, третья палка будет без галок. Ответ. 4 галки и 3 палки.

Пример 2. Мальчик на почте покупал открытки и марки. За всю покупку он заплатил 482 рубля. За каждую открытку он заплатил 35 рублей, а за каждую марку — 16 рублей. Сколько марок и сколько открыток купил мальчик?

Решение. На первый взгляд кажется, что данных в условии недостаточно. В действительности, их недостаточно, если иметь ввиду только привычные школьные методы. Однако если учесть, что нельзя купить половину открытки или половину марки, т.е. другими словами количества тех и других — целые числа, то отсюда следует, что эта задача на подбор. Пусть марок было X, а открыток Y. Тогда, согласно условию, можно составить уравнение:
Выразим отсюда Y. Ученику, готовящемуся к олимпиадам, т.е. пяти-шестикласснику это можно объяснять так. Предположим, что в этом уравнении всё известно, кроме Y. Решим это уравнение относительно Y:
Теперь будем подставлять вместо X целые значения до тех пор, пока не получится целым Y. Можно заметить при этом, что X может быть только чётным. Если X=2, то Y=25,75 — не годится. Если X=4, то Y=21,375 — не годится. Если X=6, то Y=17. — Годится. Теперь важно проверить, не может ли быть у задачи другого решения. Продолжаем подставлять чётные значения вместо X до тех пор, пока 482 будет оставаться больше, чем 25X. Нетрудно убедиться, что других решений уравнения в целых числах быть не может. Значит, мальчик купил 6 марок и 17 открыток.
У некоторых репетиторов существует точка зрения, что всегда надо чётко следовать программе и нельзя показывать ученикам методы, которые они ещё не приходили в школе. В данном случае, нельзя обучать их решению уравнений с двумя и большим числом переменных. Однако если говорить о школьной программе и натаскиванию учеников именно на неё, то, конечно, не стоит это делать. Одно исключение в этом — подготовка к олимпиадам. Важно, чтобы ученик знал несколько больше, чем обычная школьная программа, потому что олимпиада — это, как правило, задачи нестандартные, выходящие за рамки программы. Такие задачи и такие приемы могут рассматриваться на занятиях школьного кружка, а также на занятиях с репетитором. Опыт показывает, что пяти-шестиклассники охотно изучают методы, расширяющие их математический кругозор. В конце концов, это приводит к творческому восприятию школьной программы и к поиску самостоятельных путей решения трудных задач. А ведь именно в этом и состоит одна из основных задач школьного математического образования. Научить ученика искать и находить различные приёмы для решения любых задач, особенно нестандартных.

1) Кусок проволоки длиной 150 см нужно разрезать части длиной 15 см и 18 см так, чтобы обрезков не было. Найдите все способы, которыми это можно сделать.

2) По тропинке вдоль кустов
Шло 11 хвостов,
Насчитать я также смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?

3) На школьной математической олимпиаде шестикласснику предложили решить 12 задач. За каждую правильно решённую задачу он получает 5 баллов, за каждую неправильно решённую — с него снимают 3 балла, если же он задачу не решал, то получает за неё 0 баллов. В результате он набрал 11 баллов. Сколько задач шестиклассник решил правильно?

4) Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

5) 30 птиц стоит 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби — по 2 монеты, и пара воробьёв по монете. Спрашивается. сколько птиц каждого вида?

6) На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 100 кг гвоздей не открывая ящиков?

7) В магазине имеются гвозди в ящиках по 16 кг, 17 кг и 21 кг. Как отпустить организации 185 кг гвоздей, не вскрывая ящика?

8) В двух шкатулках лежит 70 монет. Известно, что в первой шкатулке 5/9 от числа всех монет – золотые, а остальные серебряные, во второй 7/17 от числа монет – серебряные, а остальные золотые. Сколько монет лежит в каждой шкатулке?

9) Решите ребус ПА 2 = ПИЛА. (Каждой букве соответствует какая-то одна цифра).

Примечание репетитора по математике. Более сложные ребусы обычно рассматриваются в рамках другой темы — Логические задачи и ребусы, которые также решаются способом подбора вариантов, удовлетворяющих условию. Но часто бывает полезным разобрать с учениками такого рода задачи и на занятии по методу перебора и на занятии по логическим задачам и ребусам с тем, чтобы у ученика возникло понимание того, что некоторые методы могут пересекаться в различных задачах. Т.е. не стоит рассматривать их как догму — только такой способ и никакой другой. Кроме того, нельзя не отметить, что подбором порой решаются и некоторые несложные задачи по комбинаторике, хотя всё-таки это уже тема более старших классов, потому что требует изучения комбинаторных формул, содержащих факториалы. Тем не менее, элементарные задачи по комбинаторике также могут встретиться пяти-шестикласснику на олимпиаде. На занятиях по олимпиадной математике я также рассматриваю с учениками и такие задачи:

10) Имеется 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Какое наименьшее число проб потребуется, чтобы в самом худшем случае разложить ключи на чемоданы, которые эти ключи открывают?

11) Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат в подземелье, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье, если в худшем случае ему достаточно 21-й пробы, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты?

Имею большой опыт работы репетитором. За два десятилетия выработаны собственные методики занятий. Окончил технический ВУЗ – Московский автомобильно-дорожный институт в 1987 г. Еще в институте оказывал помощь однокурсникам по высшей математике. Репетиторством занимаюсь с 1998 г. За это время мною подготовлено к различным экзаменам более 200 учеников. Специализируюсь на подготовке в лицеи и математические школы, готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Занимаюсь также сопровождением школьной программы — подготовкой к контрольным и самостоятельным работам. Прививаю навыки быстрого устного счета, рассматриваю с учениками логические и нестандартные задачи, направленные на воспитание интереса к предмету, на развитие логического мышления.

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

Рассмотрим план действий, который поможет понять как решать задачи.

• 1. Внимательно прочитай задачу.
• 2. Сделай краткую запись условия или чертёж.
• 3. Объясни, что означает каждое число.
• 4. Повтори вопрос задачи. Подумай, можно ли сразу на него ответить. Каких данных для решения тебе не хватает? Как их найти?
• 5. Составь план решения задачи.
• 6. Реши задачу.
• 7. Проверь решение. Запиши ответ.

�� А ТЕПЕРЬ БОЛЕЕ ПОДРОБНЕЕ:

Определите, к какому типу относится задача. Это арифметическая задача? Действия с дробями? Решение квадратных уравнений? Прежде чем приступить к решению, выясните, к какой области математики относится задача. Примеры и виды Залач. показаны ниже) Это важно, поскольку значительно упростит поиск способа решения.

Внимательно прочитайте условие задачи. Даже если задача кажется простой, внимательно изучите ее условие. Не следует приступать к решению задачи, лишь бегло ознакомившись с ее условием. Если задача сложна, вам, возможно, понадобится несколько раз перечитать ее условие, чтобы полностью понять его. Не жалейте времени на это и не приступайте к дальнейшим действиям до тех пор, пока не узнаете точно, что дано в условии и что необходимо найти.

Изложите условие задачи. Для лучшего понимания задачи полезно изложить ее условие своими словами. Можно просто пересказать условие, либо записать его в том случае, если вам неудобно говорить вслух (например, на экзамене). Сравните собственное изложение задачи с ее первоначальным условием, выяснив тем самым, правильно ли вы поняли задание.

Изобразите задачу графически. Если вы считаете, что это поможет, представьте задачу графически — возможно, так легче будет определить дальнейшие действия. Необязательно создавать подробную схему, достаточно набросать условие задачи в общих чертах, указав численные значения. При создании схемы справляйтесь с условием задачи, по окончании сравните готовое изображение с условием еще раз. Задайте самому себе вопрос: «Верно ли мой рисунок отображает задачу?» Если да, можно приступить к решению задачи. Если же ответ отрицателен, перечитайте условие еще раз.

• Постройте диаграмму Венна. Эта диаграмма изображает соотношения между величинами, фигурирующими в задаче. Диаграмма Венна особенно полезна при решении арифметических задач.
• Постройте график либо диаграмму.
• Расположите приведенные в условии величины вдоль прямой линии.
• Чтобы представить более сложные объекты, используйте простые геометрические фигуры.

Изучите структуру задачи. Внимательно прочитав условие, вы, возможно, вспомните похожие задачи, решенные вами ранее. Можно построить таблицу с внесенными в нее данными, которая поможет вам определить характер задачи. Отметьте выявленные характерные черты задачи — они помогут вам при ее решении. Не исключено даже, что вы вспомните схожие задачи и сразу получите ответ.

Изучите сделанные пометки. Еще раз проверьте свои записи, убедившись, что вы не ошиблись в числах и прочих данных. Не приступайте к составлению плана решения до тех пор, пока не будете уверены в том, что обладаете всей необходимой информацией и полностью понимаете задачу. Если вы не до конца поняли задачу, изучите схожие примеры в учебнике или в интернете. Ознакомление с похожими задачами, решенными другими людьми, поможет вам понять, что требуется сделать для решения задачи, которую решаете вы.

Составление плана решения

Выясните, какие формулы понадобятся для решения задачи. Если задача достаточно сложна, может потребоваться несколько формул. Ознакомьтесь с необходимым для решения материалом в учебнике.

Выпишите то, что может потребоваться при решения задачи. Составьте последовательный список шагов, которые необходимо сделать, чтобы получить ответ. Это поможет вам правильно организовать свою работу и сосредоточиться на решении задачи. Правильно составленный план поможет также примерно оценить ответ заранее, прежде чем вы решите задачу.

Потренируйтесь на более легкой задаче. Если есть более простая задача, похожая на ту, которую необходимо решить, попробуйте свои силы сначала на ней. Предварительный разбор простой задачи, в которой используются те же приемы и формулы, облегчит решение более сложного задания.

Сделайте обоснованное предположение о том, каким должен быть ответ. Прежде чем приступать к непосредственному решению задачи, попытайтесь оценить ответ. Определите величины и другие факторы, влияющие на оценку. Проверьте свои рассуждения, не упустили ли вы чего-либо из виду.

Решение задачи

Придерживайтесь составленного плана. Выполняйте этапы последовательно в том порядке, в котором вы наметили их ранее. Чтобы избежать ошибок, перепроверяйте результат, полученный на каждом этапе.

Сравнивайте полученные результаты с предварительно сделанными оценками. По завершении каждого этапа полезно сравнить его результат со сделанными ранее оценками; сопоставьте также конечный ответ с его предварительной оценкой. Задайте себе вопрос: «Близки ли мои предположения к полученным результатам?» Если ответ отрицателен, подумайте, почему. Проверьте полученные результаты, просмотрев все шаги решения еще раз

Попробуйте другую схему решения. Если составленный вами план не сработал, вернитесь к этапу планирования и разработайте новый план. Не расстраивайтесь в случае неудачной попытки, учеба не обходится без ошибок — наоборот, вы научитесь на своих ошибках и сможете избежать их в дальнейшем. Выявите сделанные ошибки и продолжайте работу. Не зацикливайтесь на ошибках и не огорчайтесь из-за них.

Проанализируйте задачу. Получив правильный ответ, вернитесь к началу и просмотрите решение еще раз. Анализ задачи и ее решения поможет вам в следующий раз, когда вы столкнетесь с подобной задачей. Также вы лучше усвоите использованные методы и приемы, которые обязательно пригодятся вам в дальнейшем

Советы

• Если вы безуспешно испробовали целый ряд вариантов и не в состоянии продвинуться дальше в решении задачи, обратитесь за помощью к учителю или репетитору. Он выявит допущенные вами ошибки и поможет их исправить.
• Продолжайте использовать диаграммы и арифметические действия. Регулярно просматривайте заметки, сделанные на занятиях. Для облегчения понимания записывайте используемые методы своими словами и применяйте их по мере необходимости.

Какие бывают математические задачи:

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЗАДАЧИ

Простые Математические Задачи состоят из 5 частей:

• Условие
• Вопрос
• Краткая Запись
• Решение Ответ

Обязательно в задаче нужно выявлять ОПОРНЫЕ СЛОВА, ОПОРНЫЕ СЛОВА — это основа краткой записи, их нужно уметь находить для определения главного в задаче.

В вазе 3 белых и 2 розовых гвоздики.

Сколько всего гвоздик в вазе?

В указанной задаче:

Первое опорное слово- белые, которое в 1 классе сокращаем 1 буквой Б., но начиная со 2 класса -Бел.

Второе опорное слово — розовые, которое в первом классе, сокращаем словом Р, но начиная со 2 класса- Роз.

Третье опороное слово всегда содержится в вопросе.

В данной задаче третье опорное слово — всего, которое в краткой записи заменяется фигурной скобкой с вопросом посередине

Ответ: 5 гвоздик всего в вазе.

Простые задачи решаются одним действием.

Составные задачи решаются двумя и более действиями, разными способами.

У Иры 3 куклы, что в 2 раза меньше, чем у Светы. Сколько кукол у обеих девочек?

• по действиям с пояснениями

1) 3 • 2 = б (к.) — у Светы

2) 3 + 6 = 9 (к.) — у обеих девочек

• по действиям с вопросами

1. Сколько кукол у Светы? 3-2 = б(к.)

2. Сколько кукол у обеих девочек? 3 + 6 = 9 (к.)

Ответ: у обеих девочек 9 кукол.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

a + b = c

первое второе сумма

слагаемое слагаемое

Чтобы найти сумму, надо сложить слагаемые

У балалайки 3 струны, а у контрабаса — 4. Сколько всего струн у этих музыкальных инструментов?

Решение: 3 + 4 = 7 (с.) Ответ: у этих музыкальных инструментов 7 струн.

У Кати 3 книги, что на 2 книги меньше, чем у Иры. Сколько всего книг у девочек?

Решение: 1)3 + 2 = 5 (к.)-у Иры 2) 3 + 5 = 8 (к.) — всего Ответ: всего у девочек 8 книг.

а — b = с

уменьшаемое вычитаемое разность

Чтобы найти разность, надо из уменьшаемого вычесть вычитаемое

У кошки родилось 6 котят. Четырёх котят отдали. Сколько котят осталось?

Решение: 6-4 = 2 (к.) Ответ: осталось 2 котёнка.

У Маши было 4 конфеты. Бабушка дала ей ещё 8 конфет. После обеда девочка съела 3 конфеты. Сколько конфет осталось у Маши?

1) 4 + 8 = 12 (к.) — было у Маши до обеда

2) 12 — 3 = 9 (к.) — осталось после обеда Ответ: у Маши осталось 9 конфет.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО УМЕНЬШАЕМОГО

а — b = с

уменьшаемое вычитаемое разность

Чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое

Когда Вася решил 15 примеров, ему осталось решить ещё 11 при меров. Сколько всего примеров нужно решить Васе?

Решение: 15+ 11 = 26 (п.) Ответ: Васе нужно решить 26 примеров.

Мама решила связать новый шарф. Каждый день в течение неде ли она вязала по 20 см. Какой длины должен получиться шарф, если ей осталось связать ещё 10 см?

1. 20 • 7 = 140 (см) — мама связала за неделю

2. 140 + 10 = 150 (см) — длина шарфа Ответ: шарф должен получиться длиной 150 см.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО И СЛАГАЕМОГО

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое

В журнале 45 страниц, а в книге 155 страниц. На сколько страниц в книге больше, чем журнале?

Решение: 155-45 = 110 (стр.) Ответ: в книге на 110 страниц больше.

Катя собрала 12 больших ромашек и 7 маленьких. Несколько ромашек она подарила бабушке, и у девочки осталось 10. Сколько ромашек Катя подарила бабушке?

1. 12 + 7 = 19 (ром.) — собрала Катя

2. 19 — 10 = 9 (ром.) — подарила бабушке Ответ: 9 ромашек Катя подарила бабушке.

ЗАДАЧИ НА УВЕЛИЧЕНИЕ И УИЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ

Увеличить на… значит прибавить к числу несколько единиц

5 увеличить на 2 = 5 + 2

Уменьшить на значит вычесть из числа несколько единиц

5 уменьшить на 2 = 5 — 2

Новорождённый котёнок весит 100 г, а трёхнедельный — на 200 г больше. Сколько весит трёхнедельный котёнок?

Решение: 100 + 200 = 300 (г) Ответ: трёхнедельный котёнок весит 300 г.

Петя купил 15 шоколадок, а Юра на 3 шоколадки меньше. Сколько шоколадок купил Юра?

Решение: 15-3 = 12 (ш.) Ответ: Юра купил 12 шоколадок

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

a • b = С

первый множитель второй множитель произведение

Чтобы найти произведение, надо перемножить множители

У котёнка 4 лапы. Сколько лап у пятерых котят?

Решение: 4 • 5 = 20 (л.) Ответ: у пятерых котят 20 лап.

С первого куста смородины собрали 3 кг ягод, со второго — 4 кг, а с третьего — в 2 раза больше, чем с первого и со второго вместе. Сколько килограммов смородины собрали с третьего куста?

1. 3 + 4 = 7 (кг) — собрали с двух кустов

2. 7 • 2 = 14 (кг) —собрали с третьего куста Ответ: с третьего куста собрали 14 кг смородины.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНОГО

a : b = c

делимое делитель частное

Чтобы найти частное, надо делимое разделить на делитель

У мамы было 10 мандаринов. Она раздала двум дочкам мандарины поровну. Сколько мандаринов получила каждая девочка?

Решение: 10 : 2 = 5 (м.) Ответ: каждая девочка получила 5 мандаринов.

Бабушка сварила варенье: 9 литров малинового и б литров клубничного. Всё варенье она разлила в трёхлитровые банки. Сколько банок с вареньем получилось?

1. 9 + б = 15 (л) — всего варенья сварила бабушка

2. 15 : 3 = 5 (б) — всего банок Ответ: получилось 5 банок с вареньем.

Задачи на нахождение неизвестного делимого

а : b = c

делимое делитель частное

Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель

За 2 дня учительнице надо проверить тетради учеников. Она со бирается проверять по 14 тетрадей вдень. Сколько всего тетрадей надо проверить?

Решение: 14 • 2 = 28 (т.) Ответ: всего надо проверить 28 тетрадей.

Переводчик в течение недели переводил по 6 страниц в день. Ему осталось перевести ещё 4 страницы. Сколько всего страниц он перевёл?

1. 6 * 7 = 42 (стр.) — перевёл за неделю

2. 42 + 4 = 46 (стр.) — всего

Ответ: 46 страниц перевёл переводчик.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ДЕЛИТЕЛЯ И МНОЖИТЕЛЯ

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель

Витя собирает марки. Папа подарил ему 20 марок, а дедушка — 15 марок. Все марки Витя разложил в альбом, на 5 страниц поровну. Сколько марок на каждой странице?

1. 20 + 15 = 35 (м.) — всего у Вити

2. 35 : 5 = 7 (м.) — на каждой странице Ответ: на каждой странице по 7 марок.

ЗАДАЧИ НА УВЕЛИЧЕНИЕ ЧИСЛА В НЕСКОЛЬКО РАЗ И МЕНЬШЕНИЕ

Увеличить в… раз значит умножить число

3 увеличить в 2 раза =3-2

Уменьшить в… раз значит разделить число

6 уменьшить в 2 раза = 6:2

Маме 30 лет, а бабушка — в 2 раза старше. Сколько лет бабушке?

Решение: 30 • 2 = 60 (л.) Ответ: бабушке 60 лет.

Масса белого медведя 900 кг, а масса медведицы — в 3 раза меньше. Какова масса медведицы?

Решение: 900 : 3 = 300 (кг) Ответ: масса медведицы 300 кг.

ЗАДАЧИ НА РАЗНОСТНОЕ СРАВНЕНИЕ

Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее

* На сколько 10 больше, чем 5? 10 — 5 = 5; 10 больше, чем 5, на 5

* На сколько 10 меньше, чем 15? 15 — 10 = 5; 10 меньше, чем 15, на 5

В классе 15 мальчиков и 12 девочек. 22 человека посещают школу, а остальные болеют. На сколько меньше болеющих учеников, чем посещающих школу?

1. 15 + 12 = 27 (чел.) — учатся в классе

2. 27 — 22 = 5 (чел.) — болеют

3. 22 — 5 = 17 (чел.) — на сколько меньше Ответ: болеющих учеников на 17 меньше, чем посещающих школу.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее

• Во сколько раз 10 больше, чем 5? 10 : 5 = 2; 10 больше, чем 5, в 2 раза

• Во сколько раз 5 меньше, чем 15? 15 : 5 = 3; 5 меньше, чем 15, в 3 раза

Машинка стоит 90 рублей, а шоколадка — в 3 раза дешевле. Сколько стоят машинка и шоколадка вместе?

1. 90 : 3 = 30 (руб.) — стоит шоколадка

2. 90 + 30 = 120 (руб.) — стоят вместе Ответ: машинка и шоколадка стоят 120 рублей.

ЗАДАЧИ НА ДЕЛЕНИЕ ПО СОДЕРЖАНИЮ

Фрукты разложили на тарелки, по 4 штуки на каждую. Сколько по надобилось тарелок?

Понадобилось 2 тарелки

Бабушка раздала внукам 15 яблок, по 5 штук каждому. Сколько Внуков у бабушки?

Решение: 15 : 5 = 3 (внуков) Ответ: у бабушки 3 внука.

ЗАДАЧИ НА ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

Детям раздали конфеты поровну. Сколько детей получило конфеты?

Двое детей получили конфеты

Для подготовки школьного спектакля учительница разделила 30 учеников на 5 групп. Сколько учеников в каждой группе?

Решение: 30 : 5 = 6 (уч.) Ответ: в каждой группе по 6 учеников.

Как эффективно решить задачу методом подбора

Решение задач подбором является одним из наиболее простых и популярных методов при решении различных задач. Этот метод основан на переборе всех возможных вариантов и выборе наиболее подходящего. Подбор является эффективным инструментом при решении разнообразных задач в различных областях, таких как математика, программирование, логистика и другие.

Основной принцип метода подбора заключается в переборе всех возможных вариантов и проверке каждого из них на соответствие заданным условиям. Для этого часто используются циклы, которые позволяют перебрать все варианты и выполнить нужные проверки. Преимущество подбора заключается в его простоте и наглядности, что делает его подходящим для решения задач даже людьми без специальных математических или программистских навыков.

Однако, при использовании метода подбора следует учитывать ограничения по времени и ресурсам, так как перебор всех вариантов может быть очень затратным с точки зрения вычислительных возможностей. Поэтому важно применять эффективные стратегии и методы оптимизации для ускорения процесса решения задач.

Эффективные стратегии подбора могут включать различные методы, такие как исключение неподходящих вариантов, применение эвристик или алгоритмических подходов. Также можно использовать алгоритмы оптимизации, которые позволят найти наилучший вариант из множества возможных.

Определение задачи

Прежде чем приступить к решению задачи подбором, необходимо ясно определить саму задачу и понять, что именно требуется найти или достичь. Определение задачи позволяет сформулировать конкретную цель и уяснить ее суть.

На этом этапе существует несколько важных вопросов, на которые следует ответить, чтобы четко сформулировать постановку задачи:

1. Что именно необходимо решить? Это может быть алгоритмическая задача, математическая задача, задача оптимизации и т. д. Важно определиться с конкретным типом задачи, чтобы знать, какой подход к ее решению выбрать.
2. Какие входные данные имеются? Определить набор данных, с которыми придется работать. Это могут быть числа, строки, массивы, графы и другое.
3. Каковы ограничения на решение задачи? Некоторые задачи имеют ограничения, например, на время выполнения программы или на используемую память. Важно учитывать эти ограничения при выборе алгоритма.
4. Как будет оцениваться решение задачи? Некоторые задачи имеют четкие критерии оценки решения. Необходимо понять, как будет оцениваться эффективность полученного решения.

Правильное определение задачи является важным шагом, который помогает разработать эффективную стратегию ее решения. Также это позволяет более точно оценить объем работы и необходимое время для решения задачи.

Формирование условия и цели задачи

Правильное формулирование условия и цели задачи является важным этапом при решении задачи подбором. Отчетливо сформулированное условие позволяет понять, что требуется найти или достичь, а четкая цель задачи помогает сосредоточиться на решении и выбрать правильную стратегию.

При формировании условия следует учитывать следующие принципы:

• Условие должно быть понятным и недвусмысленным. Избегайте использования слишком сложных или неоднозначных формулировок, чтобы избежать недоразумений и ошибок при решении задачи.
• Условие должно быть конкретным и содержать все необходимые данные. Все известные факты и условия задачи должны быть указаны явно, чтобы задачу можно было решить на основе имеющихся данных.
• Условие должно быть реалистичным и иметь практическую ценность. Задачи подбором часто связаны с реальными проблемами и ситуациями, поэтому важно, чтобы условие было осмысленным и имело практическое применение.

После формулирования условия необходимо определить цель задачи. Цель задачи определяет, какое конкретное решение или результат требуется достичь. Хорошо сформулированная цель задачи помогает определиться с выбором стратегии и способов решения. Цель задачи может быть сформулирована в виде вопроса, который необходимо ответить или показателя, который необходимо достичь.

Например, если условие задачи состоит в том, что нужно подобрать комбинацию цветов для дизайна логотипа, цель задачи может быть сформулирована как вопрос: «Какую комбинацию цветов следует использовать для достижения максимальной эстетической привлекательности и соответствия бренду?». В этом случае, целью задачи будет определение оптимальной комбинации цветов.

Итак, правильное формулирование условия и цели задачи является важным шагом при решении задачи подбором. Четкое и понятное условие помогает понять, что нужно найти или достичь, а правильно сформулированная цель задачи помогает сосредоточиться на решении и выбрать оптимальную стратегию.

Основные принципы решения задачи подбором

Решение задачи подбором представляет собой поиск итеративным перебором всех возможных вариантов ответа для достижения определенного результата. Основная идея состоит в том, чтобы проверить все возможные комбинации и выбрать наилучший вариант, удовлетворяющий условиям задачи. Для эффективного решения задачи подбором необходимо придерживаться следующих принципов:

• 1. Определить критерии оценки

Перед тем как приступить к решению задачи подбором, необходимо определить критерии, по которым будет оцениваться каждый вариант ответа. Например, для задачи о выборе наилучшего маршрута можно использовать критерии: время пути, длина пути, наличие препятствий и так далее.

• 2. Определить допустимый диапазон значений

Для оптимизации решения задачи подбором необходимо задать допустимый диапазон значений для каждого параметра. Например, при поиске оптимальной стратегии игры можно задать диапазон допустимых значений для каждого хода или весовую функцию для оценки каждого варианта.

• 3. Генерация всех возможных комбинаций

Для решения задачи подбором необходимо перебрать все возможные комбинации вариантов ответа. Например, при решении задачи о сумме двух чисел можно перебрать все возможные пары чисел из заданного диапазона.

• 4. Проверка каждого варианта на соответствие критериям оценки

Для каждого сгенерированного варианта ответа необходимо проверить его на соответствие установленным критериям оценки. Например, если выбирается наилучший маршрут, то необходимо проверить время пути, длину пути и наличие препятствий для каждого варианта.

• 5. Выбор наилучшего варианта

После проверки всех возможных вариантов ответа необходимо выбрать наилучший вариант, который удовлетворяет заданным критериям оценки. Например, выбрать маршрут с наименьшим временем пути или наименьшей длиной пути.

Решение задачи подбором может быть эффективным при правильной формулировке условий задачи и выборе критериев оценки. Однако, необходимо учитывать, что перебор всех возможных вариантов может быть ресурсоемким процессом и требовать большого количества вычислительных ресурсов.

Изучение всех доступных вариантов

Когда мы сталкиваемся с задачей, требующей подбора, иногда самым эффективным способом может быть анализ и изучение всех доступных вариантов решения.

Одним из способов изучения всех вариантов является составление списка всех возможных решений. Для этого можно использовать упорядоченный список

или неупорядоченный список
. В каждом пункте списка следует перечислить один вариант решения.

Например, если решаемая задача состоит в выборе подходящего цвета для дизайна веб-сайта, список всех возможных вариантов может выглядеть следующим образом:

После составления списка всех вариантов, следующим шагом может быть изучение каждого варианта более детально. Для этого можно использовать таблицу, в которой будут указаны преимущества и недостатки каждого варианта. Такая таблица позволит более осознанно выбрать наиболее подходящий вариант.

Вариант	Преимущества	Недостатки
Синий	Спокойный и нейтральный цвет	Может создавать слишком холодное впечатление
Красный	Яркий и эмоциональный цвет	Может создавать агрессивное впечатление
Зеленый	Свежий и спокойный цвет	Может создавать ассоциации с определенными сезонами
Желтый	Яркий и энергичный цвет	Может вызывать напряжение и утомление
Оранжевый	Яркий и веселый цвет	Может быть слишком ярким для некоторых контекстов

Таким образом, изучение всех доступных вариантов позволяет сделать осознанный выбор и подобрать оптимальное решение для решаемой задачи.

Постепенное сужение кандидатов

Постепенное сужение кандидатов — это одна из эффективных стратегий для решения задач путем подбора. Эта стратегия заключается в постепенном исключении неподходящих вариантов и оставлении только самых вероятных кандидатов.

Процесс постепенного сужения кандидатов может быть представлен в виде пошагового алгоритма:

1. Начните с определения всех возможных вариантов решения задачи.
2. Анализируйте каждый вариант и исключайте те, которые явно не подходят по условиям задачи. Это может быть основано на знаниях, интуиции или логике.
3. Продолжайте исключать неподходящие варианты, пока не останется только несколько самых вероятных.
4. Сравните оставшиеся кандидаты и выберите наиболее подходящий решение.

Для более сложных задач, может понадобиться использование дополнительных методов или стратегий для сужения кандидатов:

• Итерационный подход: Выполняйте итерации по алгоритму постепенного сужения кандидатов, чтобы детально анализировать каждый возможный вариант.
• Использование проверочных списков: Создайте проверочный список для каждого кандидата и отмечайте детали, которые соответствуют условию задачи. Это поможет вам отслеживать, какие кандидаты остаются после каждой итерации.
• Примение эвристик: Используйте эвристики или правила рассуждения, чтобы оптимизировать процесс сужения кандидатов. Например, вы можете применять эвристику «если решение верно для одного случая, оно, скорее всего, верно и для других случаев».

Постепенное сужение кандидатов имеет свои преимущества. Во-первых, это позволяет сосредоточиться на наиболее вероятных решениях, что экономит время и усилия. Во-вторых, данный подход позволяет структурировать решение задачи и пошагово следовать алгоритму. В-третьих, с учетом правильного выбора кандидатов, вероятность правильного решения задачи увеличивается.

Однако следует помнить, что постепенное сужение кандидатов не является универсальным решением для всех задач. В некоторых случаях могут быть полезны другие стратегии или комбинации разных стратегий. Поэтому, важно уметь адаптировать решение под конкретную задачу и выбирать наиболее эффективные методы.

Учет всех факторов и условий

Решение задачи подбором требует учета всех факторов и условий, которые могут повлиять на результат. Ниже представлены основные принципы и эффективные стратегии учета этих факторов и условий.

• Анализ задачи: перед тем, как начать подбор решения, необходимо внимательно проанализировать поставленную задачу. Важно понять все условия, ограничения и требования, а также определить точное описание желаемого результата.
• Идентификация переменных: в следующем этапе необходимо определить все переменные, которые могут влиять на результат. Важно учесть все факторы, даже те, которые могут показаться незначительными на первый взгляд.
• Определение диапазонов: для каждой переменной необходимо определить диапазоны значений, в которых она может изменяться. Это поможет сузить область поиска и упростить процесс подбора.
• Создание системы ограничений: на основе анализа задачи и переменных нужно создать систему ограничений, которые необходимо учесть при подборе решения. Это может включать ограничения на значения переменных или взаимосвязь между ними.
• Пробное итерационное решение: после определения всех факторов и условий необходимо начать итерационный процесс подбора решения. На каждом шаге происходит проверка соответствия результата заданным условиям. Если ограничения не выполняются, происходит корректировка параметров и повторный запуск итераций.
• Оценка и анализ результатов: по завершении процесса подбора решения важно выполнить оценку и анализ полученных результатов. Проводится проверка соответствия требованиям, а также оценка эффективности полученного решения.

Соблюдение данных принципов и стратегий позволит учесть все факторы и условия в задаче и повысить вероятность успешного решения.

Эффективные стратегии решения задачи подбором

Решение задачи подбором может быть достаточно сложным и требует стратегии, чтобы найти правильную комбинацию значений или условия, удовлетворяющую поставленной задаче. Вот несколько эффективных стратегий, которые помогут вам успешно решать задачи подбором:

1. Разложение на подзадачи: Если задача сложна, можно разбить ее на более простые подзадачи и решить их поочередно. Затем объединить результаты решения подзадач вместе, чтобы получить окончательное решение.
2. Систематический перебор: При решении задачи подбором можно использовать систематический перебор всех возможных комбинаций значений или условий. Это может быть долгим и трудоемким процессом, но гарантирует нахождение правильного решения.
3. Улучшение текущего решения: Иногда может понадобиться усовершенствовать текущее решение, основываясь на его отклике или оценке. Попробуйте модифицировать текущее решение, чтобы улучшить его эффективность или соответствие поставленным условиям.
4. Использование примеров: Посмотрите на примеры задач похожей тематики, чтобы лучше понять суть задачи и найти шаблонные решения. Используйте примеры в качестве руководства или источника вдохновения для решения текущей задачи.
5. Структурированный подход: Применяйте структурированный подход к решению задачи подбором. Разбейте задачу на более простые части и решайте каждую часть по отдельности. Затем объедините решения всех частей вместе, чтобы получить окончательное решение.

Стоит отметить, что выбор конкретной стратегии решения задачи подбором зависит от ее сложности, типа и доступных данных. Не бойтесь экспериментировать с разными стратегиями и адаптировать их под свои потребности, чтобы достичь наилучшего результата.

Метод полного перебора

Метод полного перебора — это одна из самых простых и наиболее надежных стратегий решения задач, основанная на переборе всех возможных вариантов и выборе наилучшего из них.

Основная идея метода полного перебора состоит в том, чтобы рассмотреть все возможные комбинации решения задачи, а затем выбрать оптимальное решение среди них. Для этого используется итерационный процесс, в котором все варианты перебираются по очереди.

Метод полного перебора часто используется в задачах комбинаторики, оптимизации и исследованиях, где необходимо проверить все возможные варианты решения. Например, при поиске оптимального маршрута, переборе всех подмножеств, или генерации перестановок.

Преимущества метода полного перебора:

• Гарантированная нахождение оптимального решения, если оно существует.
• Простота реализации и понимания.
• Возможность проверить все возможные варианты решения.

Недостатки метода полного перебора:

• Высокая вычислительная сложность.
• Неэффективность при большом размере пространства поиска.
• Время выполнения может быть экспоненциальным по размеру пространства поиска.

В зависимости от конкретной задачи и ограничений, метод полного перебора может быть эффективным или неэффективным вариантом решения. Поэтому важно учитывать особенности каждой задачи и анализировать, какие альтернативные методы решения могут быть применены.

Вопрос-ответ

Какие основные принципы решения задач подбором?

Основные принципы решения задач подбором включают следующие: 1) определение критерия оптимальности, т.е. четкого представления о том, что мы хотим найти; 2) перебор всех возможных вариантов решения; 3) сравнение и выбор наилучшего варианта согласно критерию оптимальности; 4) проверка полученного решения на корректность и его уточнение по необходимости.

Какие стратегии можно использовать для эффективного решения задач подбором?

Для эффективного решения задач подбором можно использовать следующие стратегии: 1) исключение неправильных вариантов заранее, чтобы сократить количество проверок; 2) применение эвристических методов, таких как жадные алгоритмы, чтобы на каждом шаге выбирать наиболее оптимальный вариант; 3) использование динамического программирования для ускорения процесса перебора; 4) анализ и использование структуры задачи для определения оптимального подхода.

Как проверить полученное решение задачи подбором?

Полученное решение задачи подбором можно проверить, реализовав его в виде программы или скрипта и прогнав несколько тестовых примеров. Для этого необходимо иметь набор входных данных и ожидаемый результат. Затем, посмотрев на фактический результат работы программы, можно сравнить его с ожидаемым и убедиться в корректности решения. Если есть расхождения, необходимо проверить код алгоритма и внести коррективы по необходимости.

Как решить задачу подбором

Пойа Д. Как решать задачу. — 1959

Библиографическое описание

Пойа Д. Как решать задачу : пособие для учителей / пер. с англ. [В. Г. Звонаревой и Д. Н. Белла] ; под ред. Ю. М. Гайдука. — М. : Учпедгиз, 1959. — 208 с.

Ссылка на публикацию

© «Математическое образование», 2006—2024

Пойа Д. Как решать задачу. — 1959

Подготовка
текста

Подготовка
текста

Закладок нет. Вы можете добавить закладку, нажав на иконку в правом верхнем углу страницы.

Обложка 1 2 (пустая) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208