Какие числа считаются круглыми

Какие числа называются круглыми?

Ну это все понятно, я ж не дура, а нужно доступное, но книжное определение, может у кого в учебниках у детей есть?

Лучший ответ

Кру́глыми чи́слами относительно некоторой позиционной системы счисления называют степени её основания. В этой системе счисления такие числа записываются как единица с последующими нулями. Количество нулей справа от единицы равно показателю степени основания.

Например для десятичной системы счисления круглые числа это 1010=101, 10010=102, 100010=103, 1000010=104, 10000010=105, 100000010=106 и так далее. Для двоичной системы счисления круглыми следует называть 102=210=21, 1002=410=22, 10002=810=23, 100002=1610=24, 1000002=3210=25, 10000002=6410=26 и так далее.

Иногда понятие круглого числа расширяют до всех чисел, являющихся произведением базового числа (такого, которое можно записать одной цифрой) и степени основания, например, 400010=410 × 100010, 6000008=68 × 1000008, 203=23 × 103. В записи такого числа есть одна ненулевая цифра с левого края и несколько нулей справа от неё.

Ещё шире термин можно трактовать как число кратное степени основания, то есть достаточно присутствия одного или нескольких нулей с правого края, например 45600010=45610 × 100010, 3405=345 × 105, 1001002 = 10012 × 1002. В такой трактовке понятия для любого составного числа с помощью факторизации можно найти систему счисления, в которой это число будет круглым. Например, возьмём число 3410, факторизуя получим 34=17 × 2. Число будет круглым в любой системе счисления, основание которой равно одному из делителей числа. В данном случае 3410=1000102=2017.

Числа от 1 до 100. Состав числа. Круглые числа

Предыдущее число — то число, которое при счете следует перед данным числом.

56 , 57

Последующее число — то число, которое при счете называют сразу после данного числа.

56, 57

Однозначные и двузначные числа

Вспомни, что каждая цифра в записи занимает определенное место.

Единицы стоят на первом месте справа.

Десятки стоят на втором месте справа.

Однозначные числа записываются ОДНОЙ цифрой: 5, 9, 2, 5.

Двузначные числа записываются ДВУМЯ цифрами: 54, 91, 42, 85.

Самое маленькое однозначное число — 0.

Самое большое однозначное число — 9.

Самое маленькое двузначное число — 10.

Самое большое двузначное число — 99.

Состав двузначного числа

Всего на рисунке 35 палочкек.

35 = 30 + 5

Состав числа 35 — 3 дес. 5 ед.

Красных палочек 12.

12 = 10 + 2

Состав числа 12 — 1 дес. 2 ед.

Синих палочек всего 23.

23 = 2 дес. 3 ед.

23 = 20 + 3

Состав числа 23 — 2 дес. 3 ед.

Теперь научимся представлять числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Какие разряды выделяют в двузначных числах?

В двузначных числах выделяют разряд десятков и разряд единиц, то есть двузначное число можно представить следующим образом:

десятки + единицы

В числе 35 три десятка и 9 единиц:

Сравнение двузначных чисел

Числа 42 и 24 похожи тем, что в их записи использованы одинаковые цифры: цифра 4 и цифра 2. Но цифра 4 для числа 42 означает десятки, а для 24 — единицы, цифра 2 для числа 42 означает единицы, а для 24 — десятки.

Число	42	24
Количество десятков	4	2
Количество единиц	2	4

1. Сравнение двузначных чисел всегда начинается с десятков.

2. Если количество десятков одинаково, тогда переходят к сравнению единиц.

Круглые числа

Числа, которые оканчиваются на 0, называются круглыми. — 60, 30, 20.

В разряде единиц у круглого числа — число 0. — 70, 90, 40.

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

1 дес. + 4 дес. = 5 дес.

5 дес. = 50, значит,

10 + 40 = 50

Счёт десятками

Десять любых предметов можно назвать – ОДИН ДЕСЯТОК.

Десятками можно считать:

— это 2 десятка — записываю так: 2 дес.

Действия с десятками и единицами

— это 31

Как решить пример 34 + 25?

34 — это 3 дес. и 4 ед.

25 — это 2 дес. и 5 ед.

3 дес. и 4 ед. + 2 дес. и 5 ед. = 5 дес. 9 ед.

Можно записать короче:

Число 34 представляю в виде суммы разрядных слагаемых: 30 и 4, число 25 тоже представляю как 20 и 5. Теперь начинаю вычислять:

Сначала складываю единицы:

Теперь складываю десятки:

Запись решения выглядит так:

34 + 25 = (30 + 20) + (4 + 5) = 50 + 9 = 59

Десятки складываются с десятками.

Единицы складываются с единицами.

Как решить пример 38 — 16?

Число 38 — можно представить как 3 дес. и 8 ед.

Число 16 — это 1 дес. 6 ед.

3 дес. 8 ед. — 1 дес. 6 ед. = 2 дес. 2 ед.

38 — 16 = (30 — 10) + (8 — 6) = 20 + 2 = 22

Можно рассуждать так:

Число 38 представим в виде суммы разрядных слагаемых 30 и 8, а число 16 представим так: 10 и 6. Удобно число 6 вычесть из числа 8, получим 2. Затем число 10 вычтем из числа 30, получим 20. Теперь 2 прибавим к числу 20. Получим 22.

38 — 16 = 22

Десятки вычитаются из десятков.

Единицы вычитаются из единиц.

Мы рассмотрели случаи устных вычислений с двузначными числами.

Познакомиться с письменными приема вычислений (сложением в столбик и вычитанием в столбик) можно в нашем справочнике.

Ах, эти праздники! Чем отличается юбилей от круглой даты

Многие путают понятия «юбилей» и «круглая дата», ошибочно считая, что это одно и то же. Это неудивительно, так как часто и юбилейными, и круглыми датами называются те, что заканчиваются на ноль или пятёрку. Чем отличается юбилей от круглой даты? И есть ли у этих двух понятий что-то общее?

Настоящая круглая дата

Начнём с того, что даже круглая дата – это не совсем то, что мы привыкли так называть. Так уж повелось, что люди привыкли искать в цифрах и числах некий скрытый смысл, наделяя их особыми, даже магическими свойствами. Поэтому часто круглыми называют даты, которые кажутся людям красивыми. То есть, это могут быть даты, которые заканчиваются на ноль, могут быть те, что закачиваются на пятёрку, и даже «двойные» – 11, 22, 33, и т. д. Чтобы разобраться, чем отличается юбилей от круглой даты, давайте дадим точное определение тому, что такое настоящая круглая дата. И вот здесь нужно обратиться к значению слова. Круглая – от слова круг. А какая цифра может напоминать по форме круг? Правильно, ноль! Круглые даты – это вовсе не те, что заканчиваются на пятёрки, и, конечно, не те, что состоят из двойных цифр. А только те, на конце которых стоит ноль. И которые без остатка делятся на 10: 10, 20, 30, 40, и так далее. Так что, если вам предстоит поздравлять кого-то с 15, 25, 35-летием, не путайтесь. Эти даты просто красивые, а не круглые.

Что такое юбилей

Мы так привыкли к слову «юбилей», что частенько путаем его с понятием круглой даты. Но что же это на самом деле такое? Давайте обратимся к истории. Само слово «юбилей» имеет древнееврейские корни и буквально означает «бараний рог». Позже значение изменилось на «год свободы». В древности так называли священный, каждый пятидесятый год, наступающий после семи семилетних периодов (семи седьмиц). Такой год считался особенным, праздничным. Долги прощались, рабам дарили свободу, и так далее. Так что изначально юбилейным считалось именно число 50. Однако в разное время у разных народов и понятие юбилея было разным. Так, древние египтяне особо отмечали 30-летие правления фараона. У католиков разные римские папы объявляли юбилейными года по своему собственному усмотрению. Это были 100-й, 50-й, 33-й и 25-й годы, начиная с 1300-го. В конечном счёте было решено остановиться на 25-м году, но и сейчас папа римский может объявить юбилейным любой другой год в зависимости от разных причин. Что касается азиатских народов, то они считают юбилейными даты, кратные 12-ти (по числу зодиакальных животных).

Юбилейные даты в современном мире

Если вы решили заказать песню на юбилей или приготовить любой другой подарок со значением, для начала нужно разобраться, что такое вообще юбилей в современном понятии. Если речь идёт о населённых пунктах или предприятиях, то юбилейными, как правило, считаются даты, кратные 25-ти. Что касается личных дат, то здесь всё не так строго. В жизни каждого человека не так много дат, кратных 25-ти, а праздников хочется куда чаще. Ведь согласитесь, ждать очередную значимую дату целых 25 лет – это очень утомительно! Особенно если речь идёт о дне рождения или дне свадьбы. Поэтому в отношении личных праздников есть определённые поправки. Юбилейной может считаться любая значимая для самого человека дата. Юбилейным для виновника торжества можно также назвать год, когда он чего-то достиг. Любящие супруги могут называть юбилейной каждую годовщину со дня свадьбы.

Часто к юбилеям также относят все даты, кратные пяти – 20, 25, 30, 35 лет и т.д. Грубой ошибки в данном случае не будет, подобные даты стали также традиционно относить к юбилейным.

Что подарить на юбилей или круглую дату

Что же касается подарков на подобные значимые даты, то они тоже должны быть особенными. Интересными и необычными презентами для юбиляров могут быть сувенирные юбилейные медали, банковские монеты из драгоценных металлов, ювелирные украшения с инициалами, именные записные книжки, авторучки, брелоки, и так далее. Необычным и запоминающимся подарком для виновника праздника станет переделка песни к юбилею. Или оригинальное и уникальное произведение, которое наверняка произведёт настоящий фурор на торжестве. Заказать такой подарок можно на нашем сайте.

И круглая дата, и юбилей, и простой день рождения – это дни, которые имеют огромное значение не только для самого виновника торжества, но и для тех, кому он дорог. Поэтому не жалейте добрых слов и поздравляйте своих близких обязательно! Пусть в их жизни каждая дата будет особенной.

Круглые числа.

Начнем с постановки практической задачи: Необходимо организовать удобный интерфейс для ввода диапазона числовых значений.
На практике это может потребоваться при создании «фильтров» для товарных каталогов: подвергаться фильтрации могут такие характеристики, как «диагональ телевизора», «минимальная температура в морозильной камере холодильника», «частота процессора».
В самом общем случае это могут быть положительные и отрицательные, целые и дробные числа, покрывающие некоторое недискретное пространство значений.

Очевидное и самое простое в реализации решение:

Такой интерфейс обладает рядом недостатков, среди которых выделим три наиболее важных:

• пользователь вынужден обращаться к клавиатуре
• пользователь может ошибиться при вводе (например, дробных значений)
• пользователь не информирован о диапазоне чисел, имеющих смысл в контексте фильтра

Все эти недостатки легко устраняются применением инструмента «слайдер» из состава большого количества современных javascript фреймворков. Мы для примера возьмем один из наиболее популярных: jQuery UI Slider.

Воспользовавшись примером из документации, получаем легкое и удобное решение:

Отсюда и далее все примеры будем приводить на базе этих трех характеристик: целочисленной, целочисленной отрицательной и дробной

Хорошо. Все три недостатка мы устранили. Но можно лучше. Избавим пользователя от необходимости «прицеливаться» ползунком, оглядываясь на значение числового индикатора. Для этого нанесем шкалу значений:

Ещё лучше. Но что-то в этих числах явно не так — это не те числа, которыми привык пользоваться человек. Это не круглые числа! На их месте так и просится что-то вроде: «500, 800, 1100, 1400, …», «-24, -22, -20, -18, …»

Википедия нам говорит о двух близких, по сути, трактовках термина «Круглые числа»: «10, 100, 1000, …» и «10, 20, 30, …». В общем виде круглое число в десятичной системе счисления имеет вид ±N×10 k , где N — десятичная цифра, а k любое натуральное число. Для нашей задачи мы вынуждены будем расширить понятие круглого числа множеством чисел с отрицательными k (0.1, 0.2, …, 0.007, …), т.к. исчислять коэффициент аэродинамического сопротивления целыми числами не представляется возможным.

Итак, для построения «правильной» шкалы нам потребуется научиться вычислять такие минимальное и максимальное значения, а также величину шага, чтобы каждая метка на шкале была круглым числом.

Очевидно, что в этом случае наша шкала станет немного шире или уже, т.к. граничные значения сместятся в круглые позиции. Сужать — недопустимо: мы не можем позволить себе «выкинуть товар» из поиска. Следовательно, левую границу будем округлять до меньшего, правую границу и шаг — до большего круглого числа.
Важно также понимать, что для нашей задачи, при вычислении минимального значения, говорить о ближайшем круглом для, например, 517, — в отрыве от всего диапазона не имеет смысла. На его роль могло бы пойти число 500, будь у нас интервал от 517 до 3000 или, например, 510, будь у нас интервал от 517 до 550.

Верным решением задачи будем считать такой набор значений минимального (MIN_o), максимального числа (MAX_o) и величины шага (STEP_o), который удовлетворяет условиям:

MIN_o ≤ MIN // новый минимум не больше исходного
MAX_o ≥ MAX // новый максимум не меньше исходного
STEP_o × N = MAX_o — MIN_o

Поиск круглого шага сводится к поиску ближайшего большего или равного круглого числа. Для этого исходный шаг необходимо разложить в экспоненциальную запись:

STEP = (MAX-MIN) / N
STEP_EXP = floor( log₁₀(STEP) )
STEP_POWER = 10 STEP_EXP
STEP_MANTISSA = STEP / STEP_POWER
// STEP = STEP_MANTISSA * 10 STEP_EXP

Затем округлить мантиссу до меньшего целого и увеличить на 1

STEP_o = (floor(STEP_MANTISSA) + 1) * STEP_POWER

Минимальное значение получим, округлив исходное значение до ближайшего меньшего числа, кратного STEP_POWER. Максимально значение вычислим из минимального и шага

MIN_o = floor(MIN / STEP_POWER) * STEP_POWER
MAX_o = MIN_o + STEP_o × N

Левая граница и величина шага будут соответствовать условиям задачи по способу их получения. А вот правая граница нуждается в дополнительной проверке, так как в общем случае она может оказаться меньше исходного максимума.

STEP = (MAX-MIN) / N
VALID = false; // флаг «верное решение найдено»
while not VALID
begin
STEP_EXP = floor( log₁₀(STEP) )
STEP_POWER = 10 STEP_EXP
STEP_MANTISSA = STEP / STEP_POWER
STEP_o = (floor(STEP_MANTISSA) + 1) * STEP_POWER

MIN_o = floor(MIN / STEP_POWER) * STEP_POWER
MAX_o = MIN_o + STEP_o × N

VALID = MAX_o ≥ MAX

STEP = STEP_o // для перехода следующему круглому числу на следующей итерации цикла
end

Применяя этот алгоритм, получаем:

Такой интерфейс уже можно назвать user friendly, но в нём возник новый недостаток, не свойственный предыдущим примерам: при некоторых значениях MIN, MAX и количества засечек может возникать ситуация, когда интервалы между несколькими последними засечками выходят за пределы [MIN: MAX].
Примером такой ситуации может служить попытка отобразить диапазон значений [0 : 110] на шкале с десятью интервалами (11 засечек): шаг по 10 не покроет весь диапазон, а шаг по 20 сделает пустыми правые интервалы. Простого решения этой проблемы нет, однако, есть способ существенно снизить вероятность появления таких отрезков за счет расширения понятия круглого числа.

В текущем решении круглыми являются только те числа, мантисса которых входит в множество натуральных чисел от 1 до 9. Т.е. круглыми считаются только числа:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	20	30	40	50	60	70	80	90
100	200	300	400	500	600	700	800	900
…	…	…	…	…	…	…	…	…

А что, если расширить это множество числами, с мантиссой 1.2, 1.5 и 2.5? В тех самых случаях «пустого» отрезка мы получим более короткие значения (например, округлив 135, вместо 200 — получим 150)

1	1.2	1.5	2	2.5	3	4	5	6	7	8	9
10	12	15	20	25	30	40	50	60	70	80	90
100	120	150	200	250	300	400	500	600	700	800	900
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Описывать алгоритм поиска ближайшего круглого по «новым правилам» не буду, полагая, что это не будет сложной задачей. Сразу покажу результат такого апгрейда:

Итог

Я мог бы сам подвести итог под всем сказанным выше, но думаю, что своим глазам читатель верит больше, поэтому — сводный пример:

Details

Математика

Помимо привычной десятичной системы счисления, существуют и другие. Им не в меньшей степени свойственно понятие круглого числа. И, хотя это имеет малое практическое значение, всё сказанное действительно и для них. (0xF000 воспринимается проще, чем 0xA48C, да? 🙂 )

Язык программирования

Если в вашем языке программирования нет функции вычисления десятичного логарифма, но есть натуральный, как в javascript — не беда: на помощь придут свойства логарифмов.

log_N(x) = ln(x) / ln(N)
log₁₀(x) = ln(x) / ln(10)

Исходный код

Алгоритмы, описанные в этой статье, и код, иллюстрирующий применение алгоритмов в связке с jQuery UI Slider, вы можете найти реализованными на языке javascript в прилагаемой к статье библиотеке.

Future

Как говорится: совершенству нет предела. Интерфейс выбора диапазона значений всё ещё можно совершенствовать:

• В некоторых случаях может быть полезна экспоненциальная шкала. Не теряя наглядности, она позволит детализировать отдельные, значимые, насыщенные участки отрезка и, наоборот, сузить разреженные. Очевидный пример: товарный каталог с эксклюзивными позициями. Цены в таком каталоге будет сосредоточены чуть ниже среднего значения, тогда как верхние отрезки окажутся почти пустыми.
• Для некоторых физических величин обратный порядок следования значений. Температура в морозильной камере — должна начинаться с минимального по модулю значения.

Есть над чем поработать!

P.S. Показались наши примеры неудачными? Попробуйте свои значения: