Доказать что последовательность функционалов сходится

Как доказать, что последовательность сходится? Основные свойства сходящихся последовательностей

Для многих людей математический анализ представляет собой лишь набор непонятных цифр, значков и определений, далёких от реальной жизни. Однако, мир, в котором существуем мы, построен на числовых закономерностях, выявление которых помогает не просто познавать окружающий мир и решать его сложные проблемы, но и упрощать бытовые практические задачи. Что имеет в виду математик, когда говорит, что числовая последовательность сходится? Об этом следует поговорить подробнее.

Последовательность сходится

Что такое бесконечно малое?

Представим себе матрёшек, которые помещаются одна в другой. Размеры их, записанные в виде цифр, начиная с большей и кончая меньшей из них, формируют последовательность. Если вообразить бесконечное количество подобных ярких фигурок, то получившийся ряд окажется фантастически длинным. Это сходящаяся числовая последовательность. И стремится она к нулю, так как размеры каждой последующей матрёшки, катастрофически уменьшаясь, постепенно превращаются в ничто. Таким образом, легко можно объяснить: что такое бесконечно малое.

Похожим примером может стать дорога, уходящая вдаль. А визуальные размеры автомобиля, уезжающего по ней от наблюдателя, постепенно сокращаясь, превращаются в бесформенное пятнышко, напоминающее точку. Таким образом, машина, как некий объект, удаляясь в неизвестном направлении, становится бесконечно маленькой. Параметры указанного тела никогда не будут нулевыми в прямом смысле этого слова, но неизменно стремятся к этой величине в конечном пределе. Поэтому данная последовательность сходится снова к нулю.

Определение сходящейся последовательности

Рассчитаем всё по каплям

Вообразим теперь житейскую ситуацию. Больному врач прописал принимать микстуру, начиная с десяти капель в день и прибавляя по две в каждые последующие сутки. И так доктор предложил продолжать до тех пор, пока не кончится содержимое пузырька с лекарством, объём которого составляет 190 капель. Из изложенного следует, что количество таковых, расписанное по дням составит следующий числовой ряд: 10, 12, 14 и так далее.

Как выяснить время прохождения всего курса и количество членов последовательности? Здесь, конечно, можно подсчитывать капли примитивным образом. Но гораздо легче, учитывая закономерность, воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии с шагом d = 2. И с применением такого метода выяснить, что количество членов числового ряда равно 10. При этом а₁₀ = 28. Номер члена указывает на количество дней приёма лекарства, а 28 соответствует числу капель, которые больной должен употребить в последний день. Данная последовательность сходится? Нет, потому что, несмотря на то, что снизу она ограничена числом 10, а сверху – 28, такой числовой ряд не имеет предела, в отличие от предыдущих примеров.

В чём разница?

Попробуем теперь уточнить: когда числовой ряд оказывается сходящейся последовательностью. Определение такого рода, как можно заключить из вышеописанного, напрямую связано с понятием конечного предела, наличие которого и выявляет суть вопроса. Так в чём принципиальное отличие ранее приведённых примеров? И почему в последнем из них число 28 не может считаться пределом числового ряда X_n = 10 + 2(n-1)?

Для выяснения этого вопроса рассмотрим другую последовательность, заданную нижеуказанной формулой, где n принадлежит множеству натуральных чисел.

Сходящаяся последовательность монотонна

Данное сообщество членов представляет собой набор обыкновенных дробей, числитель которых 1, а знаменатель постоянно увеличивается: 1, ½ …

Причём каждый последующий представитель этого ряда по расположению на числовой прямой всё больше приближается к 0. А это значит, что появляется такая окрестность, где точки скучиваются вокруг нуля, который и является пределом. И чем ближе они к нему, тем плотнее становится их концентрация на числовой прямой. А расстояние между ними катастрофически сокращается, превращаясь в бесконечно малое. Это признак того, что последовательность сходится.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Подобным же образом разноцветные прямоугольники, изображённые на рисунке, при удалении в пространстве визуально располагаются кучнее, в гипотетическом пределе превращаясь в ничтожно малые.

Бесконечно большие последовательности

Разобрав определение сходящейся последовательности, перейдём теперь к противоположным примерам. Многие из них были известны человеку с самых древних времён. Простейшими вариантами расходящихся последовательностей являются ряды натуральных и чётных чисел. Они по-другому именуются бесконечно большими, так как члены их, постоянно увеличиваясь, всё больше приближаются к положительной бесконечности.

Примерами таковых также могут служить любая из арифметических и геометрических прогрессий с шагом и знаменателем соответственно больше нуля. Расходящимися последовательностями считаются, к тому же, числовые ряды, которые и вовсе не имеют предела. К примеру, X_n = (-2) n -1 .

Последовательность Фибоначчи

Практическая польза указанных ранее числовых рядов для человечества несомненна. Но существует огромное множество и других замечательных примеров. Одним из них является последовательность Фибоначчи. Каждый из её членов, которые начинаются с единицы, представляет собой сумму предыдущих. Первыми двумя её представителями являются 1 и 1. Третий 1+1=2, четвёртый 1+2=3, пятый 2+3=5. Далее, согласно этой же логике, следуют числа 8, 13, 21 и так далее.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Данный ряд чисел неограниченно возрастает и не имеет конечного предела. Зато он обладает ещё одним замечательным свойством. Отношение каждого предыдущего числа к последующему всё более приближается по своему значению к 0, 618. Здесь можно уяснить разницу между сходящейся и расходящейся последовательностью, ведь если составить ряд из полученных частных от делений, указанный числовой строй будет иметь конечный предел равный 0,618.

Последовательность коэффициентов Фибоначчи

Указанный выше числовой ряд широко используется в практических целях для технического анализа рынков. Но этим не ограничиваются его возможности, которые знали и умели применять на практике ещё в глубокой древности египтяне и греки. Это доказывают построенные ими пирамиды и Парфенон. Ведь число 0, 618 является постоянным коэффициентом хорошо известного в старину золотого сечения. Согласно этому правилу, любой произвольный отрезок возможно поделить так, что отношение между его частями будет совпадать с отношением между большим из отрезков и общей длиной.

Построим ряд из указанных отношений и попытаемся проанализировать данную последовательность. Числовой ряд получится следующим: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 и так далее. Продолжая, таким образом можно убедиться, что предел сходящейся последовательности действительно будет 0,618. Однако, необходимо заметить и прочие свойства этой закономерности. Здесь цифры как бы идут вразнобой, а вовсе не в порядке возрастания или убывания. Это означает, что данная сходящаяся последовательность монотонной не является. О том, почему это так и пойдёт разговор далее.

Монотонность и ограниченность

Сходящаяся последовательность ограничена

Расписав числа данного ряда можно заметить, что любой из его членов, неограниченно приближаясь к 1, никогда не превысит этого значения. В этом случае говорят об ограниченности сходящейся последовательности. Подобное бывает всякий раз, когда находится такое положительное число М, которое оказывается всегда больше любого из членов ряда по модулю. Если числовой ряд обладает признаками монотонности и имеет предел, а следовательно – сходится, то он обязательно наделён таким свойством. Причём обратное не обязательно должно быть верным. Об этом говорит теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Применение подобных наблюдений на практике оказывается очень полезным. Приведём конкретный пример, исследовав свойства последовательности X_n = n/n+1, и докажем её сходимость. То, что она монотонна легко показать, так как (x_n₊₁ – x_n) есть число положительное при любых значениях n. Предел последовательности равен числу 1, а значит, соблюдаются все условия вышеуказанной теоремы, называемой также теоремой Вейерштрасса. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности утверждает, что если она имеет предел, то в любом случае оказывается ограниченной. Однако, приведём следующий пример. Числовой ряд X_n = (-1) n является ограниченным снизу числом -1 и сверху 1. Но данная последовательность не является монотонной, не имеет предела и поэтому не сходится. То есть из ограниченности не всегда следует наличие предела и сходимости. Чтобы это выполнялось необходимо совпадение нижнего и верхнего предела, как в случае коэффициентов Фибоначчи.

Числа и законы Вселенной

Простейшими вариантами сходящейся и расходящейся последовательности являются, пожалуй, числовые ряды X_n = n и X_n = 1/n. Первая из них представляет собой натуральный ряд чисел. Она же является, как уже говорилось, бесконечно большой. Вторая сходящаяся последовательность ограничена, а члены её по величине приближаются к бесконечно малому. Каждая из этих формул олицетворяет одну из сторон многогранной Вселенной, помогая человеку на языке цифр и знаков представить себе и просчитать нечто непознаваемое, недоступное для ограниченного восприятия.

Законы мироздания, начиная от ничтожно малого и кончая невероятно большим, выражает также золотой коэффициент 0,618. Учёные считают, что он заложен в основу сути вещей и используется природой для формирования её частей. Упомянутые уже нами ранее отношения между последующим и предыдущим членами ряда Фибоначчи, не завершают на этом демонстрацию удивительных свойств этого уникального ряда. Если рассмотреть частное от деления предыдущего члена на последующей через один, то получим ряд 0,5; 0, 33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 и так далее. Интересно то, что эта ограниченная последовательность сходится, монотонной она не является, но отношение крайних от определённого члена соседних чисел всегда приблизительно оказывается равным 0,382, что тоже может быть использовано в архитектуре, техническом анализе и других отраслях.

Ограниченность сходящейся последовательности

Существуют и другие интересные коэффициента ряда Фибоначчи, все они играют в природе особую роль, а также применяются человеком в практических целях. Математики уверены, что Вселенная развивается по некоей «золотой спирали», формируемой из указанных коэффициентов. С их помощью возможно рассчитать многие явления, происходящие на Земле и в космосе, начиная от роста численности определённых бактерий и кончая движением далёких комет. Подобным же законам подчиняется, как выясняется, код ДНК.

Убывающая геометрическая прогрессия

Существует теорема, утверждающая единственность предела сходящейся последовательности. Это значит, что двух и более пределов у неё существовать не может, что несомненно важно для нахождения её математических характеристик.

Рассмотрим некоторые случаи. Любой числовой ряд, составленный из членов арифметической прогрессии, является расходящимся, за исключением случая с нулевым шагом. Это же касается геометрической прогрессии, знаменатель которой больше 1. Пределами таких числовых рядов являются «плюс» или «минус» бесконечности. Если же знаменатель меньше -1, то никакого предела вообще не существует. Возможны и другие варианты.

Рассмотрим числовой ряд, задаваемой формулой X_n = (1/4) n -1 . С первого взгляда легко понять, что эта сходящаяся последовательность ограничена, потому что является строго убывающей и никаким образом не способна принимать отрицательные значения.

Распишем некоторое число её членов в ряд.

Единственность предела сходящейся последовательности

Фундаментальные последовательности

Огюстен Луи Коши, французский учёный, явил миру много работ связанных с математическим анализом. Он дал определения таким его понятиям, как дифференциал, интеграл, предел и непрерывность. Исследовал он также основные свойства сходящихся последовательностей. Для того, чтобы понять суть его идей, необходимо обобщить некоторые важные детали.

В самом начале статьи было показано, что есть такие последовательности, для которых существует окрестность, где точки, изображающие члены определённого ряда на числовой прямой, начинают скучиваться, выстраиваясь всё плотнее. При этом расстояние между ними при увеличении номера очередного представителя всё уменьшается, превращаясь в бесконечно малое. Таким образом, оказывается, что в данной окрестности группируется бесконечное число представителей данного ряда, в то время, как за её пределами их насчитывается конечное количество. Такие последовательности именуются фундаментальными.

Знаменитый критерий Коши, созданный французским математиком, однозначно указывает, что наличия подобного свойства достаточно, чтобы доказать, что последовательность сходится. Верно также обратное.

Следует заметить, что данное заключение французского математика представляет по большей части чисто теоретический интерес. Его применение на практике считается достаточно сложным делом, поэтому для выяснения сходимости рядов гораздо важнее доказать существование у последовательности конечного предела. В противном же случае она считается расходящейся.

При решении задач следует также учитывать основные свойства сходящихся последовательностей. Они представлены ниже.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Бесконечные суммы

Такие знаменитые учёные древности, как Архимед, Евклид, Евдокс использовали суммы бесконечных числовых рядов для вычисления длин кривых, объёмов тел и площадей фигур. В частности, именно таким образом удалось узнать площадь параболического сегмента. Для этого была использована сумма числового ряда геометрической прогрессии с q=1/4. Подобным способом находились объёмы и площади других произвольных фигур. Данный вариант назывался методом «исчерпывания». Идея заключалось в том, что исследуемое сложное по формам тело разбивалось на части, которые представляли собой фигуры с легко измеряемыми параметрами. По этой причине нетрудно было вычислить их площади и объёмы, потом же они складывались.

Сходящаяся числовая последовательность

Кстати, похожие задачи очень знакомы современным школьникам и встречаются в заданиях ЕГЭ. Уникальный способ, найденный ещё далёкими предками, является и на сегодняшний день самым простейшим вариантом решения. Даже если частей, на которые разбивается числовая фигура, всего две или три, сложение их площадей всё равно представляет собой сумму числового ряда.

Гораздо позднее древнегреческих учёных Лейбниц и Ньютон, основываясь на опыте мудрых предшественников, познавали закономерности интегрального вычисления. Знания свойств последовательностей помогали им решать дифференциальные и алгебраические уравнения. В настоящее время созданная усилиями многих поколений талантливых учёных теория рядов даёт шанс решить огромное количество математических и практических проблем. А изучение числовых последовательностей составляет основную задачу, решаемую математическим анализом с момента его создания.

Доказательство сходимости последовательности функционалов

khokku.ru

В математике сходимость последовательности функционалов является одним из важных понятий. Она позволяет оценить поведение функционалов при приближении к какому-либо предельному значению. Доказательство сходимости последовательности функционалов требует определенных навыков и знаний в анализе и теории меры.

Для доказательства сходимости последовательности функционалов обычно используется метод математической индукции. Сначала доказывается базовый случай, а затем проводятся дальнейшие рассуждения, основанные на предположении о сходимости для некоторого шага индукции. Такой подход позволяет определить предельный функционал и доказать его сходимость.

Для доказательства сходимости последовательности функционалов также может применяться теорема о предельном переходе под знаком интеграла. Она позволяет переставлять знак предела и интеграла в некоторых случаях, что упрощает анализ сходимости функционалов. Применение данной теоремы требует некоторых дополнительных условий, таких как ограниченность последовательности функционалов.

Итак, доказательство сходимости последовательности функционалов требует использования различных методов анализа, таких как математическая индукция и теорема о предельном переходе под знаком интеграла. Они позволяют определить предельный функционал и доказать его сходимость. Понимание этих методов поможет исследователям в математике, статистике и других областях, где важно анализировать поведение функционалов при приближении к предельному значению.

Определение последовательности функционалов

Последовательность функционалов представляет собой набор функций, каждая из которых является функционалом на заданном пространстве. Функционал обычно определен на линейном пространстве функций или на некотором подпространстве.

Функционалами называются отображения, которые сопоставляют каждой функции из заданного пространства некоторое число или вектор. Эти числа или векторы могут быть комплексными или действительными в зависимости от пространства, на котором определены функционалы.

Последовательность функционалов может быть определена как упорядоченный набор функционалов, где каждый функционал обозначается индексом. Например, функционалы могут быть обозначены как F1, F2, F3 и т.д.

Основной вопрос, исследуемый в теории сходимости последовательности функционалов, заключается в том, сходится ли эта последовательность. Если последовательность функционалов сходится, то ее предел называется предельным функционалом.

Сходимость последовательности функционалов может быть определена как приближение предела, когда рассматриваются все функции из заданного пространства. Для определения сходимости можно использовать различные критерии, такие как критерий Коши или критерий сходимости в норме.

Последовательность функционалов может быть применена в различных областях математики, таких как функциональный анализ, теория вероятности, математическая статистика и других.

Необходимость доказательства сходимости

В математике, сходимость является одним из основных понятий, используемых для анализа последовательностей и рядов. Сходимость позволяет нам определить, будет ли последовательность стремиться к определенному пределу или будет оставаться ограниченной.

Доказательство сходимости является важным этапом в математическом исследовании. Оно позволяет нам формально установить, что последовательность или ряд на самом деле сходятся и определить их пределы. Без доказательства сходимости мы не можем быть уверены в том, что полученный результат является правильным.

Доказательство сходимости может осуществляться с использованием различных методов и приемов. В основе доказательства лежит строгая логика и математическая формализация. Доказывая сходимость последовательности, мы опираемся на определение предела и выбираем подходящий метод для доказательства.

Доказательство сходимости позволяет нам получить информацию о поведении последовательности и предсказать ее будущее поведение. Без доказательства сходимости мы можем ошибочно сделать вывод о поведении последовательности и получить неверный результат. Доказательство сходимости помогает нам установить надежные математические факты и обосновать результаты исследования.

Кроме того, доказательство сходимости позволяет нам применять последовательности и ряды в других областях математики и науки. Сведения о сходимости могут быть использованы для обоснования других математических теорем и для решения прикладных задач.

Таким образом, доказательство сходимости играет важную роль в математическом исследовании. Оно позволяет установить правильность результата, предсказать будущее поведение и применить полученные знания в других областях математики и науки.

Методы доказательства сходимости

Доказательство сходимости последовательности функционалов в математике является важной задачей при изучении различных математических объектов. Существуют разные методы доказательства сходимости, которые используются в зависимости от контекста и свойств исследуемых функционалов.

Метод последовательных приближений

Один из основных методов доказательства сходимости — метод последовательных приближений. Он применяется, когда нужно доказать сходимость последовательности функционалов к предельному значению.

Для доказательства сходимости методом последовательных приближений используются следующие шаги:

Выбирается исходное приближение к предельному значению функционала.
Доказывается, что каждый последующий элемент выбранной последовательности приближений является более близким к предельному значению, чем предыдущий элемент.
Доказывается сходимость последовательности приближений к предельному значению.

Метод вложенных отрезков

Еще один метод доказательства сходимости — метод вложенных отрезков. Он используется, когда нужно доказать сходимость последовательности функционалов к предельному значению на основе свойств вложенных отрезков.

Для доказательства сходимости методом вложенных отрезков используются следующие шаги:

Выбирается последовательность вложенных отрезков, которая содержит все функционалы последовательности.
Доказывается, что длина каждого отрезка в последовательности стремится к нулю.
Доказывается сходимость последовательности функционалов на основе свойств вложенных отрезков.

Метод согласованных функций

Метод согласованных функций используется для доказательства сходимости последовательности функционалов на основе свойств согласованных функций.

Для доказательства сходимости методом согласованных функций используются следующие шаги:

Выбирается последовательность согласованных функций, которая содержит все функционалы последовательности.
Доказывается, что каждая функция в последовательности сходится к нулевой функции.
Доказывается сходимость последовательности функционалов на основе свойств согласованных функций.

Каждый из этих методов доказательства сходимости имеет свои особенности и применяется в различных ситуациях. От выбора метода доказательства зависит успешное решение задачи и получение нужных результатов.

Использование ограниченности функционалов

Ограниченность функционалов является одним из ключевых свойств, позволяющих доказать сходимость последовательности функционалов. Если последовательность функционалов ограничена, то это означает, что существует такое число, которое ограничивает абсолютное значение каждого из функционалов в последовательности.

Доказательство сходимости последовательности функционалов с использованием ограниченности основано на следующих шагах:

Предположим, что последовательность функционалов F_n сходится к функционалу F. Это означает, что для любого элемента x в пространстве функций справедливо неравенство |F_n(x) — F(x)| < ε, где ε — произвольное положительное число.
Используя ограниченность функционалов, можно сделать вывод, что для всех n |F_n(x)| < M_n, где M_n — ограничивающая последовательность чисел.
Выберем такое число N, что для всех n > N выполняется условие |F_n(x)| < ε. Такое число существует в силу сходимости последовательности.
Таким образом, если x принадлежит пространству и n > N, то выполняются неравенства |F_n(x) — F(x)| < ε и |F_n(x)| < ε, что означает, что последовательность функционалов сходится к F.

Использование ограниченности функционалов является одним из основных методов доказательства сходимости последовательности функционалов. Позволяя ограничить значения функционалов, оно упрощает процесс доказательства и позволяет получить более точные результаты.

Доказательство сходимости по Коши

Доказательство сходимости последовательности функционалов по Коши является одним из способов проверки сходимости в математическом анализе. Оно основано на определении предела последовательности и применяется в случаях, когда наблюдается тенденция к устойчивости значения функционала.

Использование равномерной сходимости

Равномерная сходимость последовательности функционалов является важным понятием в математике и широко используется для анализа сходимости. Она означает, что существует такая функция, которая одновременно аппроксимирует все функционалы последовательности.

Преимуществом использования равномерной сходимости является возможность более простого установления факта сходимости и проведения дальнейших исследований последовательности функционалов. Это позволяет более эффективно использовать их для решения практических задач.

Для доказательства равномерной сходимости последовательности функционалов часто используются теоремы, такие как теорема Вейерштрасса или теорема Арцела-Асколи, которые позволяют проверять наличие ограничений или равномерной непрерывности функционалов.

С помощью равномерной сходимости можно доказывать различные свойства последовательности функционалов, например, возможность перестановки пределов и интегралов при наличии равномерной сходимости.

Использование равномерной сходимости также позволяет проводить аналитические преобразования и доказывать теоремы о непрерывности и дифференцируемости функционалов последовательности.

Таким образом, равномерная сходимость является мощным инструментом для анализа последовательности функционалов и позволяет эффективно проводить исследования и доказывать различные свойства этой последовательности.

Сходимость последовательности функционалов в разных пространствах

При изучении сходимости последовательностей функционалов в математике возникает вопрос о том, как доказать сходимость в различных пространствах. В данной статье мы рассмотрим несколько типов пространств и способы, которые можно использовать для проверки сходимости.

1. Пространство сходимости.

Для того чтобы доказать сходимость последовательности функционалов в пространстве сходимости, необходимо показать, что каждый функционал из последовательности имеет предел в этом пространстве.
Один из способов доказательства сходимости – это использование предельного перехода: предельный переход – это процесс, при котором последовательность функционалов бесконечно приближается к определенной границе.
Также можно использовать метод подсчета предела через рекурсию, где каждый следующий функционал определяется на основе предыдущих.

2. Пространство нормированных функционалов.

Для доказательства сходимости в пространстве нормированных функционалов необходимо показать, что последовательность функционалов имеет ограниченные нормы.
Это можно сделать, рассчитав норму каждого функционала из последовательности и проверив, что они ограничены. Если нормы ограничены, то последовательность функционалов сходится.

3. Пространство с использованием метрики.

Метод	Описание
Метрическое пространство	Доказательство сходимости в метрическом пространстве основано на понятии расстояния между функционалами.
Пространство с абсолютной сходимостью	Для доказательства абсолютной сходимости используется понятие абсолютной величины функционала.
Пространство с непрерывной сходимостью	Доказательство непрерывной сходимости основано на понятии непрерывности функционала.

Сходимость последовательности функционалов может быть доказана различными способами в зависимости от пространства, в котором рассматривается сходимость. Используя соответствующие методы и понятия из математического аппарата, можно достоверно определить, сходится ли последовательность функционалов или нет.

Примеры доказательства сходимости в математике

Доказательство сходимости последовательностей является важным инструментом в математике. Вот несколько примеров того, как можно доказать сходимость:

Пример 1: Доказательство сходимости арифметической последовательности

Рассмотрим последовательность a_n = 2 + 3/n. Чтобы доказать ее сходимость, мы можем найти предел этой последовательности. Когда n стремится к бесконечности, 3/n стремится к нулю, поэтому предел a_n равен 2. Мы сделали вывод, что последовательность a_n сходится к 2.

Пример 2: Доказательство сходимости геометрической последовательности

Рассмотрим последовательность b_n = (1/2) n . Чтобы доказать ее сходимость, мы можем найти предел этой последовательности. Если n стремится к бесконечности, (1/2) n будет стремиться к нулю, так как каждое последующее число в последовательности будет меньше предыдущего. Мы сделали вывод, что последовательность b_n сходится к 0.

Пример 3: Доказательство сходимости с помощью ограниченности

Для последовательности c_n = (-1) n , мы можем заметить, что все члены последовательности находятся между -1 и 1. Это означает, что последовательность c_n ограничена. Следовательно, она сходится.

Пример 4: Доказательство сходимости с помощью монотонности

Рассмотрим последовательность d_n = 1/n. Мы можем заметить, что d_n убывает с увеличением n. Поскольку каждый член последовательности меньше предыдущего, эта последовательность монотонно убывает. Более того, она ограничена сверху нулем. Следовательно, последовательность d_n сходится к 0.

Это только некоторые примеры методов доказательства сходимости в математике. В каждом случае необходимо использовать соответствующие свойства последовательности и определение сходимости, чтобы прийти к требуемому выводу.

Вопрос-ответ

Какие методы можно использовать для доказательства сходимости последовательности функционалов?

Для доказательства сходимости последовательности функционалов можно использовать различные методы, включая методы сравнения, методы компактности, теорему Банаха-Штейнгауза и другие.

Что такое последовательность функционалов, и как ее можно считать сходящейся?

Последовательность функционалов — это последовательность функций, каждая из которых принимает функцию в качестве аргумента и возвращает число. Сходимость последовательности функционалов означает, что для любой функции входного аргумента последовательность значений функционалов приближается к некоторому фиксированному числу при стремлении номера функционала к бесконечности.

Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы можно было доказать сходимость последовательности функционалов?

Для доказательства сходимости последовательности функционалов, обычно требуется выполнение условия ограниченности последовательности и условие полноты пространства функций.

Как можно использовать метод сравнения для доказательства сходимости последовательности функционалов?

Метод сравнения используется для доказательства сходимости последовательности функционалов, когда существует другая последовательность функционалов, сходящаяся к некоторому числу, исследуемая последовательность функционалов ограничена этой последовательностью и приближается к ней.

Какие теоремы можно применить для доказательства сходимости последовательности функционалов?

Для доказательства сходимости последовательности функционалов можно применять различные теоремы, такие как теорема о сходимости почти всюду, теорема Банаха-Штейнгауза, теорема Фату и другие.

Можно ли использовать метод анализа для доказательства сходимости последовательности функционалов?

Да, можно использовать метод анализа для доказательства сходимости последовательности функционалов. Метод анализа позволяет исследовать свойства функционалов и их взаимоотношения, что может помочь в доказательстве сходимости.

Функциональные последовательности и ряды

Функциональные последовательности [ править ]

Определение. Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция f n ( x ) (x)> , определенная на множестве X ( X ⊂ R ) , то говорят, что на множестве X задана функциональная последовательность < f n ( x ) >(x)\>> . Множество X называется областью определения последовательности < f n ( x ) >(x)\>> .

Определение. < f n ( x ) >(x)\>> сходится в точке x 0 > , если числовая последовательность < f n ( x 0 ) >(x_)\>> сходится. Множество всех точек x 0 > , в которых < f n ( x ) >(x)\>> сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности < f n ( x ) >(x)\>> .

D — область сходимости < f n ( x ) >(x)\>> . Пусть D : ∀ x ∈ D ∃ lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) f_(x)=f(x)> — обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве D . Эта функция f ( x ) называется предельной функцией последовательности < f n ( x ) >(x)\>> .

Замечание. Точечная сходимость < f n ( x ) >(x)\>> на некотором множестве D не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Функциональные ряды [ править ]

Пусть дана функциональная последовательность < U n ( x ) >(x)\>> определенная на множестве X .

Формальное выражение вида U 1 ( x ) + U 2 ( x ) + ⋯ + U n ( x ) = ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) (x)+U_(x)+\dots +U_(x)=\sum \limits _^<\infty >U_(x)> называется функциональным рядом.

Множество X — область определения ряда. Сумма n первых членов ряда S n = ∑ k = 1 n U k ( x ) =\sum \limits _^U_(x)> называется n -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что < S n ( x ) ><\displaystyle \> является функциональной последовательностью, определенной на X .

Пусть точка x 0 ∈ X \in X>

Определение. Функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится в точке x 0 > , если числовой ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x 0 ) ^<\infty >U_(x_)> сходится. Множество D точек x 0 > , где ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится на множестве D , если последовательность < S n ><\displaystyle \> его частичных сумм сходится на D .

Если функциональный ряд сходится на множестве D , то его сумма есть функция S ( x ) , определенная на D . Очевидно, S ( x ) есть предел функциональной последовательности < S n ( x ) >(x)\>> .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве D не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

Абсолютная сходимость [ править ]

Определение. Функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится абсолютно на множестве D 1 > , если функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ | U n ( x ) | ^<\infty >|U_(x)|> сходится на множестве D 1 > ( D 1 > может быть одной точкой)

Утверждение. Если ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится абсолютно на множестве D 1 > , то он сходится на нём и в обычном смысле

Из утверждения следует, что D 1 ⊂ D \subset D> , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

Равномерная сходимость [ править ]

Определение. Последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходится равномерно к функции f ( x ) на множестве E ⊂ X , если ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n > N ∀ x ∈ E : | f n ( x ) − f ( x ) | < ε 0\ \exists N\ \forall n>N\ \forall x\in E:|f_(x)-f(x)| . ( E не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости < f n ( x ) >(x)\>> на множестве E следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на E . Обратное неверно.

Определение. Последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходится равномерно на E , если существует f ( x ) такая, что < f n ( x ) >(x)\>> сходится равномерно к f ( x ) на E . Обозначается f n ( x ) ⇉ f ( x ) (x)\rightrightarrows f(x)> на E .

Геометрический смысл равномерной сходимости [ править ]

| f n ( x ) − f ( x ) | < ε ∀ n >N ∀ x ∈ E (x)-f(x)|N\forall x\in E> , то есть графики всех функций с номером n > N N> на множестве E лежат в » ε -полоске» графика функции f ( x ) .

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности [ править ]

Теорема. < f n ( x ) >(x)\>> сходится равномерно на E тогда и только тогда, когда ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | f n + p ( x ) − f n ( x ) | < ε 0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|f_(x)-f_(x)| .

| f n ( x ) − f n + p ( x ) | ≤ | f n ( x ) − f ( x ) | + | f n + p − f ( x ) | < ε 2 + ε 2 = ε ∀ x ∈ E , ∀ n >N , ∀ p > 0 (x)-f_(x)|\leq |f_(x)-f(x)|+|f_-f(x)|>+>=\varepsilon \forall x\in E,\forall n>N,\forall p>0> .

( ⇐ ) Имеем: ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | f n + p ( x ) − f n ( x ) | < ε 0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|f_(x)-f_(x)| .

Критерий Коши выполнени ∀ x ∈ E (фиксированного). ⇒ ∀ фиксированного x ∈ E числовая последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходится в фиксированному числу. ⇒ функциональная последовательность < f n ( x ) >(x)\>> сходится к некоторой функции f ( x ) на E . Докажем f n ( x ) ⇉ f ( x ) (x)\rightrightarrows f(x)> на E .

Имеем по условию: ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | f n + p ( x ) − f n ( x ) | < ε 2 0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|f_(x)-f_(x)|>> . ( ∗ ) Для любого фиксированного n > N N> переходим в неравенстве ( ∗ ) к lim p → ∞ : | f ( x ) − f n ( x ) | ≤ ε 2 < ε ∀ x ∈ E , ∀ n >N :|f(x)-f_(x)|\leq >N> . ⇒ функциональная последовательность f n ( x ) ⇉ f ( x ) <\displaystyle f_(x)\rightrightarrows f(x)> на E .

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда [ править ]

Определение. Функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно на E если, < S n ( x ) ><\displaystyle \> сходится равномерно на E .

Обозначим через r n ( x ) = S ( x ) − S n ( x ) (x)=S(x)-S_(x)> где S ( x ) — сумма ряда. Тогда величина r n ( x ) (x)> называется остатком ряда.

Определение. Функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно на E , если последовательность r n ⇉ 0 <\displaystyle r_\rightrightarrows 0> на E .

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Если функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно на множестве E ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | U n + 1 ( x ) + ⋯ + U n + p ( x ) | < ε 0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|U_(x)+\dots +U_(x)|

Доказательство. Функциональный ряд сходится равномерно на E ⇔ < S n ( x ) >(x)\>> сходится равномерно на E ⇒ по критиерю Коши для функциональной последовательности: ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | S n + p ( x ) − S n ( x ) | < ε 0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|S_(x)-S_(x)| . S n + p ( x ) − S n ( x ) = U n + 1 ( x ) + ⋯ + U n + p ( x ) ⇒ ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | U n + 1 ( x ) + ⋯ + U n + p ( x ) | < ε <\displaystyle S_(x)-S_(x)=U_(x)+\dots +U_(x)\Rightarrow \forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|U_(x)+\dots +U_(x)| .

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда [ править ]

Теорема. Если функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно на множестве E , тогда функциональная последовательность < U n ( x ) >⇉ 0 <\displaystyle \\rightrightarrows 0> на E .

Доказательство. Функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно на множестве E , слодовательно по критерию Коши ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N , ∀ p > 0 ∀ x ∈ E : | U n + 1 ( x ) + ⋯ + U n + p ( x ) | < ε 0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|U_(x)+\dots +U_(x)| . В частности, при p = 1 имеем | U n + 1 | < ε ∀ x ∈ E , ∀ n >N <\displaystyle |U_|N> . Следовательно, < U n ( x ) ><\displaystyle \> сходится равномерно к нулю на E

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости [ править ]

Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть дан функциональный ряд на множестве E . Пусть существует сходящийся числовой ряд ∑ n = 1 ∞ a n ^<\infty >a_> такой, что ∀ x ∈ E : | U n ( x ) | < a n , n = 1 , 2 , … <\displaystyle \forall x\in E:|U_(x)| . Тогда функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится абсолютно и равномерно на множестве E . В этом случае числовой ряд ∑ n = 1 ∞ a n ^<\infty >a_> называется мажорирующим рядом для функционального ряда ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> .

Доказательство.

1) Докажем, что функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится абсолютно на множестве E .

2) Докажем, что функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно к S ( x ) на множестве E . Обозначим: ∑ k = 1 n U k ( x ) = S n ( x ) , ∑ k = 1 n a k = σ n , ∑ n = 1 ∞ a n = σ ^U_(x)=S_(x),\sum \limits _^a_=\sigma _,\sum \limits _^<\infty >a_=\sigma > . ∀ x ∈ E рассмотрим | S ( x ) − S n ( x ) | = | U n + 1 ( x ) + U n + 2 ( x ) + … | ≤ | U n + 1 ( x ) | + | U n + 2 ( x ) | + ⋯ ≤ a n + 1 + a n + 2 + ⋯ = σ − σ n <\displaystyle |S(x)-S_(x)|=|U_(x)+U_(x)+\dots |\leq |U_(x)|+|U_(x)|+\dots \leq a_+a_+\dots =\sigma -\sigma _>

Числовой ряд ∑ n = 1 ∞ a n ^<\infty >a_> сходится ⇒ ∃ lim n → ∞ σ n = σ ⇒ ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N | σ − σ n | < ε ⇒ ∀ x ∈ E | S ( x ) − S n ( x ) | < ε ∀ n >N ⇒ ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) \sigma _=\sigma \Rightarrow \forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N|\sigma -\sigma _|<\varepsilon \Rightarrow \forall x\in E|S(x)-S_(x)|N\Rightarrow \sum \limits _^<\infty >U_(x)> сходится равномерно на E .

Непрерывность суммы функционального ряда [ править ]

Теорема. Пуcть функциональная последовательность < f n ( x ) >(x)\>> определена в окрестности O ( x 0 ) )> , и выполнены свойства

1) все члены последовательности непрерывны в точке x 0 >

2) функциональная последовательность сходится равномерно в окрестности O ( x 0 ) )> к функции f ( x )

Тогда функция f ( x ) непрерывна в точке x 0 >

Теорема. Пусть функциональный ряд ∑ n = 1 ∞ U n ( x ) ^<\infty >U_(x)> сходится равномерно в O ( x 0 ) ⇒ )\Rightarrow > последовательность частичных сумм S n ( x ) ⇉ S ( x ) <\displaystyle S_(x)\rightrightarrows S(x)> в O ( x 0 ) )> .

Доказательство. Так как все функции U n ( x ) (x)> непрерывны в точке x 0 ⇒ \Rightarrow > все частичные суммы S n ( x ) (x)> непрерывны в x 0 ⇒ S ( x ) \Rightarrow S(x)> непрерывна в точке x 0 >

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что справедливо утверждение

Утверждение. Пусть функциональная последоваетльность < f n ( x ) >(x)\>> сходится равномерно к f ( x ) на промежутке < a , b >> и все члены последовательности < f n ( x ) >(x)\>> непрерывны на < a , b >> , тогда f ( x ) непрерывна на < a , b >> .

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Пусть функции $f_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$ и пусть $x_ \in E$. Если числовая последовательность $\$ сходится, то последовательность функций $\$ сходится в точке $x_$.

Последовательность $\(x)\>$, сходящуюся в каждой точке $x \in E$, называют сходящейся на множестве $E$. В этом случае на множестве $E$ определена функция $f(x)$, значение которой в любой точке $x \in E$ равно пределу последовательности $\(x)\>$. Эту функцию называют предельной функцией последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$ и пишут
$$
\lim_f_(x) = f(x),\ x \in E,\label
$$
или
$$
f_(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или, короче,
$$
f_ \xrightarrow[E]<> f.\nonumber
$$

По определению предела запись \eqref означает, что
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_(x)-f(x)| < \varepsilon.\nonumber
$$

Найти предельную функцию $f(x)$ последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, если:

$$
f_(x) = \frac>,\ E = \mathbb;\nonumber
$$
$$
f_(x) = n \sin \frac,\ E = (0, + \infty).\nonumber
$$

$\vartriangle$ Так как $f_(x) = \displaystyle\frac>>>$, то $f(x) = 1$.
Используя асимптотическую формулу $\sin t \sim t$ при $t \rightarrow 0$, получаем $\displaystyle n \sin \frac\sim n\frac$ при $n \rightarrow \infty$, если $x \neq 0$.Поэтому $f(x) = \displaystyle\frac$. $\blacktriangle$

Сходимость функционального ряда.

Пусть функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$ и пусть для каждого $x \in E$ существует конечный предел последовательности $\$, где $S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)$. Тогда ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называют сходящимся на множестве $E$.

Если $S(x)$ — предельная функция последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, то есть
$$
\lim_S_(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber
$$
то функцию называют $S(x)$ суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>u_(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Например, если $u_(x) = x^$, $E = (-1,1)$, то $S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^>$, $S(x) = \displaystyle\frac$. Если в каждой точке $x \in E$ сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>|u_(x)|$, то ряд \eqref называют абсолютно сходящимся на множестве $E$.

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Последовательность функций
$$
$x)\>\nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E$ к функции $f(x)$, если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_:\ \forall n \geq N_ \ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)|<\varepsilon.\label
$$

В этом определении существенно, что номер $N_$ не зависит от $x$. Если справедливо утверждение \eqref, то пишут
$$
f_(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или
$$
f_ \underset\rightrightarrows f.\nonumber
$$

Говорят, что последовательность $\(x)\>$ равномерно сходится на множестве $E$, если существует функция $f$, удовлетворяющая условию \eqref.

Если существуют числовая последовательность $\\>$ и номер $n_$ такие, что
$$
\forall n \geq n_\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| \leq a_,\nonumber
$$
причем $\displaystyle\lim_a_ = 0$, то
$$
f_(x) \underset\rightrightarrows f(x),\ x \in E.\nonumber
$$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$ равномерно сходится на множестве $E$, и найти ее предельную функцию $f(x)$, если:

$\displaystyle f_(x) = \frac>,\ E = [-1, 1];$
$\displaystyle f_(x) = \sqrt + \frac>,\ E = \mathbb;$
$\displaystyle f_(x) = \frac <\operatornamen^x>>,\ E = [0, +\infty)$;
$\displaystyle f_(x) = n \sin \frac,\ E = [1, +\infty)$.

$\vartriangle$ В этом случае $f(x) = 1$ (пример 1) и $|f_(x)-f(x)| = \displaystyle\frac>> \leq \frac$, так как $|x| \leq 1$. Следовательно,
$$
\frac> \rightrightarrows 1,\ x \in [-1, 1].\nonumber
$$
Используя неравенство $x^ + \displaystyle\frac\leq \left(|x| + \frac<\sqrt>\right)^$, получаем $0 \leq \displaystyle\sqrt -\sqrt \leq |x| + \frac<\sqrt>-|x| = \frac<\sqrt>$, откуда следует, что
$$
\sqrt \rightrightarrows |x|,\ x \in \mathbb.\nonumber
$$
Так как $0 \leq \operatorname x \leq \displaystyle\frac<\pi>$ и $\sqrt[3] \geq \sqrt[3]$ при $x > 0$, то $0 \leq f_(x) \leq \displaystyle\frac<\pi><2\sqrt[3]>$, откуда получаем $f_(x) \rightrightarrows 0$, $x \in E$.
В этом случае $f(x) = \displaystyle\frac$ (пример 1). Используя неравенство $|\sin t-t| \leq \displaystyle\frac,\ t \in \mathbb$ (пример разобран здесь), получаем
$$
|f_(x)-f(x)| = n \left|\sin \frac-\frac\right| \leq \frac<2(nx)^> \leq \frac,\nonumber
$$
так как $x \geq 1$. Следовательно,
$$
n \sin \frac\rightrightarrows \frac,\ x \in [1, +\infty).\ \blacktriangle\nonumber
$$

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Чтобы последовательность функций $\(x)\>$, определенных на множестве $E$, сходилась равномерно на этом множестве к функции $f(x)$, необходимо и достаточно, чтобы
$$
\lim_ \sup_ |f_(x)-f(x)| = 0.\label
$$

$\circ$ Обозначим $\sigma_ = \displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)|$. Тогда условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists n_: \forall n \geq n_ \rightarrow \sigma_ < \varepsilon.\label
$$

Если $f_(x) \rightrightarrows f(x)$, $x \in E$, то
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_ \rightarrow |f_(x)-f(x)| < \frac,\nonumber
$$
откуда следует, что $\sigma_ \leq \displaystyle\frac < \varepsilon$ для $n \geq N_$. Поэтому неравенство $\sigma_ < \varepsilon$ выполняется при всех $n \geq N_$, где $n_ = N_$. Обратно, если выполняется условие \eqref или равносильное ему условие \eqref, то, используя неравенство $|f_(x)-f(x)| \leq \sigma_$ для $x \in E$, $n \in \mathbb$, получаем $|f_(x)-f(x)| < \varepsilon$ для $x \in E$, $n \geq n_$, то есть $f_(x) \rightrightarrows 0$, $x \in E$. $\bullet$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$ сходится равномерно на множестве $E$, и найти предельную функцию $f(x)$, если:

$f_(x) = \displaystyle\fracx>x^>$, $\alpha > 4$, $E = \mathbb$;
$f_(x) = \displaystyle x^-x^$, $E = [0, 1]$;
$f_(x) = \displaystyle nx^e^$, $E = [2, +\infty)$.

$\vartriangle$ Если $x = 0$, то $f_(0) = 0$ для всех $n \in \mathbb$, и поэтому $\displaystyle\lim_f_(0) = f(0) = 0$. Если $x \neq 0$, то $|f_(x)| \leq \displaystyle\frac|x|>x^> = \frac<|x|n^<\alpha-2>>$, откуда следует, что $f_(x) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, так как $\alpha > 4$. Таким образом, предельная функция $f(x) = 0$, $x \in \mathbb$. Так как при $x \neq 0$ справедливо неравенство $1 + n^x^ \geq 2n^|x|$, причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда $n^x^ = 1$, то есть $|x| = n^$, то
$$
|f_(x)-f(x)| \leq \frac|x|><2n^|x|> = \frac>,\ x \neq 0.\nonumber
$$
Следовательно, $\displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)| = \frac> \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, если $\alpha > 4$, и поэтому $f_(x) \rightrightarrows 0$, $x \in R$.
Если $x \in [0, 1)$, то $x^ \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, и поэтому $f_(x) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Если $x = 1$, то $f_(1) = 0$, и поэтому $f(1) = 0$. Следовательно, $f(x) = 0$, $x \in [0, 1]$.Чтобы вычислить $\displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)| = \sup_ |f_(x)|$, найдем точки экстремума функции $f_(x)$.Уравнение $f_'(x) = nx^-(n + 1)x^ = x^(n-x(n + 1)) = 0$ имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень $x_ = \displaystyle\frac$, причем $f_(x_) = \displaystyle\left(\frac\right)^\frac$. Заметим, что $f_'(x) > 0$ при $x \in (0, x_)$ и $f_'(x) < 0$ при $x \in (x_, 1)$. Поэтому $\displaystyle\sup_ f_(x) = \max_ f_(x) = f_(x_ < \frac$ для всех $n \in \mathbb$ и, согласно теореме 1, $f_(x) \rightrightarrows 0$, $x \in [0, 1]$.
Учитывая, что $te^ \rightarrow 0$ при $t \rightarrow +\infty$ (если $\alpha > 0$), находим $\lim_ f_(x) = f(x) = 0$, $x \in [0, +\infty]$.
Так как $f_'(x) = nxe^(2-xn) < 0$ при $x >\displaystyle\frac$, то функция $f_(x)$ является убывающей на промежутке $\displaystyle\left[\frac, +\infty\right)$, и поэтому
$$
\sup_ f_(x) \leq f_\left(\frac\right) = \frace^ \rightarrow 0\ \mbox\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$По теореме 1 последовательность $\$ равномерно сходится к $f(x) = 0$ на множестве $E = [2, +\infty)$. $\blacktriangle$

(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Чтобы последовательность функций $\(x)\>$ сходилась равномерно на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| < \varepsilon.\label
$$

Достаточность. Заметим, что числовая последовательность $\(x_)\>$, где $x_$ — фиксированная точка множества $E$, удовлетворяет условию Коши \eqref и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный
$$
\lim_f_(x_).\label
$$
Так как предел \eqref существует для каждого $x_ \in E$, то на множестве $E$ определена функция (обозначим ее $f(x)$), которая является предельной функцией для последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$.

Запишем условие Коши \eqref в виде
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| < \frac.\label
$$
Переходя в неравенстве \eqref к пределу при $p \rightarrow \infty$ (при каждом фиксированном $n \geq N_$ и фиксированном $x \in E$) и учитывая, что существует \(\displaystyle\lim_

f_(x) = f(x)\), получаем неравенство
$$
|f(x)-f_(x)| \leq \frac < \varepsilon,\nonumber
$$
справедливое при всех $n \geq N_$ и для всех $x \in E$. Это означает, что
$$
f_(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E.\ \bullet\nonumber
$$

Неравномерная сходимость последовательности функций.

Последовательность $\(x)\>$ не является равномерно сходящейся на множестве $E$, если условие Коши \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ > 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f_(\tilde)| \geq \varepsilon_.\label
$$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$, где $f_(x) = \displaystyle\frac<\ln nx>>$, не является равномерно сходящейся на множестве $E = (0, 1)$.

$\vartriangle$ Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $p = k = n$, $\tilde = 1/k = 1/n$. Тогда
$$
|f_(\tilde)-f_(\tilde)| = \left|f_(\frac)-f_ (\frac)\right| = \left|\frac<\ln 2>>-\ln 1\right| = \frac<\ln 2>> = \varepsilon_,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность $\$ не является равномерно сходящейся на $E$. $\blacktriangle$

Если существует предельная функция $f(x)$ последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, но не выполняется условие \eqref, то есть
$$
\exists \varepsilon_ > 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f(\tilde)| \geq \varepsilon_,\label
$$
то говорят, что последовательность $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к функции $f(x)$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве $E$ последовательность $\(x)\>$, если:

$\displaystyle f_(x) = x^-x^,\ E = [0, 1];$
$\displaystyle f_(x) = n\sin \frac,\ E = (0, 1].$

$\vartriangle$ В этом случае предельная функция $f(x) = 0$, $x \in E$. Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $n = k$, $\tilde = 1/\sqrt[n]$. Тогда $\tilde \in E$ при любом $n \in \mathbb$ и $|f_(\tilde)-f(\tilde)| = \displaystyle f_\left(\frac\right) = \frac-\frac= \varepsilon_$, то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность $\$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $f(x) = 0$.
Здесь предельная функция $f(x) = x^$ на множестве $x > 0$ (пример 1). Возьмем $\tilde = 1/n$. Тогда $|f_(\tilde)-f(\tilde)| = |n \sin 1-n| \geq 1-\sin 1 = \varepsilon_$ для любого $n \in \mathbb$, и поэтому $\$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $x^$. $\blacktriangle$

Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\sup_|f_(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то $\$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $f(x)$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность $f_(x) = n^x^e^$, $E = (0, 2)$.

$\vartriangle$ Предельная функция $f(x) = 0$, $x \in E$. Так как уравнение $f_'(x) = n^xe^(2-xn)$ имеет на интервале (0,2) единственный корень $x_ = 2/n$, причем $f_'(x) > 0$ при $x \in (0, x_)$ и $f_'(x) < 0$ при $x \in (x_, 2)$, то $\displaystyle\sup_ f_(x_) = f_(x_) = 4e^$. Таким образом, выполняется условие \eqref, и поэтому $\$ сходится неравномерно на множестве $E$ к 0. $\blacktriangle$

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$. Обозначим
$$
S_(x) = \sum_^u_(x).\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называется равномерно сходящимся на множестве $E$, если на этом множестве определена функция $S(x)$ такая, что
$$
S_(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label
$$

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S(x)| < \varepsilon.\label
$$
где $S(x)$ — сумма ряда (14), a $S_(x)$ определяется формулой \eqref.

Пусть $r_(x) = S(x)-S_(x)$, то есть $r_(x)$ — $n$-й остаток ряда \eqref. Тогда условие \eqref примет вид
$$
r_(x) \rightrightarrows 0,\quad x \in E.\nonumber
$$
Это означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall x \in E \rightarrow |r_(x)| < \varepsilon.\label
$$

В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда \eqref на множестве $E$ необходимо и достаточно, чтобы
$$
\sup_|r_(x)| \rightarrow 0\ \mbox\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Если ряд \eqref сходится на множестве $E$, но не выполняется условие \eqref или равносильное ему условие \eqref, то говорят, что ряд \eqref сходится неравномерно на множестве $E$.

Следовательно, если
$$
\exists \varepsilon_ > 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |r_(\tilde)| \geq \varepsilon_,\label
$$
или
$$
\sup_|r_(x)| \nrightarrow 0\ \mbox\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то ряд \eqref сходится неравномерно на множестве $E$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$, если:

$u_(x) = x^,\ E_ = (-q, q),\ \mbox\ 0 < q < 1,\ E_= (-1, 1)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<(1 + nx)(1 + (n + 1)x)>,\ E_ = (\delta, +\infty),\ \mbox\ \delta > 0,\ E_ = (0, +\infty)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<(-1)^>>,\ E = (0, +\infty)$.

$\vartriangle$ В этом случае $S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^>$, $S(x) = \displaystyle\frac$ для любого $x \in E_$, то есть ряд сходится на множестве $E_$, а значит, и на $E_$.Для любого $x \in E_$ выполняется неравенство $|r_(x)| = \displaystyle\left|\frac\right| \leq \frac<|x|^><1-|x|>$, откуда следует, что $\displaystyle\sup_|r_(x)| \leq \frac$, и поэтому выполняется условие \eqref. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве $E_$.На множестве $E_$ ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем $\tilde = \displaystyle 1-\frac$. Тогда $\tilde \in E$ для любого $n \in \mathbb$ и $r_(\tilde) = \displaystyle n\left(1-\frac\right)^ \rightarrow +\infty$ при $n \rightarrow \infty$, откуда следует, что выполняется условие \eqref.
Так как $u_(x) = \displaystyle\frac-\frac$, то $S_(x) = \displaystyle\frac-\frac$. Если $x \in E_$, то $S_(x) \rightarrow S(x)$ при $n \rightarrow \infty$, где $S(x) = \displaystyle\frac$, и поэтому $r_(x) = \displaystyle\frac$.На множестве $E_$ ряд сходится равномерно, так как $|r_(x)| \leq \displaystyle\frac$, и поэтому выполняется условие \eqref, а на множестве $E_$ — неравномерно, так как $\displaystyle r_\left(\frac\right) = \frac$, и поэтому выполняется условие \eqref.
При каждом $x > 0$ последовательность $\displaystyle\left\<\frac>\right\>$ монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница ряд $\displaystyle\sum_^ <\infty>\frac<(-1)^>>$ сходится на множестве $E$, причем $|r_(x)| \leq |u_(x)| = \displaystyle\frac> \leq \frac<\sqrt>$, откуда следует, что выполняется условие \eqref. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве $E$. $\blacktriangle$

(критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд \eqref равномерно сходился на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^ u_(x)\right| < \varepsilon.\label
$$

$\circ$ По определению равномерная сходимость ряда \eqref на множестве $E$ означает равномерную сходимость последовательности $\(x)\>$ на $E$.

Согласно теореме 2 $S_(x) \rightrightarrows S(x)$ на $E$ тогда и только тогда, когда
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S_(x)| < \varepsilon.\label
$$
Так как $S_(x)-S_(x) = u_(x) + \ldots + u_(x)$, то условие \eqref равносильно условию \eqref. $\bullet$

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ > 0: \forall m \in \mathbb\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb\ \exists\ \tilde \in E: \left|\sum_^ u_(\tilde)\right| \geq \varepsilon_,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве $E$. В частности, если
$$
\exists \varepsilon_ > 0: \forall n_ \in \mathbb:\ \forall n \geq n_\ \exists\ x_ \in E: |u_(x_)| \geq \varepsilon_,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве $E$.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ не является равномерно сходящимся на множестве $E$, если:

$u_(x) = \displaystyle\frac>e^/x>,\ E = (0, +\infty)$;
$u_(x) = \displaystyle\fracx^>\operatorname \sqrt<\frac>,\ E = (0, 1)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac>,\ E = [0, 2\pi],\ 0 < \alpha \leq 1$.

$\vartriangle$ Пусть $x_ = x^$, тогда $u_(x_) = e^$, то есть выполняется условие \eqref.
Возьмем $x_ = \displaystyle\frac$ и воспользуемся тем, что $\operatorname x > x$ при $0 < x < \displaystyle\frac<\pi>$ (этот факт разбирали ранее). Тогда $u_(x_) = \displaystyle\frac\operatorname \frac> \frac$ при всех $n \in \mathbb$, то есть выполняется условие \eqref.
Возьмем $x_ = \displaystyle\frac<\pi><4(n + 1)>$; тогда $x_ \in E$ при любом $n \in \mathbb$. Если $n + 1 \leq k \leq 2n$, то $\displaystyle\frac<\pi>\leq kx_ \leq \frac<\pi>\frac< \frac<\pi>$, и поэтому $\displaystyle\sin kx_ \geq \sin \frac<\pi>= \frac<\sqrt>$ откуда следует, что
$$
\sum_^ \frac<\sin kx_>> \geq \frac<\sqrt> \sum_^ \frac> \geq \frac<\sqrt> \sum_^ \frac> \frac<\sqrt>n\frac= \frac<2\sqrt>,\nonumber
$$
так как $0 < \alpha \leq 1$. Следовательно, выполняется условие \eqref, и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве $[0, 2\pi]$ при $\alpha \in ()0, 1]$. $\blacktriangle$

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Если для функционального ряда \eqref можно указать такой сходящийся числовой ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, что для всех $n \geq n_$ и для всех $x \in E$ выполняется условие
$$
|u_(x)| \leq a_,\label
$$
то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$.

$\circ$ Согласно условию \eqref для любого $n \geq n_$, любого $p \in \mathbb$ и для каждого $x \in E$ выполняется неравенство
$$
\left|\sum_^u_(x)\right| \leq \sum_^|u_(x)| \leq \sum_^a_.\label
$$
Из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall p \in \mathbb\ \rightarrow \sum_^a_ < \varepsilon,\label
$$
а из \eqref и \eqref следует, что для ряда \eqref выполняется на множестве $E$ условие Коши \eqref, и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве $E$.

Абсолютная сходимость ряда \eqref для каждого $x \in E$ следует из правого неравенства \eqref. $\bullet$

Если сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, где $a_ = \sup_|u_(x)|$, то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ сходится равномерно на множестве $E$, если:

$u_(x) = \displaystyle\ln \left(1 + \frac>\right),\ E = [0, 3]$;
$u_(x) = \displaystyle\frac+ x^> \operatorname \frac,\ E = [-1, 1]$;
$u_(x) = \displaystyle\frac\cos nx><\displaystyle4 + \ln^(n + 1)x>,\ E = [1, +\infty)$;
$u_(x) = x^e^,\ E = (0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Так как при $t \geq 0$ справедливо неравенство $\ln(1 + t) \leq t$ (§ 17, пример 1, а)), то $|u_(x)| \leq \displaystyle\frac> \leq \frac>$ при всех $x \in [0, 3]$, и из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac>$ по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ на множестве [0,3].
Используя неравенство $|\operatorname t| \leq t$ для всех $t \in \mathbb$ (§ 17, (19)) и учитывая, что $|x| \leq 1$ и $n^ + x^ \geq n^$, получаем $|u_(x)| \leq \displaystyle\frac<|nx|> |\frac| \leq \frac$, откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [-1,1].
Так как $|\sin t| \leq |t|$ и $|\cos t| \leq 1$ для всех $t \in \mathbb$, а $x \geq 1$, то $|u_(x)| \leq \displaystyle\frac \leq \frac$. Из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^ <\infty>\frac$ следует равномерная сходимость ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ на множестве $[1, +\infty)$.
На промежутке $(0, +\infty)$ уравнение $u_'(x) = xe^(2-nx) = 0$ имеет единственный корень $x = x_ = \displaystyle\frac$, причем $u_'(x) > 0$ при $x \in (0, x_)$ и $u_'(x) < 0$ при $x >x_$. Поэтому $\displaystyle\sup_|u_(x)| = u_(x_) = \frace^$, и из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>\frace^$ следует равномерная сходимость ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ на множестве $(0, +\infty)$. $\blacktriangle$

Признак Дирихле.

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_(x)b_(x),\label
$$
сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:

последовательность $\(x)\>$, где $B_(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)$ равномерно ограничена на множестве $E$, то есть
$$
\exists M > 0\ \forall x \in E\ \forall n \in \mathbb \rightarrow |B_(x)| \leq M;\label
$$
последовательность $\$ монотонна на множестве $E$, то есть
$$
\forall x \in E\ \forall n \in \mathbb \rightarrow a_(x) \leq a_(x);\label
$$
и равномерно стремится к нулю, то есть
$$
a_(x) \rightrightarrows 0, \qquad x \in E.\label
$$

Условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall k \geq N_\ \forall x \in E \rightarrow |a_(x)| < \frac;\label
$$
Из \eqref, \eqref и \eqref следует, что для всех $n \geq N_$, для всех $p \in \mathbb$ и для всех $x \in E$ выполняется неравенство $\displaystyle\left|\sum_^a_(x)b_(x)\right| \leq \varepsilon$, и в силу критерия Коши ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$. $\bullet$

$\vartriangle$ Если $\alpha > 1$, то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на $\mathbb$, так как $|\sin x| \leq 1$, а ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac>$, где $\alpha > 1$, сходится.

Пусть $0 < \alpha < 1$. Тогда последовательность $\\>$, где $a_ = \displaystyle\frac>$, удовлетворяет условиям \eqref, \eqref. Полагая $B_(x) = \displaystyle\sum_^\sin kx$ и используя неравенство $|B_(x)| \leq \displaystyle\frac<\displaystyle\left|\sin \frac\right|>$, справедливое при $x \neq \pi m$, $m \in \mathbb$, получаем $|B_(x)| \leq \displaystyle\frac>$ для всех $x \in E$. По признаку Дирихле ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$.

Заметим, что на множестве $[0, 2\pi]$ ряд \eqref при $\alpha \in (0, 1]$ сходится неравномерно (пример 8, в)). $\blacktriangle$

Признак Абеля.

Ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:

ряд
$$
\sum_^<\infty>b_(x),\label
$$
сходится равномерно на множестве $E$;
последовательность $\$ монотонна на множестве $E$, то есть
$$
\forall n \in \mathbb\ \forall x \in E\ \rightarrow a_(x) \leq a_(x);\label
$$
и равномерно ограничена, то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb\ \forall x \in E\ \rightarrow |a_(x)| \leq M;\label
$$

$\circ$ Обозначим $B_^(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)$. Тогда ряд \eqref в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_ \forall j \in \mathbb\ \rightarrow |B_^(x)| < \frac.\label
$$
Используя преобразование Абеля, преобразуем сумму:
$$
\sigma = \sum_^a_(x)b_(x) = \sum_^

a_(x)b_(x).\nonumber
$$
Так как $b_(x) = \displaystyle B_^(x)-B_^(x)$, где $j = \overline$, $B_^(x) = 0$, то
$$
\sigma = \sum_^(a_(x)-a_(x)) B_^(x) + a_(x)B_

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке $[a, b]$ функции, а ряд \eqref сходится равномерно на $[a, b]$, то его сумма $S(x)$ также непрерывна на отрезке $[a, b]$.

$\circ$ Пусть $x_$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$. Для определенности будем считать, что $x_ \in (a, b)$.

Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x)\nonumber
$$
непрерывна в точке $x_$, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_(x_) \rightarrow |S(x)-S(x_)| < \varepsilon,\label
$$
где $U_(x_) = (x_-\delta, x_ + \delta) \subset [a, b]$.

По условию $S_(x) \rightrightarrows S(x)$, $x \in [a, b]$, где $S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)$, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_(x)| < \frac.\label
$$
Фиксируем номер $n_ \geq N_$. Тогда из \eqref при $n = n_$ получаем
$$
|S(x)-S_(x)| < \frac\label
$$
и, в частности, при $x = x_$ находим
$$
|S(x_)-S_(x_)| < \frac.\label
$$

Функция $S_>(x)$ непрерывна в точке $x_$ как сумма конечного числа непрерывных функций $u_(x)$, $k = \overline<1, n_>$. По определению непрерывности
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_(x_) \subset [a, b] \rightarrow |S_>(x)-S_>(x_)| < \frac.\label
$$

Так как $x_$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$, то функция S(x) непрерывна на отрезке $[a, b]$. $\bullet$