Какие точки принадлежат окружности?
Какие точки принадлежат окружности это те которые находятся на линии окружности или те которые внутри?
Голосование за лучший ответ
на линии окружности
внутри — принадлежат кругу
точки которые лежат на линии окружности
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Взаимное расположение точки и окружности
Существует 3 варианта взаимного расположения точки и окружности:
- Точка находится внутри круга, ограниченного окружностью:
- Точка находится на окружности:
- Точка находится вне круга, ограниченного окружностью:
Как отличить друг от друга эти варианты?
Вспомним определения окружности и круга:
Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.
Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.
Из определений следует, что точка принадлежит окружности тогда и только тогда, когда расстояние между ней и центром равно радиусу, открытому кругу (так называют круг, в который не входит его граница) — когда расстояние меньше радиуса, лежит вне круга — когда расстояние больше радиуса. Картинка ниже подтвеждает это.
Итак, определение положения точки относительно окружности сводится к вычислению расстояния между двумя точками (данной точкой и центром окружности) и сравнению этой величины с радиусом.
А как найти расстояние между двумя точками?
Точно так же, как длину отрезка или вектора с началом в одной из этих точек и концом в другой, — через теорему Пифагора.
Пусть координаты первой точки, А — \(x_1\) и \(y_1\), а второй, B — \(x_2\) и \(y_2\):
Построим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат, и гипотенузой AB:
Катет OB в нём равен \(x_2-x_1\), катет OA — \(y_1-y_2\), значит, гипотенуза AB – корню из их суммы, т. е. \[\sqrt\] Приведённая выше формула подходит для любых координат точек. Часто значения в скобках получаются отрицательными, в том числе и для катета OA в примере, но при возведении в квадрат знак теряется.
Ещё одна оговорка: при извлечении квадратного корня получается приближённое значение, которое может отличаться от привычного нам. Поэтому, если нам требуется сравнить расстояние с каким-то числом (что мы и собираемся сделать), удобнее не извлекать корень и сравнивать квадрат расстояния с квадратом числа.
Кстати, если вектор задан одной точкой, его длину можно определить по той же формуле, но чуть проще.
В самом деле, здесь \(x_1=y_1=0\), поэтому формула выглядит как \[\sqrt\] Также ей можно пользоваться, когда одна из точек или один из концов отрезка находится в точке (0;0). Разумеется, здесь тоже действуют оговорки, описанные выше.
Формула
Теперь нетрудно вывести формулу, по которой можно определить взаимное расположение точки и окружности.
Если \(px\) и \(py\) — координаты точки, \(ox\) и \(oy\) — координаты центра окружности, \(r\) — радиус окружности, то
- при \((ox-px)^2+(oy-py)^2\lt\) точка лежит внутри круга;
- при \((ox-px)^2+(oy-py)^2=\) точка лежит на окружности;
- при \((ox-px)^2+(oy-py)^2\gt\) точка лежит вне круга.
Четыре точки на окружности
Как известно, около любого треугольника можно провести окружность, следовательно, через любые три точки, не лежащие на одной прямой , можно провести единственную окружность. А вот четыре точки не всегда принадлежат одной окружности, так как не любой четырёхугольник можно вписать в окружность.
принадлежность точек окружности
Для ответа на вопрос о принадлежности четырех точек окружности необходимы признаки , которыми несложно пользоваться, если рассматривать точки как вершины четырёхугольника.
точки как вершины многоугольника
Признак принадлежности четырёх точек окружности
Четыре точки A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D принадлежат данной окружности, если для них, как для вершин четырёхугольника A B C D ABCD A BC D , выполняется любое равенство:
- ∠ A + ∠ C = 18 0 0 \angle A +\angle C =180^0 ∠ A + ∠ C = 18 0 0 (признак вписанного четырёхугольника).
- ∠ A C B = ∠ A D B \angle ACB = \angle ADB ∠ A CB = ∠ A D B (отрезок A B AB A B виден под одним углом из двух точек).
признак принадлежности точек окружности
Признак №2 во многих источниках формулируется таким образом:
«если отрезок A B AB A B из двух точек C C C и D D D , лежащих по одну сторону от прямой A B AB A B , виден под одним углом (т. е. углы A C B ACB A CB и A D B ADB A D B равны), то точки A , B , C A,B,C A , B , C и D D D лежат на одной окружности.»
Доказательство признака
доказательстов признака принадлежности четырёх точек окружности
Пусть . Докажем, что точки и принадлежат одной окружности.
Около треугольника опишем окружность. Пусть произвольная точка окружности, тогда четырёхугольник вписанный.
Имеем: , следовательно, четырёхугольник тоже вписан в окружность и точка принадлежит этой окружности.
Метод вспомогательной окружности
Если при решении задачи удается «увидеть» окружность проходящую через четыре точки, а затем доказать этот факт с помощью признаков , то мы получаем возможность использовать свойства окружности (особенно вписанных углов ). Рассмотрим этот метод в задачах.
Задача №1
Дан прямоугольный треугольник A B C ( �� = 9 0 0 ) ABC (��=90^0) A BC ( C = 9 0 0 ) . Из произвольной точки �� �� N катета �� �� ���� CB опущен перпендикуляр �� �� ���� N H на гипотенузу �� �� ���� A B . Докажите, что ∠ �� �� �� = ∠ �� �� �� \angle ������=\angle ������ ∠ N H C = ∠ N A C .
Окружность и круг
В этом уроке мы сформируем представление об окружности и ее элементах. Научимся строить окружность с помощью циркуля. Познакомим с понятиями окружность, центр окружности, радиус, хорда, диаметр. Введем термины: точка лежит на окружности, внутри (вне) окружности. Сформируем представление о круге. Определим расположение точек по отношению к кругу. Уточним разницу между окружностью и кругом.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.
2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.
3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ
Конспект урока «Окружность и круг»
На этом уроке мы познакомимся с понятиями окружности и круга. Научимся чертить окружность и круг.
Чертить окружности вы научились ещё в младших классах. Давайте вспомним, как происходит этот процесс. Для того чтобы начертить окружность мы должны установить остриё циркуля в некоторой точке О. Далее будем вращать ножку с карандашом.
Определение
Карандаш начертит на плоскости листа линию, которая и называется окружностью. Точка, в которой устанавливалось остриё циркуля, или точка О, называется центром окружности.
Давайте соединим центр окружности, т.е. точку О, с любой понравившейся вам точкой на окружности. Обозначим эту точку, например, буквой А. Видим, у нас получился отрезок ОА.
Определение
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Радиус обозначают маленькой латинской буквой r.
Отметим на этой окружности ещё несколько точек, например, В, С и D. И соединим их с центром окружности. Эти отрезки ОВ, ОС и OD также называют радиусами.
Все точки окружности равноудалены от её центра, т.е. удалены от центра на расстояние, равное длине радиуса.
Часто слово «длина» не произносят, а вместо «длина радиуса» говорят просто «радиус». Например, говорят: «Изображена окружность с радиусом, равным 3 см».
Теперь давайте соединим любые 2 точки на окружности, не проходящие через центр окружности, например, E и F. У нас получился отрезок EF.
Определение
Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.
Посмотрите внимательно на экран. На рисунке изображён отрезок АВ, он является диаметром окружности. По рисунку нетрудно заметить, что диаметр окружности равен двум её радиусам, т.е.
Диаметр обозначают маленькой латинской буквой d, тогда d = 2r.
Запомните, диаметр окружности в два раза длиннее радиуса.
Все диаметры окружности равны между собой.
Отметим на окружности 2 точки, например, M и N.
Определение
Эти 2 точки разделили окружность на 2 части, каждую из которых называют дугой.
На нашем рисунке они изображены линиями разного цвета.
Точки M и N называют концами дуг.
Окружность является замкнутой линией. Она разбивает плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю.
Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, вместе с этой окружностью называется кругом.
Окружность – это граница круга. Центром круга называется центр этой окружности. Радиусом круга называется радиус этой окружности. Диаметром круга называется диаметр этой окружности. Хордой круга называется хорда этой окружности.
Круг состоит из точек, удалённых от данной точки (его центра) на расстояние, меньшее или равное его радиусу.
Определение
Если в круге провести два его радиуса, например, ОА и ОВ, они выделят из круга его часть, которая называется сектором.
В нашем случае, получился сектор АОВ. Оставшаяся часть круга – также сектор.
Теперь давайте разберёмся с расположением точек, окружности и круга. Посмотрите внимательно на экран.
На нём изображена окружность с центром в точке О и точки А, В, С, D и E.
Точки А и Е лежат на окружности или ещё можно сказать принадлежат ей.
Точки В, С, D, O не принадлежат этой окружности.
Точки А, В, С, Е и О принадлежат кругу.
Точка D находится вне окружности или вне круга.
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с понятиями окружность, круг и их элементами. А также научились их чертить.