Разложение дроби в сумму элементарных дробей онлайн
Если , тогда дробь называется правильной. Элементарными дробями называют рациональные дроби вида:
здесь — натуральные числа, коэффициенты — действительные числа, причём корни полинома — являются комплексно-сопряжёнными (т.е. ).
Если знаменатель — разложен в произведение линейных и/или квадратичных сомножителей:
где — действительные корни полинома кратности соответственно, и где и комплексно-сопряженные корни кратности , то исходную дробь можно представить в виде:
Каждому линейному множителю вида , содержащемуся в соответствует разложение вида:
Каждому квадратичному множителю вида , содержащемуся в соответствует разложение вида:
Наш онлайн сервис позволяет разложить любую (правильную, неправильную) рациональную дробь в сумму элементарных дробей. В случае, если исходная дробь является неправильной, (т.е. если степень полинома в числителе дроби больше или равна степени полинома в знаменателе дроби) автоматически будет произведено деление числителя на знаменатель и выделение из полученного результата правильной дроби. Операция разложения рациональной дроби в сумму простейших дробей используется при нахождении интегралов от рациональных выражений.
Посмотреть пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно здесь .
Метод неопределенных коэффициентов
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A + B = 0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Решая ее, находим:
A = 1 /16;B = — 1 /9;C = — 5 /12;D = 7 /144;
Упростить логическое выражение
Решение по шагам
( a →c)→ b → a
Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.
Замена импликации: A → B = A v B
Учебно-методический
√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия
Библиотека материалов
√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект
Правила ввода данных
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Как разложить дробь на сумму простейших
Разложение дробей на сумму простейших является одним из основных методов работы с дробями. Оно позволяет свести задачу вычисления сложных дробей к более простым и понятным шагам. В данной статье мы рассмотрим подробное руководство по разложению дроби на сумму простейших для начинающих.
Прежде чем начать, необходимо понять, что такое простейшие дроби. Простейшая дробь представляет собой дробь, у которой числитель меньше знаменателя, то есть она несократима и не может быть представлена в виде другой дроби с меньшим числителем и знаменателем.
Когда мы разлагаем дробь на сумму простейших, мы ищем такие простейшие дроби, которые в совокупности образуют данную дробь. Для этого мы используем метод частного деления и факторизации знаменателя исходной дроби. В конечном итоге, мы получаем сумму простейших дробей, равную исходной дроби.
Первый шаг: Основы разложения дробей на сумму простейших
Разложение дроби на сумму простейших является важным методом в алгебре и математике в целом. Этот процесс позволяет нам представить дробь в виде суммы более простых и понятных дробей, что erleichtert их просмотр и анализ.
Чтобы научиться разлагать дроби на сумму простейших, сначала необходимо освоить основные концепции и правила. Вот несколько важных шагов для разложения дробей на сумму простейших:
- Разложите дробь на простейшие множители.
- Определите общий знаменатель для всех дробей в разложении.
- Перепишите дроби с найденным общим знаменателем.
- Найдите числители для каждой дроби в разложении.
Каждый из этих шагов необходим для точного и правильного разложения дроби на сумму простейших. Постепенно, по мере практики, вы будете все лучше и лучше понимать этот процесс и сможете разлагать дроби быстрее и более эффективно.
Важно также отметить, что разложение дроби на сумму простейших может быть полезно при работе с алгебраическими дробями, рациональными функциями или при решении уравнений.
Не сдавайтесь, если на первых этапах разложение дробей на сумму простейших кажется сложным. Со временем и практикой вы станете более уверенными в своих навыках и сможете легко разлагать дроби.
Продолжайте изучать математику и перейдите к следующему разделу о более сложных методах разложения дробей на сумму простейших.
Что такое разложение дроби на сумму простейших?
Разложение дроби на сумму простейших – это процесс представления дроби в виде суммы нескольких простых дробей. Простейшая дробь представляет собой дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Разложение дроби на простейшие дроби является важным и полезным методом, который помогает упростить и понять структуру дробей.
Разложение дроби на сумму простейших имеет ряд применений. Оно может использоваться для вычисления интегралов, расширения десятичных дробей в периодическую десятичную дробь, решения уравнений и многих других задач. Разложение дроби на простейшие дроби также позволяет лучше понять структуру дробей и их математические свойства.
Процесс разложения дроби на сумму простейших имеет свои правила и методы. В основе разложения лежит представление дроби в виде суммы дробей с простыми знаменателями. Для этого используются методы разложения на частные дроби, факторизации знаменателя и нахождения коэффициентов разложения.
Использование таблицы подстановки и системы уравнений позволяет получить набор простых дробей, сумма которых равна исходной дроби. Это разложение может быть удобно записано в виде сокращенной суммы, где каждая простейшая дробь имеет свою уникальную знаменательную часть.
Зачем разлагать дробь на сумму простейших
Разложение дроби на сумму простейших является одной из основных операций в алгебре и математике. Оно позволяет упростить выражение и представить его в виде суммы более простых дробей, что имеет ряд практических преимуществ.
1. Упрощение выражений
Разложение дроби на сумму простейших позволяет упростить сложные выражения, делая их более читаемыми и понятными. Вместо сложных и запутанных дробей мы получаем сумму простых и понятных выражений.
2. Выявление основных компонентов
Разложенная на простейшие дроби дробь позволяет нам увидеть ключевые компоненты выражения и легче анализировать его. Мы можем выделить основные составляющие и произвести соответствующую интерпретацию.
3. Решение сложных математических задач
Разложение дроби на сумму простейших используется при решении различных математических задач. Это позволяет облегчить вычисления и сделать задачу более простой для понимания и решения.
4. Расширение области применения
Разложение дроби на сумму простейших позволяет расширить область применения и использования дробей. Мы можем получать более точные результаты и проводить более сложные вычисления, используя разложенные дроби.
5. Облегчение дальнейших операций
После разложения дроби на сумму простейших нам легче производить дальнейшие операции с ней, такие как сложение, вычитание и умножение. Мы можем работать с каждой простейшей дробью отдельно, что облегчает и ускоряет процесс вычислений.
В итоге, разложение дроби на сумму простейших является важным инструментом в алгебре и математике. Оно позволяет нам упростить выражение, выявить основные компоненты, решить сложные задачи, расширить область применения и облегчить дальнейшие операции.
Второй шаг: Примеры разложения дробей
После того, как вы поняли основные принципы разложения дробей на сумму простейших, давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше разобраться.
- Пример 1: Дано: дробь 3/4. Шаг 1: Определяем, является ли числитель дроби простым числом. В данном случае числитель равен 3, и это простое число. Шаг 2: Разлагаем числитель на простые числа. В данном случае число 3 не требует разложения, так как оно уже простое. Шаг 3: Записываем разложение дроби с использованием простых чисел. В данном случае разложение будет выглядеть следующим образом: 3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4. Итак, дробь 3/4 может быть разложена на сумму трех простейших дробей, каждая из которых равна 1/4.
- Пример 2: Дано: дробь 5/6. Шаг 1: Определяем, является ли числитель дроби простым числом. В данном случае числитель равен 5, и это простое число. Шаг 2: Разлагаем числитель на простые числа. В данном случае число 5 не требует разложения, так как оно уже простое. Шаг 3: Записываем разложение дроби с использованием простых чисел. В данном случае разложение будет выглядеть следующим образом: 5/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6. Итак, дробь 5/6 может быть разложена на сумму пяти простейших дробей, каждая из которых равна 1/6.
- Пример 3: Дано: дробь 7/8. Шаг 1: Определяем, является ли числитель дроби простым числом. В данном случае числитель равен 7, и это простое число. Шаг 2: Разлагаем числитель на простые числа. В данном случае число 7 не требует разложения, так как оно уже простое. Шаг 3: Записываем разложение дроби с использованием простых чисел. В данном случае разложение будет выглядеть следующим образом: 7/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8. Итак, дробь 7/8 может быть разложена на сумму семи простейших дробей, каждая из которых равна 1/8.
Продолжайте тренироваться с различными дробями и вы быстро освоите навык разложения дробей на сумму простейших!
Пример разложения простой дроби
В этом разделе мы рассмотрим пример разложения простой дроби на сумму простейших, чтобы понять, как это делается.
Предположим, у нас есть дробь 2/3, и мы хотим разложить ее на сумму простейших. Дробь 2/3 означает, что мы имеем две части из трех возможных. Так как у нас только две части, то наша сумма будет состоять из двух простейших дробей.
Для начала разделим наше число на одно равное число:
Теперь найдем простейшую дробь, которая имеет знаменатель, равный этому числу. В нашем случае, это 1/3. Теперь мы можем выразить нашу изначальную дробь 2/3 при помощи этой простейшей дроби:
Таким образом, мы разложили дробь 2/3 на сумму двух простейших дробей: 1/3 + 1/3.
Это простой пример разложения дроби на сумму простейших. В более сложных случаях, вы можете нуждаться в применении различных методов и правил, чтобы получить правильный результат.
Пример разложения сложной дроби
Представим, что у нас есть сложная дробь:
Чтобы разложить эту дробь на сумму простейших, нужно произвести следующие шаги:
-
Шаг 1: Разложим каждое слагаемое числителя на простейшие.
Разложим $15x^3y^2$:
| Термин | Коэффициент | Степень $x$ | Степень $y$ |
|---|---|---|---|
| Термин 1 | 15 | 3 | 2 |
| Термин | Коэффициент | Степень $x$ | Степень $y$ |
|---|---|---|---|
| Термин 1 | 10 | 2 | 1 |
| Термин | Коэффициент | Степень $x$ | Степень $y$ |
|---|---|---|---|
| Термин 1 | -5 | 1 | 3 |
- Поделим каждый термин разложения $15x^3y^2$ на $5x^2y$:
- $\frac= 3$
- $\frac= x$
- $\frac= y$
Таким образом, первое слагаемое разложения дроби равно $3xy$.
- $\frac= 2$
- $\frac= 1$
- $\frac= 1$
Таким образом, второе слагаемое разложения дроби равно $2$.
- $\frac= -1$
- $\frac= \frac$
- $\frac= y^2$
Таким образом, третье слагаемое разложения дроби равно $- \fracy^2$.
Итак, разложение сложной дроби $\frac$ на сумму простейших выглядит следующим образом:
Третий шаг: Как разложить дробь на сумму простейших
Приветствуем вас на третьем шаге. В этом разделе мы рассмотрим, как разложить дробь на сумму простейших дробей. Начнем с примера:
Пример: Разложить дробь 3/10 на простейшие дроби.
Шаг 1: Выделите числитель дроби. В нашем случае это число 3.
Шаг 2: Найдите общий знаменатель дроби. В данном примере знаменатель уже общий, поскольку он равен 10.
Шаг 3: Разложите числитель на сумму двух чисел: числитель дроби и разность числа-числитель от осложненной дроби и числа-числитель от простейшей дроби.
В нашем примере, мы получаем:
Шаг 4: Распишите знаменатель в виде произведения знаменателей простейших дробей. В данном примере, знаменатель дроби 10 разлагается на произведение следующих знаменателей: 2 и 5.
Шаг 5: Таким образом, мы можем разделить изначальную дробь на две простейшие:
Дробь Знаменатель 3/10 10 3/10 = 3/2 + 0/5 2 · 5 Теперь вы знаете, как разложить дробь на сумму простейших дробей. Продолжайте практиковаться и применять эти шаги в других примерах для закрепления навыков.
Шаги по разложению дроби на сумму простейших
Разложение дроби на сумму простейших – это процесс представления дроби в виде суммы простейших дробей. Это очень полезный навык в алгебре, который позволяет упростить дробь и решать различные математические задачи. В этом разделе мы рассмотрим несколько шагов, которые помогут вам разложить дробь на сумму простейших.
- Шаг 1: Переведите дробь в неправильную дробь, если это необходимо. Если у вас имеется смешанная дробь, то ее необходимо преобразовать в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель. Получившееся число станет новым числителем, а знаменатель останется прежним.
- Шаг 2: Разложите полученную неправильную дробь на сумму простейших дробей. Для этого выразите полученную дробь в виде суммы двух или более дробей. Количество дробей зависит от типа дроби и числа слагаемых. Например, если знаменатель дроби – это полное квадратное уравнение, то вам понадобится две дроби.
- Шаг 3: Составьте уравнение для определения неизвестных коэффициентов. Каждая простейшая дробь в сумме имеет свой собственный знаменатель, который необходимо определить. Для этого выразите общий знаменатель как произведение всех отдельных знаменателей и составьте уравнение, где сумма дробей равна исходной дроби.
- Шаг 4: Решите полученное уравнение для нахождения значений неизвестных коэффициентов. Используйте методы решения систем уравнений или другие алгебраические методы для определения значений неизвестных коэффициентов. Это позволит вам получить точные числовые значения, которые потом подставите в разложение.
- Шаг 5: Запишите разложение дроби с полученными коэффициентами. После того, как вы найдете значения всех неизвестных коэффициентов, запишите разложение дроби с использованием найденных значений. В каждой дроби числителем будет значением коэффициента, а знаменателем – соответствующая дробь.
Теперь, когда вы знаете основные шаги по разложению дроби на сумму простейших, вы можете применять этот метод для решения различных задач в алгебре.
Вопрос-ответ
Как разложить дробь на сумму простейших?
Разложение дробей на сумму простейших — это процесс выражения дроби в виде суммы двух или более простых дробей. Он может быть полезен при интегрировании, нахождении частичных дробей и других математических операциях. Для разложения дроби на сумму простейших, нужно следовать определенным шагам. Во-первых, необходимо разложить знаменатель на линейные множители. Затем, необходимо записать каждый из этих множителей в виде простейшей дроби. Наконец, полученные простейшие дроби нужно сложить и упростить выражение.
Какие шаги нужно выполнить для разложения дроби на сумму простейших?
Для разложения дроби на сумму простейших, нужно выполнить следующие шаги: 1) Разложить знаменатель на линейные множители. 2) Записать каждый из этих множителей в виде простейшей дроби. 3) Сложить полученные простейшие дроби и упростить выражение.
Как разложить знаменатель на линейные множители?
Для разложения знаменателя на линейные множители, нужно найти все его множители и записать их в виде произведения простых линейных множителей. Например, если знаменатель имеет вид (x-1)(x+2)(x-3), то он разлагается на линейные множители (x-1), (x+2) и (x-3).
Как записать каждый множитель в виде простейшей дроби?
Для записи каждого множителя в виде простейшей дроби, нужно использовать метод частных дробей. Этот метод позволяет разложить множитель на сумму двух простых дробей. Сначала определяется общий знаменатель для этих дробей, а затем находятся числители каждой простой дроби. Например, если множитель имеет вид (x-1), то можно записать его как (A/(x-1)), где A — числитель простой дроби.
Как упростить разложение дроби на сумму простейших?
Чтобы упростить разложение дроби на сумму простейших, нужно сложить все простые дроби и привести полученное выражение к общему знаменателю. Затем, если это возможно, нужно сократить полученное выражение и упростить его. Например, если полученное выражение имеет вид (2/(x-1) + 3/x), то его можно упростить до ((2x+3)/(x(x-1))).
Теорема разложения рациональной дроби на простейшие
Методы разложения рациональных дробей на простейшие
При решении задач по алгебре встречаются разные числа. Одними из наиболее распространенных являются дроби. Дробные значения можно увидеть не только в примерах контрольной или самостоятельной работы, теоремах, функциях, интегралах по математике, но и в других предметных направлениях. Дробями обозначают значения физических величин, а также параметры геометрических фигур. Соответственно умение проводить подобные вычисления пригодятся и в обычной жизни, например, когда нужно узнать стоимость или вес товаров, определить габаритные размеры какого-либо предмета или рассчитать площадь помещения.
Ознакомление с темой стоит начать с понятия простейших дробных чисел. Такую категорию выделяют во множестве дробных значений. Рассмотрим наиболее простые численные записи дробей, к примеру:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Проанализируем записанные выражения. Заметим, что в том и другом случаях представляется возможным выразить знаменатель с помощью следующей записи:
При этом выполняется условие, при котором для первой дроби а имеет нулевое значение, а во втором дробном числе а равно 4. Представим, что имеется еще пара дробных чисел. Запишем их в такой форме:
Как и в предыдущем примере, начнем с анализа имеющихся записей. По аналогии выделим отдельно знаменатель дроби. Заметим, что в данном случае он несколько сложнее, а именно имеет общий вид:
Таким образом, изучая дробные числовые записи, можно сделать вывод о наличии такого понятия, как общий вид знаменателя. Когда запись под дробной чертой представляется возможным выразить в форме квадратного трехчлена, то есть \(x^2+px+q\) , тогда такое выражение либо получится, либо не получится разложить на множители.
Допустимо выполнить разложение многочлена на множители: \(x^2+7x-30 = (x+10)(x-3)\)
Отсутствует возможность для представления многочлена в виде множителей:
Подводя итог вышесказанному, целесообразно сформулировать одно из главных понятий рассматриваемой темы. Представим расшифровку для термина простых дробных чисел.
Простейшие (элементарные) дробные числа представляют собой дроби следующих форматов записей:
в которых не представляется возможным выполнить разложение трехчлена \(x^2+px+q\) на множители \((p^2-4q \lt 0)\) .
В результате было сформулировано достаточно точное и понятное определение простых дробных чисел. Данную расшифровку полезно использовать при решении задач, когда требуется идентифицировать то или иное дробное значение из условия. Выявление простейшей дроби позволяет применить закономерности и правила для представления числовой записи в виде нескольких множителей. Тогда расчеты значительно упрощаются, а на поиск ответа к заданию тратится меньше времени за счет сокращения объемов вычислений.
Запишем несколько типичных примеров элементарных дробных чисел, которые нередко встречаются в заданиях по алгебре:
Ранее было озвучено, что имеется некое правило, позволяющее упростить и сократить вычисления в процессе работы с простейшими дробями. Такая закономерность действительно существует и часто используется для преобразования громоздких математических выражений в более удобный для проведения расчетов формат. Представим формулировку этого правила.
Какую-либо рациональную алгебраическую дробь допустимо разложить на сумму элементарных дробных чисел, и лишь одним методом.
Процесс выделения слагаемых реализован поэтапно. Предусмотрен стандартный алгоритм действий на этот случай. Разберемся в порядке операций на примере произвольного дробного числа. Представим, что имеется дробь, которую согласно ранее озвученного определения нельзя отнести к числу элементарных:
Далее применим метод разложения записанного дробного числа для получения пары простейших дробей:
Анализируя запись несложно выявить равенство знаменателей, что свидетельствует о соответствующем равенстве дробных чисел. Таким образом, числители аналогично обладают одинаковыми значениями. Представим это заключение в формате алгебраического соотношения:
В данном случае будет полезно вспомнить одно из ключевых свойств, характерных для многочленов. С его помощью получится продолжить вычисления по разложению дробного числа.
При условии равенства многочленов коэффициенты при соответствующих степенях переменной имеют одинаковые значения.
Продолжим решение задачи. Руководствуясь записанным правилом, выполним сборку коэффициентов следующим образом:
\(x^0 \mid 1 = -3A+10B\)
В результате несложных преобразований получилось составить стандартную систему, в состав которой входит пара линейных уравнений, обладающих двумя неизвестными. Продолжим расчеты:
\(<\left\< \begin A+B = 4 | \times 3 \\ -3A+10B = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3A+3B = 12 \\ -3A+10B = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A = 4-B \\ 13B = 13 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A = 3 \\ B = 1 \end \right.>\)
На следующем этапе целесообразно представить дробное число в формате суммирования элементарных дробей, а именно:
Примечание 1
В настоящее время эффективная методика разложения дроби, как рассмотрено в примере, используется повсеместно при решении различных задач по алгебре и в других научных направлениях. Этот способ авторства Декарта был сформулирован еще в XVII веке. Методику назвали, как метод неопределенных коэффициентов.
Исходя из вышесказанного и особенностей решения практического примера, составим инструкцию к разложению рациональной дроби. В этом случая запишем выражения в обобщенном виде, чтобы упростить применение руководства к действию для решения различных задач. В результате получается универсальный алгоритм:
- разложение знаменателя, который присутствует в записи рационального дробного числа \(\frac\) , на множители в форме \((x-a) и (x^2+px+q), p^2-4q \lt 0\) ;
- запись дробного числа в виде сложения элементарных дробей, имеющих неопределенные коэффициенты: \(\frac= \frac+ \frac+ ⋯ \) ;
- приведение суммы в правой части выражения к единому знаменателю;
- приравнивание коэффициентов, которые принадлежат дробным числам с левой и правой стороны, при условии равенства степеней переменной;
- решение сформированной системы, состоящей из линейных уравнений, с последующим вычислением коэффициентов А, В, …
Примеры решения задач
Дано несколько типичных рациональных дробных чисел:
Требуется, используя рассмотренные в теоретическом разделе закономерности и стандартный алгоритм, представить данные выражения в виде элементарных дробей.
Начнем решать задание по порядку. Проанализируем первое выражение из условия:
\(\frac\)Заметим, что в данном случае имеется возможность для разложения знаменателя в виде записи множителей:
На следующем шаге необходимо воспользоваться стандартным алгоритмом действий и записать процесс разложения с учетом неопределенных коэффициентов:
Очевидна возможность для упрощения записи путем нескольких несложных математических преобразований:
Заметим наличие в алгебраическом соотношении идентичных степеней. Этот факт позволяет воспользоваться удобным приемом и уравнять коэффициенты:
\(<\left\< \begin A+B = 2 |\times 2 \\ 3A+2B = -7 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 2A+2B = 4 \\ 3A+2B = -7 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A = -11 \\ B = 2-A = 13 \end \right.>\)
По итогам решения простой системы получим искомый ответ. Таким образом, разложить первоначальное дробное число можно следующим способом:
Перейдем ко второму выражению. Заметим, что по аналогии с предыдущими вычислениями в данном случае речь также идет о дробном рациональном числе:
Вновь воспользуемся типичным алгоритмом действий. Согласно стандартной инструкции, которая уже знакома из теоретической части, выполним разложение знаменателя для получения нескольких множителей:
Далее воспользуемся эффективным приемом, чтобы разложить полученное математическое соотношение с учетом неопределенных коэффициентов:
Продолжим несложные вычисления, как и с предыдущими примерами:
В результате можно сформировать систему, которую достаточно просто решить:
Сформулируем окончательный ответ в виде записи разложения рационального дробного числа на слагаемые в форме элементарных дробей:
Разберем следующий пример:
Здесь также представлено рациональное дробное число, которое допустимо разложить на сумму с помощью стандартного алгоритма алгебраических операций. В данном случае сопроводим вычисления краткими пояснениями, так как процесс практически не отличается от решения предыдущих заданий. Выполним разложение знаменателя:
Воспользуемся приемом работы с неопределенными коэффициентами:
Продолжим математические преобразования:
Сформируем систему из пары выражений, которую несложно решить стандартным способом:
\(<\left\< \begin A+B = 1 | \times 5 \\ 5A+5B = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5A+5B = 5 \\ 5A-5B = 5\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 10A = 20 \\ B = 1-A \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A = 2 \\ B = -1 \end \right.>\)
В результате получим следующее справедливое равенство:
Перейдем к последнему примеру из задачи:
Руководствуясь полезной инструкцией, выполним математические действия и преобразования по порядку. Начнем с разложения знаменателя:
Далее воспользуемся принципом разложения с учетом коэффициентов, которые являются неопределенными:
Продолжим вычисления по аналогии с другими примерами из этого задания:
Составим систему для выполнения дальнейших расчетов:
В итоге несложных преобразований получилось следующее верное соотношение:
Требуется разложить на простейшие дроби выражения, представленные ниже:
Начнем с первого выражения. Заметим, что оно записано в виде рационального дробного числа. Таким образом, здесь целесообразно воспользоваться стандартным алгоритмом действий, рассмотренным ранее в теоретической части. Выполним поэтапно все необходимые преобразования и запишем ответ:
\(7x-11 = A(x+3)^2+Bx(x+3)+Cx = A(x^2+6x+9)+B(x^2+3x)+Cx = (A+B) x^2+(6A+3B+C)x+9A\)
\(<\left\< \begin A+B = 0 \\ 6A+3B+C = 7 \\ 9A = 18 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A = 2 \\ B = -2 \\ C = 7-6A-3B = 7-12+6 = 1 \end \right.>\)
В результате получим:
Перейдем к следующему дробному числу:
В этом примере расчеты несколько отличаются, но принцип действий остается без изменений:
\(8x^3+3x^2-4 = A(x+2)(x^2+4)+B(x-2)(x^2+4)+(Cx+D)(x^2-4) = A(x^3+2x^2+4x+8)+B(x^3+2x^2+4x-8)+C(x^3-4x)+D(x^2-4) = (A+B+C) x^3+(2A+2B+D) x^2+(4A+4B-4C)x+(8A-8B-4D)\)
\(<\left\< \begin A+B+C = 8 \\ 2A+2B+D = 3 \\ 4A+4B-4C = 0 \\ 8A-8B-4D = -4 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A+B+C = 8 \\ 2A+2B+D = 3 \\ A+B-C = 0 \\ 2A-2B-D = -1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 2(A+B) = 8 \\ 2C = 8 \\ 4A = 2 \\ 4B+2D = 4 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin A = 0,5 \\ B = 4-A = 3,5 \\ C = 4 \\ D = 2-2B = -5 \end \right.>\)
В итоге несложных математических преобразований и решения системы получим такой результат: