Сколько существует таких натуральных чисел n
Сколько существует таких натуральных n , не превосходящих 2012, что сумма 1 n + 2 n + 3 n + 4 n оканчивается на 0?
Решение 1
Разберём три случая.
1) n нечётно. Тогда число 1 n + 4 n нечётно и делится на 1 + 4 = 5. Следовательно, оно оканчивается на 5. Аналогично на 5 оканчивается число БикЮ 2 n + 3 n . Значит, данная сумма оканчивается на 0.
2) n = 4 k + 2. Тогда число 1 n + 2 n нечётно и делится на 1² + 2² = 5. Следовательно, оно оканчивается на 5. Число 3 n + 4 n также нечётно и делится на 3² + 4² = 25. Снова наша сумма оканчивается на 0.
3) n = 4 k . Последняя цифра чисел 2 4 и 4 4 равна 6. Значит, и последняя цифра чисел 2 n = (2 4 ) k и 4 n = (4 4 ) k равна 6. Аналогично последняя цифра числа 3 n равна 1. Следовательно, наша сумма оканчивается на 4.
Среди 2012 последовательных чисел чисел, кратных 4, ровно четверть, то есть 503. А «хороших» чисел 2012 – 503 = 1509.
Решение 2
Составим таблицу значений последних цифр у каждого слагаемого и у суммы для нескольких начальных значений n .
При n = 5 последние цифры у всех слагаемых такие же, как и при n = 1, значит общий период повторения последних цифр равен 4. При этом, для каждых четырёх последовательных значений n ровно в трёх случаях сумма оканчивается на 0.
Так как 2012 : 4 = 503, то искомое количество равно 503·3 = 1509.
Ответ
Источники и прецеденты использования
олимпиада | |
Название | Московская математическая регата |
год | |
Год | 2011/12 |
класс | |
Класс | 8 |
задача | |
Номер | 8.3.3 |
Сколько существует таких натуральных N, больших 700
Сколько существует таких натуральных N, больших 700, что среди чисел 3N, N−700 , N+35, 2N ровно два четырехзначных?
2N и 3N всегда будут больше, чем N-35 и N-700. Рассмотрим три варианта.
1. Пусть 2N и 3N будут четырехзначными (2N>700*2 = 1400, 3N>700*3 = 2100) и 9999>=3N>2N → N
Значит нужно определить те числа, для которых N-700 и N+35 будут трехзначными.
999+700=1699>N, N
Таким образом, получаем, что удовлетворяющее условию N принадлежит отрезку [701, 964] 264 числа
2. Если 2N четырехзначное, а 3N — нет:
2N10000
n3333
Тогда для чисел из этого отрезка, N-700 принадлежит (2633, 4300) N-35 принадлежит (3298, 4965)
Получаем три четырехзначных числа
3. Пусть теперь и 2N, и 3N — более чем четырехзначные
N>=5000
Тогда 2N>=10000, 3N>=15000
N-700 принадлежит [4300, +inf)
N-35 принадлеит [4965, +inf)
Здесь нам подойдут те N, для которых N-35 всё ещё 4хзначное.
N-35 Так N-700 Итого N может принадлежать [5000, 9964]
4965 значений.
Сколько существует таких натуральных N, больших 900, что среди чисел 3N, N−900, N+15, 2N ровно два четырехзначных?
Задайте свой вопрос по математике
профессионалам
● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Другие вопросы на эту тему:
Сколько существует таких натуральных N, больших 700
Сколько существует таких натуральных N, больших 700, что среди чисел 3N, N−700 , N+35, 2N ровно два четырехзначных?
Сколько существует таких натуральных
Сколько существует таких натуральных N, больших 300, что среди чисел 4N, N−300, N+45, 2N ровно два четырехзначных?
Сколько существует таких натуральных N
Сколько существует таких натуральных N, больших 900, что среди чисел 3N, N−900, N+15, 2N ровно два четырехзначных?
Еще Часть С. Пожалуйста, помогите
(1) При каких значениях параметра а множество значений функции
y = (8x — 20) / (a — x^2) не содержит ни одного значения из отрезка [-4;-1]. В ответе указать наибольшее натуральное а, удовлетворяющее условию задачи.
(2) Найти все целые n, при которых справедливо равенство
(n^2 + 3n + 5) / (n + 2) = 1 + sqrt(6 — 2n)
Сколько существует натуральных чисел n, для которых из неравенств n>5, n>10, n>20, n
если только одно, то может n (5;40), след, 35 натуральных чисел. .
Остальные ответы
от 10 до 80 т. е. 68
74 числа от 6 до 79. Не выполняется только неравенство n<40.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.