Сколько существует таких натуральных чисел n
Перейти к содержимому

Сколько существует таких натуральных чисел n

  • автор:

Сколько существует таких натуральных чисел n

Сколько существует таких натуральных n , не превосходящих 2012, что сумма 1 n + 2 n + 3 n + 4 n оканчивается на 0?

Решение 1

Разберём три случая.
1) n нечётно. Тогда число 1 n + 4 n нечётно и делится на 1 + 4 = 5. Следовательно, оно оканчивается на 5. Аналогично на 5 оканчивается число БикЮ 2 n + 3 n . Значит, данная сумма оканчивается на 0.
2) n = 4 k + 2. Тогда число 1 n + 2 n нечётно и делится на 1² + 2² = 5. Следовательно, оно оканчивается на 5. Число 3 n + 4 n также нечётно и делится на 3² + 4² = 25. Снова наша сумма оканчивается на 0.
3) n = 4 k . Последняя цифра чисел 2 4 и 4 4 равна 6. Значит, и последняя цифра чисел 2 n = (2 4 ) k и 4 n = (4 4 ) k равна 6. Аналогично последняя цифра числа 3 n равна 1. Следовательно, наша сумма оканчивается на 4.
Среди 2012 последовательных чисел чисел, кратных 4, ровно четверть, то есть 503. А «хороших» чисел 2012 – 503 = 1509.

Решение 2

Составим таблицу значений последних цифр у каждого слагаемого и у суммы для нескольких начальных значений n .

При n = 5 последние цифры у всех слагаемых такие же, как и при n = 1, значит общий период повторения последних цифр равен 4. При этом, для каждых четырёх последовательных значений n ровно в трёх случаях сумма оканчивается на 0.
Так как 2012 : 4 = 503, то искомое количество равно 503·3 = 1509.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.3

Сколько существует таких натуральных N, больших 700

Сколько существует таких натуральных N, больших 700, что среди чисел 3N, N−700 , N+35, 2N ровно два четырехзначных?

2N и 3N всегда будут больше, чем N-35 и N-700. Рассмотрим три варианта.

1. Пусть 2N и 3N будут четырехзначными (2N>700*2 = 1400, 3N>700*3 = 2100) и 9999>=3N>2N → N

Значит нужно определить те числа, для которых N-700 и N+35 будут трехзначными.
999+700=1699>N, N

Таким образом, получаем, что удовлетворяющее условию N принадлежит отрезку [701, 964] 264 числа

2. Если 2N четырехзначное, а 3N — нет:
2N10000
n3333
Тогда для чисел из этого отрезка, N-700 принадлежит (2633, 4300) N-35 принадлежит (3298, 4965)
Получаем три четырехзначных числа

3. Пусть теперь и 2N, и 3N — более чем четырехзначные
N>=5000
Тогда 2N>=10000, 3N>=15000
N-700 принадлежит [4300, +inf)
N-35 принадлеит [4965, +inf)
Здесь нам подойдут те N, для которых N-35 всё ещё 4хзначное.
N-35 Так N-700 Итого N может принадлежать [5000, 9964]
4965 значений.

Сколько существует таких натуральных N, больших 900, что среди чисел 3N, N−900, N+15, 2N ровно два четырехзначных?

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

Сколько существует таких натуральных N, больших 700

Сколько существует таких натуральных N, больших 700, что среди чисел 3N, N−700 , N+35, 2N ровно два четырехзначных?

Сколько существует таких натуральных ��

Сколько существует таких натуральных N, больших 300, что среди чисел 4N, N−300, N+45, 2N ровно два четырехзначных?

Сколько существует таких натуральных N

Сколько существует таких натуральных N, больших 900, что среди чисел 3N, N−900, N+15, 2N ровно два четырехзначных?

Еще Часть С. Пожалуйста, помогите

(1) При каких значениях параметра а множество значений функции
y = (8x — 20) / (a — x^2) не содержит ни одного значения из отрезка [-4;-1]. В ответе указать наибольшее натуральное а, удовлетворяющее условию задачи.

(2) Найти все целые n, при которых справедливо равенство
(n^2 + 3n + 5) / (n + 2) = 1 + sqrt(6 — 2n)

Сколько существует натуральных чисел n, для которых из неравенств n>5, n>10, n>20, n

если только одно, то может n (5;40), след, 35 натуральных чисел. .

Остальные ответы

от 10 до 80 т. е. 68

74 числа от 6 до 79. Не выполняется только неравенство n<40.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *