Как создать обратимую матрицу python numpy
Перейти к содержимому

Как создать обратимую матрицу python numpy

  • автор:

Как создать матрицу в numpy: простой руководство с примерами ��

Чтобы создать матрицу в библиотеке NumPy, можно использовать функцию numpy.array(). Передайте список или кортеж подходящего размера в эту функцию, чтобы создать матрицу. Вот пример:

 import numpy as np # Создание матрицы 2x3 matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) print(matrix) 

В результате получаем матрицу размером 2×3:

 [[1 2 3] [4 5 6]] 

Мы используем np.array() для создания матрицы и передаем список, содержащий строки, в которых указаны элементы каждой строки матрицы. Надеюсь, это объяснение поможет!

Детальный ответ

Как создать матрицу в NumPy

В этой статье мы рассмотрим, как создать матрицу в библиотеке NumPy. NumPy — это популярная библиотека для научных вычислений в Python, которая обеспечивает удобные и эффективные средства для работы с многомерными массивами.

Создание матрицы

Существует несколько способов создания матрицы в NumPy. Рассмотрим некоторые из них.

Создание матрицы из списка или массива

Самый простой способ создать матрицу — передать двумерный список или массив в функцию np.array(). Каждый вложенный список или подмассив будет представлять строку матрицы.

import numpy as np matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) print(matrix) 

В этом примере мы создали матрицу 3×3 с элементами от 1 до 9.

Создание матрицы с помощью функции zeros или ones

Функция np.zeros() создает матрицу заданной формы, заполненную нулями:

import numpy as np matrix = np.zeros((3, 4)) print(matrix) 

В этом примере мы создали матрицу размером 3×4, заполненную нулями. Аналогично, функция np.ones() создает матрицу заданной формы, заполненную единицами:

import numpy as np matrix = np.ones((2, 2)) print(matrix) 

В этом примере мы создали матрицу размером 2×2, заполненную единицами.

Создание матрицы с помощью функции arange

Функция np.arange() создает матрицу с последовательностью чисел:

import numpy as np matrix = np.arange(1, 10).reshape(3, 3) print(matrix) 

В этом примере мы создали матрицу 3×3 с последовательностью чисел от 1 до 9.

Создание матрицы с помощью функции linspace

Функция np.linspace() создает матрицу с равномерно распределенной последовательностью чисел:

import numpy as np matrix = np.linspace(0, 1, 5).reshape(1, 5) print(matrix) 

В этом примере мы создали матрицу размером 1×5 с равномерно распределенными числами от 0 до 1.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели несколько способов создания матрицы в библиотеке NumPy. Вы можете выбрать подходящий способ в зависимости от ваших потребностей. NumPy предоставляет множество других функций для работы с матрицами, таких как транспонирование, умножение и нахождение обратной матрицы. Изучение этих функций позволит вам эффективно работать с матрицами в Python.

�� Как создать матрицу через numpy: простое руководство с шагами

Чтобы создать матрицу с использованием библиотеки numpy, вы можете воспользоваться функцией numpy.array(). Вот как это делается:

 import numpy as np matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 

В этом примере мы создали матрицу 3×3 с элементами от 1 до 9. Вы можете указать любые значения, которые вам необходимы, вместо этих чисел. Обратите внимание, что элементы матрицы указываются в виде списка списков. Надеюсь, это поможет вам создавать матрицы с помощью numpy!

Детальный ответ

Добро пожаловать! Сегодня мы обсудим, как создать матрицу с помощью библиотеки numpy. Numpy — это мощная библиотека для научных вычислений в языке программирования Python, которая предоставляет множество функций для работы с массивами и матрицами. Для создания матрицы с помощью numpy, мы будем использовать функцию numpy.array(). Эта функция принимает на вход список списков или двумерный массив и возвращает numpy-матрицу.

 import numpy as np matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 

В приведенном выше примере мы создали матрицу размером 3×3. Каждый вложенный список представляет собой строку матрицы. В данном случае, первая строка содержит числа 1, 2 и 3. Вторая строка содержит числа 4, 5 и 6, а третья строка — числа 7, 8 и 9. Вы также можете создать матрицу с помощью других функций numpy, таких как numpy.zeros() или numpy.ones(). Функция numpy.zeros() создает матрицу, заполненную нулями, указанного размера, а функция numpy.ones() создает матрицу, заполненную единицами.

 zeros_matrix = np.zeros((2, 3)) ones_matrix = np.ones((3, 2)) 

В приведенных выше примерах мы создали матрицы размеров 2×3 и 3×2 соответственно. Матрица zeros_matrix содержит только нули, а матрица ones_matrix — только единицы. Вы можете создать матрицу с помощью функции numpy.arange(), которая создает последовательность чисел. Эта функция принимает параметры начального значения, конечного значения и шага.

 sequence_matrix = np.arange(1, 10, 2) 

В приведенном выше примере мы создали матрицу, содержащую последовательность чисел от 1 до 9 с шагом 2. Если вы хотите создать матрицу со случайными значениями, вы можете использовать функцию numpy.random.random(). Эта функция создает матрицу заданного размера, заполненную случайными числами от 0 до 1.

 random_matrix = np.random.random((3, 3)) 

В приведенном выше примере мы создали матрицу размером 3×3, заполненную случайными числами. Это основные способы создания матрицы с помощью библиотеки numpy. Надеюсь, данная статья помогла вам разобраться в этой теме!

�� Как создать матрицу в python numpy: подробное руководство ��

Теперь у вас есть базовое представление о том, как создать матрицу в Python с использованием библиотеки NumPy.

Детальный ответ

Как создать матрицу в Python с помощью библиотеки NumPy

NumPy — это библиотека для работы с массивами и матрицами в языке программирования Python. Она предоставляет инструменты для создания, манипулирования и выполнения различных операций над массивами и матрицами. В этой статье мы рассмотрим, как создать матрицу с использованием NumPy.

Установка библиотеки NumPy

Перед тем, как мы начнем создание матрицы, убедитесь, что у вас установлена библиотека NumPy. Если вы еще не установили ее, вы можете установить ее с помощью следующей команды:

pip install numpy

Импортирование библиотеки NumPy

Первым шагом в создании матрицы в Python с помощью NumPy является импортирование самой библиотеки. Выполните следующую команду, чтобы импортировать NumPy:

import numpy as np

Создание матрицы в NumPy

Существуют несколько способов создания матрицы в NumPy. Рассмотрим несколько наиболее распространенных:

1. Создание матрицы из списка списков

Один из способов создания матрицы в NumPy — это использование списка списков. Каждый вложенный список представляет одну строку матрицы. Ниже приведен пример:

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

В результате получаем матрицу размером 3×3:

[[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]]
2. Создание нулевой матрицы

Вы также можете создать матрицу заданного размера, заполненную нулями. Для этого используйте функцию np.zeros(). Ниже приведен пример:

matrix = np.zeros((3, 3))

В результате получаем нулевую матрицу размером 3×3:

[[0. 0. 0.] [0. 0. 0.] [0. 0. 0.]]
3. Создание единичной матрицы

Единичная матрица — это матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0. Вы можете создать единичную матрицу с помощью функции np.eye(). Ниже приведен пример:

matrix = np.eye(3)

В результате получаем единичную матрицу размером 3×3:

[[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]]
4. Создание случайной матрицы

Если вам нужна случайная матрица, вы можете воспользоваться функцией np.random.random(). Ниже приведен пример создания случайной матрицы размером 3×3:

matrix = np.random.random((3, 3))

Заключение

В этой статье мы рассмотрели различные способы создания матрицы в Python с помощью библиотеки NumPy. Вы можете выбрать подходящий способ в зависимости от ваших потребностей. NumPy предоставляет мощные и удобные инструменты для работы с массивами и матрицами, что делает работу с ними проще и эффективнее.

NumPy: матрицы и операции над ними

В этом ноутбуке из сторонних библиотек нам понадобится только NumPy. Для удобства импортируем ее под более коротким именем:

import numpy as np 

1. Создание матриц

Приведем несколько способов создания матриц в NumPy.

Самый простой способ — с помощью функции numpy.array(list, dtype=None, . ).

В качестве первого аргумента ей надо передать итерируемый объект, элементами которого являются другие итерируемые объекты одинаковой длины и содержащие данные одинакового типа.

Второй аргумент является опциональным и определяет тип данных матрицы. Его можно не задавать, тогда тип данных будет определен из типа элементов первого аргумента. При задании этого параметра будет произведена попытка приведения типов.

Например, матрицу из списка списков целых чисел можно создать следующим образом:

a = np.array([1, 2, 3]) # Создаем одномерный массив print(type(a)) # Prints "" print(a.shape) # Prints "(3,)" - кортеж с размерностями print(a[0], a[1], a[2]) # Prints "1 2 3" a[0] = 5 # Изменяем значение элемента массива print(a) # Prints "[5, 2, 3]" b = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # Создаем двухмерный массив print(b.shape) # Prints "(2, 3)" print(b[0, 0], b[0, 1], b[1, 0]) # Prints "1 2 4" print(np.arange(1, 5)) #Cоздает вектор с эелементами от 1 до 4 
 (3,) 1 2 3 [5 2 3] (2, 3) 1 2 4 [1 2 3 4]
matrix = np.array([[1, 2, 3], [2, 5, 6], [6, 7, 4]]) print ("Матрица:\n", matrix) 
Матрица: [[1 2 3] [2 5 6] [6 7 4]]

Второй способ создания — с помощью встроенных функций numpy.eye(N, M=None, . ), numpy.zeros(shape, . ), numpy.ones(shape, . ).

Первая функция создает единичную матрицу размера N×M ; если M не задан, то M = N .

Вторая и третья функции создают матрицы, состоящие целиком из нулей или единиц соответственно. В качестве первого аргумента необходимо задать размерность массива — кортеж целых чисел. В двумерном случае это набор из двух чисел: количество строк и столбцов матрицы.

Примеры:

b = np.eye(5) print ("Единичная матрица:\n", b) 
Единичная матрица: [[1. 0. 0. 0. 0.] [0. 1. 0. 0. 0.] [0. 0. 1. 0. 0.] [0. 0. 0. 1. 0.] [0. 0. 0. 0. 1.]]
c = np.ones((7, 5)) print ("Матрица, состоящая из одних единиц:\n", c) 
Матрица, состоящая из одних единиц: [[1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.]]
d = np.full((2,2), 7) # Создает матрицу (1, 2) заполненую заданным значением print(d) # Prints "[[ 7. 7.] # [ 7. 7.]]" e = np.random.random((2,2)) # Создает еденичную матрицу (2, 2) заполненую случаными числами (0, 1) print(e) # Might print "[[ 0.91940167 0.08143941] # [ 0.68744134 0.87236687]]" 
[[7 7] [7 7]] [[0.25744383 0.48056466] [0.13767881 0.40578168]]

Обратите внимание: размерность массива задается не двумя аргументами функции, а одним — кортежем!

Вот так — np.ones(7, 5) — создать массив не получится, так как функции в качестве параметра shape передается 7, а не кортеж (7, 5).

И, наконец, третий способ — с помощью функции numpy.arange([start, ]stop, [step, ], . ), которая создает одномерный массив последовательных чисел из промежутка [start, stop) с заданным шагом step, и метода array.reshape(shape).

Параметр shape, как и в предыдущем примере, задает размерность матрицы (кортеж чисел). Логика работы метода ясна из следующего примера:

v = np.arange(0, 24, 2) print ("Вектор-столбец:\n", v) 
Вектор-столбец: [ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22]
d = v.reshape((3, 4)) print ("Матрица:\n", d) 
Матрица: [[ 0 2 4 6] [ 8 10 12 14] [16 18 20 22]]

Более подробно о том, как создавать массивы в NumPy, см. документацию.

2. Индексирование

Для получения элементов матрицы можно использовать несколько способов. Рассмотрим самые простые из них.

Для удобства напомним, как выглядит матрица d:

print ("Матрица:\n", d) 
Матрица: [[ 0 2 4 6] [ 8 10 12 14] [16 18 20 22]]

Элемент на пересечении строки i и столбца j можно получить с помощью выражения array[i, j].

Обратите внимание: строки и столбцы нумеруются с нуля!

print ("Второй элемент третьей строки матрицы:", d[2, 1]) 
Второй элемент третьей строки матрицы: 18

Из матрицы можно получать целые строки или столбцы с помощью выражений array[i, :] или array[:, j] соответственно:

print ("Вторая строка матрицы d:\n", d[1, :]) print ("Четвертый столбец матрицы d:\n", d[:, 3]) 
Вторая строка матрицы d: [ 8 10 12 14] Четвертый столбец матрицы d: [ 6 14 22]

Еще один способ получения элементов — с помощью выражения array[list1, list2], где list1, list2 — некоторые списки целых чисел. При такой адресации одновременно просматриваются оба списка и возвращаются элементы матрицы с соответствующими координатами. Следующий пример более понятно объясняет механизм работы такого индексирования:

print ("Элементы матрицы d с координатами (1, 2) и (0, 3):\n", d[[1, 0], [2, 3]]) 
Элементы матрицы d с координатами (1, 2) и (0, 3): [12 6]
# Slicing # Создадим матрицу (3, 4) # [[ 1 2 3 4] # [ 5 6 7 8] # [ 9 10 11 12]] a = np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12]]) # Используя слайсинг, созадим матрицу b из элементов матрицы а # будем использовать 0 и 1 строку, а так же 1 и 2 столебц # [[2 3] # [6 7]] b = a[:2, 1:3] print(b) # ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ НА ИЗМЕНЕНИЕ ИСХОДОЙ МАТРИЦЫ print(a[0, 1]) # Prints "2" b[0, 0] = 77 # b[0, 0] is the same piece of data as a[0, 1] print(a[0, 1]) # Prints "77" 
[[2 3] [6 7]] 2 77
# Integer array indexing a = np.array([[1,2], [3, 4], [5, 6]]) print(a) print() # Пример Integer array indexing # В результате получится массив размерности (3,) # Обратите внимание, что до запятой идут индексы строк, после - столбцов print(a[[0, 1, 2], [0, 1, 0]]) # Prints "[1 4 5]" print() # По-другому пример можно записать так print(np.array([a[0, 0], a[1, 1], a[2, 0]])) # Prints "[1 4 5]" 
[[1 2] [3 4] [5 6]] [1 4 5] [1 4 5]

Примеры использования слайсинга:

# Создадим новый маассив, из которого будем выбирать эллементы a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9], [10, 11, 12]]) print(a) # prints "array([[ 1, 2, 3], # [ 4, 5, 6], # [ 7, 8, 9], # [10, 11, 12]])" # Создадим массив индексов b = np.array([0, 2, 0, 1]) # Выберем из каждой строки элемент с индексом из b (индекс столбца берется из b) print(a[np.arange(4), b]) # Prints "[ 1 6 7 11]" print() # Добавим к этим элементам 10 a[np.arange(4), b] += 10 print(a) # prints "array([[11, 2, 3], # [ 4, 5, 16], # [17, 8, 9], # [10, 21, 12]]) 
[[ 1 2 3] [ 4 5 6] [ 7 8 9] [10 11 12]] [ 1 6 7 11] [[11 2 3] [ 4 5 16] [17 8 9] [10 21 12]]
a = np.array([[1,2], [3, 4], [5, 6]]) bool_idx = (a > 2) # Найдем эллементы матрицы a, которые больше 2 # В результате получим матрицу b, такой же размерности, как и a print(bool_idx) # Prints "[[False False] print() # [ True True] # [ True True]]" # Воспользуемся полученным массивом для создания нового массива, ранга 1 print(a[bool_idx]) # Prints "[3 4 5 6]" # Аналогично print(a[a > 2]) # Prints "[3 4 5 6]" 
[[False False] [ True True] [ True True]] [3 4 5 6] [3 4 5 6]
#Помните, что вы можете пользоваться сразу несколькими типами индексирования a = np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12]]) row_r1 = a[1, :] row_r2 = a[1:2, :] print(row_r1, row_r1.shape) # Prints "[5 6 7 8] (4,)" print(row_r2, row_r2.shape) # Prints "[[5 6 7 8]] (1, 4)" 
[5 6 7 8] (4,) [[5 6 7 8]] (1, 4)

Более подробно о различных способах индексирования в массивах см. документацию.

3. Векторы, вектор-строки и вектор-столбцы

Следующие два способа задания массива кажутся одинаковыми:

a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([[1], [2], [3]]) 

Однако, на самом деле, это задание одномерного массива (то есть вектора) и двумерного массива:

print ("Вектор:\n", a) print ("Его размерность:\n", a.shape) print ("Двумерный массив:\n", b) print ("Его размерность:\n", b.shape) 
Вектор: [1 2 3] Его размерность: (3,) Двумерный массив: [[1] [2] [3]] Его размерность: (3, 1)

Обратите внимание: вектор (одномерный массив) и вектор-столбец или вектор-строка (двумерные массивы) являются различными объектами в NumPy, хотя математически задают один и тот же объект. В случае одномерного массива кортеж shape состоит из одного числа и имеет вид (n,), где n — длина вектора. В случае двумерных векторов в shape присутствует еще одна размерность, равная единице.

В большинстве случаев неважно, какое представление использовать, потому что часто срабатывает приведение типов. Но некоторые операции не работают для одномерных массивов. Например, транспонирование (о нем пойдет речь ниже):

a = a.T b = b.T 
print ("Вектор не изменился:\n", a) print ("Его размерность также не изменилась:\n", a.shape) print ("Транспонированный двумерный массив:\n", b) print ("Его размерность изменилась:\n", b.shape) 
Вектор не изменился: [1 2 3] Его размерность также не изменилась: (3,) Транспонированный двумерный массив: [[1 2 3]] Его размерность изменилась: (1, 3)

4. Datatypes

Все элементы в массиве numpy принадлежат одному типу. В этом плане массивы ближе к C, чем к привычным вам листам питона. Numpy имеет множество встренных типов, подходящих для решения большинства задач.

x = np.array([1, 2]) # Автоматический выбор типа print(x.dtype) # Prints "int64" x = np.array([1.0, 2.0]) # Автоматический выбор типа print(x.dtype) # Prints "float64" x = np.array([1, 2], dtype=np.int64) # Принудительное выставление типа print(x.dtype) # Prints "int64" 
int32 float64 int64

5. Математические операции

К массивам (матрицам) можно применять известные вам математические операции. Следут понимать, что при этом у элементов должны быть схожие размерности. Поведение в случае не совпадения размерностей хорошо описанно в документации numpy.

x = np.array([[1,2],[3,4]], dtype=np.float64) y = np.array([[5,6],[7,8]], dtype=np.float64) arr = np.array([1, 2]) 
# Сложение происходит поэлеметно # [[ 6.0 8.0] # [10.0 12.0]] print(x + y) print() print(np.add(x, y)) print('С числом') print(x + 1) print('C массивом другой размерности') print(x + arr) 
[[ 6. 8.] [10. 12.]] [[ 6. 8.] [10. 12.]] С числом [[2. 3.] [4. 5.]] C массивом другой размерности [[2. 4.] [4. 6.]]
# Вычитание print(x - y) print(np.subtract(x, y)) 
[[-4. -4.] [-4. -4.]] [[-4. -4.] [-4. -4.]]
# Деление # [[ 0.2 0.33333333] # [ 0.42857143 0.5 ]] print(x / y) print(np.divide(x, y)) 
[[0.2 0.33333333] [0.42857143 0.5 ]] [[0.2 0.33333333] [0.42857143 0.5 ]]
# Другие функции # [[ 1. 1.41421356] # [ 1.73205081 2. ]] print(np.sqrt(x)) 
[[1. 1.41421356] [1.73205081 2. ]]

6. Умножение матриц и столбцов

Напоминание теории. Операция умножения определена для двух матриц, таких что число столбцов первой равно числу строк второй.

Пусть матрицы A и B таковы, что A ∈ ℝ n×k и B ∈ ℝ k×m . Произведением матриц A и B называется матрица C , такая что cij = ∑ k r = 1 airbrj , где cij — элемент матрицы C , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j .

В NumPy произведение матриц вычисляется с помощью функции numpy.dot(a, b, . ) или с помощью метода array1.dot(array2), где array1 и array2 — перемножаемые матрицы.

a = np.array([[1, 0], [0, 1]]) b = np.array([[4, 1], [2, 2]]) r1 = np.dot(a, b) r2 = a.dot(b) 
print ("Матрица A:\n", a) print ("Матрица B:\n", b) print ("Результат умножения функцией:\n", r1) print ("Результат умножения методом:\n", r2) 
Матрица A: [[1 0] [0 1]] Матрица B: [[4 1] [2 2]] Результат умножения функцией: [[4 1] [2 2]] Результат умножения методом: [[4 1] [2 2]]

Матрицы в NumPy можно умножать и на векторы:

c = np.array([1, 2]) r3 = b.dot(c) 
print ("Матрица:\n", b) print ("Вектор:\n", c) print ("Результат умножения:\n", r3) 
Матрица: [[4 1] [2 2]] Вектор: [1 2] Результат умножения: [6 6]

Обратите внимание: операция * производит над матрицами покоординатное умножение, а не матричное!

r = a * b 
print ("Матрица A:\n", a) print ("Матрица B:\n", b) print ("Результат покоординатного умножения через операцию умножения:\n", r) 
Матрица A: [[1 0] [0 1]] Матрица B: [[4 1] [2 2]] Результат покоординатного умножения через операцию умножения: [[4 0] [0 2]]

Более подробно о матричном умножении в NumPy см. документацию.

7. Объединение массивов

Массивы можно Объединенять. Есть горизонтальное и вертикальное объединение.

a = np.floor(10*np.random.random((2,2))) b = np.floor(10*np.random.random((2,2))) print(a) print(b) print() print(np.vstack((a,b))) print() print(np.hstack((a,b))) 
[[4. 0.] [1. 4.]] [[9. 7.] [2. 6.]] [[4. 0.] [1. 4.] [9. 7.] [2. 6.]] [[4. 0. 9. 7.] [1. 4. 2. 6.]]

Массивы можно переформировать при помощи метода, который задает новый многомерный массив. Следуя следующему примеру, мы переформатируем одномерный массив из десяти элементов во двумерный массив, состоящий из пяти строк и двух столбцов:

a = np.array(range(10), float) print(a) print() # Превратим в матрицу a = a.reshape((5, 2)) print(a) print() # Вернем обратно print(a.flatten()) # Другой вариант print(a.reshape((-1))) # Превратим в марицу (9, 1) print(a.reshape((-1, 1))) # Превратим в марицу (1, 9) print(a.reshape((1, -1))) 
[0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.] [[0. 1.] [2. 3.] [4. 5.] [6. 7.] [8. 9.]] [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.] [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.] [[0.] [1.] [2.] [3.] [4.] [5.] [6.] [7.] [8.] [9.]] [[0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.]]

Задания: (Блок 1)

Задание 1:

Решите без использования циклов средставми NumPy (каждый пункт решается в 1-2 строчки)

  1. Создайте вектор с элементами от 12 до 42
  2. Создайте вектор из нулей длины 12, но его пятый елемент должен быть равен 1
  3. Создайте матрицу (3, 3), заполненую от 0 до 8
  4. Найдите все положительные числа в np.array([1,2,0,0,4,0])
  5. Умножьте матрицу размерности (5, 3) на (3, 2)
  6. Создайте матрицу (10, 10) так, чтобы на границе были 0, а внтури 1
  7. Создайте рандомный вектор и отсортируйте его
  8. Каков эквивалент функции enumerate для numpy массивов?
  9. *Создайте рандомный вектор и выполните нормализацию столбцов (из каждого столбца вычесть среднее этого столбца, из каждого столбца вычесть sd этого столбца)
  10. *Для заданного числа найдите ближайший к нему элемент в векторе
  11. *Найдите N наибольших значений в векторе
# ваш код здесь 
Задание 2:

Напишите полностью векторизованный вариант

Дан трёхмерный массив, содержащий изображение, размера (height, width, numChannels), а также вектор длины numChannels. Сложить каналы изображения с указанными весами, и вернуть результат в виде матрицы размера (height, width). Считать реальное изображение можно при помощи функции scipy.misc.imread (если изображение не в формате png, установите пакет pillow: conda install pillow). Преобразуйте цветное изображение в оттенки серого, использовав коэффициенты np.array([0.299, 0.587, 0.114]).

# ваш код здесь 

8. Транспонирование матриц

Напоминание теории. Транспонированной матрицей A T называется матрица, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Формально: элементы матрицы A T определяются как a T ij = aji , где a T ij — элемент матрицы A T , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j .

В NumPy транспонированная матрица вычисляется с помощью функции numpy.transpose() или с помощью метода array.T, где array — нужный двумерный массив.

a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) b = np.transpose(a) c = a.T 
print ("Матрица:\n", a) print ("Транспонирование функцией:\n", b) print ("Транспонирование методом:\n", c) 
Матрица: [[1 2] [3 4]] Транспонирование функцией: [[1 3] [2 4]] Транспонирование методом: [[1 3] [2 4]]

В следующих разделах активно используется модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Более подробно о функциях, описанных ниже, и различных других функциях этого модуля можно посмотреть в его документации.

9. Определитель матрицы

Напоминание теории. Для квадратных матриц существует понятие определителя.

Пусть A — квадратная матрица. Определителем (или детерминантом) матрицы A ∈ ℝ n×n назовем число

detA = ∑ α1, α2, …, αn ( − 1) N(α1, α2, …, αn) ⋅aα11⋅⋅⋅aαnn,

где α1, α2, …, αn — перестановка чисел от 1 до n , N(α1, α2, …, αn) — число инверсий в перестановке, суммирование ведется по всем возможным перестановкам длины n .

Не стоит расстраиваться, если это определение понятно не до конца — в дальнейшем в таком виде оно не понадобится.

Например, для матрицы размера 2×2 получается:

det ⎛ ⎜ ⎝ a11 a12 a21 a22 ⎞ ⎟ ⎠ = a11a22a12a21

Вычисление определителя матрицы по определению требует порядка n! операций, поэтому разработаны методы, которые позволяют вычислять его быстро и эффективно.

В NumPy определитель матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.det(a), где a — исходная матрица.

a = np.array([[1, 2, 1], [1, 1, 4], [2, 3, 6]], dtype=np.float32) det = np.linalg.det(a) 
print ("Матрица:\n", a) print ("Определитель:\n", det) 
Матрица: [[1. 2. 1.] [1. 1. 4.] [2. 3. 6.]] Определитель: -1.0

Рассмотрим одно интересное свойство определителя. Пусть у нас есть параллелограмм с углами в точках (0, 0), (c, d), (a + c, b + d), (a, b) (углы даны в порядке обхода по часовой стрелке). Тогда площадь этого параллелограмма можно вычислить как модуль определителя матрицы ⎛ ⎜ ⎝ a c b d ⎞ ⎟ ⎠ . Похожим образом можно выразить и объем параллелепипеда через определитель матрицы размера 3×3 .

10. Ранг матрицы

Напоминание теории. Рангом матрицы A называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

В NumPy ранг матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.matrix_rank(M, tol=None), где M — матрица, tol — параметр, отвечающий за некоторую точность вычисления. В простом случае можно его не задавать, и функция сама определит подходящее значение этого параметра.

a = np.array([[1, 2, 3], [1, 1, 1], [2, 2, 2]]) r = np.linalg.matrix_rank(a) 
print ("Матрица:\n", a) print ("Ранг матрицы:", r) 
Матрица: [[1 2 3] [1 1 1] [2 2 2]] Ранг матрицы: 2

С помощью вычисления ранга матрицы можно проверять линейную независимость системы векторов.

Допустим, у нас есть несколько векторов. Составим из них матрицу, где наши векторы будут являться строками. Понятно, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг полученной матрицы совпадает с числом векторов. Приведем пример:

a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([1, 1, 1]) c = np.array([2, 3, 5]) m = np.array([a, b, c]) 
print (np.linalg.matrix_rank(m) == m.shape[0]) 
True

11. Системы линейных уравнений

Напоминание теории. Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида Ax = b , где A ∈ ℝ n×m , x ∈ ℝ m×1 , b ∈ ℝ n×1 . В случае квадратной невырожденной матрицы A решение системы единственно.

В NumPy решение такой системы можно найти с помощью функции numpy.linalg.solve(a, b), где первый аргумент — матрица A , второй — столбец b .

a = np.array([[3, 1], [1, 2]]) b = np.array([9, 8]) x = np.linalg.solve(a, b) 
print ("Матрица A:\n", a) print ("Вектор b:\n", b) print ("Решение системы:\n", x) 
Матрица A: [[3 1] [1 2]] Вектор b: [9 8] Решение системы: [2. 3.]

Убедимся, что вектор x действительно является решением системы:

print (a.dot(x)) 

Бывают случаи, когда решение системы не существует. Но хотелось бы все равно “решить” такую систему. Логичным кажется искать такой вектор x , который минимизирует выражение ‖ Axb ‖ 2 — так мы приблизим выражение Ax к b .

В NumPy такое псевдорешение можно искать с помощью функции numpy.linalg.lstsq(a, b, . ), где первые два аргумента такие же, как и для функции numpy.linalg.solve(). Помимо решения функция возвращает еще три значения, которые нам сейчас не понадобятся.

a = np.array([[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 1]]) b = np.array([-1, 0.2, 0.9, 2.1]) x, res, r, s = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=None) 
print ("Матрица A:\n", a) print ("Вектор b:\n", b) print ("Псевдорешение системы:\n", x) 
Матрица A: [[0 1] [1 1] [2 1] [3 1]] Вектор b: [-1. 0.2 0.9 2.1] Псевдорешение системы: [ 1. -0.95]

12. Обращение матриц

Напоминание теории. Для квадратных невырожденных матриц определено понятие обратной матрицы.

Пусть A — квадратная невырожденная матрица. Матрица A − 1 называется обратной матрицей к A , если

AA − 1 = A − 1 A = I,

где I — единичная матрица.

В NumPy обратные матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.inv(a), где a — исходная матрица.

a = np.array([[1, 2, 1], [1, 1, 4], [2, 3, 6]], dtype=np.float32) b = np.linalg.inv(a) 
print ("Матрица A:\n", a) print ("Обратная матрица к A:\n", b) print ("Произведение A на обратную должна быть единичной:\n", a.dot(b)) 
Матрица A: [[1. 2. 1.] [1. 1. 4.] [2. 3. 6.]] Обратная матрица к A: [[ 6. 9. -7.] [-2. -4. 3.] [-1. -1. 1.]] Произведение A на обратную должна быть единичной: [[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]]

13. Собственные числа и собственные вектора матрицы

Напоминание теории. Для квадратных матриц определены понятия собственного вектора и собственного числа.

Пусть A — квадратная матрица и A ∈ ℝ n×n . Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор x ∈ ℝ n , что для некоторого λ ∈ ℝ выполняется равенство Ax = λx . При этом λ называется собственным числом матрицы A . Собственные числа и собственные векторы матрицы играют важную роль в теории линейной алгебры и ее практических приложениях.

В NumPy собственные числа и собственные векторы матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.eig(a), где a — исходная матрица. В качестве результата эта функция выдает одномерный массив w собственных чисел и двумерный массив v, в котором по столбцам записаны собственные вектора, так что вектор v[:, i] соотвествует собственному числу w[i].

a = np.array([[-1, -6], [2, 6]]) w, v = np.linalg.eig(a) 
print ("Матрица A:\n", a) print ("Собственные числа:\n", w) print ("Собственные векторы:\n", v) 
Матрица A: [[-1 -6] [ 2 6]] Собственные числа: [2. 3.] Собственные векторы: [[-0.89442719 0.83205029] [ 0.4472136 -0.5547002 ]]

Обратите внимание: у вещественной матрицы собственные значения или собственные векторы могут быть комплексными.

14. Расстояния между векторами

Вспомним некоторые нормы, которые можно ввести в пространстве ℝ n , и рассмотрим, с помощью каких библиотек и функций их можно вычислять в NumPy.

p-норма

p-норма (норма Гёльдера) для вектора x = (x1, …, xn) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

xp = ( ni = 1 | xi | p ) 1 ⁄ p , p ≥ 1.

В частных случаях при: * p = 1 получаем 1 норму * p = 2 получаем 2 норму

Далее нам понабится модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Для вычисления различных норм мы используем функцию numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ), где x — исходный вектор, ord — параметр, определяющий норму (мы рассмотрим два варианта его значений — 1 и 2). Импортируем эту функцию:

from numpy.linalg import norm 

1 норма

1 норма (также известная как манхэттенское расстояние) для вектора x = (x1, …, xn) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

x1 = ni = 1 | xi | .

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=1.

a = np.array([1, 2, -3]) print('Вектор a:', a) 
Вектор a: [ 1 2 -3]
print('L1 норма вектора a:\n', norm(a, ord=1)) 
L1 норма вектора a: 6.0

2 норма

2 норма (также известная как евклидова норма) для вектора x = (x1, …, xn) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

x2 = √ ( ni = 1 ( xi ) 2 ) .

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=2.

print ('L2 норма вектора a:\n', norm(a, ord=2)) 
L2 норма вектора a: 3.7416573867739413

Более подробно о том, какие еще нормы (в том числе матричные) можно вычислить, см. документацию.

15. Расстояния между векторами

Для двух векторов x = (x1, …, xn) ∈ ℝ n и y = (y1, …, yn) ∈ ℝ n 1 и 2 раccтояния вычисляются по следующим формулам соответственно:

ρ1 ( x, y ) = ‖ xy1 = ni = 1 | xiyi |
ρ2 ( x, y ) = ‖ xy2 = √ ( ni = 1 ( xiyi ) 2 ) .

a = np.array([1, 2, -3]) b = np.array([-4, 3, 8]) print ('Вектор a:', a) print ('Вектор b:', b) 
Вектор a: [ 1 2 -3] Вектор b: [-4 3 8]
print ('L1 расстояние между векторами a и b:\n', norm(a - b, ord=1)) print ('L2 расстояние между векторами a и b:\n', norm(a - b, ord=2)) 
L1 расстояние между векторами a и b: 17.0 L2 расстояние между векторами a и b: 12.12435565298214

16. Скалярное произведение и угол между векторами

a = np.array([0, 5, -1]) b = np.array([-4, 9, 3]) print ('Вектор a:', a) print ('Вектор b:', b) 
Вектор a: [ 0 5 -1] Вектор b: [-4 9 3]

Скалярное произведение в пространстве ℝ n для двух векторов x = (x1, …, xn) и y = (y1, …, yn) определяется как:

x, y⟩ = ni = 1 xiyi.

Длиной вектора x = (x1, …, xn) ∈ ℝ n называется квадратный корень из скалярного произведения, то есть длина равна евклидовой норме вектора:

| x | = √ ( ⟨x, x⟩ ) = √ ( ni = 1 x 2 i ) = ‖ x2.

Теперь, когда мы знаем расстояние между двумя ненулевыми векторами и их длины, мы можем вычислить угол между ними через скалярное произведение:

x, y⟩ = | x | |y|cos(α) ⟹ cos(α) = ( ⟨x, y⟩ )/( | x | |y| ) ,

где α ∈ [0, π] — угол между векторами x и y .

cos_angle = np.dot(a, b) / norm(a) / norm(b) print ('Косинус угла между a и b:', cos_angle) print ('Сам угол:', np.arccos(cos_angle)) 
Косинус угла между a и b: 0.8000362836474323 Сам угол: 0.6434406336093618

17. Комплексные числа в питоне

Напоминание теории. Комплексными числами называются числа вида x + iy , где x и y — вещественные числа, а i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство i 2 = − 1 ). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой ℂ (подробнее про комплексные числа см. википедию).

В питоне комплескные числа можно задать следующим образом (j обозначает мнимую единицу):

a = 3 + 2j b = 1j 
print ("Комплексное число a:\n", a) print ("Комплексное число b:\n", b) 
Комплексное число a: (3+2j) Комплексное число b: 1j

С комплексными числами в питоне можно производить базовые арифметические операции так же, как и с вещественными числами:

c = a * a d = a / (4 - 5j) 
print ("Комплексное число c:\n", c) print ("Комплексное число d:\n", d) 
Комплексное число c: (5+12j) Комплексное число d: (0.0487804878048781+0.5609756097560976j)

Задания: (Блок 2)

Задание 3:

Рассмотрим сложную математическую функцию на отрезке [1, 15]:

f(x) = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2)

images/lab14/func.png

Она может описывать, например, зависимость оценок, которые выставляют определенному сорту вина эксперты, в зависимости от возраста этого вина. Мы хотим приблизить сложную зависимость с помощью функции из определенного семейства. В этом задании мы будем приближать указанную функцию с помощью многочленов.

Как известно, многочлен степени n (то есть w0 + w1x + w2x 2 + … + wnx n ) однозначно определяется любыми n + 1 различными точками, через которые он проходит. Это значит, что его коэффициенты w0 , … wn можно определить из следующей системы линейных уравнений:

images/lab14/eqs.png

где через x1, . xn, xn + 1 обозначены точки, через которые проходит многочлен, а через f(x1), . f(xn), f(xn + 1) — значения, которые он должен принимать в этих точках.

Воспользуемся описанным свойством, и будем находить приближение функции многочленом, решая систему линейных уравнений.

  1. Сформируйте систему линейных уравнений (то есть задайте матрицу коэффициентов A и свободный вектор b) для многочлена первой степени, который должен совпадать с функцией f в точках 1 и 15. Решите данную систему с помощью функции scipy.linalg.solve. Нарисуйте функцию f и полученный многочлен. Хорошо ли он приближает исходную функцию?
  2. Повторите те же шаги для многочлена второй степени, который совпадает с функцией f в точках 1, 8 и 15. Улучшилось ли качество аппроксимации?
  3. Повторите те же шаги для многочлена третьей степени, который совпадает с функцией f в точках 1, 4, 10 и 15. Хорошо ли он аппроксимирует функцию? Коэффициенты данного многочлена (четыре числа в следующем порядке: w_0, w_1, w_2, w_3) являются ответом на задачу. Округлять коэффициенты не обязательно, но при желании можете произвести округление до второго знака (т.е. до числа вида 0.42)

Сайт построен с использованием Pelican. За основу оформления взята тема от Smashing Magazine. Исходные тексты программ, приведённые на этом сайте, распространяются под лицензией GPLv3, все остальные материалы сайта распространяются под лицензией CC-BY.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *