Сведение системы линейных уравнений к матрице.
состоящая из m линейных уравнений, содержащая n неизвестных величин, может быть записана в виде матричного уравнения:
Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — вектор значений системы линейных уравнений.
N.B. Если в i -той строке системы линейных уравнений отсутствует переменная xj , значит ее множитель равен нулю, то есть aij = 0.
Пример записи системы линейных уравнений с помощью матричного уравнения
Записать в виде матричном виде систему линейных уравнений:
| 4 x 1 + x 2 — x 3 — x 4 = 3 | |
| — x 1 + 3 x 3 — 2 x 4 = 5 | |
| 6 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 2 | |
| 2 x 2 — x 3 + x 4 = 0 |
Решение: Система линейных уравнений запишется с помощью матриц следующим образом:
| 4 | 1 | -1 | -1 | · | x 1 | = | 3 |
| -1 | 0 | 3 | -2 | x 2 | 5 | ||
| 6 | 2 | 4 | 0 | x 3 | 2 | ||
| 0 | 2 | -1 | 1 | x 4 | 0 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.
Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.
Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.
Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .
Пусть нужно решить систему линейных уравнений:
Запишем эту систему уравнений в матричном виде:
Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов
То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.
Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.
Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица свободных членов:
Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:
По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.
Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
Следовательно, ответ правильный.
Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.
Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица свободных членов:
Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
Следовательно, ответ правильный.
Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение системы уравнений матричным методом
Данный онлайн калькулятор позволяет решать системы линейных уравнений матричным способом. Бесплатное подробное решение: определение обратной матрицы, перемножение матриц, получение ответа.
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) матричным методом.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, выберите количество неизвестных величин:
Заполните систему линейных уравнений
Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.
x1 + x2 + x3 =
x1 + x2 + x3 =
x1 + x2 + x3 =
Решить систему
Решение системы линейных уравнений матричным методом
Матричный метод решения СЛУ
Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то система линейных уравнения сведется к следующему матричному уравнению
которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю (в противном случае система уравнений будет иметь либо бесконечное количество решений, либо не иметь решений вовсе).
Если определитель матрицы A отличен от нуля, то решение системы уравнений можно найти следующим способом
где A -1 обратная матрица, которую можно найти используя, например, Онлайн сервис для вычисления обратной матрицы на нашем сайте.
Таким образом, задача решения системы линейных уравнений матричным способом сводится к нахождению обратной матрицы A -1 и последующему умножению её на матрицу-столбец B. Именно эта задача и выполняется с помощью предложенного вам онлайн калькулятора.
Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.
Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.
Решить систему линейных уравнений матричным методом
Количество неизвестных величин в системе:
Изменить названия переменных в системе
Заполните систему линейных уравнений:
Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом
- В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
- Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
- Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
- Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.
Например, линейное уравнение x 1 — 7 x 2 — x 4 = 2
будет вводится в калькулятор следующим образом:
Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
- Вместо x 1, x 2, . вы можете ввести свои названия переменных.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.