Изобразите множество на комплексной плоскости.
Упростим дробное выражение, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженное знаменателя:
(2-5*i)*(2+5*i) = (2) 2 — (5*i) 2 = 29
(-2+i)*(2-5*i) = (-2) * 2+(-2) * (-5*i)+i * 2+i * (-5*i) = 1+12*i
Пример 2:
Изобразите множество на комплексной плоскости:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Изобразите множество на комплексной плоскости:
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Найти и изобразить множество точек плоскости z, заданное неравенством:
Решение от преподавателя:
Множество точек, отношение расстояний от двух точек постоянно, есть окружность.
Начертим точки z = -5 и z = -2.
Найдем две точки, которые находятся на оси X, отношение расстояний от точек -5 и -2 равно 2.
Это точки z = -3 и z = 1.
Точки -3 и 1 будут концами диаметра окружности. Центр окружности будет в точке -1
А множество, в котором будет иметь место неравенство, будет внутренность круга с центром -1, радиусом 2.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию
Прошу помощи в решении. Пытался положить z = x + yi , но в итоге не получаю пересечения, то есть:
Im (x + yi + 2i) < 0 Im (x + (y + 2)i) < 0 y + 2 < 0 y < -2 |z - i| < 1 |x + yi - i| < 1 |x + (y - 1)i| < 1 sqrt(x^2 + (y - 1)^2) < 1 x^2 + (y - 1)^2 < 1 
В итоге получаем окружность с радиусом 1(то есть длина комплексного числа должна быть меньше 1, входить в эту область), а с предыдущего уравнения ясно, что y < -2 Теперь непонятно, верно ли решение? Если да, то почему, если нет, то подскажите, пожалуйста, где ошибся.
Области на комплексной плоскости
После курса молодого ТФКП-ниста, рассмотрим материал, важный для изучения всего комплексного анализа. Сначала будет немного терминов и теории, затем практика, где мы научимся распознавать и строить различные области на комплексной плоскости.
И в первом же абзаце нам встретились строгие понятия. Комплексная плоскость – это геометрическое представление множества комплексных чисел:
Если к множеству присоединить бесконечно удалённую точку , то говорят о расширенной комплексной плоскости, которую иногда обозначают . Пожалуйста, различайте эти термины и виды плоскостей.
Окрестностью точки называют круг произвольного радиуса . При этом под кругом подразумевается открытый круг – без его границы (окружности). Внешняя часть этого круга (точки за пределами границы) образует окрестность бесконечно удалённой точки:
И вообще, под областью в комплексном анализе «по умолчанию» понимают, как правило, открытую область – без учёта её границы. Всегда имейте в виду этот факт.
Дадим строгие определения области и её границы.
Точку называют внутренней точкой области , если существует её окрестность (пусть очень малая), такая, что ВСЕ точки этой окрестности принадлежат области . Область – это множество её внутренних точек, причём, любые две точки этого множества можно соединить гладкой или кусочно-гладкой* линией, полностью состоящей из внутренних точек.
* Линию называют гладкой, если в любой её точке можно провести касательную (существует конечная производная). Кусочно-гладкая линия состоит из фрагментов («кусков») гладких линий, последовательно соединённых между собой, простейший пример – ломаная.
Из определения следует, что два непересекающихся круга (например) или даже два соприкасающихся круга – единой области не образуют. А вот следующее множество точек– да, для удобства область я изобразил в 1-й координатной четверти:
…Рука почти не дрогнула, но до Рубенса, конечно, далековато 🙂
Точка называется граничной точкой области, если в ЛЮБОЙ её окрестности есть точки КАК принадлежащие этой области, так и НЕ принадлежащие ей. Множество граничных точек области называют границей данной области. В данном примере это оранжевая линия («гамма большое», можно просто «гэ»).
Под замкнутой областью понимают саму область + её границу, такую область обозначают с чёрточкой наверху: .
Точка называется внешней точкой области , если существует её окрестность (пусть очень малая), ВСЕ точки которой НЕ принадлежат области .
Следует заметить, что линия на рисунке выше делит комплексную плоскость на ДВЕ области: область и её внешнюю часть, причём, обе области имеют одну и ту же границу. Обратите внимание, что точка является внутренней точкой «внешней» области по определению.
И ещё одно важное понятие – связность области.
Комплексную область называют односвязной, если (вдумываемся!) ЛЮБАЯ замкнутая линия, лежащая внутри неё, содержит внутри себя лишь точки данной области. Или в эквивалентной топологической формулировке: если любую замкнутую линию, лежащую внутри области можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за пределы этой области.
В частности, односвязна область, которая ограничена одной замкнутой линией без самопересечений. Пример такой области приведён на рисунке выше: какой бы замкнутый «путь» в области мы ни выбрали, внутри него (соответствующей линии) – ВСЕ точки будут принадлежать области .
Но бывают и другие ситуации:
Здесь область ограничена двумя замкнутыми линиями , которые не пересекаются, и такая область является двусвязной. В ней мы можем выбрать замкнутый маршрут, внутри которого далеко не все точки будут принадлежать области (любой замкнутый путь вокруг ). При этом линия может быть вырождена в дугу непрерывной линии или даже в единственную точку, не принадлежащую области .
Требование непересечения линий – критично. Так, если касается в одной точке, то область становится односвязной. Если же касания два, то получатся две разные области.
Аналогично определяются трёх- четырёх- и так далее связные области. В частности, четырёхсвязная область имеет четыре непересекающиеся граничные линии. В примере ниже одна из таких линий представляет собой точку:
Грубо говоря, связность области можно определить по количеству внутренних «дырок»: у двусвязной области она одна, и трехсвязной – две, у четырёхсвязной – три и так далее.
С теорией уложились бодренько, теперь практика.
Как задать область на комплексной плоскости?
Можно графически (чем я только что занимался), но лучше – аналитически, с помощью неравенств. Начнём с простейших примеров:
Неравенству соответствуют те комплексные числа, действительная часть которых больше нуля, поэтому оно определяет правую полуплоскость (штриховать уж не буду). Если неравенство нестрогое , то к области следует добавить ось . Соответственно, неравенство задаёт левую полуплоскость, а – её же вместе с мнимой осью.
Аналогично, неравенству удовлетворяют те комплексные «зет», мнимая часть которых больше нуля, поэтому сие неравенство определяет верхнюю полуплоскость, а неравенство – дополнительно ось . Неравенству соответствует нижняя полуплоскость и неравенству – она же вместе с действительной осью.
Рассмотрим более содержательные примеры:
Построить области, заданные неравенствами:
Дополнительно обозначим оси привычным «иксом» и «игреком» и решаем.
а) Двойному неравенству соответствуют те комплексные «зет», действительная часть которых не меньше «минус» единицы и меньше двух. Этому условию соответствуют все числа из полосы, ограниченной прямыми , при этом прямая принадлежит искомой области (серая штриховка на рис. ниже).
б) Неравенству удовлетворяют все числа, мнимая часть которых больше нуля и не больше . Соответствующая область представляет собой полосу между прямыми , при этом прямая принадлежит области, а действительная ось – нет (голубой цвет):
При выполнении чертежа от руки во многих случаях оптимален следующий масштаб:
1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см).
Занятное задание для самостоятельного решения:
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющее следующим условиям:
Здесь в каждом пункте подразумевается одновременное выполнение обоих условий, и более точно их следует записать в форме системы: а) , б) . На практике вам может встретиться и тот и другой вариант.
Выполняем чертежи от руки (хотя бы схематически!), сверяемся с решением в конце урока и продолжаем:
Изобразить следующие области:
Решение: а) Давайте вдумаемся в это неравенство: – ему удовлетворяют все числа, модуль которых меньше единицы. А это числа из круга с центром в начале координат радиуса 1 (серая штриховка на чертеже ниже).
И вообще, неравенство задаёт круг с центром в начале координат радиуса . Если неравенство нестрогое , то к кругу следует добавить его границу, то бишь окружность (которая, к слову, определяется уравнением ).
Неравенство же определяют внешнюю часть этого замкнутого круга (всю оставшуюся плоскость – окромя круга с его границей). В нашем конкретном примере – это вся комплексная плоскость, кроме замкнутого единичного круга с центром в начале координат.
И пункт б) я начну с общего случая. Неравенство определяет круг с центром в точке радиуса . Это можно запомнить формально. Но давайте опять же вникнем в смысл. Как и в действительном случае (см. самый низ), модуль разности означает расстояние между числами. Таким образом, число отстоИт от числа меньше, чем на , а этому условию как раз и удовлетворяет любая точка указанного выше круга. Аналогично предыдущему пункту, неравенство определяет соответствующий замкнутый круг, а неравенство – его внешнюю часть.
Теперь вернёмся к конкретному неравенству и представим его в виде (внимание!):
– замкнутый круг с центром в точке (малиновый цвет):
При выполнении чертежа от руки строго рекомендую циркуль, при этом его остриё нежелательно отрывать от бумаги, пока не прочертите всю окружность.
Следующее задание для самостоятельного решения:
Изобразить на комплексной плоскости область, ограниченную линиями , .
Не ленимся – рисуем, и факультативное неравенство – рассуждаем:
Изобразить область, соответствующую неравенству
На первом шаге используйте свойство модуля .
После чего нас ждёт ещё одна важная фигура:
Изобразить область, соответствующую условию .
Решение: двойное неравенство вида можно записать в виде системы:
Первое условие определят круг с центром в начале координат радиуса , второе условие (представляем в уме!) – внешнюю часть замкнутого круга с тем же центром, но меньшего радиуса . И коль скоро это система, то её решением будет общая часть (пересечение) этих областей.
Таким образом, двойное неравенство вида определяет кольцо с центром в начале координат, внутреннего радиуса и внешнего радиуса .
Наш случай элементарен:
Заметьте, что кольцо – это двусвязная область.
Если одно или оба неравенства нестрогие, то к области следуют добавить соответствующую окружность или обе.
И по аналогии с предыдущими примерами, неравенству соответствует кольцо с центром в точке , внутреннего радиуса , внешнего радиуса . Этот случай для самостоятельного потребления, с приправой, чтобы не было так пресно:
Изобразить на комплексной плоскости область, удовлетворяющую условиям , .
…Посидите, подумайте, какие числа удовлетворяю первому условию…. Да, и старайтесь не пренебрегать учебными задачами, в них я часто комментирую важные детали, которые не вошли в «основной текст».
И в заключение урока за аргумент замолвим слово:
Изобразить на комплексной плоскости область, удовлетворяющую условию
И решение очень простое: этому условию соответствуют те комплексные числа, аргумент которых больше , но меньше . Геометрически – это соответствующий фрагмент плоскости между лучами и :
При выполнении чертежа от руки используйте транспортир, а если позабылись углы – справку по тригонометрии.
Если одно из неравенств или оба – нестрогие, то соответствующие лучи следует добавить к области и изобразить непрерывной линией. Однако начало координат в любом случае в область не войдёт (т. к. для него аргумент не определён), а посему эта точка должна быть «выколота».
Если же дано неравенство вида , то углы следует отмерять не от начала координат, а от точки , и лучи тоже откладывать от неё. Сама же точка при любых раскладах в область не войдёт. С геометрией этого случая разберитесь самостоятельно, и простенькое задание для тренировки:
Найти множество точек, удовлетворяющее условиям , .
В некоторых задачах неравенство для аргумента может быть «одинарное», например, или . Но самом деле оно двойное. Учитывая, что главное значение аргумента изменяется в пределах , имеем области:
и соответственно
Далее разберём…, пожалуй, линии на комплексной плоскости, некоторые из которых мы уже вовсю начали использовать.
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: а) Искомая область ограничена прямыми снизу и сверху соответственно и прямой справа, причём последняя области не принадлежит (серая штриховка на чертеже).
б) Данная область представляет собой квадрат, ограниченный прямыми и , при этом прямые и не принадлежат области (зелёный цвет на чертеже):
Примечание: обратите внимание, что угловые точки, соответствующие строгим неравенствам, не принадлежат областям («выколоты»).
Пример 4. Решение: Неравенству соответствует внешняя часть круга с центром в начале координат радиуса 3.
Преобразуем второе неравенство: – круг с центром в точке радиуса 1,5.
Искомая область представляет собой пересечение этих двух областей («полумесяц»):
Примечание: опять же обратите внимание, что точки пересечения окружностей не входят в область (по причине строгости второго неравенства).
Пример 5. Решение: используем свойство модуля: .
Умножим обе части неравенства на , имея в виду, что :
Сначала удобно разобраться с равенством . Условию соответствуют значения , равноудалённые от точек . В нашем случае – это точки, которые равноудалены от точек , а это точки, лежащие на оси .
Неравенству же соответствуют ТАКИЕ точки «зет», у которых расстояние до точки меньше расстояния до точки , а это точки правой полуплоскости .
Таким образом, нестрогому неравенству соответствует правая полуплоскость, включая ось :
Примечание: соответственно, неравенству удовлетворяют точки левой полуплоскости (без мнимой оси), исключая точку . Однако если изначально дано неравенство , то эту точку следует добавить к решению.
Пример 7. Решение: естественным образом присоединим к комплексной плоскости декартову систему координат . Условию , очевидно, соответствуют точки прямой , а неравенству («икс больше игрек») – все точки ниже этой прямой.
Преобразуем двойное неравенство:
– ему соответствует кольцо с центром в точке , внутреннего радиуса , внешнего радиуса , при этом внутренняя окружность входит в область.
Искомая область представляет собой пересечение выявленных выше областей:
Примечание: точки пересечения прямой с внутренней окружностью в область входят, а с внешней окружностью – нет.
Пример 9. Решение: представим первое неравенство в виде :
– замкнутый круг с центром в точке радиуса .
Представим второе неравенство в виде :
– часть плоскости, полученная поворотом луча, исходящего из точки , от угла (относительно положительной полуоси ) до , при этом первый граничный луч в область не входит, а второй – входит:
Из чертежа следует, что сразу обоим условиям удовлетворяет единственная точка – это точка касания окружности второго граничного луча.
Следует добавить, что искомое множество точек может быть и пустым – если области не пересекаются. В только что разобранном примере для этого достаточно строгости неравенств первого и / или второго условия.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Множества на комплексной плоскости
Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка плоскости — это точка 1. Множество точек на расстояние, меньшее чем заданное число , называется ε-окрестностью точки , будем обозначать ее . Используя понятие расстояния между точками плоскости , определение можно записать в виде соотношения:
Очевидно, что геометрически — круг с центром в точке и радиусом .
2. Множество точек , образует проколотую окрестность точки .
3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. — внутренняя точка множества , если и , что .
4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым.
5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. — граничная точка множества , если для и , то , такие. что .
Совокупность граничных точек множества образует границу множества.
Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева.
6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается , то есть — граница множества .
7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству.
8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, 9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная.
10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из компонент. Порядок связности многосвязной (n-связной) области определяется числом связных компонент границы области.
На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных и многосвязных областей. Обход границы области указан стрелкой.
11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. ограничено, если
Кривые на комплексной плоскости
На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому соответствует — комплекснозначная функция действительной переменной.
Например, — комплекснозначные функции, первые две определены для любого .
Для функции , так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла.
Так как для любого значения является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме , получим, что задание комплексной функции действительной переменной на некотором множестве равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций и .
Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул:
1. Для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции и .
Уравнения кривых на комплексной плоскости
Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание:
Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые.
Кривая называется гладкой на множестве , если функции имеют на непрерывные производные . Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой.
Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.
На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на и гладкими на каждом из интервалов и .
Из определения функции , данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению , то есть число .
Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию . Равенство
называется уравнением кривой в параметрической форме.
Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке , а радиус равен Решение
Используем известные параметрические уравнения окружности:
Отсюда получаем или , где — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме:
Заметим, что если переписать (1.20) в виде , то получим равенство , которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек . Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой.
Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде , т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты точек, принадлежащих этой линии; в частности, — явное задание линии. Но так как пара определяет комплексное число , то, выразив через и получаем и . Поэтому равенство
есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости.
Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности.
а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид . Подставляя в это уравнение и , находим
Введя обозначение , окончательно получим — уравнение прямой в комплексной форме.
б) Используем уравнение окружности в общем виде . Подставляя в это уравнение и получаем
, или, обозначая
уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности "бесконечного" радиуса, ) точками на сфере Римана.
Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку и ввести систему координат , направив по лучу , а плоскость , где ось , совпадает с , а ось — с , то, используя коллинеарность векторов плоскости на сфере. Эти формулы имеют вид .
Подставляем их в уравнение окружности и учитывая, что точка лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению или , после преобразований получаем уравнение плоскости . Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При ; ее образом на сфере будет окружность
проходящая через точку удовлетворяют этой системе.
Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку , а окружностям, проходящим через Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов.
а) Для уравнения оси из и получаем из следует принимает вид , или .
Если умножить уравнение на , то его можно записать иначе: Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение:
а) дуги окружности единичного радиуса с центром в начале координат, расположенной в первой четверти;
б) биссектрисы первого координатного угла;
в) отрезка биссектрисы первого координатного угла, где .
Для решения удобно использовать задание комплексного числа в тригонометрической форме, т.е. через и :
а) любой точке дуги соответствует число , а аргумент удовлетворяет условию . Соотношения определяют соответствующую дугу. Полученный результат можно записать в комплексной форме: или в параметрической форме: ;
б) используя результат примера 1.28, ответ можно записать в вид Более удобной является запись ;
в) используя результат предыдущего пункта, ответ можно записать в виде .
Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) ; б) .
а) Подставив , запишем числа в алгебраической форме: . Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: . Отсюда после преобразований имеем — уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Задачу можно решить иначе, геометрически, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек .
б) Решим задачу геометрически. На оси отмечаем точки –3 и 5 и через середину отрезка их соединяющего (точку Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме:
а) Используя правило деления , находим . Получаем уравнение кривой в действительной форме:
, то есть , или .
Это уравнение окружности радиуса .
б) Производим действия, как в предыдущем пункте:
В результате получено уравнение окружности радиуса с центром в точке .
Области на комплексной плоскости
Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек.
Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности.
1. Круг радиуса задается неравенством . Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность (рис. 1.12,а). В частности, круг есть окрестность точки . Заметим, что неравенство определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей.
2. Проколотая окрестность точки — круг с выброшенным центром задается неравенством . Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности и точки (рис. 1.12,б).
3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости , образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке . Сферической окрестности точки и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки (рис. 1.12,в).
4. Кольцо с центром в точке , радиус внешней окружности которого , задается неравенством (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей и .
5. Верхняя полуплоскость плоскости — множество точек, для которых , т.е. в комплексной форме — нижняя полуплоскость. Неравенство — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области.
Заметим, что на расширенной комплексной плоскости граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка ).
Теорема Жордана
Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области.
Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область внешность круга; а множество — внутренняя часть круга, или просто круг
Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями:
1) Искомым множеством является пересечение кольца и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область.
2) Искомым множеством является пересечение круга и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,б). Область ограниченная односвязная.
3) Определяем вид границы множеств — линий и . Второе равенство определяет два луча и и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с
Поэтому уравнение , то есть , есть уравнение окружности , а неравенство — круг, который можно записав иначе . Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б).
Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами:
Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы:
1) границей множества является линия , или , то есть . Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку , то есть . Условие определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка и . Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка , описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в).
Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек:
Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы:
а) границами множества являются лучи и и , где и , то есть и . На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств и ; область, ими ограниченная, — в виде неравенства (рис. 1.15,д);
б) сектор . Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б).
Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками).
Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств:
а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи и луч по биссектрисе от точки в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде .
Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: для точек или .
б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки в бесконечность; уравнение луча: Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями
в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с "выброшенным" полукругом. Точки полукруга описываются системой
Следовательно, изображенное множество можно описать соотношениями