Урок алгебры по теме «Двойной радикал». 8-й класс
До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.
В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.
В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:
С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.
Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?
На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
3 этап работы. Повторение ранее изученного материала
1) Свойства квадратного корня
Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.
Вспомним эти свойства:
1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.
2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство
3) Если a≥0 и n – натуральное число, то
4) При любом a справедливо тождество
Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.
2) Способы преобразования радикалов
Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.
Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.
Второе интересное преобразование радикалов называется преобразованием двойного радикала .
4 этап работы. Ввести понятие двойного радикала и доказатьформулу сложного радикала.
Выражения вида 
и 
называют двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикал
это значит избавиться от внешнего радикала.
=
При каждое подкоренное выражение неотрицательно.
Докажем эти равенства(доказывает ученик):
Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.
Возведем в квадрат левую часть:
=
Возведем в квадрат правую часть:
=
∙
= =
=
= =
=
=
Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение представляет полный квадрат.
5 этап работы. Рассмотрим способы преобразования двойного радикала.
1 способ:
Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.
Примеры:
=
=
=
= =
=
=
=
=
= =
=
=
=
=
= =
=
2 способ
Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.
Примеры:
=
=
= =
=
=
=
=
=
= =
=
=
=
=
= =
Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Попробуем решить
НЕ УДАЕТСЯ.
3 способ
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала
=
Примеры:
=
=
=
=
= =
=
=
=
=
= =
=
=
=
=
= =
=
6 этап работы. Закрепление изученного материала.
Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:
7 этап работы. Вывод урока.
Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:
- выполняя в выражении, содержащем двойные радикалы, алгебраические действия, применив свойства квадратных корней;
- приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
- используя формулы сложного радикала.
8 этап работы. Домашнее задание.
Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).
Урок окончен. Спасибо за урок!
Урок алгебры в 8-м классе на тему: «Преобразование двойных радикалов»
1) Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.
2) Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения и по формулам двойного радикала.
3) Развивать умения и навыки работы с квадратными корнями, выявить закономерности и обобщить учебный материал.
1) Развитие внимания учащихся.
2) Развитие умения слушать товарища, доводить начатое дело до конца.
3) Развитие интереса к изучению алгебры и навыки самостоятельной и исследовательской работы.
1) Воспитание чувства коллективизма.
2) Продолжить формирование чувства ответственности за результат работы.
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Устный счёт.
а) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:
б) Имеет ли смысл выражение:
в) Упростите выражение:
г) Выполни умножение:
Вводим понятие двойного радикала:
Выражения вида и называют двойными радикалами или сложными радикалами.
Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.
Обратим внимание, что во время устного счёта мы с вами уже преобразовывали двойные радикалы. Преобразование двойных радикалов произошло во время алгебраических действий с квадратными корнями.
Преобразовать выражение в тетради:
На этом примере мы убедились, что мы уже умеем преобразовывать двойные радикалы в процессе выполнения алгебраических действий.
2) Вместо “?” поставить числа так, чтобы получилось верное равенство:
Преобразовать следующие выражения, используя формулы полного квадрата:
Вывод: Если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Работаем в тетрадях примерам 1;2;3;5 с листа контрольных заданий.
Последний пример пытаются выполнить и не получается.
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовые формулы:
При данных условиях каждое подкоренное выражение не отрицательно. Докажем справедливость одной из формул.
Возведём обе части первого равенства в квадрат. Имеем:(доказывает ученик):
Применяя данные формулы решить примеры 7;8;10;17; 21 с листа контрольных заданий.
Вывод урока: преобразовать двойные радикалы можно
1) при выполнении алгебраических действий в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.
2) приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
3) по формулам сложного радикала.
Дома вы преобразуете двойные радикалы с контрольного листа разными способами.
Урок окончен. Спасибо всем за урок.
Контрольные задания к уроку.
Преобразование двойных радикалов
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему
Теоретический материал по теме: «Преобразование двойных радикалов». Задания для самостоятельного решения и контроля.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 preobrazovanie_dvoynykh_radikalov.docx |
102.91 КБ |
Предварительный просмотр:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОЙНЫХ РАДИКАЛОВ.
Выражение вида где — некоторые числа, называется двойным или сложным радикалом .
При преобразовании выражений, содержащих двойные радикалы, часто бывает удобно освободиться в двойном радикале от внешнего радикала.
Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то освободиться от внешнего радикала можно с помощью тождества
Освободиться от внешнего радикала в выражении:
а).Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы.
Слагаемое рассмотрим как удвоенное произведение чисел и 1 или чисел и 2.
Тогда число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором можно найти, что это условие выполняется для чисел 2 и , т.е.
б).Попробуем подобрать такие числа и , что
Если такие числа существуют, то выполняются следующие условия:
В некоторых случаях удается освободиться от внешнего радикала с помощью формулы двойного радикала: где некоторые числа, причем
Докажем это равенство.
При указанных условиях правая часть равенства представляет собой выражение, которое имеет смысл и принимает неотрицательное значение.
Докажем, что квадрат этого выражения равен
Пример2. Упростить выражение:
1способ. Воспользуемся формулой двойного радикала
В данном случае
2способ. Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.
Доказать, что при значение выражения не зависит от
Освободимся от внешнего радикала в каждом из двойных радикалов.
Пример4. Упростить выражение
Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.
Практические задания для самостоятельного решения.
1. Упростить выражение:
Ответ: указание: умножить и разделить подкоренное выражение на 2.
2. .Докажите, что значение выражения является целым числом: Ответ: 1).-1; 2).1; 3).-1; 4).-2; 5).2.
3. Выяснить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом:
4. Упростите выражение:
5. Найдите значение выражения:
Ответ: 1).12; 2).0; 3).1;
6. Упростите выражение:
Ответ:
Самостоятельная работа по теме «Преобразование выражений, содержащих двойные радикалы».
1).Найдите значение выражения:
Преобразование двойных радикалов с помощью формул сокращенного умножения
план-конспект урока по алгебре (8 класс)
воспитывающие – формирование навыков коммуникативности; развитие инициативы, умений представить работу коллектива.
Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, интерактивная доска, карточки с заданиями для создания программы преобразований выражений, карточки рефлексии учащихся
1. Оргмомент. Здравствуйте ребята! Сегодня к нам в гости пришёл герой известного фильма. (Презентация , слайд 1)
Как его зовут? (Skoopidy).
Наш новый друг очень любознательный и большой любитель приключений. Ему интересно все, чем мы будем заниматься. Он предлагает записать домашнее задание обязательное для всех, под чертой на слайде дополнительное. Учитель с помощью стилуса переключает слайд.
2. Актуализация знаний. ( Слайд 2)Выполним устно некоторые упражнения.
Ребята, напомните определение арифметического квадратного корня.
Ученик дает ответ и затем, появляется слайд 3.
Перейдем к более сложному заданию. ( Слайд 4)
Учитель вписывает ответы в таблицу.
Продолжаем подготовку к открытиям. (Слайд 5)
Учитель предлагает ребятам сделать вывод из данных результатов.
Переходим к слайду 6.
Ребята быстро исправляют ошибки, прямо на слайде.
Используя результаты №5, выполняют №6.
3 . Постановка проблемы .
Беседа учителя с учениками: чем похожи эти выражения? Как можно их назвать? Ребята легко придумывают название данным выражениями: двойные радикалы. Ученики объявляют тему урока. ( Слайд 7)
Ребята записывают в тетради тему урока и определение двойного радикала.
Учитель говорит о необходимости найти способы преобразований двойных радикалов. Легко ли это сделать?
Запишите в тетрадь примеры. ( Слайд 8)
На экране три примера, которые ребята решают в тетрадях. Если примеры вызвали затруднение, то на помощь приходит пес с подсказкой; если не было затруднения, то учитель, похвалив учащихся, говорит о том, что наш гость удивлён и рад знаниям учеников. Ответы записываются на доске, учитель обращает особое внимание на использование формулы.
4. « Открытие» учениками новых знаний.
Ученикам предлагается творческая работа в группах.
Группы по 4 человека. Каждая группа получает карточки с заданиями. .Необходимо создать проект решения вопроса: как освободиться от внешнего радикала?
Желающие озвучивают свой проект. Класс участвует в обсуждении, задаёт вопросы. Ребята формулируют вывод: чтобы избавиться от внешнего радикала, пробуем преобразовать подкоренное выражение в квадрат суммы или квадрат разности, и применяем тождество.
Ребята демонстрируют решение примеров на доске.
= 
= 
= 2+ 
Решение упражнений (учебник «Алгебра-8» , Макарычев и др.)
№ 943 (а), № 945 (а, б), № 944 (а, б). Осуществляя дифференцируемый подход, предлагаем № 948(а), №949(а).
Учитель беседует с ребятами, говоря о новых знаниях полученных на уроке, о достигнутых целях, интересуется их ощущениями от происходящего и предлагает заполнить карточки.
6. Карточки рефлексии
- Что нового узнали на уроке?
- Какой метод позволил выполнить преобразование?
- Кого вы можете отметить?
- Оцените свою работу на уроке: