Пересечение высот треугольника
Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.
Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.
Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.
Так как прямые AH, BI, CJ перпендикулярны сторонам треугольника ABC, то они будут перпендикулярны и прямым, параллельных сторонам данного треугольника. То есть AH ⊥ DF, BI ⊥ DE, CJ ⊥ FE.
Рассмотрим четырехугольник ABEC. У него AB || EC, так как EC это отрезок, лежащий на прямой FE, а FE || AB по построению. Аналогично AC || BE. То есть противоположные стороны рассматриваемого четырехугольника параллельны. Это значит, что он параллелограмм, так как его определяет именно параллельность противоположных сторон.
Теперь рассмотрим четырехугольник ADBC. У него AD || BC и AC || DB. Значит, он тоже параллелограмм.
Одним из свойств параллелограмма является равенство его противоположных сторон. Из параллелограмма ABEC заключаем, что AC = BE. Из параллелограмма ADBC заключаем, что AC = DB. Следовательно, AC = BE = DB, то есть BE = DB. Таким образом, сторона DE разбита на два равных отрезка прямой BI.
Прямая BI перпендикулярна стороне DE и делит ее пополам, значит, BI является срединным перпендикуляром к DE.
Аналогично доказывается, что AH срединный перпендикуляр к DF, а CJ — к FE. (В первом случае рассматриваются четырехугольники ABCF и ADBC, во втором — ABCF и ABEC.)
Как известно, срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. (Доказывается это так. Два срединных перпендикуляра обязательно пересекутся в одной точке. Пусть это будут в данном случае CO и AO. Любая точка на срединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Значит, ∆FOE — равнобедренный, т. е. FO = OE. Однако ∆DOF также равнобедренный и FO = OD. Значит, FO = OE = OD. Точка O равноудалена от всех вершин треугольника. Тогда она лежит и на третьем перпендикуляре, а значит, он проходи через эту точку.)
Срединными перпендикулярами ∆DEF являются отрезки AH, BI, CJ. Однако они в то же время являются высотами треугольника ABC. Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Все формулы высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 09 октября 2011 Обновлено: 13 августа 2021
Точка пересечения высот треугольника
Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Высота
Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками).
Точка пересечения высот
У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.
Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.
Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:
- Внутри фигуры. В остроугольных треугольниках точка пересечения высот всегда находится внутри фигуры. Это обусловлено тем, что все высоты в таком треугольнике внутренние.
- Совпадает с вершиной. Этот случай характерен для прямоугольных треугольников. В таких треугольниках две из трех высот будут совпадать со сторонами. Если быть точнее, то совпадающие стороны это катеты. Остается одна высота, которая будет опускаться из вершины при остром угле. Именно эта вершина и будет ортоцентром треугольника.
- Вне фигуры. Внешнее расположение ортоцентра возможно только в тупоугольном треугольнике. Для того, чтобы получить ортоцентр такого треугольника, иногда потребуется продлить высоты до пересечения с внешней высотой. Почему?
Потому что внешняя высота проходит за пределами треугольника и опускается на продолжение одной из сторон, а две внутренние стороны всегда ограничены треугольником. Поэтому без дополнительных построений ортоцентр тупоугольного треугольника не найти.
Золотое сечение треугольника
Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.
Три центра треугольника это:
- Точка пересечения биссектрис
- Точка пересечения высот
- Точка пересечения медиан.
Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок.
О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.
В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут, и золотым сечением треугольника будет – точка.
Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.
Что мы узнали?
Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.
Теорема о пересечении высот треугольника
В этом уроке мы узнаем, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку называют ортоцентром и она является еще одной замечательной точкой треугольника.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.
2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.
3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ
Конспект урока «Теорема о пересечении высот треугольника»
Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы замечательные точки треугольника и познакомимся с теоремой о пересечении высот треугольника.
На прошлых уроках мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке. До этого мы также доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, таким же свойством обладают и высоты треугольника.
Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Рассмотрим .
Значит, четырехугольник параллелограмм.
Значит, четырехугольник параллелограмм.
Точка 
является серединой отрезка 
серединный перпендикуляр 
.
Точка 
является серединой отрезка 
серединный перпендикуляр 
.
Точка 
является серединой отрезка 
серединный перпендикуляр 
.
Значит, высоты 
пересекаются в одной точке, в точке 
.
Что и требовалось доказать.
В любом треугольнике медианы и биссектрисы принадлежат самому треугольнику. Чего нельзя сказать о высотах треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Точку их пересечения называют ортоцентром треугольника. В остроугольном и прямоугольном треугольниках высоты принадлежат треугольнику. Их точка пересечения – ортоцентр – в остроугольном треугольнике находится внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике находится в прямом угле. А вот в тупоугольном треугольнике точка пересечения высот – ортоцентр – находится вне треугольника.
Рассмотрим тупоугольный . У него 
– тупой, 
– высота. Докажем, что точка 
– основание высоты 
– не принадлежит отрезку 
.
Доказательство.
Пусть точка .
.
Что не может быть.
Точка пересечения тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.
Из истории замечательных точек треугольника. В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга.
Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника.
Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.
На этом уроке мы узнали, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку называют ортоцентром и она является замечательной точкой треугольника.