Помогите с решением
1) Из вершины В квадрата ABCD проведён перпендикуляр BF к плоскости этого квадрата. Докажите, что АС ⊥ DF.
2) Через вершину В треугольника АВС проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью АВС и параллельная его стороне АС. Проекция треугольника АВС на эту плоскость – прямоугольный треугольник А1ВС1 с прямым углом В. Найдите сторону АС, если ВА1 = 9 см, ВС1 = 12 см.
3) Из точки В проведены к данной плоскости две равные наклонные, угол между которыми равен 60°, а угол между их проекциями равен 90°. Найдите угол между каждой наклонной и её проекцией на плоскость.
Голосование за лучший ответ
Перпендикулярность прямой и плоскости: основные понятия и свойства
Статья рассказывает о перпендикулярности прямых и плоскостей, ее определении, свойствах и способах проверки, а также приводит примеры задач на эту тему.
Перпендикулярность прямой и плоскости: основные понятия и свойства обновлено: 17 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Помощь в написании работы
Введение
В математике перпендикулярность является одним из основных понятий, которое широко применяется в геометрии. Перпендикулярные прямые и плоскости играют важную роль в решении различных задач и конструкций. В данном уроке мы рассмотрим определение перпендикулярности, основные свойства перпендикулярных прямых, а также способы определения перпендикулярности прямой и плоскости. Мы также рассмотрим примеры задач, в которых необходимо использовать понятие перпендикулярности для решения. Давайте начнем изучение этой важной темы!
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение перпендикулярности
Перпендикулярность – это отношение между двумя прямыми, при котором они образуют прямой угол друг с другом. Если две прямые пересекаются и образуют прямой угол, то они называются перпендикулярными.
Перпендикулярные прямые имеют следующие характеристики:
- Угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусам.
- Перпендикулярные прямые имеют разные наклоны. Если одна прямая имеет наклон k, то другая прямая будет иметь наклон -1/k.
- Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они также перпендикулярны друг другу.
Перпендикулярность является важным понятием в геометрии и находит применение в различных областях, таких как строительство, архитектура, физика и другие.
Свойства перпендикулярных прямых
Перпендикулярные прямые обладают следующими свойствами:
Угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусам.
Если две прямые пересекаются и образуют прямой угол, то они называются перпендикулярными. Угол между перпендикулярными прямыми всегда равен 90 градусам. Это означает, что линии встречаются под прямым углом и не пересекаются друг с другом.
Наклоны перпендикулярных прямых связаны обратным отношением.
Если одна прямая имеет наклон k, то другая прямая, перпендикулярная ей, будет иметь наклон -1/k. Например, если первая прямая имеет наклон 2, то вторая прямая, перпендикулярная ей, будет иметь наклон -1/2.
Перпендикулярные прямые пересекаются в одной точке.
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они также перпендикулярны друг другу. Это означает, что они пересекаются в одной точке, которая называется точкой пересечения перпендикулярных прямых.
Эти свойства перпендикулярных прямых являются основными и широко используются в геометрии и других областях.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикулярность прямой и плоскости – это особое отношение между прямой и плоскостью, при котором прямая пересекает плоскость под прямым углом.
Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо выполнение двух условий:
Прямая должна лежать в плоскости.
Это означает, что все точки прямой должны принадлежать плоскости. Если хотя бы одна точка прямой не принадлежит плоскости, то прямая не будет перпендикулярна этой плоскости.
Прямая должна быть перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости и пересекающим ее.
Это означает, что если мы проведем любую прямую в плоскости, она должна пересекать данную прямую под прямым углом.
Перпендикулярность прямой и плоскости имеет важное значение в геометрии и инженерии. Она используется, например, при построении перпендикуляров на плоскости, определении расстояния от точки до плоскости и в других задачах.
Способы определения перпендикулярности прямой и плоскости
Способ через углы
Первый способ определения перпендикулярности прямой и плоскости основан на свойствах углов.
Если две прямые пересекаются и образуют прямой угол, то они являются перпендикулярными. То же самое справедливо и для прямой и плоскости: если прямая пересекает плоскость и образует прямой угол с ней, то они перпендикулярны.
Для проверки перпендикулярности прямой и плоскости можно измерить угол между ними. Если этот угол равен 90 градусам, то прямая и плоскость перпендикулярны.
Способ через векторы
Второй способ определения перпендикулярности прямой и плоскости основан на свойствах векторов.
Если вектор, задающий прямую, перпендикулярен вектору, задающему плоскость, то прямая и плоскость перпендикулярны.
Для проверки перпендикулярности прямой и плоскости можно вычислить скалярное произведение векторов, задающих прямую и плоскость. Если скалярное произведение равно нулю, то прямая и плоскость перпендикулярны.
Способ через нормальный вектор плоскости
Третий способ определения перпендикулярности прямой и плоскости основан на свойствах нормального вектора плоскости.
Нормальный вектор плоскости перпендикулярен самой плоскости. Если прямая направлена вдоль нормального вектора плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Для проверки перпендикулярности прямой и плоскости можно вычислить скалярное произведение вектора, задающего прямую, и нормального вектора плоскости. Если скалярное произведение равно нулю, то прямая и плоскость перпендикулярны.
Это были основные способы определения перпендикулярности прямой и плоскости. Используя эти способы, вы сможете легко проверить, являются ли прямая и плоскость перпендикулярными.
Примеры задач на перпендикулярность прямой и плоскости
Пример 1:
Дана прямая l: x – 2y + 3z = 4 и плоскость П: 2x + 3y – z = 5. Проверить, перпендикулярны ли прямая и плоскость.
Для проверки перпендикулярности прямой и плоскости, нужно вычислить скалярное произведение вектора, задающего прямую, и нормального вектора плоскости.
Нормальный вектор плоскости П можно получить из коэффициентов при x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае, нормальный вектор плоскости П будет равен (2, 3, -1).
Вектор, задающий прямую l, можно получить из коэффициентов при x, y и z в уравнении прямой. В данном случае, вектор, задающий прямую l, будет равен (1, -2, 3).
Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:
(2, 3, -1) * (1, -2, 3) = 2*1 + 3*(-2) + (-1)*3 = 2 – 6 – 3 = -7
Так как скалярное произведение равно -7, а не равно нулю, прямая l и плоскость П не перпендикулярны.
Пример 2:
Дана прямая m: 2x + 3y – z = 4 и плоскость Q: 4x – 6y + 2z = 8. Проверить, перпендикулярны ли прямая и плоскость.
Для проверки перпендикулярности прямой и плоскости, нужно вычислить скалярное произведение вектора, задающего прямую, и нормального вектора плоскости.
Нормальный вектор плоскости Q можно получить из коэффициентов при x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае, нормальный вектор плоскости Q будет равен (4, -6, 2).
Вектор, задающий прямую m, можно получить из коэффициентов при x, y и z в уравнении прямой. В данном случае, вектор, задающий прямую m, будет равен (2, 3, -1).
Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:
(4, -6, 2) * (2, 3, -1) = 4*2 + (-6)*3 + 2*(-1) = 8 – 18 – 2 = -12
Так как скалярное произведение равно -12, а не равно нулю, прямая m и плоскость Q не перпендикулярны.
В этих примерах мы использовали скалярное произведение векторов, чтобы проверить перпендикулярность прямой и плоскости. Если скалярное произведение равно нулю, то прямая и плоскость перпендикулярны. Если скалярное произведение не равно нулю, то прямая и плоскость не перпендикулярны.
Заключение
Перпендикулярность – это важное понятие в математике, которое описывает взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикулярные прямые образуют прямой угол, а перпендикулярная прямая и плоскость пересекаются под прямым углом. Мы рассмотрели определение перпендикулярности, свойства перпендикулярных прямых и способы определения перпендикулярности прямой и плоскости. Это знание поможет вам решать задачи, связанные с перпендикулярностью, и применять его в реальной жизни.
Перпендикулярность прямой и плоскости: основные понятия и свойства обновлено: 17 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter
Тагир С.
Экономист-математик, специалист в области маркетинга, автор научных публикаций в Киберленинка (РИНЦ).
10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).
Рис. 1 Параллелепипед
То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА1, ВВ1, DD1, СС1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.
Таким образом, поверхность параллелепипеда — это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.
2. Свойства параллелепипеда
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),
АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),
АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали параллелепипеда АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).
Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1, B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.
3. Прямой параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.
Рис. 3 Прямой параллелепипед
Итак, прямой параллелепипед — это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.
4. Прямоугольный параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.
Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 4), если:
1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).
2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.
Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.
Итак, прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник.
5. Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.
АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.
∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.
Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
6. Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.
Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).
Доказать: .
Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед
Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:
Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:
Так как , а , то
. Поскольку СС1 = АА1, то 
что и требовалось доказать.
7. Следствие — Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 =
8. Куб
Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Все грани куба – это равные квадраты.
9. Задача 1 Найти диагональ куба
Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).
см.
Ответ: см.
10. Задача 2
Дан куб АВСDА1В1С1D1 (рис. 8). Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.
Прямые ВС1 и В1С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ1С1С.
Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ1С1, а значит, и прямой ВС1, которая лежит в этой плоскости.
Имеем, прямая ВС1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым В1С и DC плоскости, значит А1В1D. Значит, прямая ВС1 перпендикулярна плоскости А1В1D.
Плоскость АВС1 проходит через перпендикуляр ВС1 ко второй плоскости А1В1D, значит, плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.
11. Итоги урока по теме «Прямоугольный параллелепипед и его измерения (ребра, основание, площадь, диагональ, поверхность, площадь поверхности)»
Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5. а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостями ABD и CAD1. б) Найдите тангенс этого угла.
2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1
а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.
б) Найдите его длину.
3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми AD и CA1.
4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1.
а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.
б) Найдите косинус этого угла.
5. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
6. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.
Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.
7. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.
Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.
8. В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при–чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16π. Найдите площадь поверхности шара.
9. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка M делит ребро SD в отношении 1:2 (считая от вершины S).
а) Постройте угол между прямой BM и плоскостью AEC.
б) Найдите величину этого угла.
10. В правильной шестиугольной призме AB. E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2
а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.
б) Найдите его длину.
11. В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.
а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 10, АС = 12 и АА1 = 7.
12. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 3, а точка T на ребре B1C1 так, что B1:TC1=1:2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
13. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.
а) Докажите, что угол AHC = 90°.
б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.
14. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
15. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
16. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
17. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD = 2 :1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
18. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM , проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM .
19. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
20. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, AB = BC = AC = 14.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.
21. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13.Точки M и N — середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.
22. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
a) Докажите, что угол AHC=90∘.
б) Найдите объём пирамиды, если HA=1 и HC=5
23. Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость альфа.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью альфа является равносторонним треугольником
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости альфа
24. В правильной треугольной призме ��������1��1��1 сторона основания ����=7√3, а боковое ребро ����1=8.
а) Докажите, что плоскость ������1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро ����1 и середину ребра ��1��1
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ������1 и ����1��1
а) Докажите, что прямая ��1�� перпендикулярна плоскости ��1����1
б) Найдите угол между плоскостями ����1��1 и ��1��1��
(!)Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости
(!)Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях
26. Ребро SA пирамиды SABCD перпендикулярно плоскости основания ABC.
a) Докажите, что высота пирамиды, проведенная из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AC и SA, пополам.
b) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если ����=√5, AB=AC=5, ����=2√5.
27. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ=CN:NB=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду
28. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8
29.Радиус основания конуса Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длина которых относится как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
30. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 2√14, SB = 6√2, SD = √65.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD. б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
31. Точка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскость AMB1 параллельна прямой A1C.
б) Найдите расстояние между прямой AC1 и плоскостью AMB1, если параллелепипед прямоугольный, AB =12, AD =12 и 1 AA1 = 6.
32. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=10, BC=6, AA1=8.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.