Алгебра логики. Задача 4-29
Символом \( F \) обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов \( X, Y, Z \) . Дан фрагмент истинности выражения \( F \) :
| \( X \) | \( Y \) | \( Z \) | \( F \) |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Какое выражение соответствует \( F \)?
1) \( ¬(X ∧ Y) ∨ Z \) 2) \( ¬(X ∨ Y ∨ Z) \) 3) \( X ∧ Y ∧ ¬Z \) 4) \( ¬X ∨ Y ∧ ¬Z \)
Второе выражение не подходит, потому что любой операнд равный 1, должен придавать выражению значение 0, а это противоречит второй строке таблицы. Третье выражение противоречит третьей строке, потому что при \( X, Y, Z \), равными соответственно 1, 1, 0, результат будет равным 1. Четвертое выражение противоречит третьей строке таблицы, потому что при \( Y, Z \), равными 1 и 0 соответственно, результат будет равным 1.
Проверим выражение 1. Вычислим все значения выражения на наборах данных таблицы:
\( \overline + Z = \overline + 0 = 1 + 0 = 1 \)
\( \overline + Z = \overline + 1 = 1 + 1 = 1 \)
\( \overline + Z = \overline + 0 = 0 + 0 = 0 \)
Логические выражения и таблица истинности
Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.
Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.
Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».
Алгоритм построения таблицы истинности:
1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;
3. подсчитать количество логических операций в формуле;
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;
6. выписать наборы входных переменных;
7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.
Заполнение таблицы:
1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;
2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;
3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.
Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте таблицу истинности.
Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.
Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.
Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .
1. В выражении две переменные А и В (n=2).
2. mстрок=2 n , m=2 2 =4 строки.
3. В формуле 5 логических операций.
4. Расставляем порядок действий
1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).
5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.
А
В
А\/ В
¬А
¬В
¬А\/¬В
F
0
1
1
0
Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.
Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения
F = (A\/ B) /\ ¬С
- В данной функции три логические переменные – А, В, С
- количество строк таблицы = 2 3=8
- В формуле 3 логические операции.
- Расставляем порядок действий
1) А\/ В; 2) ¬С; 3) (AVB) /\ ¬С .
- количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6
А
В
С
A\/B
(A\/B) /\ ¬С
0
0
1
0
1
0
1
0
Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С \/В) => В) /\ (А /\ В) => В.
Построим таблицу истинности этой формулы.
Ответ: формула является тождественно истинной.
Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
Решение (вариант 1, через таблицы истинности):
Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:
X
Y
Z
F
¬X/\¬Y/\Z
¬X\/¬Y\/Z
X\/Y\/¬Z
X\/Y\/Z
1
1
0
0
1
1
Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.
Ответ: 3
Решение (Вариант 2):
Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.
Рассмотрим данный конкретный пример:
1) первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;
2) второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;
3) третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;
4) четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.
Ответ: 3
Дан фрагмент таблицы истинности выражения f какое выражение соответствует
Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:
Указание:Каким выражением может быть F?
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | F |
| 0 | 1 | 0 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 |
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | F |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Логическая функция F задаётся выражением ¬x y (¬z w). Ниже приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
Указание:В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
| ? | ? | ? | ? | F |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Дана функция F(x1,x2,x3,x4) = ¬x1 x2 x1 x3 x1 x3 x4 и часть ее таблицы истинности, некоторые значения в которой пропущены. Заполните таблицу истинности и в ответ запишите пропущенные числа в порядке следования строк в таблице. Числа записывайте подряд, без разделителей.
| x1 | x2 | x3 | x4 | F |
| ? | 1 | 0 | 0 | 1 |
| ? | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | ? | 1 | 0 | 1 |
Логическая функция F задаётся выражением ¬x1 x2 x3 x4 ¬x5. Определите, какие числа (0 или 1) пропущены в таблице истинности функции. В ответе запишите пропущенные числа в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы таблицы. Числа в ответе пишите подряд, никаких разделителей между ними ставить не нужно
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | F |
| 0 | 1 | ? | 1 | 0 | 0 |
| 0 | ? | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | ? | 0 |
Верно ли утверждение: Математическое ожидание функции системы — это ее наиболее устойчивое оптимальное выражение
Какое количество корней характеристического уравнения в действительной их части должно быть положительным, чтобы система была неустойчивой:
Какое количество корней характеристического уравнения в действительной их части должно быть отрицательным, чтобы система была устойчивой:
Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:(первая буква согласная вторая буква согласная) (предпоследняя буква гласная последняя буква гласная)?
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | F |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Логическая функция F задаётся выражением ¬x y (¬z w). Ниже приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
Указание:В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
| ? | ? | ? | ? | F |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:
Указание:Каким выражением может быть F?
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | F |
| 0 | 1 | 0 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 |
Дана функция F(x1,x2,x3,x4) = ¬x1 x2 x1 x3 x1 x3 x4 и часть ее таблицы истинности, некоторые значения в которой пропущены. Заполните таблицу истинности и в ответ запишите пропущенные числа в порядке следования строк в таблице. Числа записывайте подряд, без разделителей.
| x1 | x2 | x3 | x4 | F |
| ? | 1 | 0 | 0 | 1 |
| ? | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | ? | 1 | 0 | 1 |
Логическая функция F задаётся выражением ¬x1 x2 x3 x4 ¬x5. Определите, какие числа (0 или 1) пропущены в таблице истинности функции. В ответе запишите пропущенные числа в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы таблицы. Числа в ответе пишите подряд, никаких разделителей между ними ставить не нужно
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | F |
| 0 | 1 | ? | 1 | 0 | 0 |
| 0 | ? | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | ? | 0 |
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
\/ — дизъюнкция(логическое сложение) — При сложении 1 и 1, 1 и 0, 0 и 1 получается всегда Истинна. Ложь только в случае сложения 0 и 0.
/\ — конъюнкция (логическое умножение) — При умножении будет истинна только в случае 1 /\ 1 , во всех остальных случаях — Ложь.
Берём первое выражение: X \/ ¬Y \/ Z (Х + (отрицание от Y) + Z
Подставляем значения из таблицы, каждую строчку.
1) 1 1 1 1 : 1 + 0 + 1 = 1 — верно, значит выражение к первой строчке таблицы подходит. Можно заметить, что в таблице X — всегда = 1 и в выражении, оно стоит без отрицания, значит можно сделать вывод, что выражение всегда будет истинно, что и показано в таблице ⇒ в первом ответ: 1) P.s. Ну можно проверить и остальные по желанию.
2. ~ — эквивалентность — значения равны.
→ — импликация — Ложь будет только в случае 1 → 0, во всех остальных -истинна.
Делаем всё тоже, что и в первой задаче.
1 0 1 0 : ( 1 ~ 1) /\ (0→0)
(1)/\(1) = 1 — Неверно, первая строка не совпала, дальше можно не проверять.
4) (Ну я каждое разбирать не буду, сразу к 4-му выражению перейду)
1 0 1 0: (1 ~ 1)/\¬(0→1) : (1)/\¬(1) : 1/\0 = 0 -Первая строка совпала.
0 1 0 1: (0~0)/\¬(1→0) : (1)/\¬(0) : 1/\1 = 1 — Вторая строка совпала
1 1 1 0: (1~1)/\¬(1→1) : (1)/\¬(1) : 1/\0 = 0- Третья строка совпала
Значит ответ 4)
Новые вопросы в Информатика
Складіть програму та блок схему для розв’язання задачі
Нужно написать код для трех приложений на c++. использовать именные каналы Первое приложение случайным образом определяет число А. Второе приложение о … жидает ввода числа В пользователем, третье приложение ожидает ввода числа С. Второе и третье приложения посылают числа первому, оно определяет, совпадает ли полученное число с числом А, и отсылает назад ответ. Если ответ положительный, пользователю присуждается очко. Игра ведется 15 раундов. Каждый пользователь должен узнавать об успехах другого на каждом раунде. Работа приложений должна быть согласована.
Паладину по работе нужно одолеть n монстров. Изначально у паладина есть h единиц здоровья. Про каждого монстра известно, что если паладин вступит с ни … м в бой, то во время битвы монстр нанесет ему ai единиц урона и здоровье паладина уменьшится на ai единиц. Если здоровье паладина станет меньше или равно 0, то он погибнет. Но если паладин сможет победить монстра, то он заберет у него его лечебное зелье, выпьет его и восстановит себе bi единиц здоровья. Ограничений на максимальное количество здоровья у паладина нет, т.е. после использования зелий его здоровье может стать больше, чем h . Паладин может сражаться с монстрами в любом порядке. Может ли паладин победить всех n монстров и выжить? Входные данные В первой строке даны целые числа n (1≤n≤2⋅105) и h (1≤h≤109 ) — количество монстров и изначальное количество единиц здоровья паладина. Следующие n строк содержат по паре целых чисел ai (1≤ai≤109) и bi (0≤bi≤109) — урон от битвы с i-м монстром и количество единиц здоровья, которое восстанавливает зелье i -го монстра. Выходные данные Если паладин может победить всех монстров и выжить, то выведите «YES» (без кавычек), иначе выведите «NO» (без кавычек). Вы можете выводить каждую из букв в любом регистре. Система оценки В задаче 4 подзадачи. Подзадача 0 — тесты из условия, за нее баллы не начисляются. Тестирование подзадачи начинается, если пройдены все тесты в необходимых подзадачах. Система оценки «полная» означает, что решение получит баллы за прохождение всех тестов данной подзадачи.
Известно, что одно из k возможных сообщений, передаваемых равномерным двоичным кодом, содержит 3 бита информации. Определить, чему равно k.
Задача 22149 Дан фрагмент таблицы истинности.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F, зависящего от трех аргументов X,Y, Z.
Перечислите в порядке возрастания без запятых и пробелов номера логических выражений, которые соответствуют F.
информатика 10-11 класс 4939
Решение
V — логическое ИЛИ
/\ — логическое И
1) Данное выражение истинно, если хотя бы одно из составляющих истина.
Не подходит по третьей строчки таблицы.
2) Пналогично первому в третье строчке значение выражения истинно, что не соответсвует таблице
3) Операция И приоритетнее операции, а значит сначала смотрим на результат выполнения /\.
Проверив по таблице все совпало. Нам подходит.
4) в той же третьей строчки не совпадает. Операция будет истиной.
5) тоже не соответсвует
У меня проучился 1 ответ: 3.
Если не сложно скажите совпал или не совпал.
Также прикрепил справочный материал!
Обязательно отпишите. 
Таблица истинности онлайн
Поддерживаемые операторы (используются латинские буквы и знаки скобок, слэш, обратный слэш, дефис):
| Символы | |
| И (AND) | /\ |
| ИЛИ (OR) | \/ |
| НЕ (NOT) | ~ |
| Импликация | -> |
| Исключающее ИЛИ (XOR) | ^ |
| Эквивалентность | |
Онлайн-калькулятор таблицы истинности предоставляет значения таблицы истинности для заданных формул пропозициональной логики. Утверждения пропозициональной логики могут быть только истинными или ложными.
Таблица истинности по фото
С бурным развитием ChatGPT-подобных ботов появились нейросети, способные различать и считывать формулы и математические выражения с фото. Один из примеров таких ботов – Brain Bot. Вы можете попробовать выслать ему фото задачи с просьбой о решении. Но будьте осторожны – для таких сложных логических выражений, задач, где могут использоваться разные обозначения – искусственный интеллект может ошибаться.
Разные обозначения логических символов
Для логических символов применяются различные знаки. Вот таблица соответствия, чтобы подобрать и заменить на те которые поддерживаются данным калькулятором (первый зеленый столбец):
→ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов).