Как выделить полный квадрат онлайн

Выделить полный квадрат онлайн

Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:

где и неизвестные параметры которые требуется определить.

Для определения неизвестных параметров и , преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:

и далее, раскроем скобки:

Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра , поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:

Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра :

Подставляем полученные значения и в самое первое уравнение и получаем формулу для выделения полного квадрата из квадратного многочлена:

Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для решения квадратных уравнений.

Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.

Выделение полного квадрата

Назначение сервиса . Сервис служит для выделения полного квадрата в квадратном трехчлене a•x 2 + b•x + c = 0 .

Инструкция . Для получения решения в онлайн режиме заполните коэффициенты при соответствующих переменных и нажмите кнопку Решение . Например, для уравнения 1 /₂x 2 — 2 /₃x + 11 = 0, необходимо будет ввести коэффициенты: 1/2, -2/3, 11.

Область применения . Выделение полного квадрата используют при интегрировании, когда необходимо функцию подвести под выражение a(x — b) 2 + c ; при построении графиков функции; других прикладных задачах.

Покажем, как использовать полученный выделенный квадрат функции для построения параболы. Представим выражение в виде:

• a > 0 — ветви параболы направлены вверх.
• a < 0 - ветви параболы направлены вниз.
• c > 0 — вершина параболы смещена по оси 0Y на c .
• c < 0 - вершина параболы смещена по оси 0Y на c .
• c = 0 — вершина параболы находится на оси 0X .
• x — b — смещение по оси 0X на
• x + b — смещение по оси 0X на

Метод выделения полного квадрата

Этот онлайн-калькулятор применяет метод выделения полного квадрата (или метод дополнения до полного квадрата) к квадратному многочлену (полиному), представленному его коэффициентами a, b и c. Он конвертирует квадратный многочлен из вида в вид .

Теорию и формулы вы найдете ниже под калькулятором.

Метод выделения полного квадрата

Коэффициенты квадратного многочлена
Три коэффициента квадратного многочлена, разделенные пробелом, от большей степени к меньшей
Рассчитать
Преобразованный многочлен
 Ссылка  Сохранить  Виджет

Метод выделения полного квадрата

Как говорилось выше, метод выделения полного квадрата (метод дополнения до полного квадрата) — это метод конвертирования квадратного полинома из представления вида в представление вида .

Метод выделения полного квадрата используется для

• решения квадратных уравнений,
• изображения квадратичной функции,
• вычисления интегралов в матанализе, таких как гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени
• нахождения преобразований Лапласа.

В математике выделение полного квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратные полиномы. Также этот метод можно использовать для выведения формулы корней квадратного уравнения.

Формула для h и k

Давайте выведем формулы для коэффициентов h и k . Начнем с квадратного полинома

Запишем коэффициент a в знаменатель, чтобы получить монический квадратный полином

Мы знаем, что формула квадрата двучлена записывается так

Используя эту формулы, мы можем записать двучлен, первые два коэффициента квадрата которого будут совпадать с первыми двумя коэффициентами монического квадратного полинома выше:

Эта запись отличается от монического квадратного полинома выше только значением константы. Следовательно, добавив и вычтя соответствующие константы, мы сможем записать равенство:

Добавляя константу, мы выделяем квадрат или дополняем квадрат, отсюда и идет название метода.

Теперь мы можем восстановить коэффициент a, умножив обе части равенства на a и окончательно записать равенство так

Как выделить полный квадрат онлайн

Вы можете выделить полный квадрат трёхчлена и превратить его в квадратный двухчлен.

Для этого введите в калькулятор упрощения выражений квадратный многочлен:

Вы получите следующий результат:

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(x^ + x\right) + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a x^ + b x + c = a \left(m + x\right)^ + n$$
где
$$m = \frac$$
$$n = \frac<4 a c - b^>$$
В нашем случае
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
Тогда
$$m = \frac$$
$$n = \frac$$
Итак,
$$\left(x + \frac\right)^ + \frac$$

Трёхчлен с двумя переменными

Рассмотрим более сложный пример (квадратный трёхчлен с двумя переменными):

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$y^ + \left(\frac + 2 x y\right)$$
Запишем такое тождество
$$y^ + \left(\frac + 2 x y\right) = — 3 y^ + \left(\frac + 2 x y + 4 y^\right)$$
или
$$y^ + \left(\frac + 2 x y\right) = — 3 y^ + \left(\frac + 2 y\right)^$$
в виде произведения
$$\left(- \sqrt y + \left(\frac + 2 y\right)\right) \left(\sqrt y + \left(\frac + 2 y\right)\right)$$
$$\left(- \sqrt y + \left(\frac + 2 y\right)\right) \left(\sqrt y + \left(\frac + 2 y\right)\right)$$
$$\left(\frac + y \left(2 — \sqrt\right)\right) \left(\frac + y \left(\sqrt + 2\right)\right)$$
$$\left(\frac + y \left(2 — \sqrt\right)\right) \left(\frac + y \left(\sqrt + 2\right)\right)$$