2. Комплексные числа
Продолжаем разрабатывать тему числовых множеств. И прежде чем мы перейдем к рассмотрению комплЕксных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить их «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвёртое измерение в нашем трёхмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число.
Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , а число – мнимой частью () комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: . Такую запись называют алгебраической формой комплексного числа.
И сразу отвечу на философский вопрос: зачем нужны комплексные числа? Всё очень просто. Эти числа появились исторически – в ходе развития математики, когда для решения некоторых задач стало не хватать действительных чисел.
Множество комплексных чисел обозначают стилизованной или жирной буквой и изображают комплексной плоскостью, которая состоит из начала координат, действительной оси и мнимой оси :
На всякий пожарный напомню культуру построения чертежей: чтобы задать размерность, достаточно указать ноль, единицу на действительной оси и мнимую единицу на мнимой оси. Не нужно проставлять значения «сплошняком»: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и . Ибо (повторю свою бородатую шутку), комплексная плоскость – не памятник Эйлеру, а студент – не голубь. Впрочем, комплексные числа ввёл в обиход вовсе не Эйлер, и мы возвращаемся в теме:
Каждой точке комплексной плоскости соответствует некоторое комплексное число и наоборот, каждому комплексному числу соответствует своя точка плоскости.
Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять. Построим на комплексной плоскости следующие числа:
, ,
, ,
, , ,
По какому принципу отмечены числа, думаю, всем видно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете: «Да это же это обыкновенные действительные числа!». И будете правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел, и на действительной оси «сидят» все наши «обычные» числа. Таким образом, множество действительных чисел – это подмножество множества комплексных чисел .
Итак, числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью. В частности, начало координат – есть число .
Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не рисуют, по той причине, что они сливаются с осями.
На множестве комплексных чисел нет отношения порядка. Иными словами, комплексные числа невозможно сравнить другу с другом по принципу «больше / меньше» – для них такого понятия просто не существует. А вот понятие равенства есть: два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части соответственно.
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Сравнение комплексных чисел
Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.
| Объявления | Последний пост | |
|---|---|---|
| Запущен новый раздел «Задачки и головоломки» | 29.08.2019 00:42 | |
| Книги по математике и экономике в добрые руки! | 07.10.2023 13:49 | |
| ML Research Engineer, до $8k/мес net | 26.01.2024 09:15 | |
12.03.2008 23:00
Дата регистрации:
16 лет назад
Сравнение комплексных чисел
Уважаемые форумчане. Очень нужна ваша помощь. Решается судьба сессии.
Вопрос такой: какое число больше:
$(-1)^>$ или $(-1)^>$ ?
Заранее благодарю за помощь.
Редактировалось 2 раз(а). Последний 13.03.2008 09:52.
Как сравнивать комплексные числа
На этом шаге мы рассмотрим особенности использования операций сравнения .
Из всех операций сравнения для комплексных чисел определены только проверки на равенство и на неравенство (таблица 1). Операторы == и != определены как глобальные функции, поэтому один из операндов может быть скалярной величиной. В этом случае операнд интерпретируется как вещественная часть, а мнимой части комплексного числа присваивается значение по умолчанию для данного типа (обычно 0).
| Выражение | Описание |
|---|---|
| c1 == с2 | Проверка на равенство c1 и с2 (c1.real()==c2.real() && c1.imag()==c2.imag()) |
| c == 1.7 | Проверка на равенство c1 и 1.7 (c1.real()==1.7 && c1.imag()==0.0) |
| 1.7 == c | Проверка на равенство 1.7 и c1 (c1.real()==1.7 && c1.imag()==0.0) |
| c1 != с2 | Проверка на неравенство c1 и с2 (c1.real()!=c2.real() || c1.imag()!=c2.imag()) |
| c != 1.7 | Проверка на неравенство c1 и 1.7 (c1.real()!=1.7 || c1.imag()!=0.0) |
| 1.7 != c | Проверка на неравенство 1.7 и c1 (c1.real()!=1.7 || c1.imag()!=0.0) |
Из этого следует, что тип complex не может быть типом элементов ассоциативных контейнеров (без определения пользовательского критерия сортировки). Дело в том, что для сортировки элементов по умолчанию ассоциативные контейнеры используют объект функции less<> , который вызывает оператор
template class T> bool operator< (const std::complex& c1, const std::complex& c2) < return std::abs(cl)
На следующем шаге мы рассмотрим арифметические операции .
Конев В.В. Комплексные числа
Основные понятия
Введение
Основные понятия
Приложения
- Два комплексных числа (a, b) и (c, d) равны между собой, если a = c и одновременно b = d.
- Сумма комплексных чисел (a, b) и (c, d) представляет собой комплексное число (a + c, b + d).
(x, y) = x + iy.
При этом с точки зрения алгебраических преобразований комплексных чисел все выглядит так, будто множество вещественных чисел формально дополнено мнимой единицей — с сохранением всех правил действий над вещественными числами. Следует только помнить, что каждый раз, когда встретится число i 2 , его нужно заменять на (–1).
Например,
- (2 + 3i) + (7 – i) = 9 + 2i
(Фактически просто выполнено приведение подобных.) - (2 + 3i)·(7 – i) = 17 + 19i
(Раскрытие скобок, приведение подобных, замена i 2 на –1) - i 3 = i 2 · i = – i.
- Уравнение x 2 = –1 имеет два корня: + i и – i.
Проверка: (± i) 2 = –1.
Психологически число i порой воспринимается с некоторой настороженностью, поскольку из школьного курса алгебры укоренилось впечатление, что не бывает чисел, которые в квадрате дают (–1); мнимую единицу нельзя «потрогать» и так далее.
Чтобы преодолеть подобный барьер, давайте сопоставим число i с числом 
, которое тоже не очень-то просто сравнить с чем-нибудь материальным – типа количества кубиков. При этом число позволяет записать корни уравнения x 2 = 2 , а квадрат этого числа равен вполне понятному числу 2.
В этом смысле число i столь же «нормальное», что и — мнимая единица позволяет записать корни уравнения x 2 = –1 , а ее квадрат выглядит и совсем просто: i 2 = –1.