Доказать что треугольник это треугольник

Виды треугольников

Треугольник — геометрическая фигура, образующаяся в случае соединения трех отрезков с тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Вершинами треугольника называют три точки, которые соединяются отрезками, а отрезки называют сторонами.

Источник: epmat.ru На рисунке видно, что угол A является углом, образованным двумя сторонами (AB+AC), он лежит напротив стороны BC. Угол B — угол, который образован сторонами BA+BC, лежит напротив стороны AC. Угол C является углом, который образован сторонами CB+CA, противолежит стороне AB. Определение 2

Внутренний угол (угол треугольника) — угол, вершина которого соответствует вершине треугольника, его стороны проходят через стороны треугольника. Например, угол ABC — внутренний, как и углы CAB и ACB.

Примечание 1

Буква в середине обозначения угла (например B в угле ABC) — вершина. Углы и стороны треугольника являются элементами треугольника. Рассмотрим основные определения для темы «треугольник».

Определение 3
Периметр — сумма всех длин сторон треугольника. Обычно обозначается буквой «P».

Периметр вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c Периметр равнобедренного треугольника: P = a + 2b Периметр равностороннего треугольника: P = 3a Попробуем вычислить периметр треугольников:

Примечание 2

Треугольная форма часто встречается в быту. Например, часто ее используют в процессе строительства различных зданий, мостов и тд. В процессе строительства крыш используются стропила треугольной формы. Как и у всех геометрических фигур, у треугольника есть понятие равенства.

Два треугольника могут быть названы равными, если возможно их скомбинировать в результате наложения друг на друга, то есть скомбинировать их стороны, вершины, углы.

1. Напротив равных сторон соответственно противолежат равные углы.
2. Напротив равных углов соответственно противолежат равные стороны.

То есть, в треугольниках FAC и F1A1C1 напротив сторон AC и A1C1 будут лежать абсолютно равные углы F и F1. Напротив углов C и C1 будут лежать стороны FA и F1A1.

Основные свойства

Основные свойства треугольника:

1. Больший угол всегда лежит напротив большей стороны.
2. Равные углы всегда лежат напротив равных сторон.
3. Совокупность углов в данной фигуре всегда будет равна 180 градусам.
4. В случае, если продлить сторону треугольника (например, сторону AC) и отметить на продленной стороне точку F, то будет образован внешний угол BCF к углу ACB.
5. Внешний угол будет равен совокупности двух внутренних углов, которые не являются смежными ему. То есть, угол BCD = 180 градусов отнять угол ACB; угол BCD = угол A + угол B.
6. Любая сторона фигуры будет меньше совокупности двух других сторон, а также больше разности этих сторон. Пример: AB + BC > AC.

Виды треугольников

По свойствам углов выделяют три вида треугольников:

1. Остроугольный. Все его углы являются острыми.
2. Прямоугольный. Только один угол является прямым (то есть, он равен 90 градусам).
3. Тупоугольный. Один угол является тупым.

Рассмотрим внешний вид данных треугольников:

По свойствам сторон выделяют:

1. Равнобедренный.
2. Равносторонний.
3. Прямоугольный.

Равнобедренный треугольник — такая фигура, две стороны которой равны. Равные части такой фигуры будут называться боковыми сторонами, а третья сторона будет носить название основания.

И остроугольный, и тупоугольный, и прямоугольный треугольники могут быть равнобедренными.

Посмотрите на рисунки равнобедренных треугольников:

Рассмотрим свойства равнобедренных треугольников:

1. Углы при основании будут всегда равны.
2. Высота, медиана, биссектриса, которые проводятся в равнобедренном треугольнике к основанию, будут совпадать.

Равносторонний треугольник — фигура, стороны и углы которой являются равными.

Как найти площадь данной фигуры?

Как найти высоту данной фигуры?

Прямоугольный треугольник — фигура, угол которой равен 90 градусам.

Рассмотрим свойства данной фигуры:

1. Совокупность двух острых углов будет равна 90 градусам.
2. Катет, который лежит напротив угла в 30 градусов, будет равен половине гипотенузы.
3. Соответственно, если катет = половина гипотенузы, то этот катет лежит напротив угла в 30 градусов.
4. Медиана, которая проведена из вершины угла прямого, будет равна половине гипотенузы.

Все основные формулы треугольника

Рассмотрим формулы, по которым можно вычислить площадь треугольника:

Формула площади по высоте и стороне.

Вместо стороны A могут быть и показатели других сторон.

По двум сторонам, а также углу между этими сторонами — половина произведения двух сторон, умноженная на синус угла между этими сторонами.

По трем сторонам, а также радиусу описанной окружности:

По трем сторонам, а также радиусу вписанной окружности. Площадь = произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

Подобные треугольники — такие фигуры, в которых соответствующие углы являются равными, а стороны сходственные являются пропорциональными.

Таким образом, треугольник ABC будет подобен MNK. Так угол альфа будет равен углу альфа1, угол бета будет равен углу бета1, угол гамма будет равен углу гамма1. Иначе ABMN будет равно BCNK будет равно ACMK будет равно k.

Коэффициент k = коэффициент подобия.

Рассмотрим признаки подобия треугольников:

1. Первый признак подобия треугольника. В случае, если два угла треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники называются подобными.
2. Второй признак подобия фигур. В случае, если три стороны данной фигуры пропорциональны трем сторонам другой фигуры (треугольника), то такие треугольники называют подобными.
3. Третий признак подобия треугольника. В случае, если две стороны треугольника будут пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, которые расположены между этими сторонами, являются равными, то такими треугольники называются подобными.

Вписанная окружность — такая окружность, которая касается треугольник со всех трех сторон.

Посмотрите на вписанную окружность:

Основные свойства вписанной окружности:

• Центр вписанной окружности всегда расположен на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
• В любой треугольник возможно вписать окружность, но только одну.

Треугольники

Треугольник есть определенная часть плоскости, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми линиями.

Стороны треугольника. Прямые линии, ограничивающие треугольник, называются сторонами треугольника.

Каждые две пересекающиеся прямые образуют угол треугольника.

Три пересекающиеся стороны образуют три угла треугольника.

Вершины. Точки пересечения сторон называются вершинами треугольника.

На чертеже 35 имеем треугольник ABC, три стороны AB, BC и AC, три угла BAC, ABC и BCA и три вершины A, B, C. Для сокращения слово треугольник изображают иногда знаком ∆ .

Треугольники получают различные названия, смотря по взаимному отношению его сторон и по углам, его составляющим.

Разделение треугольников по отношению к сторонам. По отношению к сторонам треугольники делятся на треугольники разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Разносторонний есть такой треугольник, у которого все стороны не равны.

Треугольник ABC (черт. 36) есть разносторонний треугольник. У него все стороны различны: AB > BC > AC.

Равнобедренный есть такой треугольник, у которого две стороны равны. На черт. 37 ABC есть равнобедренный треугольник. У него две стороны AB и BC равны (AB = BC).

Равносторонний есть такой треугольник, у которого все три стороны равны.

Треугольник ABC (черт. 38) равносторонний, ибо у него все стороны равны: AB = BC = AC.

Разделение треугольников по отношению к углам. По отношению к углам треугольники разделяются на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Остроугольный есть такой треугольник, у которого все три угла острые.

Треугольник ABC (черт. 39) есть остроугольный, ибо все его три угла A, B, C острые.

Прямоугольный есть такой треугольник, у которого один из углов прямой.

Треугольник ABC прямоугольный, ибо угол ABC прямой (черт. 40).

Тупоугольный есть такой треугольник, у которого один из углов тупой.

Треугольник ABC (черт. 36) тупоугольный, ибо угол ACB тупой.

В каждом треугольнике можно выбрать какую-нибудь сторону за основание, тогда перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на основание, называется высотою треугольника.

Высота есть расстояние вершины от основания треугольника, считаемое по перпендикуляру. Высота есть длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание.

Если на чертеже 41 примем линию AB за основание, то линия CH будет высотой треугольника. Если примем на чертеже 42 за основание линию BC, то высотой будет линия AH. Если бы за основание была выбрана линия AB, то высотой была бы линия CK.

Свойство сторон треугольника. Во всяком треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Так, в треугольнике ABC (черт. 35)

Из этих трех неравенств получаем неравенства разности сторон:

AB > AC — BC
BC > AB — AC
AC > BC — AB

Равные треугольники. Два треугольника называются равными, если при наложении друг на друга они совмещаются всеми своими точками.

Равенство треугольников

Теорема 19. Два треугольника равны, если три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого.

Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 43) стороны равны

AB = DE, BC = EF, AC = DF

Требуется доказать, что ∆ ABC = ∆ DEF.

Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, сторону DF на сторону AC точкой D на точку A. По равенству сторон AC и DF точка F упадет на точку C.

Чтобы доказать, что точка E упадет на точку B докажем, что она не может упасть ни внутри, ни вне, ни на одну из сторон треугольника.

a) Положим, что точка E упадет внутри треугольника в точку E’, тогда треугольник DEF примет положение треугольника AE’C, DE займет положение линии AE’ и EF положение линии E’C, следовательно,

Линия ABC, будучи внешней ломаной, больше линии AE’C внутренней ломаной, следовательно,

Заменяя AE’ и E’C равными им сторонами DE и EF, имеем:

но AB = DE, следовательно, BC > EF, что противоречит данным условиям. Итак, точка E не может упасть внутри треугольника.

b) Положим, точка E упала вне треугольника в точку E». В этом случае ∆AE»C = ∆DEF и тогда

Обозначим букой O точку пересечения линий AE» и BC. Из чертежа видно, что

AO + BO > AB
CO + OE» > E»C

Сложив эти неравенства, имеем:

AO + BO + CO + OE» > AB + E»C

Так как BO + CO = BC, AO + OE» = AE», то

Здесь AE» = DE, CE» = EF, следовательно,

Вычтя по равной величине из обоих частей последнего неравенства, получаем:

что противоречит данным условиям. Итак, точка E не может упасть вне треугольника.

c) Точка E не может упасть на одну из сторон треугольника в точку E»’, ибо стороны DC и AB равны. Точно также если бы E упала в точку O, то выходило бы, что BC > OC, но OC = EF, следовательно, BC > EF, что противоречит условию.

Итак, точка E должна непременно упасть в точку B, следовательно, при наложении сторона DE совпадет со стороной AB, а сторона EF со стороной BC и треугольник DEF с треугольником ABC.

Из равенства треугольников следует, что все остальные части их равны, т. е.

Теорема 20. Два треугольника равны, когда они имеют по равному углу, содержащемуся между равными сторонами.

Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 44)

AB = DE, AD = DF, ∠BAC = ∠EDF

Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.

Примечание. Иногда указывают равные части на чертеже, отмечая их одинаковыми значками.

Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, сторону DF на сторону AC, точкой D на точку A; тогда по равенству линий DF и AC точка F упадет в точку C и по равенству углов A и D линия DE пойдет по линии AB; по равенству линий DE и AB точка E упадет на точку B. Если E и F две точки линии EF совпали с B и C двумя точками линии BC, то и вся линия EF совпадет с линией BC, и треугольник DEF совпадет с треугольником ABC. Отсюда следует, что и все остальные части треугольников равны, т. е.

BC = EF, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Теорема 21. Два треугольника равны, если сторона и два лежащие на ней угла одного равны стороне и двум лежащим на ней углам другого треугольника.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 44)

∠ A = ∠D, ∠C = ∠F, AC = DF

Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.

Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, стороной DF на AC, точкой D на A, тогда по равенству сторон AC и DF точка F упадет на точку C. По равенству углов A и D линия DE пойдет по линии AB и по равенству углов C и F линия FE пойдет по линии CB. Так как линия FE и DE совпадут с линиями CB и AB, то и точка E непременно совпадет с точкой B, ибо две прямые линии пересекаются в одной точке, следовательно два треугольника равны (ЧТД).

Из того, что равные треугольники совмещаются при наложении всеми своими частями вытекает следствие. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и наоборот.

Соответственные части треугольников. В двух равных треугольниках равные углы и равные стороны называются соответственными углами и сторонами.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника есть всякий угол смежный с углом треугольника.

Так, на чертеже 45, угол BCD есть внешний угол.

Теорема 22. Во всяком треугольнике внешний угол больше каждого внутреннего не смежного с ним.

Дан внешний угол BCD (черт. 45).

Требуется доказать, что BCD > A и BCD > B.

Доказательство. Точку Q середину линии BC соединим с A и отложим на продолжении линии AQ линию QF равную AQ.

Соединим F с C; тогда два треугольника ABQ и QFC равны, ибо имеют по равному углу, лежащему между двумя равными сторонами.

Действительно, по построению BQ = QC, AQ = QF, а углы BQA и FQC равны как вертикальные, следовательно,

Если линия AQ = QF, то и ∠ABC = ∠BCF.

Угол BCD > угла BCF, следовательно, и угол BCD > ABC.

Производя подобное же построение, мы могли бы доказать, что угол ACN > угла BAC.

Так как ACN = BCD, то и угол BCD > угла BAC.

Прямоугольный треугольник

Следствие 1. В прямоугольном треугольнике из трех углов один прямой, а другие два острые.

Доказательство. Внешний угол BAD прямоугольного треугольника ABC (черт. 46) больше внутренних углов B и C, следовательно, оба угла B и C острые.

Гипотенуза. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

Катеты. Стороны прямоугольного треугольника, лежащие против острых углов, называются катетами.

Сторона BC есть гипотенуза, а стороны AB и AC катеты (черт. 46).

Гипотенуза больше каждого из катетов и меньше суммы двух катетов, ибо гипотенуза наклонная, а катеты перпендикулярны.

Тупоугольный треугольник

Следствие 2. В тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два остальные угла острые.

Доказательство. В тупоугольном треугольнике NBC (черт. 47) угол NCB тупой. Продолжая сторону NC, мы находим внешний острый угол BCD. Так как BCD > N и BCD > B, то оба угла N и B тупоугольного треугольника острые. Отсюда делаем заключение : в треугольнике не может быть более одного прямого и более одного тупого угла .

Теорема 23 . Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы, заключающиеся между этими сторонам не равны, то против большего угла лежит большая сторона.

Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 48)

AC = DF, AB = DE, угол BAC > угла EDF.

Требуется доказать, что BC > EF.

Доказательство . Наложим треугольник DEF на ABC, стороной DF на AC, точкой D на A. Точка F по равенству сторон DF и AC совпадет с C.

Так как D меньше угла A, то сторона DE пойдет по направлению AE’.

Здесь могут быть три случая: точка E может упасть вне, на сторону и внутри треугольника ABC, т. е. в точках E’, E» и E»’.

1) 1-й случай . Когда точка E упадет в E’, треугольник DEF займет положение треугольника AE’C, следовательно,

AE’ = DE = AB
E’C = EF

Не трудно заметить, что

AE» + E»B > AB
CE» + E»E’ > CE’

Сложив эти неравенства, получим:

AE» + E»B + CE» + E»E’ > AB + CE’

AE» + E»E = AE’
CE» + E»B = BC

Здесь AE’ = AB, следовательно,

BC > CE’ или
BC > EF (ЧТД).

2) 2-й случай . Точка E упадет в E», тогда E»C = EF и

BC > E»C, а следовательно, BC > EF.

3) 3-й случай . Точка E упадет в E»’. В этом случае

По свойству ломаных (теорема 1)

AB + BC > AE»’ + E»’C или
AB + BC > DE + EF.

Так как AB = DE, то последнее неравенство дает

Итак во всех трех случаях BC > EF (ЧТД).

Теорема 24 . (Обратная 23). Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны, то против большей стороны лежит больший угол.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 48) AB = DE, AC = DF и BC > EF.

Требуется доказать, что угол BAC > угла EDF.

Доказательство . Здесь могут быть только три предположения: угол BAC может быть равен, меньше или больше угла EDF.

1) Если бы угол BAC равнялся углу EDF, то два треугольника ABC и EDF были бы равны (теорема 20). В этом случае сторона BC равнялась бы стороне EF, что противоречит условию.

2) Если бы угол BAC был меньше угла EDF, то по предыдущей теореме и сторона BC была бы меньше EF, что также противоречит условию; следовательно, угол BAC больше угла EDF (ЧТД).

Взаимное отношение углов и сторон в треугольнике

Теорема 25 . В равнобедренном треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

Дан равнобедренный треугольник ABC (черт. 49), т. е. треугольник, у которого AB = BC.

Требуется доказать, что ∠ A = ∠ C.

Доказательство . Соединим точку B с точкой D, которая является серединой стороны AC.

Два треугольника ABD и BDC равны, ибо имеют по три равных стороны. Действительно:

BD — общая сторона;
AD = DC по построению (D середина отрезка AC);
AB = BC по условию.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, следовательно,

Теорема 26 (обратная 25). В треугольнике против равных углов лежат равные стороны .

Дано. В треугольнике ABC ∠ A = ∠ C (черт. 50).

Требуется доказать, что AB = BC.

Доказательство . Положим, сторона AB > BC. Тогда, отложив на стороне AB часть AD равную BC, имеем два треугольника ADC и ABC, у которых

AC — общая сторона,
AD = BC по построению,
∠ A = ∠ C по условию.

Таким образом, AC и AD, две стороны треугольника ADC и уголь между ними A соответственно равны AC и BC, двум сторонам треугольника ABC, и углу C между ними. При этих условиях треугольники ADС и ABC были бы равны, что очевидно несообразно, ибо ∆ADC < ∆ABC, как часть меньше целого, следовательно, AB не может быть больше BC. Точно также можно доказать, что сторона AB не может быть меньше стороны BC, следовательно, AB = BC (ЧТД).

Теорема 27 . В треугольнике против большего угла лежит большая сторона .

Дано. В треугольнике ABC (черт. 51) ∠ A > ∠ C.

Т ребуется доказать, что BC > AB.

Доказательство . Построим при точке A угол DAC равный углу C, тогда в треугольнике BDA

В равнобедренном треугольнике ADC

следовательно, предыдущее неравенство примет вид

Теорема 28 (обратная 27). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол .

Дано. В треугольнике ABC (черт. 51) BC > AB.

Требуется доказать, что ∠ BAC = ∠ BCA.

Доказательство . a) Угол A не может быть равен углу C, ибо тогда сторона AB равнялась бы стороне BC (теорема 26).

b) Угол A не может быть меньше C, ибо тогда сторона BC была бы меньше AB (теорема 27), следовательно, BC > AB (ЧТД).

Равенство прямоугольных треугольников

Так как у прямоугольных треугольников прямые углы равны, то для равенства их требуется меньше условий.

Теорема 29 . Два прямоугольных треугольника равны, когда две стороны одного равных двум сторонам другого.

Здесь имеют место два случая:

A) Когда два катета одного равны двум катетам другого и

B) Когда они имеют по равному катету и равной гипотенузе .

Разберем эти два случая отдельно.

A) Прямоугольные треугольника ABC и DEF (черт. 52) имеют равные катеты

В этом случае треугольники равны, ибо они имеют по двум равным сторонам и по равному углу между ними.

B) Прямоугольные треугольники ABC и DEF имеют по равному катету и равной гипотенузе, следовательно, BC = EF, DE = AB (черт. 52).

Доказательство . Наложим треугольник DEF на ABC, катет DE на AB, точку D на A. По равенству линий AB и DE точка E упадет на точку B. По равенству прямых углов A и D линия DF пойдет по линии AC. Отрезки EF и BC как равные наклонные находятся на равных расстояниях от перпендикуляра, следовательно, расстояние DF и AC равны и отрезок EF пойдет по отрезку BC.

Теорема 30 . Два прямоугольных треугольника равны, если они имеют по равной стороне и равному соответственному углу.

Здесь тоже имеют место два случая:

A) Когда прямоугольные треугольники имеют по равному катету и равному острому углу и B) когда они имеют по равной гипотенузе и равному острому углу .

Рассмотрим эти два случая отдельно:

A) Если прямоугольные треугольники имеют по равному катету и равному острому углу, то острый угол может быть a) прилежащий или b) противолежащий.

a) Прямоугольные треугольники имеют по равному катету и равному прилежащему острому углу, т. е.

DE = AB и ∠ E = ∠ B (черт. 52).

В этом случае треугольники равны, ибо они имеют по равной стороне и равным двум лежащим на ней углам.

b) Прямоугольные треугольники имеют по равному катету и по равному противоположному острому углу, т. е.

DE = AB, ∠ C = ∠ F (черт. 52).

Повернуть треугольник DEF около оси DE и приставив сторону DE к стороне AB так, чтобы он занял положение ABF (черт. 53), получим равнобедренный треугольник FBC, ибо ∠ F = ∠ C, следовательно, наклонные BF и BC тоже равны и находятся на равных расстояниях AF и AC от перпендикуляра AB, т. е. два треугольника ABF и ABC равны, а следовательно равны и треугольники ABC и DEF (ЧТД).

B) Прямоугольные треугольники имеют по равной гипотенузе и равному острому углу, т. е.

BC = EF, ∠ C = ∠ F (черт. 52)

Доказательство . Наложим треугольник DEF на ABC, сторону DF на AC, точку F на C. По равенству углов F и C линия FE пойдет по линии BC и по равенству отрезков EF и BC точка E упадет на точку B. Линия ED непременно пойдет по линии BA, ибо обе линии ED и BA перпендикулярны к линии AC, а из точки на прямую линию можно опустить только один перпендикуляр, следовательно, треугольник DEF совпадет с треугольником ABC во всех своих частях (ЧТД).

Теорема 31 . Все точки биссектрисы угла находятся на равном расстоянии от его сторон.

Дан угол ABC (черт. 54) и биссектриса BO, следовательно

Требуется доказать, что для какой-нибудь точки O перпендикуляры OE и OF равны.

Доказательство . Опустив перпендикуляры OE и OF, находим, что прямоугольные треугольники BEO и BFO равны, ибо BO сторона общая

∠ EBO = ∠ FBO по условию,
следовательно, EO = FO (см. теорему 30) (ЧТД).

Теорема 32 . Перпендикуляры, восставленные из середины сторон треугольника, пересекаются в одной точке .

Дан треугольник ABC (черт. 55), O есть точка пересечения перпендикуляров DO и EO, восставленных из середин сторон AB и AC, следовательно,

Требуется доказать, что точка O находится на перпендикуляре, восставленном из середины третьей стороны BC.

Доказательство . Соединим точку O с вершинами треугольника ABC отрезками AO, BO, CO.

Точка O находится на перпендикуляре восставленном из середины отрезка AC (теорема 17), следовательно, AO = CO.

Точка O находится на перпендикуляре, восставленном из середины отрезка AB, следовательно, AO = BO.

Откуда BO = CO, т. е. точка O находится на равном расстоянии от концов отрезка BC, следовательно, она находится на перпендикуляре FO, восставленном из середины отрезка BC (ЧТД).

Точка O называется центром описанного круга .

Теорема 33 . Биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке.

Даны линии AO и BO — биссектрисы углов A и B треугольника ABC и точка O (черт. 56) их точка пересечения, следовательно,

∠ BAO = ∠ CAO, ∠ ABO = ∠ CBO.

Требуется доказать, что линия OC будет тоже биссектрисой угла C.

Доказательство . Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE, OF на стороны треугольника.

Из того, что AO биссектриса угла A, следует (теорема 31), что

Из того, что BO биссектриса угла B, следует, что

Треугольники CFO и CDO равны, как прямоугольные треугольники, имеющие по равному катету DO и FO и гипотенузе CO (теорема 29), откуда

Следовательно, прямая CO есть биссектриса угла BCA (ЧТД).

Правильный треугольник

Правильный треугольник имеет много специфических свойств, которые значительно упрощают решение задач. Поэтому имеет смысл поговорить о каждом из этих свойств, дабы облегчить решение задач.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Определение

Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и каждый угол равен 60 градусам. Правильный треугольник еще называют равносторонним. О формулах правильного треугольника, и о том, как производить по ним различные вычисления – поговорим ниже.

Формулы правильного треугольника

Почти все формулы вытекают из утверждения о том, что правильный треугольник имеет 3 угла по 60 градусов и 3 одинаковые стороны.

Площадь

Начнем с формулы площади.

Равносторонний треугольник любой высотой делится на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для нахождения площади правильного треугольника.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет ВМ можно выразить через синус угла ВАМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет ВМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $\sqrt \over 2$ . Значит можно выразить значение АМ:

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= <1\over2>h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:

Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через значение одной стороны.

Периметр

Периметр найти ещё проще, так как это сумма всех сторон треугольника, а они все равны между собой, то:

Подобный подход, где приравниваются стороны или используются свойства медиан и биссектрис равностороннего треугольника, часто используется при решении подобных задач. У правильного треугольника нет и не может объема, так как это плоская фигура. У нее два характеризующих понятия: площадь и периметр.

В равностороннем треугольнике каждая биссектриса совпадает с медианой и высотой. Также совпадают и точки пересечения этих отрезков. Получившаяся точка зовется центром фигуры.

Что мы узнали?

Из статьи мы узнали, что у правильного треугольника все стороны и углы равны между собой. Мы узнали о свойствах биссектрисы, медианы и высоты – в правильном треугольнике это будет одна и та же линия. Ее можно проводить от любой вершины.

Треугольники: основные понятия и свойства

В этой статье мы рассмотрим основные свойства треугольников, включая их определение, виды по длинам сторон и величине углов, а также известные теоремы, такие как теорема Пифагора, теорема косинусов и теорема синусов.

Треугольники: основные понятия и свойства обновлено: 12 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Помощь в написании работы

Введение

Добро пожаловать на лекцию по геометрии! Сегодня мы будем изучать треугольники – одну из основных фигур в геометрии. Треугольники являются простыми и важными геометрическими объектами, которые мы встречаем повсюду в нашей жизни. В этой лекции мы рассмотрим определение треугольника, основные свойства треугольников, а также изучим различные виды треугольников по длинам сторон и величине углов. Мы также рассмотрим несколько важных теорем, таких как теорема Пифагора, теорема косинусов и теорема синусов, которые помогут нам решать задачи, связанные с треугольниками. Наконец, мы рассмотрим применение треугольников в геометрических построениях. Давайте начнем наше погружение в мир треугольников!

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Определение треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, и трех точек, называемых вершинами. Стороны треугольника соединяются в вершинах, а углы образуются между этими сторонами.

Треугольник обозначается буквами, обычно заглавными латинскими буквами A, B и C, соответствующими вершинам треугольника. Стороны треугольника обозначаются маленькими латинскими буквами a, b и c, а углы обозначаются заглавными греческими буквами α, β и γ.

Треугольник имеет шесть элементов: три стороны и три угла. Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Свойства треугольников

Треугольники имеют множество свойств, которые помогают нам изучать их характеристики и взаимосвязи. Вот некоторые из основных свойств треугольников:

Сумма углов треугольника

Сумма всех углов в треугольнике всегда равна 180 градусам. Это свойство называется “сумма углов треугольника”. Независимо от размеров и формы треугольника, сумма его углов всегда будет равна 180 градусам.

Углы треугольника

Углы треугольника могут быть различными по величине и характеристикам. В зависимости от величины углов, треугольники могут быть остроугольными (все углы меньше 90 градусов), тупоугольными (один угол больше 90 градусов) или прямоугольными (один угол равен 90 градусам).

Стороны треугольника

Стороны треугольника могут быть различной длины. В зависимости от длин сторон, треугольники могут быть равносторонними (все стороны равны), равнобедренными (две стороны равны) или разносторонними (все стороны разные).

Неравенство треугольника

В треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Это неравенство называется “неравенство треугольника”. Если даны длины трех сторон треугольника, то сумма двух меньших сторон всегда будет больше длины наибольшей стороны.

Высоты треугольника

Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Высоты треугольника могут быть использованы для вычисления площади треугольника.

Медианы треугольника

Медианы треугольника – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести. Медианы треугольника делятся в отношении 2:1, то есть отрезок, соединяющий вершину треугольника с центром тяжести, делится на две части, причем одна часть в два раза больше другой.

Это лишь некоторые из основных свойств треугольников. Изучение этих свойств помогает нам лучше понять и анализировать треугольники и их характеристики.

Виды треугольников по длинам сторон

Треугольники могут быть классифицированы по длинам их сторон. Вот основные виды треугольников по длинам сторон:

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину. Все углы равностороннего треугольника также равны 60 градусам.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Углы, противолежащие этим сторонам, также равны. Третья сторона может иметь любую длину.

Разносторонний треугольник

Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны имеют разные длины. Все углы разностороннего треугольника также могут быть разными.

Это основные виды треугольников по длинам сторон. Знание этих видов помогает нам классифицировать треугольники и анализировать их свойства и характеристики.

Виды треугольников по величине углов

Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все три угла острые, то есть меньше 90 градусов.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов. В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а остальные две стороны – катетами.

Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов больше 90 градусов.

Знание этих видов треугольников по величине углов помогает нам определить их свойства и применять соответствующие теоремы и формулы при решении задач.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – это одна из основных теорем в геометрии, которая устанавливает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника.

Формулировка теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Математическая запись

Если a и b – длины катетов, а c – длина гипотенузы, то теорема Пифагора записывается следующим образом:

Пример

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a = 3 и b = 4. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы c:

Таким образом, длина гипотенузы равна 5.

Применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора широко применяется в геометрии и физике для решения различных задач. Она позволяет нам находить длины сторон треугольника, если известны длины других сторон, а также проверять, является ли треугольник прямоугольным.

Теорема косинусов

Теорема косинусов – это одна из основных теорем в геометрии, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов. Теорема косинусов позволяет нам находить длины сторон треугольника, если известны длины других сторон и величины углов.

Формулировка теоремы косинусов

Пусть у нас есть треугольник ABC с сторонами a, b и c, и углами A, B и C соответственно. Тогда теорема косинусов утверждает, что:

c^2 = a^2 + b^2 – 2ab * cos(C)

a^2 = b^2 + c^2 – 2bc * cos(A)

b^2 = a^2 + c^2 – 2ac * cos(B)

Применение теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет нам находить длины сторон треугольника, если известны длины других сторон и величины углов. Она также может быть использована для проверки, является ли треугольник остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Для применения теоремы косинусов необходимо знать длины двух сторон треугольника и величину угла между ними. По этим данным мы можем вычислить длину третьей стороны или найти величину угла.

Также теорема косинусов может быть использована для решения задач, связанных с треугольниками, например, для нахождения площади треугольника или для нахождения высоты треугольника.

Теорема синусов

Теорема синусов – это одна из основных теорем в геометрии, которая связывает длины сторон треугольника с синусами его углов.

Формулировка теоремы синусов:

В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно одному и тому же числу.

Математически это можно записать следующим образом:

Для треугольника со сторонами a, b и c, и углами α, β и γ, справедливо:

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Эта формула позволяет нам вычислить длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и величины соответствующих углов.

Также теорема синусов может быть использована для проверки, является ли треугольник остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Теорема синусов также может быть использована для решения задач, связанных с треугольниками, например, для нахождения площади треугольника или для нахождения высоты треугольника.

Формула Герона

Формула Герона – это формула, которая позволяет вычислить площадь треугольника, зная длины его сторон.

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника, а s – полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:

Тогда площадь треугольника S может быть вычислена по формуле Герона:

S = √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))

Формула Герона основана на принципе Герона, который утверждает, что площадь треугольника можно выразить через длины его сторон и полупериметр.

Формула Герона является очень полезным инструментом для решения задач, связанных с треугольниками, таких как нахождение площади треугольника, проверка на равенство треугольников и т.д.

Треугольники в геометрических построениях

Треугольники играют важную роль в геометрических построениях. Они могут быть использованы для создания различных фигур и конструкций.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник имеет все стороны одинаковой длины и все углы равны 60 градусам. Он может быть использован для построения правильного шестиугольника или равностороннего треугольника внутри другого треугольника.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, то есть угол, равный 90 градусам. Он может быть использован для построения перпендикуляра или для определения высоты треугольника.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. Он может быть использован для построения биссектрисы угла или для определения центра вписанной окружности.

Произвольный треугольник

Произвольный треугольник – это треугольник, у которого все стороны и углы могут быть различными. Он может быть использован для построения различных фигур и конструкций, в зависимости от его размеров и формы.

Треугольники в геометрических построениях являются основными элементами и позволяют нам создавать разнообразные фигуры и решать различные задачи. Понимание свойств и использование треугольников в построениях помогает нам развивать навыки геометрического мышления и решать сложные задачи.

Таблица сравнения треугольников

Свойство	Равносторонний треугольник	Равнобедренный треугольник	Прямоугольный треугольник
Все стороны равны	Да	Нет	Нет
Все углы равны	Да	Нет	Нет
Два угла равны	Нет	Да	Нет
Один угол равен 90°	Нет	Нет	Да
Стороны удовлетворяют теореме Пифагора	Да	Нет	Да

Заключение

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Он является одной из основных фигур в геометрии и имеет множество свойств и характеристик. Мы рассмотрели различные виды треугольников по длинам сторон и величине углов, а также изучили теоремы Пифагора, косинусов и синусов, которые позволяют решать различные задачи, связанные с треугольниками. Треугольники также широко используются в геометрических построениях. Изучение треугольников поможет вам лучше понять принципы геометрии и применять их на практике.