Доказать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости

Уравнение плоскости.

Определение. Плоскость — есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами ( a , 0, 0), (0, b , 0) и (0, 0, с ), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M( x ₀, y ₀, z ₀) и вектора нормали плоскости n = < A; B; C >можно использовать следующую формулу.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

• графический
• аналитический

Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и y = -3 x + 1 .

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и x = 2 t + 1 y = t .

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2 x + 3 y = 0 и x — 2 3 = y 4 .

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и y = 2 x + 1 .

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3 x — 2 .

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Пример 6. Найти точку пересечения прямых x — 1 = y — 1 = z — 1 и x — 3 -2 = 2 — y = z .

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 и x = t + 1 y = 3 t — 2 z = 3 .

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Пример 5

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( — 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: — 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

Ответ: x + 3 y = 0 .