Сколько узлов клетчатой бумаги лежит на окружности

Сколько узлов клетчатой бумаги лежит на окружности

Если вы когда-либо задумывались, сколько узлов клетчатой бумаги располагается на окружности, то вам понадобится специальная формула для рассчета. Зная радиус окружности и ширину узла бумаги, можно легко вычислить количество узлов.

Формула для определения количества узлов на окружности проста: πR/Ш, где π — пи (константа, приблизительно равная 3.14159), R — радиус окружности, Ш — ширина узла бумаги.

Для примера, предположим, что у вас есть окружность с радиусом 10 сантиметров, а ширина узла бумаги составляет 2 миллиметра. Используя формулу, получаем: π(10)/2 = 31.4159. Таким образом, на данной окружности будет лежать примерно 31 узел клетчатой бумаги.

Теперь вы знаете, как использовать формулу для определения количества узлов клетчатой бумаги на окружности. Это простой способ вычислить количество узлов и оценить их расположение без необходимости ручного подсчета или рисования.

Определение количества узлов на окружности

В математике узлом называется точка на гладкой поверхности, вокруг которой топологически изменяют свою форму другие точки. На плоскости узлами могут являться, например, пересечения линий или точки с особыми свойствами.

Рассмотрим клетчатую бумагу, на которой изображена окружность. Клетки бумаги, которые пересекает окружность, будем рассматривать как узлы окружности. Для определения количества узлов на окружности существует простая формула.

Формула:

Количество узлов на окружности равно двукратному числу клеток, пересекающих окружность, плюс количество клеток, которые лежат полностью внутри окружности.

Примеры:

Рассмотрим окружность с радиусом R = 5 клеток. Площадь окружности равна πR², где π ≈ 3.14.

Пусть узлы окружности пересекают по 10 раз каждую клетку бумаги, и внутри окружности лежит 36 клеток бумаги. Тогда общее количество узлов на окружности составит:

• Количество узлов, пересекающих клетки: 10 узлов/клетку × (2 × R × π) = 10 × (2 × 5 × 3.14) = 314 узлов.
• Количество узлов, лежащих внутри окружности: 36 узлов.

Общее количество узлов на окружности составляет 314 + 36 = 350 узлов.

Формула для вычисления количества узлов

Количество узлов на окружности зависит от размеров клетчатой бумаги и её узора. Формула для вычисления количества узлов на окружности имеет вид:

Количество узлов = 4r*(r+1) + 1,

где r — радиус клетки.

Например, если радиус клетки равен 2, то количество узлов на окружности будет:

1. Вычисляем: 4 * 2 * (2 + 1) + 1 = 25.
2. Таким образом, на окружности, образованной с помощью клетчатой бумаги с радиусом 2, будет 25 узлов.

Формула позволяет быстро и точно вычислять количество узлов на окружности, что может быть полезно при выполнении различных графических задач.

Примеры вычисления количества узлов

Пример 1:

Пусть радиус окружности составляет 5 см. Для вычисления количества узлов необходимо знать длину окружности, которая определяется формулой:

Длина окружности = 2 * π * радиус

Длина окружности = 2 * 3.14 * 5 см = 31.4 см

Так как каждый узел располагается на пересечении линий на клетчатой бумаге, то каждая клетка будет содержать один узел. Поэтому количество узлов будет равно количеству клеток на окружности:

Количество узлов = количество клеток на окружности = длина окружности / размер клетки

Пусть размер клетки составляет 0.5 см:

Количество узлов = 31.4 см / 0.5 см = 62.8

Ответ: на окружности диаметром 10 см находится 62.8 узлов.

Пример 2:

Рассмотрим случай, когда радиус окружности равен 8 см. По аналогии с предыдущим примером вычислим длину окружности:

Длина окружности = 2 * 3.14 * 8 см = 50.24 см

Пусть размер клетки также составляет 0.5 см:

Количество узлов = 50.24 см / 0.5 см = 100.48

Ответ: на окружности диаметром 16 см находится 100.48 узлов. Здесь мы получаем дробное число, так как окружность не пройдет целое количество раз через клетки на бумаге.

Пример 3:

Рассмотрим вариант, когда радиус окружности равен 12 см. Вычислим длину окружности:

Длина окружности = 2 * 3.14 * 12 см = 75.36 см

Пусть размер клетки равен 1 см:

Количество узлов = 75.36 см / 1 см = 75.36

Ответ: на окружности диаметром 24 см находится 75.36 узлов.

Как использовать формулу в практике

Формула, определяющая количество узлов клетчатой бумаги, которые лежат на окружности, может быть полезной в различных практических ситуациях. Ниже приведены примеры использования этой формулы.

1. Архитектура и строительство. При проектировании и строительстве зданий и сооружений часто используются клетчатые планы и чертежи. Зная количество узлов клетчатой бумаги на окружности, архитекторы и инженеры могут более точно расположить элементы конструкции, например, определить количество столбов или колонн.
2. Изобразительное искусство. Художники и дизайнеры часто используют клетчатую бумагу для создания рисунков и композиций. Формула для определения количества узлов на окружности может помочь художникам распределить элементы изображения более гармонично и симметрично.
3. Программирование и графика. В компьютерной графике и алгоритмах часто используются математические формулы. Зная количество узлов на окружности, программисты могут создать такой алгоритм, который будет автоматически генерировать фигуры или упаковывать элементы на экране.
4. Научные исследования. Формула для определения количества узлов на окружности может быть полезна в научных исследованиях, например, при изучении дифракции света или распределении электронных облаков в атоме. Эта формула позволяет более точно описать и предсказать поведение частиц и волн в пространстве.

Выводящая формула на практику, мы можем применить ее в различных областях, где необходимо точно определить количество узлов на окружности клетчатой бумаги. Благодаря этой формуле, полученные результаты будут более точными и помогут улучшить качество осуществляемых процессов и работ.

Вопрос-ответ

Какая формула позволяет вычислить количество узлов клетчатой бумаги на окружности?

Формула для вычисления количества узлов клетчатой бумаги на окружности выглядит следующим образом: 4 * радиус + 1, где радиус — радиус окружности в клетках. Например, если радиус окружности составляет 5 клеток, то количество узлов на ней будет равно 4 * 5 + 1 = 21.

Как вычислить количество узлов на клетчатой бумаге, если известен ее диаметр?

Для вычисления количества узлов клетчатой бумаги на окружности, если известен ее диаметр, необходимо диаметр разделить на два, чтобы получить радиус, а затем воспользоваться формулой 4 * радиус + 1. Например, если диаметр клетчатой бумаги составляет 10 клеток, то радиус будет равен 10 / 2 = 5 клеток, и количество узлов на ней будет равно 4 * 5 + 1 = 21.

Сколько узлов лежит на окружности, если радиус составляет 7 клеток?

По формуле 4 * радиус + 1 находим количество узлов клетчатой бумаги на окружности. В данном случае, если радиус равен 7 клеткам, то количество узлов будет равно 4 * 7 + 1 = 29. Таким образом, на окружности с радиусом 7 клеток будет лежать 29 узлов клетчатой бумаги.

Есть ли формула, позволяющая вычислить количество узлов на окружности по ее площади?

Нет, формула для вычисления количества узлов на окружности по ее площади отсутствует. Формула 4 * радиус + 1 применяется исключительно для вычисления количества узлов на окружности по радиусу или диаметру. Для вычисления площади окружности используется формула S = π * r^2, где S — площадь, π — математическая константа, приближенно равная 3.14, r — радиус окружности.

Математическая продлёнка. Рисуем по клеточкам

Продолжаем серию заметок для занятий математического кружка. Героем нашего сегодняшнего рассказа будет листок в клеточку. Этот образ стал своеобразным символом школьной математики. На одних из нас он навевает депрессивную тоску, а на иных, действует, как возбудитель, вызывая маниакальное желание что-нибудь формулировать, строить, решать и доказывать. Равнодушных «к тетрадке в клеточку», я приглашаю просто порисовать что-нибудь: косичку или лабиринт, или енота. А мы пока обсудим вот какие клеточные вопросы:

• Как в тетрадке в клеточку нарисовать квадрат площадью 13 клеток так, чтобы все его вершины лежали на пересечениях сетки?
• Какие, вообще, квадраты можно вписать в квадратную решётку?
• А сколько существует способов нарисовать таким образом прямоугольник с заданной площадью?
• Портреты каких правильных многоугольников можно изобразить в тетрадке?
• Какие существуют окружности, проходящие через пересечения сетки?

В наших рассуждениях мы сосредоточимся на точках, в которых пересекаются линии сетки. Бывают такие тетрадки для художников и дизайнеров, в которых вместо клеточек, только точки. Точки эти называются узлами и образуют регулярную квадратную решётку. В этой заметке мы будем опускать эти уточняющие характеристики и просто говорить о решётке, имея в виду, что она регулярная и квадратная. Хоть мы и будем работать на обычной евклидовой плоскости, никакие точки, кроме узлов решётки, не будут концами отрезков, вершинами углов или многоугольников. Расстояние между узлами будем вычислять по Евклиду, а за единицу длины выберем один шаг решётки. Площади фигур будем измерять в единицах, определяемых минимальной квадратной ячейкой сетки.

Прямоугольники

Начиная класса с пятого, мы становимся мастерами по рисованию в тетрадке в клеточку прямоугольников с целочисленной площадью. Если площадь выражается простым числом — рисуем длинную «колбасу», шириной в одну клеточку, если составным — разбиваем на ряды и столбцы. Однако вписать в сетку прямоугольник заданной площади можно и иначе. Вот, например, какими разными способами можно построить прямоугольники площадью в 4 или в 5 клеток:

Позволив линиям наклониться, мы открыли для себя новое пространство вариантов и в нём, как оказывается, простое число 5 можно представить квадратом, а число 4 имеет три различных разложения на множители.

Давайте исследуем эти новые возможности и ответим на ряд вопросов: сколько существует способов построить прямоугольник заданной площади, используя для размещения его вершин узлы единичной решётки? Как получить исчерпывающий список таких способов? Что эта информация может сообщить о числе, которым выражается площадь? Какие числа можно представить квадратом, а какие нет?

Вспомним стандартный «школьный» подход и рассмотрим целое число , задающее площадь прямоугольника. Пусто оно имеет делителей, включая единицу и . В этом случае мы получаем разных прямоугольников для чётного и — для нечётного. Например, у существует 6 делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12, так что из них можно составить 3 разных (неконгруэнтных) прямоугольника: 1×12, 2×6 и 3×4. В то же время, число 36 имеет 9 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 и разлагается в 5 пар: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, и 6×6. Наконец, для простых площадей есть единственное представление, в виде произведения единицы на себя, и прямоугольники такой площади выглядят, как ряд клеток.

Разрешая себе использовать диагонали, мы открываем внутри регулярной квадратной решётки множество квадратных подрешёток, каждую из которых задают два натуральных числа. Вот некоторые из них:

Площади ячеек в каждой подрешётке, определяемой парой , равны . Эту площадь мы будем называть нормой подрешётки. Перебирая пары взаимно простых чисел, можно перечислить возможные площади элементарных квадратов в подрешётках: 2, 5, 10, 13, 17, 25, 26, 29, 34, 37. Все эти числа являются суммами квадратов целых чисел. Получается, что для прямоугольника, площадь которого кратна сумме квадратов, существует способ его построения через соответствующую подрешётку.

Что объединяет суммы квадратов? Ещё в 1625 году французский математик Альберт Жирар заметил, что простые числа, дающие при делении на 4 остаток равный 1, можно представить, как сумму квадратов. Немногим позже, в 1640 году, Пьер Ферма в рождественском письме Мерсенну привёл более точную формулировку этого утверждения, а исчерпывающее доказательство было дано Леонардом Эйлером. С тех пор это свойство называют теоремой Ферма-Эйлера, или Рождественской теоремой Ферма.

Эта теорема появилась в наших рассуждениях не случайно. Она лежит в основе многих теоретикочисловых построений и существует множество её доказательств. Чтобы не перегружать эту статью, приведу вместо доказательства две ссылки на замечательные материалы по теме: статью Суммы квадратов которую А. Спивак написал для математического кружка МГУ, и видео с канала Mathologer.

Кроме того, ещё со времён Диофанта известно, что произведение сумм квадратов само является суммой квадратов. Это утверждение сейчас называется тождеством Брахмагупты-Фибоначчи. Отсюда следует общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.

Благодаря, этому свойству, можно для любого числа выяснить, на каких решётках можно разместить прямоугольник соответствующей площади. Рассмотрим, в качестве примера, число 20. Перечислим его множители: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Вычисляя остатки от деления простых множителей на 4, обнаруживаем, что среди множителей только три числа являются суммами квадратов: 2 = 1² + 1², 5 = 1² + 2² и 10 = 2×5 = 1² + 3². Выделим с их помощью пять разложений числа 20 на трёх подрешётках:

Таким образом, кроме трёх прямоугольников 1×20, 2×10 и 4×5, опирающихся на основную решётку, мы получили ещё пять. Итого, 8 представлений, не больше и не меньше.

На рисунке показаны все возможные прямоугольники с вершинами в узлах единичной сетки, с площадями от 1 до 20 клеточек:

Обратите внимание на то, как много при таком построении получается правильных квадратов. Гораздо больше, чем на единичной решётке! Примечательно, что для некоторых площадей способ построения прямоугольника остаётся единственным и тривиальным: в виде цепочки единичных квадратиков, вписанных в основную решётку. Вот эти площади: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83. Это так называемые гауссовы простые числа, то есть, такие натуральные простые числа, которые не раскладываются в сумму двух квадратов. Согласно теореме Ферма-Эйлера, все такие числа должны, при делении на 4, давать остаток 3.

Мой опыт показывает, что такое самостоятельное исследование оказывается чрезвычайно полезным для учеников 5-8 классов. Оно усиливает «чувство числа», прививает соображения о том, как можно отыскать площадь фигуры компонуя её части, и даёт опыт постановки нетривиальной задачи и обнаружения исчерпывающего решения, состоящего из нескольких вариантов. Очень рекомендую построить такой атлас прямоугольников с детьми, изучающими школьный курс математики!

Ну, а для тех, кто со школьным курсом более или менее, уже разобрался, скажу, что регулярную квадратную решётку, которую мы использовали для рисования, можно отождествить с кольцом гауссовых чисел. Это комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями. О кольцах мы подробно говорили в статье Теория чисел на пальцах. Подрешётки являются идеалами в этом кольце, гауссовы простые числа — простыми элементами, а построение прямоугольников – разложением на множители вещественных целых чисел в этом кольце.

Например, легко убедиться в том, что . Это разложение соответствует квадратику площадью в 5 клеток, построенному на подрешётке. Поищите на картинке разложения гауссова числа

Квадраты соответствуют полным квадратам в гауссовых числах, которых, действительно существенно больше, чем в целых числах. Причём, многие гауссовы числа имеют более одного представления в виде суммы двух квадратов. Таковы, например, числа 25 = 5² = 3²+4² или 169 = 13² = 5²+12². Их легко выявить, распознав в них пифагоровы тройки. Применительно к прямоугольникам это значит, что прямоугольник площадью 25 клеточек можно нарисовать либо как квадрат 5×5 на подрешётке либо, как квадрат 1×1 на подрешётке .

Если интересно, отыщите самостоятельно все возможные прямоугольники с площадью 100 клеточек (их должно получиться 16 штук) и 2023 клеточек (6 штук).

Правильные многоугольники

А что ещё такого правильного можно нарисовать «по клеточкам»? Уже очевидно, что прекрасно будут получаться квадраты? А как насчёт иных фигур?

Итак, мы выяснили, что внутри регулярной квадратной решётки содержится множество других подрешёток, тоже регулярных и тоже квадратных. Элементарными ячейками этих подрешёток и будут все возможные квадраты с вершинами, расположенными в узлах решётки. Их площади выражаются числами, которые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, либо сами являются квадратами натуральных чисел. Вот начало ряда таких чисел: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 20, 25, 26, 29.

Таким образом, недоступными для построения останутся квадраты с площадью в 3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30. клеток. Все эти числа содержат в качестве множителя число, дающее остаток 3 при делении на 4.

Кстати, это обстоятельство позволяет имея нарисованный на бумаге рисунок, перерисовать его «по клеточкам», пропорционально увеличив его масштаб и используя одну и ту же сетку. Но масштаб увеличения, при этом, ограничен суммами двух квадратов.

А что с другими правильными фигурами: треугольниками, пятиугольниками и т.д.? Увы, кроме квадратов, вершины никакого другого правильного многоугольника в узлах квадратной решётки разместить не получится. Доказать это утверждение, достаточно просто и элегантно можно, используя наши знания о подрешётках.

Предположим, что нам удалось построить правильный многоугольник с вершинами, расположенными в узлах квадратной решётки. Каждая из сторон многоугольника является генератором своей подрешётки, а это значит, что отрезки, равные стороне, и перпендикулярные сторонам, тоже должны попадать как на узлы подрешётки, так и на какие-то узлы основной решётки. Такие отрезки называются ассоциированными.

Рассмотрим отрезки, ассоциированные со сторонами многоугольника, и ориентированные в его внутреннюю часть. В силу симметрии, все концы внутренних отрезков должны сформировать такой же правильный многоугольник, но меньше исходного. Если мы станем применять это построение многократно, то рано или поздно, получим многоугольник с длиной стороны, не превышающей минимальное расстояние между узлами решётки, и таким образом, придём к противоречию.

В случае треугольника этот метод не уменьшает, а увеличивает фигуру. Однако, если бы мы могли построить правильный треугольник, то нам не составило бы труда сформировать из шести его копий правильный шестиугольник, а его, как мы уже доказали, построить невозможно. Таким образом, все похожие на правильные многоугольники фигуры, нарисованные по клеточкам, могут быть лишь приближениями. Вот некоторые особо удачные приближения, вполне пригодные для рисования на уроке геометрии:

Конечно, нам остаются доступны различные равносторонние фигуры, но у них будут не равны друг другу все углы, так что правильными их назвать будет нельзя.

Невозможность существования правильных многоугольников с вершинами, расположенными в узлах регулярной квадратной решётки, само по себе, не сильно портит людям жизнь. Но это обстоятельство связано с ещё одним свойством решёток и гауссовых чисел, которое, начиная с восьмого класса, изрядно досаждает школьникам: несоизмеримость углов и тригонометрических функций — синусов косинусов и тангенсов.

Взгляните на таблицу значений тригонометрических функций для «хороших» углов. Кроме весьма особых 0°, 90°,180° и 270° нет ни одного столбца, не содержащего какой-нибудь иррациональный корень. Да и самых этих «хороших» углов очень мало: кроме тривиальных, только три: 30°, 45° и 60°. Наконец, и для этих углов синус и косинус не могут оказаться рациональными одновременно. Все же остальные углы мы не учим вовсе, потому что тригонометрия для них превращается в устрашающее нагромождение квадратных корней. В то же самое время, очень легко построить треугольник, в котором все тригонометрические функции принимают рациональные значения (как, например, в прекрасном «египетском» прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5), но тогда его углы оказываются несоизмеримыми с развёрнутым или прямым углом!

Почему это так довольно подробно разбирается в предыдущей статье из этой серии. Здесь мы только скажем, что среди углов, опирающихся на узлы решётки рациональные доли полного оборота представлены только углами, кратными 45°. Все же остальные, увы, выражаются иррациональными числами, если угловую меру определять через доли оборота.

Невозможность построения на регулярной решётке правильных многоугольников, за исключением квадратов, можно вывести из несоизмеримости тригонометрии и углов, измеряемых в долях окружности. Если вспомнить теорему Пика, которую сейчас проходят в школе, то можно заключить, что площадь любого многоугольника, с вершинами, расположенными в узлах решётки, выражается как произведение целого числа и половины площади элементарной ячейки решётки. В то же время, площадь правильного -угольника со стороной , равна . Тангенс угла может быть рациональным только если (доказательство можно найти в упомянутой уже статье), так что площадь правильного -угольника не может быть соизмеримой с половиной единицы площади, что противоречит теореме Пика.

Окружности

Итак, с правильными многоугольниками мы разобрались. А что у нас с окружностями? Точки, лежащие на одной окружности называются конциклическими. Очевидно, что нет никаких проблем нарисовать какие угодно окружности, проходящие через два или три узла решётки. А что насчёт ровно четырёх, пяти или шести конциклических точек?

Существует теорема Шинцеля, которая утверждает, что для любого натурального можно построить окружность, проходящую ровно черезузлов решётки. Статья, в которой Андрэ Шинцель приводит своё доказательство занимает чуть больше страницы и представляет образец красивой математики. Но я не хочу развивать здесь эту тему, поскольку, центры этих окружностей не попадают на решётку и их в геометрии решётки, которую мы сейчас рассматриваем, как бы, не существуют.

Давайте вместо этого зададимся вопросом а через сколько узлов может проходить окружность с центром в узле решётки?

Здесь опять имеет смысл обратиться к гауссовым числам. Пусть наша окружность с радиусом имеет центр в точке 0 и проходит через точку , а значит, . Мы уже знаем, что у каждого гауссова числа есть три ассоциированных с ним числа и . И все они имеют одинаковую норму. Это значит, если наша окружность проходит через один узел, то она обязана проходить ещё через три узла, ассоциированные с ним. Это сразу приводит к тому, что любая окружность с центром на решётке проходит через число точек, кратное четырём.

Кроме ассоциированных у гауссовых чисел есть ещё и сопряжённые числа, имеющие такую же норму. Для числа сопряжённым будет . И если узел, лежащий на окружности не соответствует вещественному числу, то кроме ассоциированных к нему добавятся ещё и сопряжённые с ними узлы. Таким образом, у любого узла, не лежащего на вещественной или мнимой осях, есть как минимум семь конциклических узлов. Однако, их может быть и больше.

Мы уже встречали числа, имеющие более одного представления в виде суммы двух квадратов, такие, как 25 или 100. Зная простые делители некоторого числа , можно определить количество способов разложить его в виде такой суммы. Все делители можно разбить на две группы: делящиеся на гауссовы простые числа, не делящиеся на них. Первые не имеют разложения в виде суммы квадратов, вторые — имеют. При этом, в следствие упомянутого тождества Брахмагупты-Фибоначчи, произведение сумм квадратов само является суммой квадратов. Таким образом получается число возможных комбинаций из двух квадратов (либо соответствующих им гауссовых чисел), дающих в сумме число

где и обозначают количество делителей числа , дающих, соответственно 1 и 3 в остатке при делении на 4. Ниже приведена диаграмма точек на квадратной регулярной решётке, на которой размер узла отражает число точек, конциклических с этим узлом.

А вот похожая и даже, как кажется более простая Проблема круга Гаусса о количестве узлов решётки, попадающих внутрь круга заданного радиуса с центром в узле, до сих пор не решена.

С решётками связаны многие задачи теории чисел и теории колец. Мы рассмотрели те из них, что с одной стороны, будут понятны школьникам, а с другой достаточно интересны, чтобы превратиться в исследования и дать тем же школьникам почувствовать себя крутыми.

Предыдущие статьи серии Математическая продлёнка:

• Про углы и тригонометрию
• Квадратные уравнения во всей красе
• Теория чисел на пальцах

Различные заметки и материалы на Дзен-канале Онлайн-кружок математики .

Окружности на клетчатой бумаге

а) Постройте окружность, проходящую ровно через 12 узлов клетчатой бумаги.
б) Постройте окружность, проходящую ровно через 6 узлов клетчатой бумаги.
в) Постройте окружность, проходящую ровно через 5 узлов клетчатой бумаги.

Подсказка 1

Обратите внимание, что если центр окружности сам является узлом клетчатой бумаги, то количество лежащих на этой окружности узлов кратно четырём. Если же центр окружности находится в середине стороны какой-либо клеточки, то на такой окружности будет расположено чётное число узлов. Это относится и к тем случаям, когда окружность вообще не проходит через узлы клетчатой бумаги, потому что ноль делится как на 2, так и на 4 (и вообще на любое натуральное число).

Подсказка 2

Будем считать, что расстояние между соседними узлами клетчатой бумаги равно единице. Тогда на ней можно задать систему координат таким образом, чтобы множество всех узлов в точности совпадало со множеством всех точек, обе координаты которых целочисленны.

а) Воспользуйтесь тем фактом, что если центр окружности радиуса r является началом координат, то количество лежащих на ней узлов клетчатой бумаги есть число целочисленных решений уравнения

x 2 + y 2 = r 2 (1)

б) Если r 2 — нечётное целое число, то в каждой паре вида (x, y), являющейся решением уравнения (1), одно из чисел чётное, а другое — нечётное, причём количество пар, в которых первое число нечётное, равно количеству пар, в которых второе число нечётное.

в) В качестве центра такой окружности можно выбрать точку (1/3, 0).

Подсказка 3

Попробуйте изучить окружности, квадраты радиусов которых имеют вид 5 k , 5 k /4 и 5 k /9 соответственно.

Решение

а) Рассмотрим уравнение

x 2 + y 2 = 25. (2)

Его решениями являются двенадцать пар чисел вида (±5, 0), (0, ±5), (±3, ±4) и (±4, ±3). Нетрудно убедиться простым перебором, что других целочисленных решений данное уравнение не имеет. Следовательно, на окружности радиуса 5 с центром в начале координат лежит ровно 12 узлов клетчатой бумаги (рис. 1).

б) Пусть центр окружности радиуса 5/2 расположен в точке (1/2, 0). Тогда эта окружность задаётся уравнением

Домножая обе части равенства на 4, можно перейти к такому соотношению:

(2x – 1) 2 + (2y) 2 = 25. (3)

Если же сделать переобозначения вида a = (2x – 1) и b = 2y, то мы придём к уравнению вида a 2 + b 2 = 25. Оно, как мы знаем из пункта а), имеет в точности 12 целочисленных решений (потому что это решения уравнения (2)), причём ровно в половине из них число a нечётное, а число b — чётное. Значит, уравнение (3) обладает в точности шестью целочисленными решениями. А именно, ему удовлетворяют следующие пары чисел: (3, 0), (–2, 0), (2, ±2) и (–1, ±2). Таким образом, на окружности радиуса 5/2 с центром в точке (1/2, 0) лежит ровно 6 узлов клетчатой бумаги (рис. 2).

в) Внимательный читатель наверняка заметил, что решение пункта б), по существу, вытекало из пункта а). Более того, можно было рассмотреть задачу в более общем виде и доказать такое утверждение: если на окружности радиуса r, центр которой находится в начале координат, лежит 4n узлов клетчатой бумаги и число r 2 — нечётное, то на окружности радиуса r/2 с центром в точке (1/2, 0) расположено 2n узлов. Ниже на примере нашей задачи мы покажем, как подобным методом получить окружность, на которой лежит ровно n узлов.

Для начала рассмотрим окружность с центром в начале координат, радиус которой равен 25. Эта окружность задаётся уравнением

x 2 + y 2 = 625, (4)

которому, как нетрудно проверить, удовлетворяют двадцать пар целочисленных решений: (±25, 0), (0, ±25), (±7, ±24), (±24, ±7), (±15, ±20) и (±20, ±15). То есть на этой окружности находится ровно 20 узлов клетчатой бумаги.

Теперь рассмотрим окружность радиуса 25/3, центром которой является точка (1/3, 0). Задающее её уравнение имеет вид

что после соответствующих преобразований превращается в соотношение

(3x – 1) 2 + (3y) 2 = 625. (5)

Как и в пункте б), сделав замену a = (3x – 1), b = 3y, мы получим уравнение a 2 + b 2 = 625, решения которого нам известны. Осталось понять, какие из них нам подходят, а какие — нет. Но это оказывается довольно просто: если c делится на 3, то из каждой четвёрки решений вида (c, d), (c, –d), (d, c), (–d, c) подходит ровно одно. В нашем случае, это (–8, 0), (–2, ±8), (7, ±5). И таким образом, на окружности, которая задана уравнением (5), лежит ровно 5 узлов клетчатой бумаги (рис. 3).

Замечание. Глядя на пять красных точек, изображённых на рис. 3, читатель может подумать, что если последовательно соединить их друг с другом, получится правильный пятиугольник. Однако это не так: у этого пятиугольника между собой равны только три стороны, а две другие немножко меньше. В действительности на клетчатой бумаге расположить правильный пятиугольник нельзя. Как и любой другой правильный многоугольник, за исключением квадрата.

Послесловие

Придумав решение самостоятельно или ознакомившись с изложенным выше, читатель, наверное, задастся таким вопросом: правда ли, что какое натуральное число n мы ни возьмём, найдётся такая окружность, на которой лежит ровно n узлов клетчатой бумаги? Оказывается, это действительно так, причём методы построения этих окружностей не слишком отличаются от тех, которые мы уже видели. Вкратце изложим суть дела.

Ключевым моментом решения проблемы является следующая лемма.

Лемма. Уравнение x 2 + y 2 = 5 k имеет ровно 4(k + 1) целочисленных решений для любого целого неотрицательного k.

(На самом деле представленная лемма является частным случаем более общего факта. Именно, пусть r(n) обозначает число всевозможных способов представления натурального n в виде суммы квадратов пары целых чисел. Тогда можно доказать, что r(n) = d₁(n) – d₃(n), где d₁(n) и d₃(n) — числа, отвечающие количеству делителей n вида (4k + 1) и (4k + 3) соответственно.)

Для доказательства мы проверяем сначала, что утверждение леммы справедливо при k = 0 и k = 1. В самом деле, уравнение x 2 + y 2 = 1 имеет четыре целочисленных решения: (0, ±1) и (±1, 0). А уравнение x 2 + y 2 = 5 обладает ровно восемью корнями: (±2, ±1) и (±1, ±2).

Потом в дело вступает принцип математической индукции. С его помощью можно доказать, что при всех целых k > 1 уравнение x 2 + y 2 = 5 k имеет ровно восемь таких решений (x, y), что x и y не делятся на 5. Точно так же, как и корни уравнения x 2 + y 2 = 5, эти восемь пар чисел получаются друг из друга перестановкой x и y и изменениями знаков. А вместе с 4(k – 1) парами вида (5a, 5b), где (a, b) — решения уравнения a 2 + b 2 = 5 k –2 , они дают нам в точности 4(k + 1) решений исходного уравнения.

Теперь, вооружившись леммой, мы легко сможем дать ответ на поставленный вопрос. Из соображений симметрии ясно, что если расположить центр окружности в узле клетчатой бумаги (например, в начале координат), то количество лежащих на ней узлов будет делиться на четыре. А из леммы сразу вытекает, что если квадрат радиуса такой окружности равен 5 k , то на этой окружности лежит ровно 4(k + 1) узлов. В частности, на окружности x 2 + y 2 = 25 расположено ровно 12 узлов клетчатой бумаги.

В качестве примера окружности, на которой лежит произвольное наперёд заданное чётное число узлов клетчатой бумаги, мы можем взять окружность, заданную уравнением:

Чтобы убедиться в том, что она годится (то есть что на ней лежит 2(k + 1) узлов), достаточно повторить рассуждения из решения пункта б) и применить лемму. Если же хочется провести окружность через нечётное число узлов, то можно взять такую:

Используя лемму и свойства делимости на 3, можно доказать, что на ней лежит ровно (2k + 1) узлов, а выбирая подходящее k, это количество можно сделать любым наперёд заданным нечётным числом.

Окружности, которые задаются уравнениями (6) и (7), называются окружностями Шинцеля, по имени польского математика Анджея Шинцеля (Andrzej Schinzel). Отметим, что для данного натурального числа n эти уравнения задают, вообще говоря, не самую маленькую окружность с n узлами клетчатой бумаги на ней. Например, так происходит с n = 1 (очевидно, можно предъявить окружность сколь угодно маленького радиуса) или с n = 4 (здесь ясно, что существует окружность радиуса 1/√2. Менее тривиальный пример: n = 9. Соответствующая окружность Шинцеля имеет радиус 625/3, однако на окружности с центром (1/3, 0) и радиусом 65/3 также лежит ровно 9 узлов клетчатой бумаги.

Существуют также и менее тривиальные комбинации точек. Так, на рис. 4 изображена окружность с центром в точке (1/5, 2/5) и радиусом — на ней лежат четыре узла клетчатой бумаги: (–6, –2), (1, 7), (5, 5) и (2, –6). А на окружности с центром в точке (1/7, 2/7) и радиусом находятся пять узлов: , , , и (рис. 5).

Описание множества окружностей, которые проходят ровно через n узлов клетчатой бумаги для заданного натурального числа n, — пока нерешённая задача. Предполагается, что окружность, проходящая более чем через три узла, — достаточно редкое явление, то есть если провести окружность через три случайно выбранных узла клетчатой бумаги, то через четвёртый она пройдёт с малой вероятностью.

С этой задачей также связан вопрос об изображении круга на экране монитора. Будем считать, что экран представляет собой прямоугольный лист клетчатой бумаги, а круг на экране — объединение тех клеточек (пикселей), которые пересекаются со внутренностью круга. Тогда вопрос заключается в том, сколько различных изображений на экране имеет круг данного радиуса. Например, на рис. 6 представлено три различных изображения круга радиуса 4/5 (сторона клеточки, соответственно, равна единице). Полного ответа на этот вопрос пока тоже нет.

При подготовке данной публикации использовалась статья В. Вавилова и А. Устинова Окружности на решетках («Квант» №6, 2006), в которой обсуждаются некоторые свойства целочисленных решеток и расположение окружностей на них.

Задачи на клетчатой бумаге

2. Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника.

3. Глава 2. Сколько узлов на отрезке? …………………………………11

4. Глава 3. Задачи на разрезание ……………………………………….15

5. Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе …………………………19

6. Глава 5. Игры на клетчатой бумаге ………………………………. 22

7. Глава 6. Интересные факты…………………………………. 25

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ в нашем кабинете математики, решили обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.

Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения мы не встретили. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

· Подобрать необходимую литературу

· Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

· Проанализировать и систематизировать полученную информацию

· Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

· Классифицировать исследуемые задачи

· Оформить работу в виде буклета

· Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

Гипотеза: возможно, многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Глава 1. Задачи на нахождение площади многоугольника.

Формула Пика

Мы считаем настоящей жемчужиной нашего исследования формулу Пика!

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[6]

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно

Рис. 1 разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»:

вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш

многоугольник до прямоугольника АВС D , и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Рис. 2 Пусть АВС D – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + — 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + — 1 .

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Это и есть формула Пика.

Задача 1 . Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.

В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 14 + 8/2 – 1 = 17

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки,

Рис. 3 то для него верна формула Пика.

Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Задача 2 .[12] Найдите площадь прямоугольника АВС D (рис.4).

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

Рис. 4 S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВС D (рис.5)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 5 Ответ: 8 см².

Задача 4 . Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Рис. 6 Ответ: 7,5 см².

Задача 5. Найдите площадь четырёхугольника АВС D (рис. 7)

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Рис. 7 Ответ: 7,5 см².

Согласитесь, рассмотренные задания аналогичны заданию В6 из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике. Например:

Задача 6.[7] В . На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 8). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

Рис. 8 S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Задача 7. [14] В . На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 9). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Воспользуемся формулой Пика:

Рис. 9 S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 8 .[13] Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² — 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 9 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + — 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² — 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Глава 2. Сколько узлов на отрезке?

Применение формулы Пика для вычисления площадей некоторых фигур не совсем удобно. Очень уж чётким должен быть чертёж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов на границе? Поскольку граница состоит из отрезков, то нас интересует количество узлов сетки, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах.

Сделаем сначала небольшое наблюдение. Пусть А и В – узлы сетки. Обозначим через С первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник А С D с гипотенузой А С и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.1).

Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль

отрезка АВ на расстояние А С . Получим равный

ему треугольник С С D .

Следовательно, С – узел, и между С и С нет узлов. Ясно,

что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь

получим в качестве очередной точки С точку В – узел

сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник

ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам: Рис. 1

Теперь мы можем выяснить, сколько узлов Рис. 2. лежит между точками А и В(конечно, мы считаем, что А и В не лежат на одной линии сетки). Построим прямоугольный треугольник ARB с вершинами в узлах сетки и с гипотенузой АВ (рис.2).

Пусть AR = р, BR = q . Понятно, что р и q – целые положительные числа.

Теорема. Если р и q взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель р и q равен n , где n > 1 (НОД (р, q ) = n > 1), то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно ( n – 1) узлов сетки.

Доказательство. 1) Пусть числа p и q взаимно просты. Если между А и В были k узлов ( k ≥ 1), то, взяв ближайший к А узел С , мы получим по формулам (1): p =( k +1) · AD , q = ( k +1) · С D , то есть р и q имеют общий делитель k + 1, больший 1. Но ведь они взаимно просты!

2)Пусть НОД (р, q ) = n > 1. Поделив отрезки AR и BR на n равных частей, мы опять приходим к рис.1, где С , С , …, С – какие-то узлы сетки и k = n – 1. Таким образом, в этом случае между точками А и В есть хотя бы n – 1 узел. Почему их не может быть больше, чем n – 1? В этом случае между узлами А и С были бы и другие узлы. Пусть С ¢ – ближайший к А узел. Тогда АС´ < АС , а значит, – целое число, большее, чем n (поскольку ). Но если мы воспользуемся формулой (1), то увидим, что р = AR = ( k +1) · AD ¢ , q = BR = ( k +1) · С ¢ D ¢ , где k + 1 = , а D ¢ – основание перпендикуляра, опущенного из точки С ¢ на AR . Но это невозможно, так как самый большой общий делитель чисел р и q равен n . Следовательно, между А и В ровно n – 1 узел.

Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, вы всегда можете сказать, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах сетки!

Задача 1. [11] В прямоугольнике 4×7, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?

Задача 2. В прямоугольнике размером 200×300, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала на две части?

Задача 3. В прямоугольнике 1000×1003, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?

Задачу 1 легко решить, просто «водя пальцем по картинке»

Для решения задачи 2 полезно вспомнить наши разговоры о количестве узлов на отрезке и обсуждение

рис.1: ясно, что вдоль диагонали прямоугольника 200×300 можно расположить 100 прямоугольников 2×3, и в каждом из них, очевидно, диагональ будет рассекать по 4 клетки. Поэтому ответ к задаче 2 – четыреста клеток.

В задаче 3 такие соображения, увы, не помогают: числа 1000 и 1003 взаимно не просты. Сформулируем эту задачу в общем виде:

Сколько клеток рассекает на две части диагональ прямоугольника m × n , где m и n – взаимно простые числа?

Заметим, что диагональ такого прямоугольника не проходит через узлы. Будем считать, что диагональ идёт из левого нижнего угла прямоугольника. Самой первой она рассекает левую нижнюю угловую клетку (клетку № 1), потом она попадёт в клетку № 2 (рис.4), и так далее. Пусть диагональ уже пересекла k клеток. Так как она ни разу не проходит через узел, то всегда можно однозначно указать, какую клетку она рассечёт после клетки с номером k .

Итак, мы получили «цепочку», идущую из левого нижнего угла в правый верхний. Нам надо понять,

Рис. 4 чему равно число клеток в этой цепочке. Дадим каждой клетке адрес ( t , s ), если она расположена в горизонтальном ряду с номером t и вертикальном ряду с номером s . Левый нижний угол получает адрес (1,1), а правый верхний – ( m , n ). Теперь остаётся заметить, что при переходе от клетки с номером k в нашей цепочке к клетке с номером k +1 сумма чисел t и s в адресе возрастает точно на 1. Значит,

чтобы перейти от клетки с адресом (1,1) к клетке с адресом ( m , n ), надо сделать ровно m + n – 2 шагов, пройдя, таким образом, m + n – 1 клеток.

Итак, ответ к задаче 3 – число клеток равно 2002.

Объединим задачи 2 и 3.

Пусть m и n – произвольные натуральные числа.

Сколько клеток рассекает диагональ

прямоугольника m × n ?

Пусть d = НОД ( m × n ). Как и при решении задачи 2,

мы видим, что вдоль диагонали исходного

прямоугольника образуется d маленьких прямоугольников ´ . Стороны этих маленьких прямоугольников уже взаимно просты, поэтому их диагонали рассекают по + – 1 клеток каждая. Значит, диагональ исходного прямоугольника рассечёт ( + – 1) · d = m + n – d клеток.

Теперь при желании мы можем без труда сосчитать, сколько клеток рассекут диагонали следующих прямоугольников: 36×56, 105×24, 2003×111.

Глава 3. Задачи на разрезание

С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку – это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

Сделаем небольшую классификацию таких задач [15]. Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды:

* Дробление – требуется разрезать данную фигуру:

· на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, — конгруэнтных частей (фигур);

· на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»);

· определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Возможны и другие вариации условий разрезания, так как фантазия человека не имеет ограничений.

* Квадрирование – разрезание фигуры на возможно меньшее число частей, из которых затем можно сложить квадрат.

* Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру (не квадрат).

В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.

Учитывая большое общее количество задач на разрезание, мы в этой работе будем рассматривать задачи на клетчатой бумаге на дробление и задачи, связанные с шахматной доской. А остальные постараемся изучить при дальнейшем исследовании по этой теме.

Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведённых далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Но смысл разрезания предполагает ещё и выход из плоскости и переворачивание фигуры любой её стороной из двух существующих.

В качестве примеров рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.

Задача 1. Можно ли разрезать квадрат 6 ´ 6 на полоски 1 ´ 4 ?

Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1. Любая полоска 1 ´ 4, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (6 · 6) : 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8! Значит разрезание

Рис. 1 невозможно.

Вместо раскраски в два цвета можно было использовать раскраску в четыре цвета, изображённую на рисунке 2 (каждый цвет помечен своим номером: цвет 1, цвет 2, цвет 3 и цвет 4). Рис. 2

Тогда каждая полоска 1 ´ 4 будет содержать ровно по одной клетке каждого цвета. Значит, если бы удалось разрезать квадрат на полоски, то клеток всех цветов было бы поровну. Но клеток цветов 1 и 3 – по 9, цвета 2 – 10, а цвета 4 – 8 штук.

Теперь вы сможете самостоятельно решить задачи 2 и 3.

Задача 2. Можно ли прямоугольник 8 ´ 9 разрезать на полоски 1 ´ 6 ?

Задача 3. Можно ли сложить прямоугольник из нарисованных на рис. 3 фигурок? (Каждая фигурка должна использоваться ровно один раз!)

Задача 4. [8] На шахматной доске стоят 4 коня (рис. 4) Требуется разделить доску на 4 одинаковые по форме части, на каждой из которых стоял бы в точности один конь

Рис. 4 Задача 5. [3] В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму». У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 ´ 12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 ´ 8. Иван царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1 ´ 4, чтобы получился прямоугольник 8 ´ 12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10 ´ 10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

Задача 6. [1] На прямоугольном участке земли находятся 4 колодца, изображённые на рис. 5 точками. Разбейте этот участок на 4 части, одинаковые по величине и форме, так, чтобы колодцы на каждом участке занимали одно и то же положение. Рис. 5

Задача 7. [15] Найти все целые положительные числа n таким образом, чтобы каждый треугольник можно было разрезать на n треугольников, подобных между собой.

Решение. Начертим разносторонний треугольник. Прежде всего покажем, как любой треугольник можно разрезать на n = k ² равных (следовательно, подобных) треугольников, т.е. на число n , равное квадрату целого числа. Разделим каждую сторону треугольника на k равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные его сторонам. Тогда число малых треугольников равно 1+ 3 + 5 + … + (2 k – 1) = k ²

Рис. 6. k = 5, n = 25 Рис. 7 Рис. 8

Теперь покажем, что каждый треугольник разрезается на любое число n ≥ 4 подобных между собой треугольников.

В самом деле, оставим на рис. 6 малые треугольники только в нижней полосе (трапеции), а все остальные объединим в один (рис. 7).

Столь же легко показать, что число таких частей может быть сделано любым нечётным n ≥ 7 : верхний из четырёх треугольников разбит на 2 k ( k ≥ 2) частей, и ещё имеется три нижних, так что общее число частей равно n = 2 k + 3, где k ≥ 2 (рис. 8).

Итак, любой треугольник можно разрезать на любое число n подобных между собой треугольников, за исключением n = 2, 3, 5. Можно доказать, что для этих значений n требуемое разрезание невозможно.

Вот именно с таких занимательных задач начинается уже серьёзная математика с исследованиями, доказательствами и построением небольшого раздела математической теории под названием «делящиеся фигуры на плоскости».

Задача 8. [16] «Парадокс шахматной доски»

Шахматная доска разрезается наискосок, как это изображено на левой половине рисунка 9, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это показано на правой половине рисунка. Первоначальная площадь Рис. 9

равнялась 64 кв. ед, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?

Глава 4. Расстояние в «клетчатом» городе

С понятием расстояния мы сталкиваемся ежедневно. «Каково расстояние от дома до школы?», «Сколько километров от Москвы до Петербурга?» — эти вопросы никого не удивят. Зная расстояние, мы можем прикинуть, долго ли добираться от одного места до другого. Все мы умеем вычислять расстояние между двумя точками на координатной прямой, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

А теперь возьмём хорошо знакомый нам листок клетчатой бумаги и представим себе, что это – город, линии сетки – улицы. Давайте прогуляемся по этому городу, ходя только по улицам (порядки в этом городе очень строгие). Длину клетки будем считать равной 1. Как нам быстрее всего попасть с перекрёстка А на перекрёсток Б (рис. 1)?

Можно, например, пройти из А в С, а потом – из С в В. Можно было идти через D , а можно – и более замысловатым путём. Что же мы теперь назовём расстоянием от А до В? Конечно, длину кратчайшего

Рис. 1 пути: 4 + 3 = 7.

А теперь представим себе, что у нас в запасе есть время проделать путь длиной 3. В каких узлах мы можем побывать, выйдя из А? (Или: из каких узлов можно добраться до А, пройдя путь не более 3?) Ответ на этот вопрос изображён на рисунке 2). Наверное, многие из вас сейчас вспомнили о круге на плоскости: ведь круг радиуса r с центром в точке А и есть множество всех точек плоскости, которые удалены от А не больше, чем на r . Но как не похож ромбик из точек с рисунка 2 на привычный круг! Рис. 2

Познакомимся поближе с расстоянием в «клетчатом» городе с помощью нескольких задач.

Задача 1. [11] В «клетчатом» городе выделили район – квадрат 4 ´ 4. Какое

Наименьшее количество детских площадок нужно построить в этом районе, чтобы из любого узла этого района можно было попасть на одну из этих площадок, проделав путь не более 3?

Решение. Понятно, что двух площадок хватает (рис. 3). Ещё легче понять, что одной площадки будет мало (слишком далеко разбросаны узлы, находящиеся на границе квадрата!)

Решите такую же задачу с прямоугольником 6 ´ 3. А как решается подобная задача, если расстояние на плоскости измеряется обычным способом?

Задача 2. Какое наибольшее количество котов можно разместить в узлах сетки на территории квадрата 4 ´ 4, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 2 (иначе коты подерутся)?

Наверное, без особого труда сумеете поделить территорию квадрата между 13 котами (рис. 4). А вот Рис. 4

14 котов мирно ужиться на этой территории уже не смогут. Докажем это. Поделим всю территорию, кроме центра квадрата, на 4 непересекающиеся зоны (рис. 5). Если даже одного из 14 котов поселить в центре квадрата, то остальных 13 придётся разместить по этим зонам. Значит, в какой-то зоне окажется хотя бы 4 кота. Перебирая различные варианты расселения 4 котов в

Рис. 5 какой-нибудь из этих зон, легко увидеть, что это невозможно.

Подумайте, как решить эту задачу, если расстояние на плоскости измеряется, как обычно.

Итак, мы познакомились с расстоянием в «клетчатом» городе. Оно ни чуть не менее естественно, чем обычное расстояние «по прямой». Что их объединяет? Каковы общие свойства, которыми должно обладать расстояние?

Свойство 1. Расстояние между двумя точками неотрицательно, причём оно равно нулю, только если точки совпадают.

Ещё бы! Чтобы попасть из точки А в неё же, никуда идти не надо, а чтобы попасть в другую точку В, придётся проделать некий путь положительной длины.

Свойство 2. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А.

Недаром мы говорим обычно не о расстоянии от А до В, а о расстоянии между А и В, не различая расстояния от А до В и от В до А.

Свойство 3. Для точек А, В и С сумма расстояний от А до С и от С до В не меньше расстояния от А до В (неравенство треугольника).

Свойства 1, 2 и 3 в математике называются аксиомами расстояния. Как мы знаем, эти свойства есть у обычного расстояния на плоскости. Не трудно проверить, что есть они и у нового расстояния, введённого нами в «клетчатом» городе.

Глава 5. Игры на клетчатой бумаге

1. Крестики — нолики

1. Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Следующая задача относится к этой игре.

Задача.[4] Докажите, что при игре в крестики – нолики второй игрок, как бы хорошо он ни играл, не может рассчитывать больше, чем на ничью, если его партнёр играет правильно.

2. Бридж-ит («перебрось мостик!»)

На рисунке показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие». В этой игре у начинающего игру есть выигрышная стратегия.

Когда вы вдоволь наиграетесь с друзьями в эту игру, можете либо придумать стратегию, либо прочитать о ней в книге М. Гарднера «Математические досуги»

3. Солитер [11]

Для игры в солитер нужны игровое поле-доска из 33 клеток и фишки, шашки или монетки. Игра начинается с того, что на все клетки доски, кроме центральной, расставляются фишки. Цель игры состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. «Прыжок» означает следующее: фишка переносится на свободную клетку через любую соседнюю фишку, которая при этом снимается с доски, причём фишки могут прыгать влево, вправо, вверх и вниз (но не по диагонали!). Каждый ход обязательно должен быть прыжком через фишку. Если очередной ход невозможен, то игра заканчивается.

Прежде чем играть в солитер, можете решить несколько более простых задач из книги М. Гарднера «Математические досуги».

4. Жизнь [11]

Эту игру придумал математик Дж. Конуэй. В неё можно играть одному. Для игры вам понадобится большая доска, разграфленная на клетки, и много плоских фишек двух цветов. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения фишек, расставленных в разных клетках, проследить за эволюцией исходной позиции под действием «генетических законов» Конуэя, которые управляют рождением, гибелью и выживанием фишек. Вот эти законы.

1. Выживание. Каждая фишка, имеющая две или три соседние фишки, выживает и переходит в следующие поколения. (Соседние фишки – те, которые расположены на соседних клетках: смежных по горизонтали, вертикали или диагонали.)

2. Гибель. Каждая фишка, у которой больше трёх соседей, погибает (то есть снимается с доски) из-за перенаселённости. Каждая фишка, вокруг которой свободны все соседние клетки или занята всего одна клетка, погибает от одиночества.

3. Рождение. Если число фишек, с которыми граничит какая-нибудь пустая клетка, в точности равно трём, то на этой клетке происходит рождение нового «организма», то есть следующим ходом на неё ставится одна фишка.

Важно понять, что гибель и рождение всех «организмов» происходят одновременно. Вместе взятые, они образуют одно поколение – один «ход» в эволюции. Чтобы не запутаться, ходы рекомендуется делать так:

1) начать с конфигурации, целиком состоящей из чёрных фишек;

2) определить, какие фишки должны погибнуть, и положить на каждую из обречённых фишек по одной чёрной фишке;

3) Найти все свободные клетки, на которых должен произойти акт рождения, и на каждую из них поставить по одной белой фишке;

4) Всё проверить, затем снять с доски все погибшие фишки (столбики), а всех новорождённых (белые фишки) заменить чёрными фишками.

Вы получите новое поколение. Дальше действуйте аналогично. Вы обнаружите много интересного и красивого в эволюции семейств организмов.

Глава 6. Интересные факты

В этой главе мы приведём без доказательства несколько интересных и красивых фактов, относящихся к клетчатой плоскости. В основном, это довольно трудные теоремы. Но мы надеемся, что они понравятся вам так же, как нам, и у вас тоже возникнет желание продолжить знакомство с клетчатой плоскостью.

Факт 1. Пусть выпуклый многоугольник имеет площадь больше 4 и начало координат является его центром симметрии. Тогда этот многоугольник содержит ещё хотя бы одну точку с целыми координатами. (Теорема Минковского).

Рис. 1 Эта теорема верна не только для выпуклых многоугольников, но и для выпуклых фигур – фигур, которые с любой парой своих точек содержат и весь отрезок с концами в этих точках. Например, круг и эллипс – выпуклые фигуры, а кольцо – нет.

Смысл этой теоремы состоит в том, что выпуклая фигура, «набирая» площадь 4, не сможет «избежать» захвата узлов сетки. Понятно, что для невыпуклых фигур это не так: они могут «набирать» площадь, «обходя» узлы сетки (рис. 1).

Факт 2. Пусть внутри выпуклой фигуры площади S и периметром 2р лежит узлов решётки. Тогда n > S – р. [10]

Смысл этого факта таков: если мы захотим оградить на клетчатом листке участок (выпуклый) достаточно большой площади и мы сделаем это, «экономно» расходуя ограду, то на участке окажется довольно много узлов сетки. Если же мы будем расходовать ограду «неэкономно», сильно вытягивая участок, то узлов на участке может оказаться не так много.

Кстати, задача о нахождении фигуры наибольшей площади, имеющей данный периметр, давно волновала математиков. Её назвали изопериметрической задачей. Такой фигурой является круг: из всех фигур с данным периметром самую большую площадь имеет он. (рис. 2 и 3)

Величина S – р велика. Площадь мала, а периметр велик.

Узлов много! Узлов нет!

Факт 3. Если вершины выпуклого n -угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n ≤ 4.

Иными словами, вам ни за что не удастся (попробуйте сами!) нарисовать на клетчатой бумаге выпуклый пяти-, шести-, и т.д. многоугольник с вершинами в узлах сетки так, чтобы ни на его сторонах, ни внутри не было

Рис. 4 других узлов. А вот треугольник или четырёхугольник с таким свойством нарисовать совсем нетрудно!

Конечно, невыпуклые пяти-, шести-, и т.д. многоугольники с таким свойством тоже можно нарисовать (рис. 4).

Факт 4. Из правильных многоугольников только четырёхугольник (квадрат) можно разместить на клетчатом листе так, чтобы все его вершины лежали в узлах сетки. Ни с правильным треугольником, ни с правильным пятиугольником, и т. д., этого сделать нельзя! [2]

(Напомним, что правильным называется многоугольник, у которого все стороны и все углы равны).

Заметим, что квадрат с удобством размещается на клетчатой плоскости не только очевидным образом (когда его стороны Рис. 5

идут по линиям сетки), но и иначе (рис. 5).

В процессе исследования мы изучили много справочной, научно-популярной литературы, побывали на сайтах, вызывающих уважение и некоторое благоговение: малый Мехмат МГУ, ФИПИ, прочитали некоторые книги в электронном виде. Мы рассмотрели различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, научились применять решение таких задач в различных областях математики, подобрали нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике.

Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно). Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате нашей работы мы расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.

Рассмотренные нами задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Работа по данной теме позволила нам преодолеть психологический барьер и поверить в свои силы, что является важнейшим фактором успешного решения олимпиадных и экзаменационных задач, выступления перед аудиторией с теоретическим материалом по математике.

Мы пришли к выводу, что тема, которая нас заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша исследовательская группа решила продолжить работу в этом направлении: особенно интересными показались нам задачи на разрезание, «раскраски», задачи на трансформирование, пентамино, разрезание в пространстве. Мы решили составить сборник игр на клетчатой бумаге, которые не только увлекательны и интересны, но и развивают комбинаторно-геометрические навыки, интуицию, воображение.